CCP Maths 2 PSI 2010

Thème de l'épreuve Étude des itérés d'un endomorphisme en dimension finie
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, réduction d'endomorphismes
Mots clefs itérés d'un endomorphisme, matrice compagnon

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 20 10 PSIM206 A concours communs Ponncamou:s EPREUVE SPECIFIQÜE -- FILIERE PSI MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. **** Le candidat atta chera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. **** Le sujet comporte 5 pages. Notations On désigne par R l'ensemble des nombres réels, par N l'ensemble des nombres entiers naturels et par N * l'ensemble N privé de O. Etant donné un endomorphisme ] d'un espace vectoriel de dimension finie, on note det(l) son déterminant, tr(l) sa trace et x, son polynôme caractéristique. En notant id l'endomorphisme identité, on définit ]0 : id et, pour tout lc dans N , l... =-- l o l" . On note K[X ] l'ensemble des polynômes à une indéterminée et à coefficients dans K.--.--...----... lliäouC. Objectifs Etant donné un vecteur non nul u et un endomorphisme ] d'un espace vectoriel de dimension finie, on définit un entier r(l, u) a partir des itérés du vecteur par l'endomorphisme. Le problème porte sur l'étude de propriétés de l'endomorphisme, liées à la valeur de l'entier r(l,u). Dans la première partie, on traite un exemple dans le cas relativement élémentaire de l'espace vectoriel RZ . Une première structure euclidienne permet d'obtenir les coordonnées des itérés d'un vecteur par l'endomorphisme ; une deuxième structure euclidienne permet de montrer que des points du plan, déduits des vecteurs précédents, sont sur une ellipse. Dans la deuxième partie, on fait établir des résultats généraux sur les endomorphismes étudiés. Les deux parties sont indépendantes l'une de l'autre. SESSION 20 10 PSIM206 A concours communs Ponncamou:s EPREUVE SPECIFIQÜE -- FILIERE PSI MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. **** Le candidat atta chera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. **** Le sujet comporte 5 pages. Notations On désigne par R l'ensemble des nombres réels, par N l'ensemble des nombres entiers naturels et par N * l'ensemble N privé de O. Etant donné un endomorphisme ] d'un espace vectoriel de dimension finie, on note det(l) son déterminant, tr(l) sa trace et x, son polynôme caractéristique. En notant id l'endomorphisme identité, on définit ]0 : id et, pour tout lc dans N , l... =-- l o l" . On note K[X ] l'ensemble des polynômes à une indéterminée et à coefficients dans K.--.--...----... lliäouC. Objectifs Etant donné un vecteur non nul u et un endomorphisme ] d'un espace vectoriel de dimension finie, on définit un entier r(l, u) a partir des itérés du vecteur par l'endomorphisme. Le problème porte sur l'étude de propriétés de l'endomorphisme, liées à la valeur de l'entier r(l,u). Dans la première partie, on traite un exemple dans le cas relativement élémentaire de l'espace vectoriel RZ . Une première structure euclidienne permet d'obtenir les coordonnées des itérés d'un vecteur par l'endomorphisme ; une deuxième structure euclidienne permet de montrer que des points du plan, déduits des vecteurs précédents, sont sur une ellipse. Dans la deuxième partie, on fait établir des résultats généraux sur les endomorphismes étudiés. Les deux parties sont indépendantes l'une de l'autre. PARTIE I Soit 6 un nombre réel tel que 0 < 9 < 7r et 9 i Î--. 2 1.1. Dans cette question, on considère l'espace vectoriel euclidien orienté RZ rapporté à une base orthonormale directe 8 = (51,52). Étant donné deux vecteurs u et v de R2 , on note (u ! v) leur produit scalaire et "a" la norme du vecteur u. On définit les vecteurs v1 :S, et v2 =cos(9)e,+sin(9)e2 et on considère la base --1 0 V : (v,,v,) de R2 . Soit ! l'endomorphisme de R2 de matrice M = 1 2cos(9) ] relativement à la base V. 1.1.1. Déterminer le polynôme caractéristique de l. En déduire les valeurs propres réelles ou complexes de l . 1.1.2. Soit v : x,v1 +x,v2 un vecteur quelconque de R2. Calculer "v"2 et ||l(v)ll2 . En déduire que l est un automorphisme orthogonal de R2 . 1.1.3. Déterminer la matrice de passage Pde la base 5 à la base V ainsi que la matrice inverse P"1 . On note M ' la matrice de l'endomorphisme ! relativement à la baseEUR . Exprimer M ' en fonction des matricesP , P"1 et M . Donner l'expression de M ' et caractériser l'endomorphisme ! . 1.1.4. Le vecteur v,vérifie v2 : l(v,) . Pourk E N , k 2 3 , on définit les vecteurs vk par vk : l(vk_l) . Pourk E N* , on note vk : a... +bkv2. 1.1.4.1. En calculant de deux façons "vk"2 , déduire de 1.1.2 une relation entre ak , bk et cos(6) . 1.1.4.2. Justifier que, pour k EUR N*, on a (v1 | vk) : cos((k--l)9) ; en déduire la valeur de (v2 |vk). 1.1.4.3. En utilisant les produits scalaires (v1 } vk) et (v2 | Vk) , donner un système linéaire de deux équations à deux inconnues a k et bk . sin((k --2)9) et bk : sin((k -- l)9) . Montrer que ak = -- _ . s1n(9) sm(9) 1.2. Dans cette question, on prend la base précédente V = (v,,v,) comme base canonique de l'espace vectoriel RZ . Étant donné deux vecteurs v : x,v1 + x,v2 et v' : x'1 v1 + x'2 v2 , on définit le produit scalaire canonique de R2 par : (v,v') E R2 >< RZ +--> xlx H" x,x'2 E R . La base V est alors une base orthonormale pour ce produit scalaire. On considère le plan euclidien muni du repère orthonormal YR = (O,v,,v,) où 0 est un point du plan. Pour tout k E N* , on note Ak les points du plan de coordonnées (ak,bk) dans le repère ÏR , où ak et bk sont les réels donnés dans 1.1.4. 1.2.1. On note (x, y) les coordonnées d'un point du plan. Déterminer trois réels p, q, r tels que la conique d'équation px2 + qu + 022 = 1 passe par les points A1 , A2 et A3. Montrer que tous les points Ak sont sur cette conique (on pourra utiliser 1.1.4.1.). 1.2.2. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice Q=[ 1 cos(9) . En déduire la nature de la conique. cos(9) ] 7r , . , . . . On prend 9 = --3-- . Donner une equation redurte de la conique et tracer cette conrque dans le plan euclidien muni du repère ÊR . PARTIE 11 Dans cette partie, E est un espace vectoriel de dimension n sur le corps K, avec n 2 2 et l est un endomorphisme de E. 11.1. Soit u un vecteur non nul de E. 11.1.]. Montrer qu'il existe un entier kEUR N*tel que la famille de vecteurs (u,!(u),...,l"(u)) soit liée. Justifier qu'il existe un plus petit entier k E N* tel que la famille de k+l vecteurs (u,!(u),...,l" (a)) soit liée. On note r(l,u) ce plus petit entier. 11.1.2. Justifier l'encadrement 1 _<_ r(l,u) _<_ n. 11.1.3. Montrer que r(l,u) : l , si et seulement si u est un vecteur propre de l . Montrer que r(l,u) : n , si et seulement si la famille (u,! (u),...,l""1 (a)) est une base de E. 11.2. Un exemple. Dans cette question, on suppose n = 4 et on note 88 : (el,ez,e3,e4) une base de E. 1 2 0 --1 . \ . , , _ 1 --2 1 1 On cons1dere l'endomorph1sme f de E represente par la matrice Mat.B (f) = 1 6 4 1 1 --8 3 3 relativement à la base % . Calculer det(f ) et tr( f ). Montrer que la famille (el, f (el), f 2(61 )) est libre. Déterminer trois réels x, y, 2 tels que f'(el) : xf2(el)+yf(el)+ze1 . En déduire r(f,el) . On reprend le cas général où E est un espace vectoriel de dimension n 2 2 et l un endomorphisme de E. Soit u un vecteur non nul de E. 11.3. On suppose r(l,u) : n . D'après II.1.3., la famille OE(u) : (u,!(u),...,l"_l(u)) est une base n--l de E. On note l"(u) = Zaklk(u) . k=0 11.3.1. Déterminer la matrice Matoew(l) de l'endomorphisme ! relativement à la base %(u) . Calculer det(l) et tr(l). 11.3.2. Déterminer X,(À) : det(l -- Aid) , le polynôme caractéristique de l'endomorphisme ! (on pourra calculer ce déterminant en ajoutant à la première ligne, une combinaison linéaire des autres lignes; opération codée L1 <---- L1 +ZÀ'"LÎ où i=2 L; est la ligne d'indice i). 11.4. On note I(l,u) l'ensemble des polynômes PEK[X ] tels que l'endomorphisme P(l) vérifie P(l)(u) : 0 . II.4.1. Montrer que l'ensemble I(l,u) est un idéal de K [X ]. En déduire qu'il existe un unique polynôme unitaire, noté G(l,u), tel que I(l,u) est formé de tous les polynômes produit du polynôme G(l, u) par un polynôme quelconque de K [X ] . II.4.2. Justifier que le polynôme G(l,u) divise le polynôme X;- Montrer que le polynôme G(l, u) est de degré r(l, u) . 11.4.3. On reprend l'exemple 11.2. Déterminer le polynôme G( f ,el). En déduire le polynôme caractéristique de f puis les valeurs propres de f. Dans la question 11.2. on montre que la famille (el, f (el), f 2(e1 )) est libre ; en utilisant ce résultat et le spectre def, en déduire que l'endomorphisme f n'est pas diagonalisable. II.4.4. On suppose que l'endomorphisme ! et le vecteur u vérifient les hypothèses de la n--l question 11.3. : r(l,u)=n et l"(u) : Zaklk (u). k=0 Déterminer le polynôme G(l,u) et retrouver ainsi l'expression du polynôme caractéristique de l'endomorphisme [. ILS. Dans cette question, on suppose qu'il existe un entier p E N* tel que l'" = 0 . II.5.1. Déterminer le polynôme caractéristique de !. II.5.2. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (1) Il existe un vecteur non nul u tel que r(l,u) : n (2) l""1 x 0 . 11.6. On suppose que l'endomorphisme ! est diagonalisable. Soit W= (WI, w2,..., W") une base de vecteurs propres de E avec pour tout k EUR [[1, n]] , l(wk) : Àkwk . II.6.1. On suppose qu'il existe un vecteur non nul u de E tel que r(l,u) : n et on considère la base de E: OE(u) : (u,!(u),...,1""'(u)). On note u : Zkak . Ecrire la k=l matrice de passage de la base Wà la base OE(u). En déduire que les valeurs propres de I sont toutes distinctes. ' II.6.2. On suppose que les valeurs propres Àk de 1 sont toutes distinctes. 1 Al /\l"--1 1 ,\ À""' &" II.6.2.1. On considère la matrice A = _ _2 2_ et on note C = 1 ,\ ,\"--1 a""' une matrice colonne telle que le produit AC : 0. Montrer que le polynôme n--l P(X)=Zaka est le polynôme nul. En déduire que la matrice A est k=O inversible. II.6.2.2. Montrer qu'il existe un vecteur u de E, non nul, tel que r(l,u) = n . Fin de l'énoncé.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Maths 2 PSI 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Pauline Tan (ENS Cachan) ; il a été relu par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) et Céline Chevalier (ENS Cachan). Cette épreuve, composée de deux parties indépendantes, porte sur l'étude des itérés d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie n. Elle s'intéresse plus précisément à un entier noté r(, u) qui désigne le cardinal de la plus petite famille liée des premiers itérés du vecteur u par l'endomorphisme . · La première partie est consacrée à l'étude d'un exemple simple dans le cas où r(, u) = 2 et n = 2. On commence par introduire un changement de base qui permet de reconnaître la nature exacte de l'endomorphisme . En exprimant les coordonnées des itérés d'un vecteur dans une certaine base, on peut montrer que ces points sont situés sur une même conique. · La seconde partie porte sur l'étude plus générale des liens entre certaines propriétés de et les valeurs de r(, u), en particulier lorsque r(, u) = n. On commence par montrer des résultats simples sur dans les cas où r(, u) = 1 et r(, u) = n. Après avoir étudié un exemple, qui sera repris par la suite, on s'intéresse à l'idéal I(, u) des polynômes P K[X] tels que P()(u) = 0. Cet idéal est principal, engendré par un polynôme de degré r(, u). Enfin, on montre une équivalence entre le fait que les valeurs propres sont distinctes et l'égalité r(, u) = n. Ce sujet aborde de manière assez large l'algèbre linéaire de première et deuxième années. Il demande en outre d'être à l'aise avec les changements de bases, qui sont nombreux dans la seconde partie. Indications Partie I I.1.2 Penser aux formules d'addition du cosinus et du sinus. I.1.4.1 Utiliser le fait que est un automorphisme orthogonal. I.1.4.2 Se servir de la question I.1.3. I.1.4.3 Calculer les produits scalaires de deux manières différentes. I.2.1 Poser un système de trois équations à trois inconnues puis suivre l'indication de l'énoncé. I.2.2 Regarder le signe des valeurs propres et en déduire la nature de la conique. Partie II II.1.2 Utiliser un argument de dimension. II.2 Pour montrer la liberté de la famille, calculer f 2 (e1 ). Pour déterminer la combinaison linéaire demandée, calculer f 3 (e1 ) et poser un système linéaire. Enfin, utiliser la définition de r(f, e1 ). II.3.2 Appliquer successivement l'indication de l'énoncé pour chaque ligne, puis développer par rapport à la première ligne. II.4.2 Utiliser le théorème de Cayley-Hamilton. II.4.3 Après avoir déterminé G(f, e1 ) et f , raisonner par l'absurde. II.4.4 Utiliser la question II.4.2. II.6.1 Penser au fait que la base W est composée de vecteurs propres de . II.6.2.1 Déterminer le nombre de racines du polynôme P ; le résultat démontré est alors un résultat d'injectivité. II.6.2.2 Reconnaître dans les colonnes de A les coordonnées des itérés d'un certain vecteur et utiliser la question II.1.3. Les conseils du jury Ce sujet est relativement abordable, avec, d'après le rapport du jury, beaucoup de « questions simples, résultats classiques ou questions de cours, destinées à valider les acquis des deux années de classes préparatoires ». Ainsi, il « a pu être entièrement traité par les meilleurs candidats ». Le rapport du jury souligne aussi que les candidats sont nombreux à ne pas justifier entièrement leurs résultats (questions I.2.2, II.4, II.6) ou à ne traiter que partiellement certaines questions (questions I.1.3, II.1) et il leur recommande « une rédaction soignée dans les questions de raisonnement ». Partie I I.1.1 Le polynôme caractéristique de l'endomorphisme est donné par le calcul de () = det( - id ) = det(M - I2 ) pour C. () = - -1 = 2 - 2 cos() + 1 1 2 cos() - Les valeurs propres de sont les racines de . Ce dernier a pour discriminant = 4 cos2 () - 4 = -4 sin2 () < 0 Par conséquent, les racines de sont cos() + i sin() et cos() - i sin(), qui sont distinctes car ] 0 ; [. Les valeurs propres de sont e i et e -i . I.1.2 Pour calculer kvk2 et k(v)k2 , il faut se placer dans la base orthonormale directe E. On doit donc écrire les vecteurs v1 et v2 en fonction des vecteurs 1 et 2 de la base E : v = x1 v1 +x2 v2 = x1 1 +x2 cos() 1 +sin() 2 = x1 +x2 cos() 1 +x2 sin() 2 ce qui donne 2 2 kvk2 = x1 + x2 cos() + x2 sin() = x1 2 + 2 x1 x2 cos() + x2 2 Calculons maintenant (v) dans la base V : x1 0 -1 x1 -x2 M = = x2 1 2 cos() x2 x1 + 2x2 cos() et décomposons-le dans la base E : (v) = -x2 v1 + x1 + 2 x2 cos() v2 = -x2 1 + x1 + 2 x2 cos() cos() 1 + sin() 2 = x1 cos() + x2 (2 cos2 () - 1) 1 + x1 + 2 x2 cos() sin() 2 (v) = x1 cos() + x2 cos(2 ) 1 + x1 sin() + x2 sin(2 ) 2 en simplifiant grâce aux formules d'addition du sinus et du cosinus. On en déduit 2 2 k(v)k2 = x1 cos() + x2 cos(2 ) + x1 sin() + x2 sin(2 ) = x1 2 cos2 () + 2 x1 x2 cos() cos(2 ) + x2 2 cos2 (2 ) + x1 2 sin2 () + 2 x1 x2 sin() sin(2 ) + x2 2 sin2 (2 ) k(v)k2 = x1 2 + 2 x1 x2 cos() + x2 2 en utilisant à nouveau la formule d'addition et la parité du cosinus. Finalement, pour tout v R2 , k(v)k2 = kvk2 . est un automorphisme orthogonal de R2 . I.1.3 Par définition, la matrice de passage P de la base E à la base V est la matrice de l'identité de E dans V. Puisque v1 = 1 et v2 = cos() 1 + sin() 2 , on obtient 1 cos() P= 0 sin() Il s'agit d'une matrice de taille 2 × 2 de déterminant det P = sin() 6= 0, qui est donc inversible et que l'on sait inverser. 1 sin() - cos() P-1 = 0 1 sin() a b On rappelle que si M = est une matrice 2 × 2 de déterminant c d det(M) = a d - b c non nul, alors M est inversible et d'inverse 1 d -b M-1 = det(M) -c a Si M est la matrice de l'endomorphisme relativement à la base E, la formule de changement de bases donne Par suite, Finalement, M = PMP-1 1 1 cos() 0 -1 sin() M = 1 2 cos() 0 sin() 0 sin() 1 = sin() 1 cos() 0 0 sin() sin() 1 = sin() sin() cos() sin2 () cos2 () - 1 sin() cos() 1 sin() cos() = sin2 () sin() cos() - sin() M = sin() cos() - sin2 () sin() cos() -1 cos() - cos() 1 est la rotation d'angle . Attention à traiter correctement le problème du changement de base : le rapport du jury signale que les candidats confondent souvent les matrices de passage P et P-1 , ou écrivent les matrices de passage avec les composantes des vecteurs en lignes au lieu d'être en colonnes. I.1.4.1 Soit k N . Ainsi que le propose l'énoncé, calculons kvk k2 de deux manières différentes. Le calcul effectué à la question I.1.2 donne, avec x1 = ak et x2 = bk : kvk k2 = ak 2 + 2 ak bk cos() + bk 2 tandis que la définition de vk et le caractère orthogonal de assurent que kvk k2 = k(vk-1 )k2 = kvk-1 k2 Ainsi, la suite (kvk k2 )kN est constante, égale à son premier terme kv1 k2 = 1. On en déduit la relation k N ak 2 + 2 ak bk cos() + bk 2 = 1