CCP Maths 2 PSI 2011

Thème de l'épreuve Propriétés des endomorphismes autoadjoints
Principaux outils utilisés compacité, réduction de matrices symétriques, polynômes de Lagrange
Mots clefs endomorphisme autoadjoint, valeur propre, conique, quadrique, théorie spectrale, réduction d'endomorphismes, compacité, trace, racine carrée

Corrigé

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SESSION 2011 PSIM206 A CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les calculatrices sont autorisées Le sujet comporte 7 pages. Notations On désigne par R l'ensemble des nombres réels, par N l'ensemble des entiers naturels et par N* l'ensemble N privé de 0. Dans tout le problème n est un entier de N'" . On note |Il,n]] l'ensemble des entiers k tels que 1 5 k S n . Dans l'ensemble des matrices à coefficients réels, on note 9Vlfl(R) l'espace vectoriel réel des matrices carrées à n lignes, Sn (R) l'ensemble des matrices symétriques de M,(R) et M...(R) l'espace vectoriel réel des matrices colonnes à n lignes. O(n) désigne le groupe des matrices ortho-- gonales de Win (R) . On rappelle que toute matrice de S"( avec une matrice de passage orthogonale. ) est semblable à une matrice diagonale de .'Mn( EUR), On note diag(oel ,...,an) la matrice diagonale de MH (JR) qui admet pour coefficients diago-- naux les réels o... ..., an dans cet ordre. L'écriture A = (a....) signifie que a. j est le coefficient de la ligne i et de la colonne j de la matrice A. On note 'A la matrice transposée de la matrice A et tr(A) la trace de la matrice carrée A. Dans tout le problème, on considère l'espace euclidien {" rapporté à une base orthonormale @ = (61 ,...,en) . Le produit scalaire de deux vecteurs x = Exiei et y = E yiei est noté (xiy) = E x y,. i=l i=l i=l et "x" désigne la norme du vecteur x. Soient X et Y1es matrices de M... (R) des composantes de x et y dans @, le produit 'XY appartient à % (R) et son unique coefficient est (x|y). On écrira (xly) = 'XY qui est le produit scalaire canonique des matrices X et Yde % (R) . H .] Objectifs Dans le problème, on définit les ensembles SÎ (respectivement Sj+) des matrices symé-- triques positives (respectivement des matrices symétriques définies positives) ainsi que les endo-- morphismes autoadjoints associés et on en donne quelques propriétés. Dans la première partie, on traite deux exemples et on démontre une propriété de compacité d'une partie de &" liée au signe des valeurs propres d'un endomorphisme autoadjoint. Dans les deux parties suivantes, on définit les ensembles S: et ST" et on démontre diffé-- rentes propriétés de leurs éléments : caractérisation par le signe des valeurs propres, racine carrée, propriété de la trace. Dans la dernière partie, on fait établir des inégalités vérifiées par les endomorphismes auto-- adjoints associés aux matrices de Sf" . Les parties III et IV sont indépendantes l'une de l'autre. Partie 1 Étude de compacité Il L'espace euclidien est rapporté à une base orthonormale @ = (el,...,e") . Soit s un endo-- morphisme autoadjoint de R" . On considère l'ensemble 2 = {x E R"; (xls (x)) = l} . 1.1. Dans cette question, on suppose n = 2 . On considère le plan euclidien muni du repère ortho-- normal R = (O,e1 ,e2) où 0 est un point du plan. À tout vecteur x = xle1 + x2e2 de R2, on associe le point M du plan de coordonnées (xl,x2) dans le repère Q{. On note 0" l'ensemble des points du plan ainsi associés aux vecteurs de 2. Soit S la matrice de l'endomorphisme s relativement à la base @. 2 \/5 1.1.1. On suppose que S = . Déterminer les valeurs propres et les sous--espaces «B 4 propres de la matrice S. Pour x = xlel --l--x2e2 dans R2 , calculer le produit scalaire (xis(x)) . Montrer que l'ensemble 0 est une ellipse dont on donnera une équation réduite. Tracer cette ellipse dans le plan euclidien muni du repère Q{ . 1.1.2. On suppose que S = . Déterminer les valeurs propres de S. Déterminer 22«/î 2fi4 l'ensemble O' et tracer cet ensemble dans le plan euclidien muni du repère Q{ . 1.2. On suppose n entier quelconque de N*. On note )... ..., )... les n valeurs propres réelles (dis-- tinctes ou confondues) de s, chaque valeur propre figurant avec son ordre de multiplicité. On veut montrer que E est une partie compacte de R" si et seulement si tous les A,-- sont strictement positifs. On ordonne les À,-- dans l'ordre croissant, À. S ---SÀn, et on considère une base orthonormale (51, ..., EUR,.) de &" formée de vecteurs propres de s avec, pour tout i E [[],n]] , s(5i) = Ài5i . 1.2.1. On suppose À1 > 0. Pour x = EG,-8. EUR {" , calculer (xis(x)) . Montrer que l'ensemble i=l 2 n'est pas vide. Montrer que 2 est une partie bornée de R". Montrer que l'application XI--> (x's(x)) de R" dans R est continue. En déduire que 2 est une partie compacte de R". 1.2.2. On suppose que 2 est une partie compacte non vide de R" . I.2.2.1. Montrer que l'inégalité À" 5 0 est impossible. 1222. On suppose Al 5 0 et A,, > 0 et, pour tout r EUR R, on considère le vecteur l-- Àlr2 en . À 11 xr=rel+ Montrer que xr EUR 2 . Calculer er-"2 et déterminer sa limite lorsque r tend vers +oo . En déduire une contradiction avec l'hypothèse E compacte. Dans la suite du problème, on note S ; (respectivement Sj+) l'ensemble des matrices S de Sn( &) (R), 'XSX 20 (respectivement 'XSX >0). Pour S E Sn (IR) , soit 3 l'endomorphisme autoadjoint de R" et soit x le vecteur de R" de matrices S et X qui vérifient: pour tout X non nul de M n .] relativement à la base @ . On a donc rXSX = (x's(x)) . Partie II Racine carrée d'une matrice de S ; Soit S E S,, (IR) . On note /\1, ..., /\n les 11 valeurs propres réelles de S comptées autant de fois que leur ordre de multiplicité. Soit (Xl, ..., X,,) une base orthonormale de M...](R) formée de vec-- teurs propres de S avec : pour tout i E |[l,n]], SX, = À,X, . 11.1. On veut montrer que S E S; si et seulement si pour tout i E [[l,n]] , on a À,- 2 O. 11.1.1. On suppose que S G SÏ . Montrer que pour tout i E [[l,n]] , on a À,- Z 0. 11.12. On suppose que pour tout i E [[l,n]] on a A,- Z 0. Montrer que S E S; . On montre de même, et on admettra, qu'une matrice S E Sn (IR) appartient à S,Î+ si et seu-- lement si ses valeurs propres sont strictement positives. 11.1.3. On suppose que S G S:+ et donc que pour tout i E [[l,n]] , À,--> 0. Montrer que S est in-- versible et que son inverse S _] E S "+ + . 11.2. On suppose de plus que S E S; . 11.2.1. Soient D = diag(Àl ,...,Àn) et A : diag(\/ÀÎ,...,\/ÀÎ) ,calculer A2 . On suppose que N E S; vérifie N 2 = D. On note (C1, ..., C,,) la base canonique de M... (R) où C; est la matrice colonne dont le coefficient de la ligne i est égal à 1 et dont les autres coefficients sont nuls. Soient Y = E y,C, et ,a E lR avec ,u 20 tels que NY = ,uY. Montrer i=l que pour tout i E [[l,n]] , on a p.2y, = À,y. puis ,uy, = \/XY.< . En déduire que N = A . 1122. Soit U EURO(n) telle que S =UD'U . Déterminer une matrice TES"+ telle que T2 = S . Montrer que T est unique. On notera T = JS l'unique matrice T de Sj telle que T2 = S . 11.3. Une détermination de \/S . On suppose que S G S; et que )... ..., )... sont les valeurs propres de S. On note 0 g ,u,<- - -<,u.p les valeurs propres distinctes de S. Pour k EUR [[1, p]] , on définit les po-- lynômes d'interpolation de Lagrange aux points ul, ., up par : " (a -- u,) pour tout k EUR [[l,p]] et tout a E , L,((a) = H . j=l (N}. _Mj) j=k 11.3.1. Pour iEUR [[l,n]], calculer Lk(S)X,. en distinguant les cas ,uk = )\i et pk = A,. (on rap-- pelle que les X ,. définis au début de la partie Il, appartiennent à une base orthonormale de vecteurs propres de S avec : pour tout iEUR [[l,n]], SX]. = /\iX,. ). 1132. Soit P le polynôme de degré inférieur ou égal à p--l, à coefficients réels tel que : pour tout k EUR [[1, p]] , P(,uk) = Æ . Exprimer P comme une combinaison linéaire des poly-- nômes Lk . Calculer P(S)Xi et en déduire que P(S) EUR S,Î . Montrer que P(S) = x/Ë . 7 2 --2 11.3.3. En application des questions précédentes, on prend S = 2 4 --l . Montrer que --2 -- 1 4 S EUR S3+ . Exprimer \/E comme une combinaison linéaire des matrices S et 13 = diag(l,l,l) . Partie III Une propriété de la trace des matrices de S; 111.1. Soit 3 EUR 5; . III.1.1. On considère la matrice 6 : diag(al,...,an) avec : pour tout iEUR [[l,n]], ai 20. Soit V = (v....) EUR O(n) . Montrer que tr(ôV) £ tr(6) . III.1.2. En déduire que pour tout U EUR O(n) , on a : tr(S U ) £ tr(S ) . III.2. Réciproque de la propriété III.]. Soit A = (a... ) EUR 9Vln( )telle que pour tout U EUR 001) , on a tr(AU ) S tr(A) . On veut montrer que A EUR 8; . 11121. Un lemme technique. Soient a, b, 9 des réels. Montrer qu'il existe un réel go indé-- pendant de 0, tel que a cos(9) + b sin(9) = \/a2 + b2 sin(0 + lx) . À quelle condition sur x a--t--on égalité ? IV.2. On considère le polynôme P défini sur R par : Va E R, P(a) = a2 --(À1+À")a +À1Àn . Pour chaque i E [[l,n]] , déterminer le signe de P(À,) . Soit v l'endomorphisme de R" défini par v = --P(s)os"' . Soit x EUR %" , x = 0 , tel que s(x) = /\ix. Calculer v(x) et montrer que x est vecteur propre de v. En déduire que la matrice V de v relativement àla base @ vérifie V E S; . IV.3. Soit x un vecteur non nul de R" . On considère le polynôme Q défini sur R par : Vae EUR,Q(a -- 2 a+(s_l(x)lx)ÀlÀn. Déterminer le signe de Q(O) et celui de Q(l) . En déduire l'inégalité (2) : @ +--À") M (2) (s(s*(x)lx)< 4M IV.4. On suppose que A <À . Soient v' et vn des vecteurs de norme 1 tels que s(v,)=À,vl et s(v )= /\ v Soit x-- -- v +v Calculer les produits scalaires (s(x)|x) et (s_l(x)|x) . Montrer que le nil vecteur x vérifie l'égalité dans l'inégalité (2). Fin de l'énoncé

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 CCP Maths 2 PSI 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Nicolas Weiss (Professeur agrégé) ; il a été relu par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Dans ce sujet, certains aspects de la classification des formes quadratiques, et des quadriques correspondantes, sont mis en relation avec des propriétés du spectre et de la trace des endomorphismes autoadjoints associés. Le sujet comporte quatre parties de difficultés équivalentes. Les parties II et III sont intimement liées tandis que les parties I et IV se traitent de façon indépendante. · La première partie élabore une typologie de l'ensemble des vecteurs de Rn tels que (s(x) | x) = 1, suivant le signe des valeurs propres d'un endomorphisme autoadjoint s de Rn . Deux exemples pratiques sont traités au préalable ; ils illustrent le lien entre les valeurs propres d'un endomorphisme autoadjoint de R2 et le type de conique qui lui correspond. · La deuxième partie explore d'abord le lien entre valeurs propres d'un endomorphisme autoadjoint et positivité de la forme bilinéaire symétrique correspondante. Une étude classique mais approfondie de la racine carrée d'une matrice symétrique positive réelle est ensuite entreprise. · La troisième partie donne une autre caractérisation des matrices symétriques positives réelles, par une propriété de minoration de leur trace. · La quatrième partie enfin, s'intéresse au problème initial en partant d'un autre point de vue. Plutôt que de se demander si l'ensemble des points de s-norme constante est compact, on observe la croissance du produit (s(x) | x)(s-1 (x) | x) dans le cas des formes bilinéaires positives, et on établit une relation de la forme (s(x) | x)(s-1 (x) | x) = O(kxk4 ) L'approche adoptée par ce sujet est classique. Elle nécessite surtout une connaissance précise et approfondie des éléments du programme qui concernent la réduction des endomorphismes, la théorie spectrale dans le cas réel, et les coniques. Indications Partie I I.1.1 Utiliser le polynôme caractéristique de S et la matrice de l'endomorphisme s dans une base orthonormale de vecteurs propres. I.1.2 Même démarche. I.2.1 Pour montrer que est borné, utiliser le signe des valeurs propres de s. I.2.2.1 Même démarche. Partie II t II.1.1 Calculer Xi SXi pour tout i [[ 1 ; n ]]. II.1.3 Utiliser le fait que S est symétrique réelle, donc diagonalisable dans une base orthonormée. II.2.1 Montrer que les applications linéaires qui correspondent à et N dans la base canonique coïncident sur une base de vecteurs propres de N. II.2.2 Déduire T de par conjugaison puis utiliser le résultat de la question II.2.1. II.3.2 Le vecteur propre Xi de P(S) est associé à la valeur propre i . II.3.3 Utiliser la formule de P(S) de la question II.3.2. Partie III III.1.1 On pourra majorer les réels |vi,j | par une constante. III.1.2 Utiliser la diagonalisabilité de S dans une base orthonormée. III.2.1 Considérer la forme trigonométrique du nombre complexe b + ia. III.2.2 S'appuyer sur la dernière assertion de la question III.2.1. III.2.3 Utiliser le lien entre la trace d'une matrice carrée et son spectre. Partie IV IV.1 Utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz et relier kt(x)k et (s(x) | x). IV.2 Factoriser P. IV.3 Utiliser le signe de P(i ) et décomposer le vecteur x dans une base orthonormale adaptée de vecteurs propres de T. IV.4 Ne pas chercher d'astuce à cette question. Attention : si vous souhaitez l'utiliser, il faut justifier l'orthogonalité des vecteurs v1 et vn . Les conseils du jury Le rapport du jury insiste sur la présentation des copies : « faire ressortir les résultats est essentiel ! Pour une bonne lisibilité des copies, les étudiants doivent éviter un excès de ratures et une utilisation abusive du blanc correcteur. » Il recommande également aux candidats « de donner tous les arguments qui justifient les démonstrations. Ces arguments sont indispensables aux correcteurs pour évaluer les connaissances et juger la qualité des raisonnements des étudiants, et donc pour leur attribuer le maximum de points sur les questions traitées. » I. Étude de compacité I.1.1 Les valeurs propres de la matrice S sont les racines de son polynôme caractéristique S = det(S - XI2 ) = X2 - (Tr S) X + det S = X2 - 6X + 5 = (X - 1)(X - 5) Les valeurs propres sont donc 1 et 5. Cherchons le sous-espace propre de S associé à la valeur propre 1. 2 3 x1 x1 = SX = X x2 x2 3 4 2x 1 + 3x2 = x1 3x1 + 4x2 = x2 SX = X x1 = - 3x2 Le sous-espace propre de S associé à la valeur propre 1 est ainsi engendré par le t vecteur v1 = (- 3/2, 1/2) choisi pour être de norme 1. Comme S est symétrique, elle admet une base orthonormée de vecteurs propres. Le sous-espace propre de S associé à la valeur propre 5 est donc engendré par le t vecteur v5 = (1/2, 3/2), orthogonal à v1 et normé. Les valeurs propres de S sont 1 et 5 et leurs sous-espaces propres sont les droites vectorielles respectivement dirigées par t t v1 = (- 3/2, 1/2) et v5 = (1/2, 3/2) Calculons (x | s(x)) = (x1 e1 + x2 e2 | (2x1 + 3x2 )e1 + ( 3x1 + 4x2 )e2 ) car (e1 | e2 ) = 0 = x1 (2x1 + 3x2 ) + x2 ( 3x1 + 4x2 ) (x | s(x)) = 2x21 + 2 3x1 x2 + 4x22 t On pouvait écrire aussi directement (x | s(x)) = (x1 , x2 )S (x1 , x2 ). Dans la base orthonormée (v1 , v5 ), la matrice de l'endomorphisme s est diag(1, 5). Si l'on décompose le vecteur x de R2 en x = y1 v1 + y5 v5 dans cette base, on peut recalculer (x | s(x)) : (x | s(x)) = 1 y12 + 5 y52 L'ensemble est ainsi défini par l'équation y12 + 5y52 = 1 dans la base (v1 , v5 ). C'est l'équation réduite d'une ellipse dont les axesprincipaux sont dirigés par v1 et v5 et dont les demi-longueurs des axes sont 1 et 1/ 5 respectivement. L'ensemble est une ellipse d'équation réduite donnée par y12 + 5y52 = 1 dans le repère (v1 , v5 ). Le rapport du jury rappelle qu'il fallait tracer l'ellipse dans le repère R plutôt que dans le repère propre. 1,0 b - 3/2 0,5 v1 -1,0 b v5 / 5 b -1,5 b -0,5 0,5 1,0 1,5 -0,5 -1,0 I.1.2 On procède de façon analogue à la question précédente : les valeurs propres de la matrice S sont les racines de son polynôme caractéristique S = det(S - XI2 ) = X2 - (Tr S) X + det S = X2 - 6X = X(X - 6) Les valeurs propres sont donc 0 et 6. Cherchons le sous-espace propre de S associé à la valeur propre 0. x1 2 2 2 =0 SX = 0 x2 2 2 4 2x 1 + 2 2x2 = 0 2 2x1 + 4x2 = 0 SX = 0 x1 = - 2x2 Le sous-espace propre de S associé à la valeur propre 0 est ainsi engendré par le t vecteur v0 = (- 2/ 3, 1/ 3) choisi pour être de norme 1. Ici encore, tout vecteur orthogonal à v0 est un générateur du sous-espace propre t de S associé à la valeur propre 6, et on choisit v6 = (1/ 3, 2/ 3)) qui est normé. Les valeurs propres de S sont 0 et 6 et leurs sous-espaces propres sont les droites vectorielles dirigées respectivement par t t v0 = (- 2/ 3, 1/ 3) et v6 = (1/ 3, 2/ 3). Dans la base orthonormée (v6 , v0 ), la matrice de l'endomorphisme s est diag(6, 0). Si l'on décompose le vecteur x R2 en x = y6 v6 + y0 v0 dans cette base, on peut calculer (x | s(x)) = 6y62 L'ensemble est ainsi défini parl'équation 6y62 = 1 dans la base (v6 , v0 ). Cette équation est équivalente à y6 = + - 1/ 6. Comme le choix de la coordonnée suivant v0 est libre, on a affaire à deux droites parallèles et symétriques par rapport à la droite dirigée par le vecteur v0 .