CCP Maths 2 PSI 2007

 

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SESSION 2007 PSIM2OG

CONCOURS COMMUNS POlYÏECH'HOUES

EPREUVE SPECIFIQÜE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

****

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie et
devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 
'il a été amené à prendre.

****

Le sujet comporte 6 pages.

Notations :

On désigne par R l'ensemble des nombres réels, par N l'ensemble des nombres 
entiers naturels et
par N* l'ensemble N privé de O.

n

Pour n entier naturel non nul, on note c/l/Ia (R) (respectivement f/VLn,1(R) ) 
l'espace vectoriel

réel des matrices carrées à n lignes (respectivement l'espace vectoriel des 
matrices colonnes à n
lignes) à coefficients réels.

On note det(A) le déterminant d'une matrice carrée A et 'B la transposée d'une 
matrice B
quelconque.
Étant donné une matriceA , la notation A : (aw) signifie que al.,]. est le 
coefficient de la ligne i et

de la colonne j de la matrice A.

Lorsque A m (a) est une matrice de "la (R) , on identifie la matrice A avec le 
réel a .

Pour tout entier naturel n, on note n! la factorielle de n , avec la convention 
0! m 1 .
Soient p et n deux entiers naturels tels que 0 _<_ p ...<... n :

0 on note le,n]] l'ensemble des entiers k tels que p S k S n .

. n n!
0 on rappelle la notat1on :

p p!(n----p)f

Le produit scalaire de deux vecteurs u et v d'un espace préhilbertien sera noté 
(u lv) .

Objectifs :

Dans ce problème, on définit la matrice de Gram d'une famille finie de vecteurs 
d'un espace
préhilbertien réel.

La première partie porte sur des calculs de déterminants, la valeur d'un des 
déterminants calculés
servant à illustrer la quatrième partie.

Dans la deuxième partie, on définit les matrices de Gram et on en étudie 
quelques propriétés.
Les troisième et quatrième parties sont des applications de la deuxième partie.

PARTIE I

Les résultats de cette partie ne serviront que dans la partie IV.

1.1. Déterminant d p .

Soit n e N . Pour p EUR [0,111] , on note A,. m (au) la matrice carrée de 
c/Ï/(pn_ p+1 (IR) dont le coefficient

p+i+jw2

de la ligneiet de la colonnej est égalà al.,]. :( +_ 1 ] avec 
(i,j)efll,n...p+l]xül,n--p+lfl.
p l'"

On note a'p m det(Ap) .

F

1.1.1. Expliciter les entiers r et 3 tels que al.,]. :(
s

) pour les quatre coefficients a...

a... a et a

--p+l ' n--p+l,l n--p+l,n--p+l '

1.1.2. Pour tout entier naturel n 2 2 calculer les déterminants dn, a'n_1 et 
dn_2 .

1.1.3. On suppose que la matrice AP possède au moins deux lignes. On note Li la 
ligne
d'indice i.
I.1.3.1 Dans le calcul de cz'p on effectue les opérations suivantes : pour i 
variant de

n-------- p+l à 2, on retranche la ligne Lz._1 à la ligne L. (opération

!

codée ïL.-- (-- Li "Li--1 ). Déterminer le coefficient d'indice (i, j) de la 
nouvelle ligne
L. .

l

I.1.3.2 En déduire une relation entre ci}) et a'p+1 , puis en déduire a'p .

1.2. Déterminants DH et An.

Pour 71 E N , on note Dn le déterminant de la matrice carrée de JL,, H (R) dont 
le coefficient de la

ligne i et de la colonne j est (i + j )!, les lignes et les colonnes étant 
indexées de 0 à n.

i+ '
On note Dn xdét((i+j)l). Avec les mêmes notations, on note An =det(( J)) pour
1

(i,j) efl0,nflxfi0,nfl.
1.2.1. Calculer les déterminants D0, D1, D2, A0, A1 et A2.

1.2.2. Donner une relation entre DH et An.

1.2.3. En déduire An puis B".

PARTIE II
A) Soit n E N * .

II.A.1. Soit C x(ci,j) une matrice carrée de MAR). Pour tout entier ie[[l,n]], 
on note X 1. la

matrice colonne de C/Man,1 (R) dont tous les coefficients sont nuls, sauf le 
coefficient de la ligne i qui

vaut 1.

II.A.1.1. Pour (i, j) EUR [Il,n]Xl[l,n]} , déterminer le produit 'XiCXj.

II.A.1.2. En déduire que C a 0 si et seulement si pour tout couple (X Y ) de
M.,... (R) >< WLM (R) on a 'XCY == 0.

Soit E un espace euclidien de dimension n et soit fi == (el,...,en) une base de 
E . Soit A = (a...) la

matrice carrée de %" ( R) telle que al.,]. : (e. lej) le produit scalaire de ei 
et 6 j .

l

Pour tout vecteur u de E , on note avec la même lettre majuscule U la matrice 
colonne des
composantes du vecteur u relativement à la base /ÎÎ .

II.A.2. Pour tout couple (x, y) de vecteurs de E , justifier l'égalité (xl y) : 
t)Ç4Y .

Soit fi'm(e'l,...,e'n) une autre base de E et soit A'== (d'...) la matrice 
carrée de Æn(R) avec

a'. . m(e'.|e'j). On note P la matrice de passage de la base ÎJ' à la base ÎJ".

l,] l

II.A.3. Pour tout vecteur u de E , on note U' la matrice colonne des 
composantes du vecteur u
relativement àla base ÎÏ ' .

II.A.3.1. Soit x un vecteur de E . Donner une relation entre les matrices X, X 
' et P.

II.A.3.2. Justifier l'égalité A'=--= 'PAP.

II.A.3.3. Que devient l'égalité précédente lorsque Î>' ' est une base 
orthonormale ?

II.A.3.4. Montrer que la matrice A est inversible et que det(A) > O.

II.A.3.5. Déduire des résultats précédents que si (51: ..., ap) est une famille 
libre de vecteurs

d'un espace préhilbertien réel, la matrice B=((8i|8j)) de Jl/Lp (R) de 
coefficients les

produits scalaires (si ,8j), vérifie det(B) > O.

B) SoitneN*.

Dans un espace préhilbertien réel % , on considère n vecteurs quelconques 
u1,...,un. Soit

M m ((a lu]. )) la matrice de c/Ï/[an (R) de coefficients les produits 
scalaires (ui |uj). À toute matrice

!

x n
01 .
colonne X "'--"( : ) de Ænl(R), on assocre le vecteur v= ZxÏui.

X i=1

n

II.B.1. Dans cette question on suppose n 3 2.

II.B.1.1. Montrer que det (M) ..>... O .

II.B.1.2. À quelle condition sur det (M ) la famille (u1,u2) est--elle libre ?

' I r \ *
On rement au cas general ou n est quelconque dans N .

II.B.Z. Exprimer les coefficients de la matrice MX en fonction des produits 
scalaires (ui lv).

II.B.3. En déduire l'égalité 'XMX $ "vll2 où "v" est la norme du vecteur v.

II.B.4. Soit À une valeur propre (complexe) de la matrice M . Justifier que /l 
appartient à R.

Montrer que À Z O .

II.B.5. Montrer que MX = 0 si et seulement si v est le vecteur nul.

II.B.6. On suppose que la matrice M est inversible, déduire de la question 
précédente que la
famille (u1,...,un) est libre.

Définition : Etant donné n vecteurs VI,...,Vn d'un espace préhilbertien réel % 
, on appelle matrice

de Gram des vecteurs v1,...,vn, la matrice G(vl,...,vn) =((Vile)) de c/ÏLn (R) 
de coefficients les
produits scalaires (V,-- |vj) .

Il résulte de la partie Il que la famille (vl,...,vn) est libre si et seulement 
si det(G(v1,...,vn)) # O °

9

dans ce cas, on a det(G(vl,...,vn ))>O.

PARTIE III

Dans cette partie, E est l'espace euclidien R3 supposé orienté, u1,u2,u3 sont 
trois vecteurs

unitaires de E. On note a,,B,y les réels de [0,75] tels que (u1 |u2)=cosa, 
(u2lu3)mcosfl,

(u3lul)mcosy et on suppose que OSyS,ÜSaS7r.

III.]. Déterminer les racines du polynôme P(X ) == X 2 ---- 2X cos ,5 cos ;! + 
cos2 ,B + cos2 7 -----l .
III.2. En déduire une factorisation de det (G(u1 , u2 ,u3 )) en produit de deux 
facteurs.
III.3. Montrer que cos a est compris entre cos ( ,Û ----------- y) et cos ( ,B 
+ y) .

III.4. Montrer que det(G(ul,u2,u3)) : 0 si et seulement si a +,B + y : 27z ou a 
m ,5' + 7.
1115. On suppose que a -----= ,B a 7 et on note 6 = cos & .

III.5.1. Déterminer le polynôme caractéristique de la matrice G(ul,u2,u3). En 
déduire ses

valeurs propres.

III.5.2. Déterminer la plus petite valeur possible de c .

III.5.3. On prend c 3 -----------1----.

2

III.5.3.1. Quelle est la valeur de u1 +u2 + u3 '?

III.5.3.2. Déterminer le noyau de l'endomorphisme canoniquement associé àla

matrice G(u1 ,u2 ,u3 ). En utilisant II.B.5, retrouver la valeur de u1 +u2 + % .

PARTIE IV

Soit n un entier naturel avec n ...>.. 2 .

On considère n vecteurs v1,...,vn d'un espace préhilbeflien réel % .

IV.1. Opérations sur les vecteurs d'une matrice de Gram. Soit/1 & R.

IV.1.1. Exprimer det(G(v,,...,vn_l,/tvn)) en fonction de À et de 
det(G(v,,...,vn_l,vn)).

IV.1.2. Exprimer det(G(vl,...,vn_l,vn +Âv,)) en fonction de det(G(vl,...,vn)).

IV.2. Soit F x Vect(v,,...,vn) le sous--espace vectoriel de % engendré par les 
vecteurs v,,...,vn.

IV.2.]. Soit w un vecteur de % orthogonal à F . Exprimer det(G(v,,...,vn,w)) en
fonction de w et de det(G(v,,...,vn)).

IV.2.2. Soit v e % , on note d (v,F ) la distance du vecteur v au sous--espace 
vectoriel F .

Montrerl'égalité det(G(v,,...,vn,v)) =(d(v,F))2 det(G(v,,...,vn)).

IV.3. Calcul de la distance d'un vecteur à un sous--espace vectoriel.

IV.3.1. Pour k & N , justifier la convergence des intégrales J k === JÎt"e"dt 
et calculer leur

valeur.

On rappelle (et on admettra) que R [X] , l'espace vectoriel réel des polynômes 
à coefficients

dans R , est un espace préhilbertien réel pour le produit scalaire

(P|Q) = fÏe"P(t)Q(zï)dï.

On considère la base de R[X] formée des vecteurs ek où ek = X k ,k & N .
IV.3.Z. Calculer les produits scalaires (e, lej).

IV.3.3. Soit n e N*. Déduire des questions précédentes et de la partie I, la 
distance du
vecteur en au sous-espace vectoriel R... [X] des polynômes de degré S n----l de 
l'espace

mx].

Fin de l'énoncé.

CCP Maths 2 PSI 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Juliette Leloup (ENS Ulm) ; il a été relu par Tristan
Poullaouec (ENS Cachan) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE).

Le sujet comporte un unique problème divisé en quatre parties et porte 
essentiellement sur des questions de calcul matriciel.

· La première partie a pour but de calculer le déterminant det ((i + j)!)06i,j6n
pour tout entier n. Cette partie est indépendante du reste du sujet ; le 
résultat
sera réutilisé dans la partie 4. Les calculs ne sont pas difficiles mais 
demandent
une certaine attention dans l'utilisation des notations.
· Dans la deuxième partie, on étudie certaines propriétés de la matrice de Gram
de n vecteurs v1 , . . . , vn d'un espace préhilbertien réel,

G(v1 , . . . , vn ) = (vi |vj )  Mn (R)
On démontre que le déterminant de la matrice G(v1 , . . . , vn ) est positif et 
que la
famille (v1 , v2 , . . . , vn ) est libre si et seulement si le déterminant de 
G(v1 , . . . , vn )
est strictement positif.

· La troisième partie est consacrée à l'étude de la matrice de Gram d'une 
certaine
famille de l'espace euclidien R3 . Cette partie réutilise certains résultats 
établis
dans la partie précédente.
· La quatrième partie montre comment les matrices de Gram permettent de
calculer la distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel de dimension finie
d'un espace préhilbertien réel. Un calcul explicite est demandé qui réutilise un
résultat démontré dans la première partie. Les autres questions ne dépendent
pas de ce qui précède.
Le sujet est très classique et sa difficulté n'est pas excessive. L'énoncé 
donne de
nombreuses indications. Les questions théoriques restent proches du cours 
d'algèbre
linéaire et bilinéaire surtout dans la deuxième partie. Elles demandent 
cependant des
démonstrations conséquentes qu'il faut savoir maîtriser et qu'il ne faut pas 
traiter
trop rapidement. Le jury déplore ainsi trop souvent des justifications 
succinctes et
incomplètes. Il faut de plus lire précisément les questions posées afin de ne 
pas répondre à côté. C'est donc un excellent sujet de révision, qu'on doit 
pouvoir terminer
dans les quatre heures imparties.

Indications
Partie I
I.1.3.1 Utiliser la formule de Pascal.
I.2.2 Utiliser la n­linéarité du déterminant.
I.2.3 Faire le lien avec la partie I.1. pour reconnaître la matrice n .

Partie II
II.B.1 Penser à l'inégalité de Cauchy-Schwarz et à son cas d'égalité.
II.B.6 Raisonner par l'absurde.

Partie III
III.2 Utiliser le polynôme P introduit à la question III.1.
III.3 Utiliser la question précédente et le résultat de la partie II sur la 
positivité
du déterminant de la matrice de Gram de (u1 , u2 , u3 ).

Partie IV
IV.2.2 Décomposer v dans F et F , v = vF + vF , utiliser la question IV.1.2 et 
la
question IV.2.1, puis remarquer que kvF k = d(v, F).
IV.3.1 Établir une relation de récurrence sur la suite (Jk )kN , en intégrant 
par parties.
IV.3.3 Suivre les indications de l'énoncé et reprendre le résultat de la 
question I.2.3
pour le calcul du déterminant Dn .

Partie I
I.1.1 En appliquant directement les formules on obtient

p+0
a1,1 =
=1
p+0

p+1+n-p+1-2
n
a1,n-p+1 =
=
p+1-1
p

p+n-p+1+1-2
n
an-p+1,1 =
=
=1
p+n-p+1-1
n

p+n-p+1+n-p+1-2
2n - p
an-p+1,n-p+1 =
=
p+n-p+1-1
n

a1,1 = 1, a1,n-p+1

n
2n - p
=
, an-p+1,1 = 1, an-p+1,n-p+1 =
p
n

On peut remarquer dès cette question que la première colonne de la matrice Ap 
est
une colonne de 1. En effet si 1 6 i 6 n - p + 1,

p+i-1
ai,1 =
=1
p+i-1

Soient n  N et p  [[ 0 ; n ]]. Si on avait voulu être très rigoureux dans les
notations de cette partie, il aurait fallu utiliser pour les coefficients de la
matrice Ap  Mn-p+1 (R) la notation suivante

Ap = api,j

En effet, les coefficients de la matrice changent suivant la taille de la 
matrice
et dépendent à la fois de p et de n contrairement à ce qu'on peut penser à la
première lecture du sujet.

I.1.2 Soit n > 2. Pour p = n, An  M1 (R) et An = (1). Son déterminant vaut
dn = 1
Pour p = n - 1, An-1  M2 (R) et, avec les calculs faits précédemment, on obtient

n

1

n-1 
1
n

An-1 = 
=
1 n+1
n+1 
1
n
Comme dn-1 = det(An-1 ), il vient
dn-1 = 1

Pour p = n - 2, An-2  M3 (R)

n-1
1
n-2

n
An-2 = 
1

n-1

n+1
1
n

et

n
1
n-2 

n+1 
=
1
n-1 

n+2 
1
n

n-1

n(n - 1)
2

n

(n + 1)n
2

n+1

(n + 2)(n + 1)
2

Calculons dn-2 = det(An-2 ). Pour cela, on soustrait la seconde ligne à la 
troisième
(L3  L3 - L2 ) et on retranche la première ligne à la seconde (L2  L2 - L1 ).
Le déterminant étant une forme 3-linéaire alternée, on en déduit que

dn-2 = 0

1

n(n - 1)
2
n

0

1

n+1

1 n-1

puis

dn-2 =

1
n
1 n+1

en développant par rapport à la première colonne. On conclut que
dn-2 = 1
Pour calculer dn-2 , on pouvait également utiliser la règle de Sarrus afin
de calculer directement le déterminant sans faire des opérations sur les lignes
ou les colonnes, ce qui donnerait
dn-2 =

1
(n(n + 2)(n + 1) + 2(n - 1)n(n + 1)
2

-n2 (n - 1) - (n + 1)2 n - (n - 1)(n + 1)(n + 2)

=1

Les opérations sur les lignes et les colonnes permettent d'exploiter les 
caractéristiques de la matrice (symétrie, liens entre les lignes, etc.). Ici, 
cette méthode provoque moins d'erreurs de calculs. De manière générale, la règle
de Sarrus est à éviter dès que les coefficients de la matrices sont un peu
compliqués. Elle est en revanche à privilégier lorsqu'ils sont simples comme
à la question I.2.1.
I.1.3.1 D'après l'énoncé, on a maintenant p 6 n - 2 pour que Ap possède au moins
deux lignes. Soit (i, j)  [[ 2 ; n - p + 1 ]] × [[ 1 ; n - p + 1 ]]. Appelons 
bi,j le coefficient
d'indice (i, j) de la nouvelle ligne Li .

p+i+j-2
p+i+j-3
bi,j = ai,j - ai-1,j =
-
p+i-1
p+i-2

p+i-1
p+i-2
Si j = 1, on remarque que bi,1 =
-
= 1 - 1. Donc
p+i-1
p+i-2
i  [[ 2 ; n - p + 1 ]]

bi,1 = 0