CCINP Maths 2 PSI 2011

Thème de l'épreuve Propriétés des endomorphismes autoadjoints
Principaux outils utilisés compacité, réduction de matrices symétriques, polynômes de Lagrange
Mots clefs endomorphisme autoadjoint, valeur propre, conique, quadrique, théorie spectrale, réduction d'endomorphismes, compacité, trace, racine carrée

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SESSION 2011

PSIM206

A

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives

qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet comporte 7 pages.

Notations

On désigne par R l'ensemble des nombres réels, par N l'ensemble des entiers 
naturels et

par N* l'ensemble N privé de 0.

Dans tout le problème n est un entier de N'" . On note |Il,n]] l'ensemble des 
entiers k tels que

1 5 k S n . Dans l'ensemble des matrices à coefficients réels, on note 9Vlfl(R) 
l'espace vectoriel réel

des matrices carrées à n lignes, Sn (R) l'ensemble des matrices symétriques de 
M,(R) et M...(R)

l'espace vectoriel réel des matrices colonnes à n lignes. O(n) désigne le 
groupe des matrices ortho--

gonales de Win (R) .

On rappelle que toute matrice de S"(
avec une matrice de passage orthogonale.

) est semblable à une matrice diagonale de .'Mn(

EUR),

On note diag(oel ,...,an) la matrice diagonale de MH (JR) qui admet pour 
coefficients diago--

naux les réels o... ..., an dans cet ordre. L'écriture A = (a....) signifie que 
a. j est le coefficient de la

ligne i et de la colonne j de la matrice A. On note 'A la matrice transposée de 
la matrice A et tr(A)

la trace de la matrice carrée A.

Dans tout le problème, on considère l'espace euclidien {" rapporté à une base 
orthonormale

@ = (61 ,...,en) . Le produit scalaire de deux vecteurs x = Exiei et y = E yiei 
est noté (xiy) = E x y,.
i=l i=l

i=l

et "x" désigne la norme du vecteur x. Soient X et Y1es matrices de M... (R) des 
composantes de x et

y dans @, le produit 'XY appartient à % (R) et son unique coefficient est 
(x|y). On écrira

(xly) = 'XY qui est le produit scalaire canonique des matrices X et Yde % (R) .

H .]

Objectifs

Dans le problème, on définit les ensembles SÎ (respectivement Sj+) des matrices 
symé--

triques positives (respectivement des matrices symétriques définies positives) 
ainsi que les endo--
morphismes autoadjoints associés et on en donne quelques propriétés.
Dans la première partie, on traite deux exemples et on démontre une propriété 
de compacité

d'une partie de &" liée au signe des valeurs propres d'un endomorphisme 
autoadjoint.
Dans les deux parties suivantes, on définit les ensembles S: et ST" et on 
démontre diffé--

rentes propriétés de leurs éléments : caractérisation par le signe des valeurs 
propres, racine carrée,
propriété de la trace.
Dans la dernière partie, on fait établir des inégalités vérifiées par les 
endomorphismes auto--

adjoints associés aux matrices de Sf" . Les parties III et IV sont 
indépendantes l'une de l'autre.

Partie 1

Étude de compacité

Il

L'espace euclidien est rapporté à une base orthonormale @ = (el,...,e") . Soit 
s un endo--

morphisme autoadjoint de R" . On considère l'ensemble 2 = {x E R"; (xls (x)) = 
l} .

1.1. Dans cette question, on suppose n = 2 . On considère le plan euclidien 
muni du repère ortho--
normal R = (O,e1 ,e2) où 0 est un point du plan. À tout vecteur x = xle1 + x2e2 
de R2, on associe le
point M du plan de coordonnées (xl,x2) dans le repère Q{. On note 0" l'ensemble 
des points du

plan ainsi associés aux vecteurs de 2. Soit S la matrice de l'endomorphisme s 
relativement à la
base @.

2 \/5

1.1.1. On suppose que S = . Déterminer les valeurs propres et les sous--espaces

«B 4

propres de la matrice S. Pour x = xlel --l--x2e2 dans R2 , calculer le produit 
scalaire (xis(x)) .

Montrer que l'ensemble 0 est une ellipse dont on donnera une équation réduite. 
Tracer cette
ellipse dans le plan euclidien muni du repère Q{ .

1.1.2. On suppose que S = . Déterminer les valeurs propres de S. Déterminer

22«/î
2fi4

l'ensemble O' et tracer cet ensemble dans le plan euclidien muni du repère Q{ .

1.2. On suppose n entier quelconque de N*. On note )... ..., )... les n valeurs 
propres réelles (dis--
tinctes ou confondues) de s, chaque valeur propre figurant avec son ordre de 
multiplicité. On veut

montrer que E est une partie compacte de R" si et seulement si tous les A,-- 
sont strictement positifs.

On ordonne les À,-- dans l'ordre croissant, À. S ---SÀn, et on considère une 
base orthonormale

(51, ..., EUR,.) de &" formée de vecteurs propres de s avec, pour tout i E 
[[],n]] , s(5i) = Ài5i .

1.2.1. On suppose À1 > 0. Pour x = EG,-8. EUR {" , calculer (xis(x)) . Montrer 
que l'ensemble
i=l

2 n'est pas vide. Montrer que 2 est une partie bornée de R". Montrer que 
l'application

XI--> (x's(x)) de R" dans R est continue. En déduire que 2 est une partie 
compacte de

R".
1.2.2. On suppose que 2 est une partie compacte non vide de R" .

I.2.2.1. Montrer que l'inégalité À" 5 0 est impossible.

1222. On suppose Al 5 0 et A,, > 0 et, pour tout r EUR R, on considère le 
vecteur

l-- Àlr2
en .
À

11

xr=rel+

Montrer que xr EUR 2 . Calculer er-"2 et déterminer sa limite lorsque r tend 
vers +oo .

En déduire une contradiction avec l'hypothèse E compacte.

Dans la suite du problème, on note S ; (respectivement Sj+) l'ensemble des 
matrices S de Sn( &)
(R), 'XSX 20 (respectivement 'XSX >0). Pour

S E Sn (IR) , soit 3 l'endomorphisme autoadjoint de R" et soit x le vecteur de 
R" de matrices S et X

qui vérifient: pour tout X non nul de M

n .]

relativement à la base @ . On a donc rXSX = (x's(x)) .

Partie II

Racine carrée d'une matrice de S ;

Soit S E S,, (IR) . On note /\1, ..., /\n les 11 valeurs propres réelles de S 
comptées autant de fois

que leur ordre de multiplicité. Soit (Xl, ..., X,,) une base orthonormale de 
M...](R) formée de vec--

teurs propres de S avec : pour tout i E |[l,n]], SX, = À,X, .
11.1. On veut montrer que S E S; si et seulement si pour tout i E [[l,n]] , on 
a À,- 2 O.
11.1.1. On suppose que S G SÏ . Montrer que pour tout i E [[l,n]] , on a À,- Z 
0.

11.12. On suppose que pour tout i E [[l,n]] on a A,- Z 0. Montrer que S E S; .

On montre de même, et on admettra, qu'une matrice S E Sn (IR) appartient à S,Î+ 
si et seu--
lement si ses valeurs propres sont strictement positives.

11.1.3. On suppose que S G S:+ et donc que pour tout i E [[l,n]] , À,--> 0. 
Montrer que S est in--

versible et que son inverse S _] E S "+ + .

11.2. On suppose de plus que S E S; .

11.2.1. Soient D = diag(Àl ,...,Àn) et A : diag(\/ÀÎ,...,\/ÀÎ) ,calculer A2 .

On suppose que N E S; vérifie N 2 = D. On note (C1, ..., C,,) la base canonique 
de M... (R)

où C; est la matrice colonne dont le coefficient de la ligne i est égal à 1 et 
dont les autres
coefficients sont nuls. Soient Y = E y,C, et ,a E lR avec ,u 20 tels que NY = 
,uY. Montrer
i=l

que pour tout i E [[l,n]] , on a p.2y, = À,y. puis ,uy, = \/XY.< . En déduire que N = A . 1122. Soit U EURO(n) telle que S =UD'U . Déterminer une matrice TES"+ telle que T2 = S . Montrer que T est unique. On notera T = JS l'unique matrice T de Sj telle que T2 = S . 11.3. Une détermination de \/S . On suppose que S G S; et que )... ..., )... sont les valeurs propres de S. On note 0 g ,u,<- - -<,u.p les valeurs propres distinctes de S. Pour k EUR [[1, p]] , on définit les po-- lynômes d'interpolation de Lagrange aux points ul, ., up par : " (a -- u,) pour tout k EUR [[l,p]] et tout a E , L,((a) = H . j=l (N}. _Mj) j=k 11.3.1. Pour iEUR [[l,n]], calculer Lk(S)X,. en distinguant les cas ,uk = )\i et pk = A,. (on rap-- pelle que les X ,. définis au début de la partie Il, appartiennent à une base orthonormale de vecteurs propres de S avec : pour tout iEUR [[l,n]], SX]. = /\iX,. ). 1132. Soit P le polynôme de degré inférieur ou égal à p--l, à coefficients réels tel que : pour tout k EUR [[1, p]] , P(,uk) = Æ . Exprimer P comme une combinaison linéaire des poly-- nômes Lk . Calculer P(S)Xi et en déduire que P(S) EUR S,Î . Montrer que P(S) = x/Ë . 7 2 --2 11.3.3. En application des questions précédentes, on prend S = 2 4 --l . Montrer que --2 -- 1 4 S EUR S3+ . Exprimer \/E comme une combinaison linéaire des matrices S et 13 = diag(l,l,l) . Partie III Une propriété de la trace des matrices de S; 111.1. Soit 3 EUR 5; . III.1.1. On considère la matrice 6 : diag(al,...,an) avec : pour tout iEUR [[l,n]], ai 20. Soit V = (v....) EUR O(n) . Montrer que tr(ôV) £ tr(6) . III.1.2. En déduire que pour tout U EUR O(n) , on a : tr(S U ) £ tr(S ) . III.2. Réciproque de la propriété III.]. Soit A = (a... ) EUR 9Vln( )telle que pour tout U EUR 001) , on a tr(AU ) S tr(A) . On veut montrer que A EUR 8; . 11121. Un lemme technique. Soient a, b, 9 des réels. Montrer qu'il existe un réel go indé-- pendant de 0, tel que a cos(9) + b sin(9) = \/a2 + b2 sin(0 + lx) .

À quelle condition sur x a--t--on égalité ?

IV.2. On considère le polynôme P défini sur R par :

Va E R, P(a) = a2 --(À1+À")a +À1Àn .

Pour chaque i E [[l,n]] , déterminer le signe de P(À,) .

Soit v l'endomorphisme de R" défini par v = --P(s)os"' . Soit x EUR %" , x = 0 
, tel que s(x) = /\ix.

Calculer v(x) et montrer que x est vecteur propre de v. En déduire que la 
matrice V de v relativement
àla base @ vérifie V E S; .

IV.3. Soit x un vecteur non nul de R" . On considère le polynôme Q défini sur R 
par :

Vae EUR,Q(a --

2 a+(s_l(x)lx)ÀlÀn.

Déterminer le signe de Q(O) et celui de Q(l) . En déduire l'inégalité (2) :

@ +--À") M

(2) (s(s*(x)lx)< 4M IV.4. On suppose que A <À . Soient v' et vn des vecteurs de norme 1 tels que s(v,)=À,vl et s(v )= /\ v Soit x-- -- v +v Calculer les produits scalaires (s(x)|x) et (s_l(x)|x) . Montrer que le nil vecteur x vérifie l'égalité dans l'inégalité (2). Fin de l'énoncé