CCP Maths 2 PSI 2006

Thème de l'épreuve Étude d'une famille de matrices
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, arithmétique, réduction des endomorphismes, déterminants

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2006 PSIM206 A coucouas connus routecuuuouæs EPREUVE SPECIFIQUE -- FILIERE PSI MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. **** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'noncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. **** Le sujet comporte 6 pages. Notations : On désigne par R l'ensemble des nombres réels, par N l'ensemble des nombres entiers naturels et par @ l'ensemble des nombres rationnels. On note N l'ensemble N privé de O. Etant donné un entier naturel non nul n , on note _[[l,n]] l'ensemble des entiers naturels k tels que 15k£n. » Pour n entier naturel non nul, on note % ( R) (respectivement JÏ/(7nl( R)) l'espace vectoriel n des matrices carrées à n lignes (respectivement l'espace vectoriel des matrices colonnes a n lignes) à coefficients dans R. ' Etant donné une matrice/1 , la notation A = (a.... ) signifie que au est le coefficient de la ligne i . et ' de la colonne j de la matrice A. _ , On note In la matrice unité de z/l/Ln (R) c'est-à-dire, telle que In : (a...) avec : POur tout i , al.,, =] et pour tout i # j , ai_j : 0. On note ], la matrice carrée de % (IR) dont tous les coefficients sont égaux à 1 et K" la matrice colonne de c/flp n,l (R) dont tous les cOefficients sont égaux'à 1. L'espace vectoriel R" est rapporté à la base canonique (e1 , e2 ,..., en ). Objectifs : Le problème porte sur l'étude de matrices vérifiant une propriété (.73 ) . Dans la partie 1, on fait établir des résultats sur une matrice particulière vérifiant la propriété (? ) . La partie II conduit, à travers l'étude des matrices vérifiant la propriété (f ), à caractériser ces matrices à l'aide de matrices semblables. Dans la partie III, on construit, à l'aide de produits scalaires, une matrice vérifiant la propriété ( Ï3 ) . Les trois parties sont indépendantes les unes des autres. PARTIE 1 01010 10100 ] SoitM_=01001eJÎ/LS(R). 10001 00110 1.1. Calculer la matrice M 2. 1.2. Exprimer la matrice M 2 +M en fonction des matrices J5 et 15 . 1.3. Exprimer 1a matrice J52 en fonction de la matrice J5 . 1.4. Déduire des questions précédentes un polynôme annùlateur de M . 1.5. Quelles sont les valeurs pr0pres possibles de la matrice M ?_ 1.6. Montrer que M possède une valeur propre entière (et une seule) ; déterminer cette valeur propre entière ainsi que le sous--espace propre associé. PARTIE II Dans cette partie n et 5 s0nt des nombres entiers tels que 2 S 5 S n ----l . On dit qu'une matrice M =(m...) & C/l/(7 (IR) vérifie la propriété (f ) lorsqu'elle vérifie les quatre n conditions suivantes : ( 1) M est symétrique ' (2) Pour tout i & [[l,n]], m.... = 0 (3) Chaque ligne de M comporte 5 coefficients égaux à 1 et n ----- 5 coefficients égaux à O. (4) Pour tout (i,_j)efll,n]] x [[l,n]] avec i # j, le coefficient mi,]. =O, si et ' seulement Si, il existe un entier k & [[l,n]] tel que ml.,k : mj,k :] . L'entier k est alors unique. On pourra utiliser sans justification une conséquence de la propriété (? ) : sr mi,]. : 1 , alors pour tout entrer k & [[l,n]] on a le produit mi,kmj_k = " Soit M = (m...) & J"; (R). On suppose que la matrice M vérifie la propriété (? ) 11.1. Expression deM2. On note M 2 = (a...) II.1.1. Pour i e [[l,n]] , calculer les coefficients a...; v II.1.2. Pour (i, j) e[[l,h]] x [[l,n]] avec i# j, déterminerle coefficient al.,). selon la valeur de m...... ' II.1.3. Montrer que M 2 : J" --M + dIn où d eSt un nombre entier que l'on déterminera. Dans la suite, on ' note , f (respectivement @) l'endomorphisme de R" , de matrice M (respectivement de matrice J,; ), relativement à la basecanonique (e1,e2,...,en) de R" . On note id l'endomorphisme identité de IR" . Soit 0 le vecteur de R" dontla matrice colonne des'coordonnées relativement à la base canonique de R" est Kn .. 11.2. Relation entre "n et 5. 11.2.1. Déterminer Im(ça) , l'image de l'application linéaire ça. 1122. Soit u un vecteur du noyau de f -- 5 id. En calculant ( f 0 f ) (u), montrer que u est colinéaire à fu. 11.2.3. Montrer que 5 est une valeur propre de f et déterminer le sous-espace propre correspondant. 11.2.4. Déduire des questions précédentes l'égalité n = 5 2 + 1. 11.3. Valeurs propres de f . ' Dans la suite de cette question 11.3,  est une valeur propre de f avec  # 5 et n u : Z x,e, un vecteur propre de f associé àla valeur propre /1 . .=1 . . II.3.1. _ . Justifier l'affirmation : il existe une base de R" formée de vecteurs propres de f . , 11.3.2. Justifier l'égalitéin : 0. Que vaut (p (u) '? _ i=l 11.3.3. Montrer que it est racine de l'équation (E) : x2 + x +1 -- 5 = 0 . 11.3.4. On note a et b les deux racines de l'équation (E). On suppose qu'une seule de ces racines est valeur propre de f , par exemple a. En utilisant la trace de l'endomorphisme f , exprimer a en fonction de 5 . En déduire une impossibilité. - Les deux racines a et b de l'équation (E) sont donc des valeuOEpropres de f . Dans la suite, on suppose a > b. 11.4. Relations portant sur r , s, a,_ _b et 5 . On note r la dimension du noyau de f -- a id et s la dimension du noyau de f --b id. 11.4.1. Exprimer (a ----b)2 en foncti0n de 5 . _ _ 1 II.4.2. Exprimer le produit matriciel (î Î] (; * J en fonction de 5 . 11.43. En déduire ( r -- s)(a --b) en fonction de 5 . 11.4.4. Pour quelle valeur de 5 a-t--ori r =_s '? Que Valent alors r' et s ? Dans la suite,, on caractérise la matrice M par une matrice diagonale semblable à M.. 11.5. Premier cas. On suppose que a --b 65 Q . ' 11.5.1. Montrer que r = s. En déduire 5 et n. "11.5.2. Déterminer a et b et donner une matfice'diagonäe semblable à M . 11.6. . Deuxième cas. On suppose que a --b & Q . , . ' m * . . 11.6.1. On écr1t a --b =------ avec m et q dans N . Montrer que tout nombre premier qui '] divise q divise m . En déduire que a --b G N . 11.6.2. - Montrer que a -- b est un entier impair supérieur ou égal à 3. En notant a ----. b = 2 p +1 avec p EUR N°", exprimer 5 en fonction de p . En déduire a et b en fonction de p. 11.6.3. On note c=a--b. Montrer que .c divise (cz+3)(cz--S). En déduire que ce{3,5,15}. _ 11.6.4. Pour les différentes valeurs dec , donner le tableau des valeurs de 5, n,a,b, r et s . PARTIE III On considère l'espace vectoriel euclidien R5 rapporté à la base orthonormale ÎJ' : (e,, e2 , e,, e,, es) . On note (u |w) le produit scalaire de deux vecteurs u et w de RS . On considère tous les vecteurs u, obtenus en ajoutant deux vecteurs distincts de ÏÎ : u, =ea.+efl avec OL$B. , III.1. Justifier que l'on définit ainsi 10 vecteurs u, . On indexe les vecteurs u, de façon arbitraire : u,, i & [[l,10]]. III.2. Soit w un endomorphisme de R5 qui réalise une bijection de la base Î)' sur elle-même. Montrer que pour tout (i,j) e[[l,lO]] x [1,10], on a (u,lu1) : (W("z)l'>"(%)) . III.3. Calcul des produits scalaires (%l";)- Ill.3.l. Pour ie [[l,10]], calculer (u, lu,). Ill.3.2. . On suppose que u, : ea +efl et que u j : ea +e7 avec ,8 $ ;/ . Calculer (u, luj). Ill.3.3. On suppose que u, : ea +efl et que u j = e, +6, avec les quatre indices_a , ,B , £;/,, & * tous différents. Calculer(u, |uj) . III.4. Soit A =(ai,.) avec a,]. =(u,luj). ] III.4.1. Écrire une combinaison linéaire M de A, 110 et J10 susceptible de vérifier la propriété ( ?) définie dans la partie II. _ III.4.2. Justifier que cette matrice .M vérifie la propriété ( Î ) Fin de l'énoncé.

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 CCP Maths 2 PSI 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Hervé Diet (ENS Cachan) ; il a été relu par Hicham Qasmi (ENS Lyon) et Vincent Perrier (ENS Cachan). Le sujet se compose d'un unique problème. Il propose d'étudier les matrices M = (mi,j )i,j[[ 1 ; n ]] dont les coefficients appartiennent à {0, 1}, satisfaisant les conditions suivantes : · M est symétrique. · chaque ligne de la matrice contient un nombre fixé de coefficients égaux à 1. · Pour tous entiers i, j appartenant à [[ 1 ; n ]], mi,j = 0 (!k mi,k = mj,k = 1) Le problème comporte trois parties. · La première introduit une matrice carrée de dimension 5 vérifiant les conditions voulues. Il s'agit ensuite, grâce à des calculs effectués sur cette matrice, de dégager quelques propriétés de telles matrices. On calculera par exemple le carré de cette matrice, un de ses polynômes annulateurs et l'une de ses valeurs propres ainsi que l'espace propre associé. · Une étude générale de ces matrices en dimension n est menée dans la deuxième partie, en commençant par une étude spectrale approfondie. Les dernières questions visent à montrer, en introduisant des outils arithmétiques, que ces matrices n'existent que dans un nombre restreint de dimensions. · La dernière partie guide le candidat pour trouver une deuxième matrice vérifiant les propriétés. Pour cela, on introduit une matrice intermédiaire définie grâce à des produits scalaires sur un espace de dimension 5. Il faut ensuite trouver une combinaison judicieuse faisant intervenir cette matrice et d'autres matrices classiques, et qui vérifie toutes les conditions énoncées. La recherche est guidée par les résultats de la partie précédente. Cet énoncé n'est pas très long et aucune question ne nécessite beaucoup de rédaction. Il requiert cependant une bonne maîtrise du calcul matriciel, une connaissance approfondie de la théorie de la réduction des endomorphismes, ainsi que certains outils d'arithmétique. Il n'est donc pas très difficile et il contient des notions que tout candidat se doit absolument de maîtriser. Indications Partie I I.1 Simplifier les calculs à l'aide de la symétrie de M. I.4 Utiliser le résultat de la question I.2 pour isoler J5 puis utiliser cette égalité et celle de la question I.3 . I.5 Penser au lien entre valeurs propres et polynôme annulateur. I.6 Poser et résoudre les systèmes possibles reliant les valeurs propres et leurs vecteurs propres. Partie II II.2.1 Calculer l'image d'une base de Rn . II.2.2 Utiliser le résultat de la question II.1.3 pour calculer f f d'une seconde façon. II.2.4 Calculer f f (v). II.3.2 Commencer par expliciter le système vérifié par les xi , puis combiner linéairement ces équations. II.3.3 Calculer f f (u). II.3.4 Écrire la matrice de f dans une base de vecteurs propres. II.4.2 Se rappeler des relations racines-coefficients pour un polynôme. II.4.2 L'espace vectoriel Rn se décompose en une somme directe de sous-espaces propres de f . II.5.1 Utiliser le résultat de la question II.4.3 et raisonner par l'absurde. II.6.1 Utiliser le résultat de la question II.4.1. II.6.3 Commencer par exprimer (c2 + 3) et (c2 - 5) en fonction de p. Partie III III.4.1 Pour choisir M, regarder le tableau de la question II.6.4 pour déterminer le nombre de 1 et de 0 par ligne. Partie I I.1 Soit N le carré de M et soit ni,j ses coefficients. Alors, d'après la définition du produit de matrices, on a la relation suivante entre les coefficients de N et ceux de M 5 P ni,j = mi,k mk,j k=1 Comme M est symétrique, N l'est aussi car t t t N = M M = MM = N Il suffit donc de calculer les coefficients au-dessus de la diagonale de N et d'en déduire les autres par symétrie : n1,1 = 2, n1,2 = 0, n1,3 = 1, n1,4 = 0, n1,5 = 1 n2,2 = 2, n2,3 = 0, n2,4 = 1, n2,5 = 1 n3,3 = 2, n3,4 = 1, n3,5 = 0 n4,4 = 2, n4,5 = 0 n5,5 = 2 Finalement, M2 = I.2 D'après le résultat de la 2 0 1 0 0 2 0 1 M2 + M = 1 0 2 1 0 1 1 2 1 1 0 0 2 0 1 0 1 0 2 0 1 1 1 0 2 1 0 0 1 1 2 0 1 1 0 0 2 question précédente, on a 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 + 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 1 0 = 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 Il faut maintenant exprimer ce résultat en fonction de J5 et I5 . La structure simple et ordonnée de la matrice M2 + M dont les coefficients ne sont que des 1 ou des 2 montre que M2 + M est la somme de J5 et de la matrice identité, donc M2 + M = J5 + I5 I.3 Soit A = J5 2 = (ai,j ) et J5 = (bi,j ). Alors (i, j) [[ 1 ; 5 ]] 2 ai,j = 5 P bi,k bk,j k=1 Or, tous les coefficients de J5 valent 1, donc ai,j = 5 P 1=5 k=1 Par suite, J5 2 = 5J5 I.4 D'après le résultat de la question I.2, on peut écrire que J5 = M2 + M - I5 L'égalité obtenue à la question précédente se réécrit soit puis (M2 + M - I5 )2 = 5(M2 + M - I5 ) M4 + M2 + I5 + 2M3 - 2M2 - 2M = 5M2 + 5M - 5I5 M4 + 2M3 - 6M2 - 7M + 6I5 = 0 Ainsi, un polynôme annulateur de M est P(X) = X4 + 2X3 - 6X2 - 7X + 6 I.5 Puisque P est un polynôme annulateur de M, les valeurs propres de M sont racines de P. Comme -3 et 2 sont deux racines évidentes de P, on peut factoriser P par (X - 2)(X + 3) pour trouver les deux dernières racines. Cette factorisation de P s'écrit sous la forme P(X) = (X - 2)(X + 3)(aX2 + bX + c) où a, b et c sont trois réels que l'on va déterminer. Le terme dominant de P est X4 , et le terme dominant de la forme factorisée de P est aX4 , d'où a = 1. Le polynôme P prend la valeur 6 en 0, et sa forme factorisée prend la valeur -6c en 0. On en déduit que c = -1. Enfin, en évaluant P en 1, on obtient la valeur -4, tandis que la forme factorisée de P prend la valeur -4b. Il vient donc b = 1. Ainsi, le polynôme P se factorise sous la forme P(X) = (X - 2)(X + 3)(X2 + X - 1) On a utilisé ici le résultat suivant. Si P est un polynôme annulateur de M et si est une valeur propre de M, alors P() = 0. Ce résultat se démontre de la manière suivante : si est une valeur propre, alors il existe un vecteur non nul V tel que MV = V. En itérant cette égalité, on obtient k N Mk V = k V et on en déduit par combinaison linéaire que P(M)V = P()V = 0. Comme V est non nul, il vient P() = 0. Les deux autres racines de P sont les racines du trinôme X2 + X - 1 soit (-1 + 5)/2 et (-1 - 5)/2. Les 4 valeurs propres possibles de M sont donc 2, -3, 1 1 (-1 + 5), (-1 - 5) 2 2 I.6 D'après le résultat de la question précédente, les deux seules valeurs propres entières possibles pour M sont 2 et -3. Cherchons un vecteur propre X pour la valeur propre 2, de coordonnées (x1 , . . . , x5 ). X vérifie l'équation ce qui se traduit par le système MX = 2X x2 + x4 = 2x1 x1 + x3 = 2x2 x2 + x5 = 2x3 x 1 + x5 = 2x4 x3 + x4 = 2x5