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SESSION 2007 PSIM2OG
CONCOURS COMMUNS POlYÏECH'HOUES
EPREUVE SPECIFIQÜE - FILIERE PSI
MATHEMATIQUES 2
Durée : 4 heures
Les calculatrices sont autorisées.
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N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur
d'énoncé, il le signalera sur sa copie et
devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu
'il a été amené à prendre.
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Le sujet comporte 6 pages.
Notations :
On désigne par R l'ensemble des nombres réels, par N l'ensemble des nombres
entiers naturels et
par N* l'ensemble N privé de O.
n
Pour n entier naturel non nul, on note c/l/Ia (R) (respectivement f/VLn,1(R) )
l'espace vectoriel
réel des matrices carrées à n lignes (respectivement l'espace vectoriel des
matrices colonnes à n
lignes) à coefficients réels.
On note det(A) le déterminant d'une matrice carrée A et 'B la transposée d'une
matrice B
quelconque.
Étant donné une matriceA , la notation A : (aw) signifie que al.,]. est le
coefficient de la ligne i et
de la colonne j de la matrice A.
Lorsque A m (a) est une matrice de "la (R) , on identifie la matrice A avec le
réel a .
Pour tout entier naturel n, on note n! la factorielle de n , avec la convention
0! m 1 .
Soient p et n deux entiers naturels tels que 0 _<_ p ...<... n : 0 on note le,n]] l'ensemble des entiers k tels que p S k S n . . n n! 0 on rappelle la notat1on : p p!(n----p)f Le produit scalaire de deux vecteurs u et v d'un espace préhilbertien sera noté (u lv) . Objectifs : Dans ce problème, on définit la matrice de Gram d'une famille finie de vecteurs d'un espace préhilbertien réel. La première partie porte sur des calculs de déterminants, la valeur d'un des déterminants calculés servant à illustrer la quatrième partie. Dans la deuxième partie, on définit les matrices de Gram et on en étudie quelques propriétés. Les troisième et quatrième parties sont des applications de la deuxième partie. PARTIE I Les résultats de cette partie ne serviront que dans la partie IV. 1.1. Déterminant d p . Soit n e N . Pour p EUR [0,111] , on note A,. m (au) la matrice carrée de c/Ï/(pn_ p+1 (IR) dont le coefficient p+i+jw2 de la ligneiet de la colonnej est égalà al.,]. :( +_ 1 ] avec (i,j)efll,n...p+l]xül,n--p+lfl. p l'" On note a'p m det(Ap) . F 1.1.1. Expliciter les entiers r et 3 tels que al.,]. :( s ) pour les quatre coefficients a... a... a et a --p+l ' n--p+l,l n--p+l,n--p+l ' 1.1.2. Pour tout entier naturel n 2 2 calculer les déterminants dn, a'n_1 et dn_2 . 1.1.3. On suppose que la matrice AP possède au moins deux lignes. On note Li la ligne d'indice i. I.1.3.1 Dans le calcul de cz'p on effectue les opérations suivantes : pour i variant de n-------- p+l à 2, on retranche la ligne Lz._1 à la ligne L. (opération ! codée ïL.-- (-- Li "Li--1 ). Déterminer le coefficient d'indice (i, j) de la nouvelle ligne L. . l I.1.3.2 En déduire une relation entre ci}) et a'p+1 , puis en déduire a'p . 1.2. Déterminants DH et An. Pour 71 E N , on note Dn le déterminant de la matrice carrée de JL,, H (R) dont le coefficient de la ligne i et de la colonne j est (i + j )!, les lignes et les colonnes étant indexées de 0 à n. i+ ' On note Dn xdét((i+j)l). Avec les mêmes notations, on note An =det(( J)) pour 1 (i,j) efl0,nflxfi0,nfl. 1.2.1. Calculer les déterminants D0, D1, D2, A0, A1 et A2. 1.2.2. Donner une relation entre DH et An. 1.2.3. En déduire An puis B". PARTIE II A) Soit n E N * . II.A.1. Soit C x(ci,j) une matrice carrée de MAR). Pour tout entier ie[[l,n]], on note X 1. la matrice colonne de C/Man,1 (R) dont tous les coefficients sont nuls, sauf le coefficient de la ligne i qui vaut 1. II.A.1.1. Pour (i, j) EUR [Il,n]Xl[l,n]} , déterminer le produit 'XiCXj. II.A.1.2. En déduire que C a 0 si et seulement si pour tout couple (X Y ) de M.,... (R) >< WLM (R) on a 'XCY == 0. Soit E un espace euclidien de dimension n et soit fi == (el,...,en) une base de E . Soit A = (a...) la matrice carrée de %" ( R) telle que al.,]. : (e. lej) le produit scalaire de ei et 6 j . l Pour tout vecteur u de E , on note avec la même lettre majuscule U la matrice colonne des composantes du vecteur u relativement à la base /ÎÎ . II.A.2. Pour tout couple (x, y) de vecteurs de E , justifier l'égalité (xl y) : t)Ç4Y . Soit fi'm(e'l,...,e'n) une autre base de E et soit A'== (d'...) la matrice carrée de Æn(R) avec a'. . m(e'.|e'j). On note P la matrice de passage de la base ÎJ' à la base ÎJ". l,] l II.A.3. Pour tout vecteur u de E , on note U' la matrice colonne des composantes du vecteur u relativement àla base ÎÏ ' . II.A.3.1. Soit x un vecteur de E . Donner une relation entre les matrices X, X ' et P. II.A.3.2. Justifier l'égalité A'=--= 'PAP. II.A.3.3. Que devient l'égalité précédente lorsque Î>' ' est une base
orthonormale ?
II.A.3.4. Montrer que la matrice A est inversible et que det(A) > O.
II.A.3.5. Déduire des résultats précédents que si (51: ..., ap) est une famille
libre de vecteurs
d'un espace préhilbertien réel, la matrice B=((8i|8j)) de Jl/Lp (R) de
coefficients les
produits scalaires (si ,8j), vérifie det(B) > O.
B) SoitneN*.
Dans un espace préhilbertien réel % , on considère n vecteurs quelconques
u1,...,un. Soit
M m ((a lu]. )) la matrice de c/Ï/[an (R) de coefficients les produits
scalaires (ui |uj). À toute matrice
!
x n
01 .
colonne X "'--"( : ) de Ænl(R), on assocre le vecteur v= ZxÏui.
X i=1
n
II.B.1. Dans cette question on suppose n 3 2.
II.B.1.1. Montrer que det (M) ..>... O .
II.B.1.2. À quelle condition sur det (M ) la famille (u1,u2) est--elle libre ?
' I r \ *
On rement au cas general ou n est quelconque dans N .
II.B.Z. Exprimer les coefficients de la matrice MX en fonction des produits
scalaires (ui lv).
II.B.3. En déduire l'égalité 'XMX $ "vll2 où "v" est la norme du vecteur v.
II.B.4. Soit À une valeur propre (complexe) de la matrice M . Justifier que /l
appartient à R.
Montrer que À Z O .
II.B.5. Montrer que MX = 0 si et seulement si v est le vecteur nul.
II.B.6. On suppose que la matrice M est inversible, déduire de la question
précédente que la
famille (u1,...,un) est libre.
Définition : Etant donné n vecteurs VI,...,Vn d'un espace préhilbertien réel %
, on appelle matrice
de Gram des vecteurs v1,...,vn, la matrice G(vl,...,vn) =((Vile)) de c/ÏLn (R)
de coefficients les
produits scalaires (V,-- |vj) .
Il résulte de la partie Il que la famille (vl,...,vn) est libre si et seulement
si det(G(v1,...,vn)) # O °
9
dans ce cas, on a det(G(vl,...,vn ))>O.
PARTIE III
Dans cette partie, E est l'espace euclidien R3 supposé orienté, u1,u2,u3 sont
trois vecteurs
unitaires de E. On note a,,B,y les réels de [0,75] tels que (u1 |u2)=cosa,
(u2lu3)mcosfl,
(u3lul)mcosy et on suppose que OSyS,ÜSaS7r.
III.]. Déterminer les racines du polynôme P(X ) == X 2 ---- 2X cos ,5 cos ;! +
cos2 ,B + cos2 7 -----l .
III.2. En déduire une factorisation de det (G(u1 , u2 ,u3 )) en produit de deux
facteurs.
III.3. Montrer que cos a est compris entre cos ( ,Û ----------- y) et cos ( ,B
+ y) .
III.4. Montrer que det(G(ul,u2,u3)) : 0 si et seulement si a +,B + y : 27z ou a
m ,5' + 7.
1115. On suppose que a -----= ,B a 7 et on note 6 = cos & .
III.5.1. Déterminer le polynôme caractéristique de la matrice G(ul,u2,u3). En
déduire ses
valeurs propres.
III.5.2. Déterminer la plus petite valeur possible de c .
III.5.3. On prend c 3 -----------1----.
2
III.5.3.1. Quelle est la valeur de u1 +u2 + u3 '?
III.5.3.2. Déterminer le noyau de l'endomorphisme canoniquement associé àla
matrice G(u1 ,u2 ,u3 ). En utilisant II.B.5, retrouver la valeur de u1 +u2 + % .
PARTIE IV
Soit n un entier naturel avec n ...>.. 2 .
On considère n vecteurs v1,...,vn d'un espace préhilbeflien réel % .
IV.1. Opérations sur les vecteurs d'une matrice de Gram. Soit/1 & R.
IV.1.1. Exprimer det(G(v,,...,vn_l,/tvn)) en fonction de À et de
det(G(v,,...,vn_l,vn)).
IV.1.2. Exprimer det(G(vl,...,vn_l,vn +Âv,)) en fonction de det(G(vl,...,vn)).
IV.2. Soit F x Vect(v,,...,vn) le sous--espace vectoriel de % engendré par les
vecteurs v,,...,vn.
IV.2.]. Soit w un vecteur de % orthogonal à F . Exprimer det(G(v,,...,vn,w)) en
fonction de w et de det(G(v,,...,vn)).
IV.2.2. Soit v e % , on note d (v,F ) la distance du vecteur v au sous--espace
vectoriel F .
Montrerl'égalité det(G(v,,...,vn,v)) =(d(v,F))2 det(G(v,,...,vn)).
IV.3. Calcul de la distance d'un vecteur à un sous--espace vectoriel.
IV.3.1. Pour k & N , justifier la convergence des intégrales J k === JÎt"e"dt
et calculer leur
valeur.
On rappelle (et on admettra) que R [X] , l'espace vectoriel réel des polynômes
à coefficients
dans R , est un espace préhilbertien réel pour le produit scalaire
(P|Q) = fÏe"P(t)Q(zï)dï.
On considère la base de R[X] formée des vecteurs ek où ek = X k ,k & N .
IV.3.Z. Calculer les produits scalaires (e, lej).
IV.3.3. Soit n e N*. Déduire des questions précédentes et de la partie I, la
distance du
vecteur en au sous-espace vectoriel R... [X] des polynômes de degré S n----l de
l'espace
mx].
Fin de l'énoncé.
