CCINP Maths 2 PSI 2010

SESSION 20 10 PSIM206

A

concours communs Ponncamou:s

EPREUVE SPECIFIQÜE -- FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

****

Le candidat atta chera la plus grande importance à la clarté, à la précision et 
à la concision de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'énoncé, il le signalera sur sa copie et
devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 
'il a été amené à prendre.

****

Le sujet comporte 5 pages.

Notations
On désigne par R l'ensemble des nombres réels, par N l'ensemble des nombres 
entiers

naturels et par N * l'ensemble N privé de O.
Etant donné un endomorphisme ] d'un espace vectoriel de dimension finie, on 
note det(l) son

déterminant, tr(l) sa trace et x, son polynôme caractéristique. En notant id 
l'endomorphisme

identité, on définit ]0 : id et, pour tout lc dans N , l... =-- l o l" .

On note K[X ] l'ensemble des polynômes à une indéterminée et à coefficients dans
K.--.--...----... lliäouC.

Objectifs

Etant donné un vecteur non nul u et un endomorphisme ] d'un espace vectoriel de 
dimension
finie, on définit un entier r(l, u) a partir des itérés du vecteur par 
l'endomorphisme. Le
problème porte sur l'étude de propriétés de l'endomorphisme, liées à la valeur 
de l'entier
r(l,u).

Dans la première partie, on traite un exemple dans le cas relativement 
élémentaire de l'espace
vectoriel RZ . Une première structure euclidienne permet d'obtenir les 
coordonnées des itérés
d'un vecteur par l'endomorphisme ; une deuxième structure euclidienne permet de 
montrer
que des points du plan, déduits des vecteurs précédents, sont sur une ellipse.

Dans la deuxième partie, on fait établir des résultats généraux sur les 
endomorphismes
étudiés.

Les deux parties sont indépendantes l'une de l'autre.

SESSION 20 10 PSIM206

A

concours communs Ponncamou:s

EPREUVE SPECIFIQÜE -- FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

****

Le candidat atta chera la plus grande importance à la clarté, à la précision et 
à la concision de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'énoncé, il le signalera sur sa copie et
devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 
'il a été amené à prendre.

****

Le sujet comporte 5 pages.

Notations
On désigne par R l'ensemble des nombres réels, par N l'ensemble des nombres 
entiers

naturels et par N * l'ensemble N privé de O.
Etant donné un endomorphisme ] d'un espace vectoriel de dimension finie, on 
note det(l) son

déterminant, tr(l) sa trace et x, son polynôme caractéristique. En notant id 
l'endomorphisme

identité, on définit ]0 : id et, pour tout lc dans N , l... =-- l o l" .

On note K[X ] l'ensemble des polynômes à une indéterminée et à coefficients dans
K.--.--...----... lliäouC.

Objectifs

Etant donné un vecteur non nul u et un endomorphisme ] d'un espace vectoriel de 
dimension
finie, on définit un entier r(l, u) a partir des itérés du vecteur par 
l'endomorphisme. Le
problème porte sur l'étude de propriétés de l'endomorphisme, liées à la valeur 
de l'entier
r(l,u).

Dans la première partie, on traite un exemple dans le cas relativement 
élémentaire de l'espace
vectoriel RZ . Une première structure euclidienne permet d'obtenir les 
coordonnées des itérés
d'un vecteur par l'endomorphisme ; une deuxième structure euclidienne permet de 
montrer
que des points du plan, déduits des vecteurs précédents, sont sur une ellipse.

Dans la deuxième partie, on fait établir des résultats généraux sur les 
endomorphismes
étudiés.

Les deux parties sont indépendantes l'une de l'autre.

PARTIE I

Soit 6 un nombre réel tel que 0 < 9 < 7r et 9 i Î--. 2 1.1. Dans cette question, on considère l'espace vectoriel euclidien orienté RZ rapporté à une base orthonormale directe 8 = (51,52). Étant donné deux vecteurs u et v de R2 , on note (u ! v) leur produit scalaire et "a" la norme du vecteur u. On définit les vecteurs v1 :S, et v2 =cos(9)e,+sin(9)e2 et on considère la base --1 0 V : (v,,v,) de R2 . Soit ! l'endomorphisme de R2 de matrice M = 1 2cos(9) ] relativement à la base V. 1.1.1. Déterminer le polynôme caractéristique de l. En déduire les valeurs propres réelles ou complexes de l . 1.1.2. Soit v : x,v1 +x,v2 un vecteur quelconque de R2. Calculer "v"2 et ||l(v)ll2 . En déduire que l est un automorphisme orthogonal de R2 . 1.1.3. Déterminer la matrice de passage Pde la base 5 à la base V ainsi que la matrice inverse P"1 . On note M ' la matrice de l'endomorphisme ! relativement à la baseEUR . Exprimer M ' en fonction des matricesP , P"1 et M . Donner l'expression de M ' et caractériser l'endomorphisme ! . 1.1.4. Le vecteur v,vérifie v2 : l(v,) . Pourk E N , k 2 3 , on définit les vecteurs vk par vk : l(vk_l) . Pourk E N* , on note vk : a... +bkv2. 1.1.4.1. En calculant de deux façons "vk"2 , déduire de 1.1.2 une relation entre ak , bk et cos(6) . 1.1.4.2. Justifier que, pour k EUR N*, on a (v1 | vk) : cos((k--l)9) ; en déduire la valeur de (v2 |vk). 1.1.4.3. En utilisant les produits scalaires (v1 } vk) et (v2 | Vk) , donner un système linéaire de deux équations à deux inconnues a k et bk . sin((k --2)9) et bk : sin((k -- l)9) . Montrer que ak = -- _ . s1n(9) sm(9) 1.2. Dans cette question, on prend la base précédente V = (v,,v,) comme base canonique de l'espace vectoriel RZ . Étant donné deux vecteurs v : x,v1 + x,v2 et v' : x'1 v1 + x'2 v2 , on définit le produit scalaire canonique de R2 par : (v,v') E R2 >< RZ +--> xlx H" 
x,x'2 E R .

La base V est alors une base orthonormale pour ce produit scalaire.

On considère le plan euclidien muni du repère orthonormal YR = (O,v,,v,) où 0 
est un point
du plan. Pour tout k E N* , on note Ak les points du plan de coordonnées 
(ak,bk) dans le repère

ÏR , où ak et bk sont les réels donnés dans 1.1.4.

1.2.1. On note (x, y) les coordonnées d'un point du plan. Déterminer trois 
réels p, q, r
tels que la conique d'équation px2 + qu + 022 = 1 passe par les points A1 , A2 
et A3.

Montrer que tous les points Ak sont sur cette conique (on pourra utiliser 
1.1.4.1.).

1.2.2. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice

Q=[ 1 cos(9)

. En déduire la nature de la conique.
cos(9) ]

7r , . , . . .
On prend 9 = --3-- . Donner une equation redurte de la conique et tracer cette 
conrque

dans le plan euclidien muni du repère ÊR .

PARTIE 11

Dans cette partie, E est un espace vectoriel de dimension n sur le corps K, 
avec n 2 2 et l est
un endomorphisme de E.

11.1. Soit u un vecteur non nul de E.

11.1.]. Montrer qu'il existe un entier kEUR N*tel que la famille de vecteurs
(u,!(u),...,l"(u)) soit liée. Justifier qu'il existe un plus petit entier k E 
N* tel que la

famille de k+l vecteurs (u,!(u),...,l" (a)) soit liée. On note r(l,u) ce plus 
petit entier.
11.1.2. Justifier l'encadrement 1 _<_ r(l,u) _<_ n. 11.1.3. Montrer que r(l,u) : l , si et seulement si u est un vecteur propre de l . Montrer que r(l,u) : n , si et seulement si la famille (u,! (u),...,l""1 (a)) est une base de E. 11.2. Un exemple. Dans cette question, on suppose n = 4 et on note 88 : (el,ez,e3,e4) une base de E. 1 2 0 --1 . \ . , , _ 1 --2 1 1 On cons1dere l'endomorph1sme f de E represente par la matrice Mat.B (f) = 1 6 4 1 1 --8 3 3 relativement à la base % . Calculer det(f ) et tr( f ). Montrer que la famille (el, f (el), f 2(61 )) est libre. Déterminer trois réels x, y, 2 tels que f'(el) : xf2(el)+yf(el)+ze1 . En déduire r(f,el) . On reprend le cas général où E est un espace vectoriel de dimension n 2 2 et l un endomorphisme de E. Soit u un vecteur non nul de E. 11.3. On suppose r(l,u) : n . D'après II.1.3., la famille OE(u) : (u,!(u),...,l"_l(u)) est une base n--l de E. On note l"(u) = Zaklk(u) . k=0 11.3.1. Déterminer la matrice Matoew(l) de l'endomorphisme ! relativement à la base %(u) . Calculer det(l) et tr(l). 11.3.2. Déterminer X,(À) : det(l -- Aid) , le polynôme caractéristique de l'endomorphisme ! (on pourra calculer ce déterminant en ajoutant à la première ligne, une combinaison linéaire des autres lignes; opération codée L1 <---- L1 +ZÀ'"LÎ où i=2 L; est la ligne d'indice i). 11.4. On note I(l,u) l'ensemble des polynômes PEK[X ] tels que l'endomorphisme P(l) vérifie P(l)(u) : 0 . II.4.1. Montrer que l'ensemble I(l,u) est un idéal de K [X ]. En déduire qu'il existe un unique polynôme unitaire, noté G(l,u), tel que I(l,u) est formé de tous les polynômes produit du polynôme G(l, u) par un polynôme quelconque de K [X ] . II.4.2. Justifier que le polynôme G(l,u) divise le polynôme X;- Montrer que le polynôme G(l, u) est de degré r(l, u) . 11.4.3. On reprend l'exemple 11.2. Déterminer le polynôme G( f ,el). En déduire le polynôme caractéristique de f puis les valeurs propres de f. Dans la question 11.2. on montre que la famille (el, f (el), f 2(e1 )) est libre ; en utilisant ce résultat et le spectre def, en déduire que l'endomorphisme f n'est pas diagonalisable. II.4.4. On suppose que l'endomorphisme ! et le vecteur u vérifient les hypothèses de la n--l question 11.3. : r(l,u)=n et l"(u) : Zaklk (u). k=0 Déterminer le polynôme G(l,u) et retrouver ainsi l'expression du polynôme caractéristique de l'endomorphisme [. ILS. Dans cette question, on suppose qu'il existe un entier p E N* tel que l'" = 0 . II.5.1. Déterminer le polynôme caractéristique de !. II.5.2. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (1) Il existe un vecteur non nul u tel que r(l,u) : n (2) l""1 x 0 . 11.6. On suppose que l'endomorphisme ! est diagonalisable. Soit W= (WI, w2,..., W") une base de vecteurs propres de E avec pour tout k EUR [[1, n]] , l(wk) : Àkwk . II.6.1. On suppose qu'il existe un vecteur non nul u de E tel que r(l,u) : n et on considère la base de E: OE(u) : (u,!(u),...,1""'(u)). On note u : Zkak . Ecrire la k=l matrice de passage de la base Wà la base OE(u). En déduire que les valeurs propres de I sont toutes distinctes. ' II.6.2. On suppose que les valeurs propres Àk de 1 sont toutes distinctes. 1 Al /\l"--1 1 ,\ À""' &" II.6.2.1. On considère la matrice A = _ _2 2_ et on note C = 1 ,\ ,\"--1 a""' une matrice colonne telle que le produit AC : 0. Montrer que le polynôme n--l P(X)=Zaka est le polynôme nul. En déduire que la matrice A est k=O inversible. II.6.2.2. Montrer qu'il existe un vecteur u de E, non nul, tel que r(l,u) = n . Fin de l'énoncé.