Centrale Maths 1 PSI 2002

Thme de l'preuve Mouvement admissible d'un mobile
Principaux outils utiliss sries de Fourier, orthogonalit, endomorphismes auto-adjoints
Mots clefs autoadjoint

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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nonc complet

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Rapport du jury

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nonc obtenu par reconnaissance optique des caractres


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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres


 Centrale Maths 1 PSI 2002 -- Corrig Ce corrig est propos par Sbastien Gadat (ENS Cachan) ; il a t relu par Jean Starynkvitch (ENS Cachan) et Thomas Chomette (ENS Ulm). Ce sujet traite  la fois d'analyse classique sur les sries de Fourier et d'algbre linaire des endomorphismes auto-adjoints. C'est donc l'occasion pour le candidat de prouver sa capacit  manier diffrents types de raisonnements dans un problme. Les questions du sujet sont d'une difficult relativement gale et leur progression vers le but recherch est agrablement quilibre. La plupart des questions sont accessibles  l'lve connaissant sur le bout des doigts les thormes importants de son cours d'analyse et d'algbre linaire. Nanmoins, la longueur de l'nonc ne permet pas de traiter l'intgralit du sujet dans le temps imparti, comme souvent aux preuves de concours. L'nonc dfinit tout d'abord ce qu'est une trajectoire admissible et le but du problme est de dmontrer une majoration de la vitesse en moyenne quadratique pour ces trajectoires.  Le sujet dbute par une partie prliminaire o l'on redmontre trs prcisment certains points du cours sur les projections orthogonales.  La premire partie utilise les thormes gnraux sur les sries de Fourier pour dmontrer des convergences ponctuelles ou au sens L2 de sries de fonctions. Elle introduit une quantit servant  obtenir la majoration recherche.  La seconde partie interprte alors tous les rsultats de convergence en norme L2 obtenus dans la premire partie en termes de projections orthogonales sur des hyperplans. On manipule galement dans cette partie des oprateurs et des endomorphismes auto-adjoints, permettant d'aboutir  la majoration finale : A h | i 6 1 h | i 2 Indications Partie I I.B.1 Faire un dessin du graphe de f . I.B.2 Utiliser les symtries de la question I.B.1 pour viter des calculs inutiles. I.B.3 noncer prcisment les thormes et hypothses du cours utiliss. I.B.4 Attention aux hypothses pour l'application de ce thorme. I.B.5 Utiliser la question I.B.4. I.B.6 Utiliser la question I.B.5. I.C.1 Appliquer le thorme des valeurs intermdiaires en tudiant le comportement de n aux bornes de ses intervalles de dfinition. 2 I.C.3 Majorer indpendamment de le terme : . k 2 ( 2 - k 2 ) Partie II II.A.1 Intgrer par parties. II.A.2 Penser au thorme de Fubini. II.B.1 Raisonner par double inclusion. Que reprsente Hn gomtriquement ? II.B.2 Utiliser la question II.B.1. II.B.4 Dmontrer et utiliser le fait que hz|Tn (z)i = hz|T(z)i. II.C.1 Se servir des questions I.B.3 et II.A.3. II.D Appliquer les rsultats prcdents  qui est dans H . Rsultats prliminaires A L'nonc dbute par des questions de cours et le correcteur attend de l'lve qu'il nonce trs prcisment les thormes du cours, quitte  utiliser un style un peu trop formel. On exige par ailleurs la dmonstration du rsultat du cours : Vect (h) = Vect h et mme si une dmonstration correcte ne rapporte gure de points, il y a fort  parier qu'une dmonstration incorrecte en fait perdre beaucoup. . . Voici l'nonc prcis du thorme qui permet de conclure directement. Si F est un sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel E prhilbertien, alors F est un supplmentaire orthogonal de F : F F = E De plus et codim F = dim F F =F Vrifions tout d'abord que le cadre particulier de l'nonc rentre bien dans les hypothses du thorme. C est bien un espace prhilbertien rel muni du produit scalaire h|i. L'espace vectoriel engendr par h est de dimension finie. On obtient donc, en prenant pour F l'espace engendr par h : C = Vect h (Vect h) (1) Dmontrons, comme le demande l'nonc, le thorme prcdent dans le cas particulier o F = Vect (h). Tout d'abord, les espaces Vect (h) et Vect (h) sont bien d'intersection rduite  0E car si x est un lment commun  ces deux espaces, on trouve : hx|xi = kxk2 2 = 0 c'est--dire Donc x=0 Vect (h) Vect (h) = 0E Ensuite, dmontrons que la somme de tout x de E se dcompose en la somme d'un lment de Vect (h) et d'un lment de Vect (h) . hf |hi Notons 1h l'application dfinie par 1h (f ) = f - h. On peut crire khk2 2 f E f = f - 1h (f ) + 1h (f ) Le terme f - 1h (f ) appartient  Vect (h) et 1h (f ) est orthogonal par construction  h, c'est--dire que 1h (f ) appartient  Vect (h) . On en conclut donc le premier rsultat annonc : C = Vect h (Vect h) Prouvons que F =F Effectuons un raisonnement par double inclusion. Donnons-nous un x dans F, alors pour tout h de F , on a hx|hi = 0. Ainsi x est dans F et on a F F . Rciproquement, prenons y dans F , alors y se dcompose dans la somme directe de C et : yF F yF F y = y F + y F Dmontrons que kyF k2 = 0. 2 On obtient hy|yF i = hyF |yF i + kyF k2 On sait que y est dans F , on en conclut que hy|yF i = 0. On a de mme hyF |yF i = 0 En conclusion, on a kyF k2 = 0 et y est dans F ; ce qui achve la dmonstration. F =F Il est bon de connatre un contre-exemple classique  ce rsultat lorsque l'espace vectoriel considr n'est plus de dimension finie. Plaons-nous dans l'espace vectoriel E = R[X] tel que la base canonique soit une base orthonormale. Prenons n n P P F= P= ak Xk ak = 0 k=0 k=0 L'inclusion F F de dmontrer que F entendu fausse ! est toujours vrifie. Mais il n'est pas trs difficile = {0E }, et l'galit prcdente F = F est bien Il faut donc faire trs attention lorsqu'on manipule ces objets, surtout en dbut de sujet. . . Dmontrons enfin le dernier rsultat : f C h (f ) = 1h (f ) = f - hf |hi khk2 2h Prenons un vecteur f dans Vect (h), alors la projection de f sur Vect (h) nulle et on a h (f ) = 0 = 1h (f ) d'aprs la dfinition de h. est Fixons alors un vecteur f dans Vect (h) , ce vecteur est son propre projet or thogonal sur Vect (h) et on a h (f ) = f . De plus 1h (f ) = f . On en conclut que les applications linaires 1h et h concident sur deux sousespaces supplmentaires et donc qu'elles sont gales. f C h (f ) = f - hf |hi khk2 2h (2) B Notons D2 : 7- l'application qui  un lment de A associe sa drive seconde. Commenons par dmontrer que D2 (A) H . Prenons un lment de A et calculons le produit scalaire hD2 ()|ui :