CCINP Maths 2 PSI 2011

SESSION 2011

PSIM206

A

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives

qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet comporte 7 pages.

Notations

On désigne par R l'ensemble des nombres réels, par N l'ensemble des entiers 
naturels et

par N* l'ensemble N privé de 0.

Dans tout le problème n est un entier de N'" . On note |Il,n]] l'ensemble des 
entiers k tels que

1 5 k S n . Dans l'ensemble des matrices à coefficients réels, on note 9Vlfl(R) 
l'espace vectoriel réel

des matrices carrées à n lignes, Sn (R) l'ensemble des matrices symétriques de 
M,(R) et M...(R)

l'espace vectoriel réel des matrices colonnes à n lignes. O(n) désigne le 
groupe des matrices ortho--

gonales de Win (R) .

On rappelle que toute matrice de S"(
avec une matrice de passage orthogonale.

) est semblable à une matrice diagonale de .'Mn(

EUR),

On note diag(oel ,...,an) la matrice diagonale de MH (JR) qui admet pour 
coefficients diago--

naux les réels o... ..., an dans cet ordre. L'écriture A = (a....) signifie que 
a. j est le coefficient de la

ligne i et de la colonne j de la matrice A. On note 'A la matrice transposée de 
la matrice A et tr(A)

la trace de la matrice carrée A.

Dans tout le problème, on considère l'espace euclidien {" rapporté à une base 
orthonormale

@ = (61 ,...,en) . Le produit scalaire de deux vecteurs x = Exiei et y = E yiei 
est noté (xiy) = E x y,.
i=l i=l

i=l

et "x" désigne la norme du vecteur x. Soient X et Y1es matrices de M... (R) des 
composantes de x et

y dans @, le produit 'XY appartient à % (R) et son unique coefficient est 
(x|y). On écrira

(xly) = 'XY qui est le produit scalaire canonique des matrices X et Yde % (R) .

H .]

Objectifs

Dans le problème, on définit les ensembles SÎ (respectivement Sj+) des matrices 
symé--

triques positives (respectivement des matrices symétriques définies positives) 
ainsi que les endo--
morphismes autoadjoints associés et on en donne quelques propriétés.
Dans la première partie, on traite deux exemples et on démontre une propriété 
de compacité

d'une partie de &" liée au signe des valeurs propres d'un endomorphisme 
autoadjoint.
Dans les deux parties suivantes, on définit les ensembles S: et ST" et on 
démontre diffé--

rentes propriétés de leurs éléments : caractérisation par le signe des valeurs 
propres, racine carrée,
propriété de la trace.
Dans la dernière partie, on fait établir des inégalités vérifiées par les 
endomorphismes auto--

adjoints associés aux matrices de Sf" . Les parties III et IV sont 
indépendantes l'une de l'autre.

Partie 1

Étude de compacité

Il

L'espace euclidien est rapporté à une base orthonormale @ = (el,...,e") . Soit 
s un endo--

morphisme autoadjoint de R" . On considère l'ensemble 2 = {x E R"; (xls (x)) = 
l} .

1.1. Dans cette question, on suppose n = 2 . On considère le plan euclidien 
muni du repère ortho--
normal R = (O,e1 ,e2) où 0 est un point du plan. À tout vecteur x = xle1 + x2e2 
de R2, on associe le
point M du plan de coordonnées (xl,x2) dans le repère Q{. On note 0" l'ensemble 
des points du

plan ainsi associés aux vecteurs de 2. Soit S la matrice de l'endomorphisme s 
relativement à la
base @.

2 \/5

1.1.1. On suppose que S = . Déterminer les valeurs propres et les sous--espaces

«B 4

propres de la matrice S. Pour x = xlel --l--x2e2 dans R2 , calculer le produit 
scalaire (xis(x)) .

Montrer que l'ensemble 0 est une ellipse dont on donnera une équation réduite. 
Tracer cette
ellipse dans le plan euclidien muni du repère Q{ .

1.1.2. On suppose que S = . Déterminer les valeurs propres de S. Déterminer

22«/î
2fi4

l'ensemble O' et tracer cet ensemble dans le plan euclidien muni du repère Q{ .

1.2. On suppose n entier quelconque de N*. On note )... ..., )... les n valeurs 
propres réelles (dis--
tinctes ou confondues) de s, chaque valeur propre figurant avec son ordre de 
multiplicité. On veut

montrer que E est une partie compacte de R" si et seulement si tous les A,-- 
sont strictement positifs.

On ordonne les À,-- dans l'ordre croissant, À. S ---SÀn, et on considère une 
base orthonormale

(51, ..., EUR,.) de &" formée de vecteurs propres de s avec, pour tout i E 
[[],n]] , s(5i) = Ài5i .

1.2.1. On suppose À1 > 0. Pour x = EG,-8. EUR {" , calculer (xis(x)) . Montrer 
que l'ensemble
i=l

2 n'est pas vide. Montrer que 2 est une partie bornée de R". Montrer que 
l'application

XI--> (x's(x)) de R" dans R est continue. En déduire que 2 est une partie 
compacte de

R".
1.2.2. On suppose que 2 est une partie compacte non vide de R" .

I.2.2.1. Montrer que l'inégalité À" 5 0 est impossible.

1222. On suppose Al 5 0 et A,, > 0 et, pour tout r EUR R, on considère le 
vecteur

l-- Àlr2
en .
À

11

xr=rel+

Montrer que xr EUR 2 . Calculer er-"2 et déterminer sa limite lorsque r tend 
vers +oo .

En déduire une contradiction avec l'hypothèse E compacte.

Dans la suite du problème, on note S ; (respectivement Sj+) l'ensemble des 
matrices S de Sn( &)
(R), 'XSX 20 (respectivement 'XSX >0). Pour

S E Sn (IR) , soit 3 l'endomorphisme autoadjoint de R" et soit x le vecteur de 
R" de matrices S et X

qui vérifient: pour tout X non nul de M

n .]

relativement à la base @ . On a donc rXSX = (x's(x)) .

Partie II

Racine carrée d'une matrice de S ;

Soit S E S,, (IR) . On note /\1, ..., /\n les 11 valeurs propres réelles de S 
comptées autant de fois

que leur ordre de multiplicité. Soit (Xl, ..., X,,) une base orthonormale de 
M...](R) formée de vec--

teurs propres de S avec : pour tout i E |[l,n]], SX, = À,X, .
11.1. On veut montrer que S E S; si et seulement si pour tout i E [[l,n]] , on 
a À,- 2 O.
11.1.1. On suppose que S G SÏ . Montrer que pour tout i E [[l,n]] , on a À,- Z 
0.

11.12. On suppose que pour tout i E [[l,n]] on a A,- Z 0. Montrer que S E S; .

On montre de même, et on admettra, qu'une matrice S E Sn (IR) appartient à S,Î+ 
si et seu--
lement si ses valeurs propres sont strictement positives.

11.1.3. On suppose que S G S:+ et donc que pour tout i E [[l,n]] , À,--> 0. 
Montrer que S est in--

versible et que son inverse S _] E S "+ + .

11.2. On suppose de plus que S E S; .

11.2.1. Soient D = diag(Àl ,...,Àn) et A : diag(\/ÀÎ,...,\/ÀÎ) ,calculer A2 .

On suppose que N E S; vérifie N 2 = D. On note (C1, ..., C,,) la base canonique 
de M... (R)

où C; est la matrice colonne dont le coefficient de la ligne i est égal à 1 et 
dont les autres
coefficients sont nuls. Soient Y = E y,C, et ,a E lR avec ,u 20 tels que NY = 
,uY. Montrer
i=l

que pour tout i E [[l,n]] , on a p.2y, = À,y. puis ,uy, = \/XY.< . En déduire que N = A . 1122. Soit U EURO(n) telle que S =UD'U . Déterminer une matrice TES"+ telle que T2 = S . Montrer que T est unique. On notera T = JS l'unique matrice T de Sj telle que T2 = S . 11.3. Une détermination de \/S . On suppose que S G S; et que )... ..., )... sont les valeurs propres de S. On note 0 g ,u,<- - -<,u.p les valeurs propres distinctes de S. Pour k EUR [[1, p]] , on définit les po-- lynômes d'interpolation de Lagrange aux points ul, ., up par : " (a -- u,) pour tout k EUR [[l,p]] et tout a E , L,((a) = H . j=l (N}. _Mj) j=k 11.3.1. Pour iEUR [[l,n]], calculer Lk(S)X,. en distinguant les cas ,uk = )\i et pk = A,. (on rap-- pelle que les X ,. définis au début de la partie Il, appartiennent à une base orthonormale de vecteurs propres de S avec : pour tout iEUR [[l,n]], SX]. = /\iX,. ). 1132. Soit P le polynôme de degré inférieur ou égal à p--l, à coefficients réels tel que : pour tout k EUR [[1, p]] , P(,uk) = Æ . Exprimer P comme une combinaison linéaire des poly-- nômes Lk . Calculer P(S)Xi et en déduire que P(S) EUR S,Î . Montrer que P(S) = x/Ë . 7 2 --2 11.3.3. En application des questions précédentes, on prend S = 2 4 --l . Montrer que --2 -- 1 4 S EUR S3+ . Exprimer \/E comme une combinaison linéaire des matrices S et 13 = diag(l,l,l) . Partie III Une propriété de la trace des matrices de S; 111.1. Soit 3 EUR 5; . III.1.1. On considère la matrice 6 : diag(al,...,an) avec : pour tout iEUR [[l,n]], ai 20. Soit V = (v....) EUR O(n) . Montrer que tr(ôV) £ tr(6) . III.1.2. En déduire que pour tout U EUR O(n) , on a : tr(S U ) £ tr(S ) . III.2. Réciproque de la propriété III.]. Soit A = (a... ) EUR 9Vln( )telle que pour tout U EUR 001) , on a tr(AU ) S tr(A) . On veut montrer que A EUR 8; . 11121. Un lemme technique. Soient a, b, 9 des réels. Montrer qu'il existe un réel go indé-- pendant de 0, tel que a cos(9) + b sin(9) = \/a2 + b2 sin(0 + lx) .

À quelle condition sur x a--t--on égalité ?

IV.2. On considère le polynôme P défini sur R par :

Va E R, P(a) = a2 --(À1+À")a +À1Àn .

Pour chaque i E [[l,n]] , déterminer le signe de P(À,) .

Soit v l'endomorphisme de R" défini par v = --P(s)os"' . Soit x EUR %" , x = 0 
, tel que s(x) = /\ix.

Calculer v(x) et montrer que x est vecteur propre de v. En déduire que la 
matrice V de v relativement
àla base @ vérifie V E S; .

IV.3. Soit x un vecteur non nul de R" . On considère le polynôme Q défini sur R 
par :

Vae EUR,Q(a --

2 a+(s_l(x)lx)ÀlÀn.

Déterminer le signe de Q(O) et celui de Q(l) . En déduire l'inégalité (2) :

@ +--À") M

(2) (s(s*(x)lx)< 4M IV.4. On suppose que A <À . Soient v' et vn des vecteurs de norme 1 tels que s(v,)=À,vl et s(v )= /\ v Soit x-- -- v +v Calculer les produits scalaires (s(x)|x) et (s_l(x)|x) . Montrer que le nil vecteur x vérifie l'égalité dans l'inégalité (2). Fin de l'énoncé