CCP Maths 2 PSI 2007

Thème de l'épreuve Quelques propriétés de la matrice de Gram de n vecteurs
Principaux outils utilisés algèbre linéaire et bilinéaire, calcul de déterminant, espaces euclidiens, calcul d'intégrales
Mots clefs déterminant, matrice de Gram, produit scalaire, algèbre linéaire, algèbre bilinéaire, intégrale

Corrigé

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 me.--52-- .v " «w.--SQ « mË9Ë...Ë :.:Ë ...mm SES--m - ...Ë0E5Ëm Ë...ËË u...=o_z=v...-->doa v...:llQu ...oe=9u:0v ' SESSION 2007 PSIM2OG CONCOURS COMMUNS POlYÏECH'HOUES EPREUVE SPECIFIQÜE - FILIERE PSI MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. **** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. **** Le sujet comporte 6 pages. Notations : On désigne par R l'ensemble des nombres réels, par N l'ensemble des nombres entiers naturels et par N* l'ensemble N privé de O. n Pour n entier naturel non nul, on note c/l/Ia (R) (respectivement f/VLn,1(R) ) l'espace vectoriel réel des matrices carrées à n lignes (respectivement l'espace vectoriel des matrices colonnes à n lignes) à coefficients réels. On note det(A) le déterminant d'une matrice carrée A et 'B la transposée d'une matrice B quelconque. Étant donné une matriceA , la notation A : (aw) signifie que al.,]. est le coefficient de la ligne i et de la colonne j de la matrice A. Lorsque A m (a) est une matrice de "la (R) , on identifie la matrice A avec le réel a . Pour tout entier naturel n, on note n! la factorielle de n , avec la convention 0! m 1 . Soient p et n deux entiers naturels tels que 0 _<_ p ...<... n : 0 on note le,n]] l'ensemble des entiers k tels que p S k S n . . n n! 0 on rappelle la notat1on : p p!(n----p)f Le produit scalaire de deux vecteurs u et v d'un espace préhilbertien sera noté (u lv) . Objectifs : Dans ce problème, on définit la matrice de Gram d'une famille finie de vecteurs d'un espace préhilbertien réel. La première partie porte sur des calculs de déterminants, la valeur d'un des déterminants calculés servant à illustrer la quatrième partie. Dans la deuxième partie, on définit les matrices de Gram et on en étudie quelques propriétés. Les troisième et quatrième parties sont des applications de la deuxième partie. PARTIE I Les résultats de cette partie ne serviront que dans la partie IV. 1.1. Déterminant d p . Soit n e N . Pour p EUR [0,111] , on note A,. m (au) la matrice carrée de c/Ï/(pn_ p+1 (IR) dont le coefficient p+i+jw2 de la ligneiet de la colonnej est égalà al.,]. :( +_ 1 ] avec (i,j)efll,n...p+l]xül,n--p+lfl. p l'" On note a'p m det(Ap) . F 1.1.1. Expliciter les entiers r et 3 tels que al.,]. :( s ) pour les quatre coefficients a... a... a et a --p+l ' n--p+l,l n--p+l,n--p+l ' 1.1.2. Pour tout entier naturel n 2 2 calculer les déterminants dn, a'n_1 et dn_2 . 1.1.3. On suppose que la matrice AP possède au moins deux lignes. On note Li la ligne d'indice i. I.1.3.1 Dans le calcul de cz'p on effectue les opérations suivantes : pour i variant de n-------- p+l à 2, on retranche la ligne Lz._1 à la ligne L. (opération ! codée ïL.-- (-- Li "Li--1 ). Déterminer le coefficient d'indice (i, j) de la nouvelle ligne L. . l I.1.3.2 En déduire une relation entre ci}) et a'p+1 , puis en déduire a'p . 1.2. Déterminants DH et An. Pour 71 E N , on note Dn le déterminant de la matrice carrée de JL,, H (R) dont le coefficient de la ligne i et de la colonne j est (i + j )!, les lignes et les colonnes étant indexées de 0 à n. i+ ' On note Dn xdét((i+j)l). Avec les mêmes notations, on note An =det(( J)) pour 1 (i,j) efl0,nflxfi0,nfl. 1.2.1. Calculer les déterminants D0, D1, D2, A0, A1 et A2. 1.2.2. Donner une relation entre DH et An. 1.2.3. En déduire An puis B". PARTIE II A) Soit n E N * . II.A.1. Soit C x(ci,j) une matrice carrée de MAR). Pour tout entier ie[[l,n]], on note X 1. la matrice colonne de C/Man,1 (R) dont tous les coefficients sont nuls, sauf le coefficient de la ligne i qui vaut 1. II.A.1.1. Pour (i, j) EUR [Il,n]Xl[l,n]} , déterminer le produit 'XiCXj. II.A.1.2. En déduire que C a 0 si et seulement si pour tout couple (X Y ) de M.,... (R) >< WLM (R) on a 'XCY == 0. Soit E un espace euclidien de dimension n et soit fi == (el,...,en) une base de E . Soit A = (a...) la matrice carrée de %" ( R) telle que al.,]. : (e. lej) le produit scalaire de ei et 6 j . l Pour tout vecteur u de E , on note avec la même lettre majuscule U la matrice colonne des composantes du vecteur u relativement à la base /ÎÎ . II.A.2. Pour tout couple (x, y) de vecteurs de E , justifier l'égalité (xl y) : t)Ç4Y . Soit fi'm(e'l,...,e'n) une autre base de E et soit A'== (d'...) la matrice carrée de Æn(R) avec a'. . m(e'.|e'j). On note P la matrice de passage de la base ÎJ' à la base ÎJ". l,] l II.A.3. Pour tout vecteur u de E , on note U' la matrice colonne des composantes du vecteur u relativement àla base ÎÏ ' . II.A.3.1. Soit x un vecteur de E . Donner une relation entre les matrices X, X ' et P. II.A.3.2. Justifier l'égalité A'=--= 'PAP. II.A.3.3. Que devient l'égalité précédente lorsque Î>' ' est une base orthonormale ? II.A.3.4. Montrer que la matrice A est inversible et que det(A) > O. II.A.3.5. Déduire des résultats précédents que si (51: ..., ap) est une famille libre de vecteurs d'un espace préhilbertien réel, la matrice B=((8i|8j)) de Jl/Lp (R) de coefficients les produits scalaires (si ,8j), vérifie det(B) > O. B) SoitneN*. Dans un espace préhilbertien réel % , on considère n vecteurs quelconques u1,...,un. Soit M m ((a lu]. )) la matrice de c/Ï/[an (R) de coefficients les produits scalaires (ui |uj). À toute matrice ! x n 01 . colonne X "'--"( : ) de Ænl(R), on assocre le vecteur v= ZxÏui. X i=1 n II.B.1. Dans cette question on suppose n 3 2. II.B.1.1. Montrer que det (M) ..>... O . II.B.1.2. À quelle condition sur det (M ) la famille (u1,u2) est--elle libre ? ' I r \ * On rement au cas general ou n est quelconque dans N . II.B.Z. Exprimer les coefficients de la matrice MX en fonction des produits scalaires (ui lv). II.B.3. En déduire l'égalité 'XMX $ "vll2 où "v" est la norme du vecteur v. II.B.4. Soit À une valeur propre (complexe) de la matrice M . Justifier que /l appartient à R. Montrer que À Z O . II.B.5. Montrer que MX = 0 si et seulement si v est le vecteur nul. II.B.6. On suppose que la matrice M est inversible, déduire de la question précédente que la famille (u1,...,un) est libre. Définition : Etant donné n vecteurs VI,...,Vn d'un espace préhilbertien réel % , on appelle matrice de Gram des vecteurs v1,...,vn, la matrice G(vl,...,vn) =((Vile)) de c/ÏLn (R) de coefficients les produits scalaires (V,-- |vj) . Il résulte de la partie Il que la famille (vl,...,vn) est libre si et seulement si det(G(v1,...,vn)) # O ° 9 dans ce cas, on a det(G(vl,...,vn ))>O. PARTIE III Dans cette partie, E est l'espace euclidien R3 supposé orienté, u1,u2,u3 sont trois vecteurs unitaires de E. On note a,,B,y les réels de [0,75] tels que (u1 |u2)=cosa, (u2lu3)mcosfl, (u3lul)mcosy et on suppose que OSyS,ÜSaS7r. III.]. Déterminer les racines du polynôme P(X ) == X 2 ---- 2X cos ,5 cos ;! + cos2 ,B + cos2 7 -----l . III.2. En déduire une factorisation de det (G(u1 , u2 ,u3 )) en produit de deux facteurs. III.3. Montrer que cos a est compris entre cos ( ,Û ----------- y) et cos ( ,B + y) . III.4. Montrer que det(G(ul,u2,u3)) : 0 si et seulement si a +,B + y : 27z ou a m ,5' + 7. 1115. On suppose que a -----= ,B a 7 et on note 6 = cos & . III.5.1. Déterminer le polynôme caractéristique de la matrice G(ul,u2,u3). En déduire ses valeurs propres. III.5.2. Déterminer la plus petite valeur possible de c . III.5.3. On prend c 3 -----------1----. 2 III.5.3.1. Quelle est la valeur de u1 +u2 + u3 '? III.5.3.2. Déterminer le noyau de l'endomorphisme canoniquement associé àla matrice G(u1 ,u2 ,u3 ). En utilisant II.B.5, retrouver la valeur de u1 +u2 + % . PARTIE IV Soit n un entier naturel avec n ...>.. 2 . On considère n vecteurs v1,...,vn d'un espace préhilbeflien réel % . IV.1. Opérations sur les vecteurs d'une matrice de Gram. Soit/1 & R. IV.1.1. Exprimer det(G(v,,...,vn_l,/tvn)) en fonction de À et de det(G(v,,...,vn_l,vn)). IV.1.2. Exprimer det(G(vl,...,vn_l,vn +Âv,)) en fonction de det(G(vl,...,vn)). IV.2. Soit F x Vect(v,,...,vn) le sous--espace vectoriel de % engendré par les vecteurs v,,...,vn. IV.2.]. Soit w un vecteur de % orthogonal à F . Exprimer det(G(v,,...,vn,w)) en fonction de w et de det(G(v,,...,vn)). IV.2.2. Soit v e % , on note d (v,F ) la distance du vecteur v au sous--espace vectoriel F . Montrerl'égalité det(G(v,,...,vn,v)) =(d(v,F))2 det(G(v,,...,vn)). IV.3. Calcul de la distance d'un vecteur à un sous--espace vectoriel. IV.3.1. Pour k & N , justifier la convergence des intégrales J k === JÎt"e"dt et calculer leur valeur. On rappelle (et on admettra) que R [X] , l'espace vectoriel réel des polynômes à coefficients dans R , est un espace préhilbertien réel pour le produit scalaire (P|Q) = fÏe"P(t)Q(zï)dï. On considère la base de R[X] formée des vecteurs ek où ek = X k ,k & N . IV.3.Z. Calculer les produits scalaires (e, lej). IV.3.3. Soit n e N*. Déduire des questions précédentes et de la partie I, la distance du vecteur en au sous-espace vectoriel R... [X] des polynômes de degré S n----l de l'espace mx]. Fin de l'énoncé.

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 CCP Maths 2 PSI 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Juliette Leloup (ENS Ulm) ; il a été relu par Tristan Poullaouec (ENS Cachan) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE). Le sujet comporte un unique problème divisé en quatre parties et porte essentiellement sur des questions de calcul matriciel. · La première partie a pour but de calculer le déterminant det ((i + j)!)06i,j6n pour tout entier n. Cette partie est indépendante du reste du sujet ; le résultat sera réutilisé dans la partie 4. Les calculs ne sont pas difficiles mais demandent une certaine attention dans l'utilisation des notations. · Dans la deuxième partie, on étudie certaines propriétés de la matrice de Gram de n vecteurs v1 , . . . , vn d'un espace préhilbertien réel, G(v1 , . . . , vn ) = (vi |vj ) Mn (R) On démontre que le déterminant de la matrice G(v1 , . . . , vn ) est positif et que la famille (v1 , v2 , . . . , vn ) est libre si et seulement si le déterminant de G(v1 , . . . , vn ) est strictement positif. · La troisième partie est consacrée à l'étude de la matrice de Gram d'une certaine famille de l'espace euclidien R3 . Cette partie réutilise certains résultats établis dans la partie précédente. · La quatrième partie montre comment les matrices de Gram permettent de calculer la distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace préhilbertien réel. Un calcul explicite est demandé qui réutilise un résultat démontré dans la première partie. Les autres questions ne dépendent pas de ce qui précède. Le sujet est très classique et sa difficulté n'est pas excessive. L'énoncé donne de nombreuses indications. Les questions théoriques restent proches du cours d'algèbre linéaire et bilinéaire surtout dans la deuxième partie. Elles demandent cependant des démonstrations conséquentes qu'il faut savoir maîtriser et qu'il ne faut pas traiter trop rapidement. Le jury déplore ainsi trop souvent des justifications succinctes et incomplètes. Il faut de plus lire précisément les questions posées afin de ne pas répondre à côté. C'est donc un excellent sujet de révision, qu'on doit pouvoir terminer dans les quatre heures imparties. Indications Partie I I.1.3.1 Utiliser la formule de Pascal. I.2.2 Utiliser la n­linéarité du déterminant. I.2.3 Faire le lien avec la partie I.1. pour reconnaître la matrice n . Partie II II.B.1 Penser à l'inégalité de Cauchy-Schwarz et à son cas d'égalité. II.B.6 Raisonner par l'absurde. Partie III III.2 Utiliser le polynôme P introduit à la question III.1. III.3 Utiliser la question précédente et le résultat de la partie II sur la positivité du déterminant de la matrice de Gram de (u1 , u2 , u3 ). Partie IV IV.2.2 Décomposer v dans F et F , v = vF + vF , utiliser la question IV.1.2 et la question IV.2.1, puis remarquer que kvF k = d(v, F). IV.3.1 Établir une relation de récurrence sur la suite (Jk )kN , en intégrant par parties. IV.3.3 Suivre les indications de l'énoncé et reprendre le résultat de la question I.2.3 pour le calcul du déterminant Dn . Partie I I.1.1 En appliquant directement les formules on obtient p+0 a1,1 = =1 p+0 p+1+n-p+1-2 n a1,n-p+1 = = p+1-1 p p+n-p+1+1-2 n an-p+1,1 = = =1 p+n-p+1-1 n p+n-p+1+n-p+1-2 2n - p an-p+1,n-p+1 = = p+n-p+1-1 n a1,1 = 1, a1,n-p+1 n 2n - p = , an-p+1,1 = 1, an-p+1,n-p+1 = p n On peut remarquer dès cette question que la première colonne de la matrice Ap est une colonne de 1. En effet si 1 6 i 6 n - p + 1, p+i-1 ai,1 = =1 p+i-1 Soient n N et p [[ 0 ; n ]]. Si on avait voulu être très rigoureux dans les notations de cette partie, il aurait fallu utiliser pour les coefficients de la matrice Ap Mn-p+1 (R) la notation suivante Ap = api,j En effet, les coefficients de la matrice changent suivant la taille de la matrice et dépendent à la fois de p et de n contrairement à ce qu'on peut penser à la première lecture du sujet. I.1.2 Soit n > 2. Pour p = n, An M1 (R) et An = (1). Son déterminant vaut dn = 1 Pour p = n - 1, An-1 M2 (R) et, avec les calculs faits précédemment, on obtient n 1 n-1 1 n An-1 = = 1 n+1 n+1 1 n Comme dn-1 = det(An-1 ), il vient dn-1 = 1 Pour p = n - 2, An-2 M3 (R) n-1 1 n-2 n An-2 = 1 n-1 n+1 1 n et n 1 n-2 n+1 = 1 n-1 n+2 1 n n-1 n(n - 1) 2 n (n + 1)n 2 n+1 (n + 2)(n + 1) 2 Calculons dn-2 = det(An-2 ). Pour cela, on soustrait la seconde ligne à la troisième (L3 L3 - L2 ) et on retranche la première ligne à la seconde (L2 L2 - L1 ). Le déterminant étant une forme 3-linéaire alternée, on en déduit que dn-2 = 0 1 n(n - 1) 2 n 0 1 n+1 1 n-1 puis dn-2 = 1 n 1 n+1 en développant par rapport à la première colonne. On conclut que dn-2 = 1 Pour calculer dn-2 , on pouvait également utiliser la règle de Sarrus afin de calculer directement le déterminant sans faire des opérations sur les lignes ou les colonnes, ce qui donnerait dn-2 = 1 (n(n + 2)(n + 1) + 2(n - 1)n(n + 1) 2 -n2 (n - 1) - (n + 1)2 n - (n - 1)(n + 1)(n + 2) =1 Les opérations sur les lignes et les colonnes permettent d'exploiter les caractéristiques de la matrice (symétrie, liens entre les lignes, etc.). Ici, cette méthode provoque moins d'erreurs de calculs. De manière générale, la règle de Sarrus est à éviter dès que les coefficients de la matrices sont un peu compliqués. Elle est en revanche à privilégier lorsqu'ils sont simples comme à la question I.2.1. I.1.3.1 D'après l'énoncé, on a maintenant p 6 n - 2 pour que Ap possède au moins deux lignes. Soit (i, j) [[ 2 ; n - p + 1 ]] × [[ 1 ; n - p + 1 ]]. Appelons bi,j le coefficient d'indice (i, j) de la nouvelle ligne Li . p+i+j-2 p+i+j-3 bi,j = ai,j - ai-1,j = - p+i-1 p+i-2 p+i-1 p+i-2 Si j = 1, on remarque que bi,1 = - = 1 - 1. Donc p+i-1 p+i-2 i [[ 2 ; n - p + 1 ]] bi,1 = 0