Centrale Maths 1 PSI 2002 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sébastien Gadat (ENS Cachan) ; il a été relu par Jean
Starynkévitch (ENS Cachan) et Thomas Chomette (ENS Ulm).
Ce sujet traite à la fois d'analyse classique sur les séries de Fourier et
d'algèbre
linéaire des endomorphismes auto-adjoints. C'est donc l'occasion pour le
candidat de
prouver sa capacité à manier différents types de raisonnements dans un problème.
Les questions du sujet sont d'une difficulté relativement égale et leur
progression vers le but recherché est agréablement équilibrée. La plupart des
questions sont
accessibles à l'élève connaissant sur le bout des doigts les théorèmes
importants de
son cours d'analyse et d'algèbre linéaire. Néanmoins, la longueur de l'énoncé
ne permet pas de traiter l'intégralité du sujet dans le temps imparti, comme
souvent aux
épreuves de concours.
L'énoncé définit tout d'abord ce qu'est une trajectoire admissible et le but du
problème est de démontrer une majoration de la vitesse en moyenne quadratique
pour ces trajectoires.
· Le sujet débute par une partie préliminaire où l'on redémontre très
précisément
certains points du cours sur les projections orthogonales.
· La première partie utilise les théorèmes généraux sur les séries de Fourier
pour
démontrer des convergences ponctuelles ou au sens L2 de séries de fonctions.
Elle introduit une quantité servant à obtenir la majoration recherchée.
· La seconde partie interprète alors tous les résultats de convergence en
norme L2 obtenus dans la première partie en termes de projections orthogonales
sur des hyperplans. On manipule également dans cette partie des opérateurs
et des endomorphismes auto-adjoints, permettant d'aboutir à la majoration
finale :
A
h | i 6
1
h | i
µ2
Indications
Partie I
I.B.1 Faire un dessin du graphe de f .
I.B.2 Utiliser les symétries de la question I.B.1 pour éviter des calculs
inutiles.
I.B.3 Énoncer précisément les théorèmes et hypothèses du cours utilisés.
I.B.4 Attention aux hypothèses pour l'application de ce théorème.
I.B.5 Utiliser la question I.B.4.
I.B.6 Utiliser la question I.B.5.
I.C.1 Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires en étudiant le
comportement
de n aux bornes de ses intervalles de définition.
2
I.C.3 Majorer indépendamment de le terme :
.
k 2 ( 2 - k 2 )
Partie II
II.A.1 Intégrer par parties.
II.A.2 Penser au théorème de Fubini.
II.B.1 Raisonner par double inclusion. Que représente Hn géométriquement ?
II.B.2 Utiliser la question II.B.1.
II.B.4 Démontrer et utiliser le fait que hz|Tn (z)i = hz|T(z)i.
II.C.1 Se servir des questions I.B.3 et II.A.3.
II.D Appliquer les résultats précédents à qui est dans H .
Résultats préliminaires
A
L'énoncé débute par des questions de cours et le correcteur attend de l'élève
qu'il énonce très précisément les théorèmes du cours, quitte à utiliser un style
un peu trop formel. On exige par ailleurs la démonstration du résultat du
cours : Vect (h)
= Vect h et même si une démonstration correcte ne
rapporte guère de points, il y a fort à parier qu'une démonstration incorrecte
en fait perdre beaucoup. . .
Voici l'énoncé précis du théorème qui permet de conclure directement.
Si F est un sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel E
préhilbertien, alors F est un supplémentaire orthogonal de F :
F F = E
De plus
et
codim F = dim F
F
=F
Vérifions tout d'abord que le cadre particulier de l'énoncé rentre bien dans les
hypothèses du théorème. C est bien un espace préhilbertien réel muni du produit
scalaire h|i. L'espace vectoriel engendré par h est de dimension finie. On
obtient
donc, en prenant pour F l'espace engendré par h :
C = Vect h (Vect h)
(1)
Démontrons, comme le demande l'énoncé, le théorème précédent dans le cas
particulier où F = Vect (h).
Tout d'abord, les espaces Vect (h) et Vect (h) sont bien d'intersection réduite
à
0E car si x est un élément commun à ces deux espaces, on trouve :
hx|xi = kxk2 2 = 0
c'est-à-dire
Donc
x=0
Vect (h) Vect (h) = 0E
Ensuite, démontrons que la somme de tout x de E se décompose en la somme
d'un élément de Vect (h) et d'un élément de Vect (h) .
hf |hi
Notons 1h l'application définie par 1h (f ) = f -
h. On peut écrire
khk2 2
f E
f = f - 1h (f ) + 1h (f )
Le terme f - 1h (f ) appartient à Vect (h) et 1h (f ) est orthogonal par
construction
à h, c'est-à-dire que 1h (f ) appartient à Vect (h) . On en conclut donc le
premier
résultat annoncé :
C = Vect h (Vect h)
Prouvons que
F
=F
Effectuons un raisonnement par double inclusion. Donnons-nous un x dans F, alors
pour tout h de F , on a hx|hi = 0. Ainsi x est dans F
et on a F F .
Réciproquement, prenons y dans F , alors y se décompose dans la somme
directe de C et :
yF F yF F
y = y F + y F
Démontrons que kyF k2 = 0.
2
On obtient
hy|yF i = hyF |yF i + kyF k2
On sait que y est dans F , on en conclut que hy|yF i = 0. On a de même
hyF |yF i = 0
En conclusion, on a kyF k2 = 0 et y est dans F ; ce qui achève la démonstration.
F
=F
Il est bon de connaître un contre-exemple classique à ce résultat lorsque
l'espace vectoriel considéré n'est plus de dimension finie. Plaçons-nous dans
l'espace vectoriel E = R[X] tel que la base canonique soit une base
orthonormale. Prenons
n
n
P
P
F= P=
ak Xk
ak = 0
k=0
k=0
L'inclusion F F
de démontrer que F
entendu fausse !
est toujours vérifiée. Mais il n'est pas très difficile
= {0E }, et l'égalité précédente F
= F est bien
Il faut donc faire très attention lorsqu'on manipule ces objets, surtout en
début de sujet. . .
Démontrons enfin le dernier résultat :
f C
h (f ) = 1h (f ) = f -
hf |hi
khk2
2h
Prenons un vecteur f dans Vect (h), alors la projection de f sur Vect (h)
nulle et on a h (f ) = 0 = 1h (f ) d'après la définition de h.
est
Fixons alors un vecteur f dans Vect (h) , ce vecteur est son propre projeté or
thogonal sur Vect (h) et on a h (f ) = f . De plus 1h (f ) = f .
On en conclut que les applications linéaires 1h et h coïncident sur deux
sousespaces supplémentaires et donc qu'elles sont égales.
f C
h (f ) = f -
hf |hi
khk2
2h
(2)
B Notons D2 : 7- l'application qui à un élément de A associe sa dérivée
seconde. Commençons par démontrer que D2 (A) H .
Prenons un élément de A et calculons le produit scalaire hD2 ()|ui :
