CCP Maths 2 PSI 2005

Thème de l'épreuve Étude des matrices unitaires (qui vérifient M-1=transposée(barre(M))) en dimension 2
Principaux outils utilisés algèbre bilinéaire, algèbre linéaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                 

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
     

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2005 PSIM207 A CONCOURS (DMHUNS POlYÏECHNIOUES \ EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI; ' MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont-autorisées. **** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra ' poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. ' **** Le sujet comporte 6 pages. Notations et objectifs R désigne l'ensemble des nombres réels, CC désigne l'ensemble des nombres complexes. Pour ' À & C , on n0te ... le module de /1. ' ' ' cM»2 (©) désigne l'espace des matrices à deux lignes et à deux colonnes, à coefficients compleXcs. M =(m,_j) étant une matrice à coefficients complexes, on note Ml: (Zi--,,) la matrice dont les coefficients sont les conjugués des coefficients de M . La matrice transposée de M est notée t M . Pour Me<:Mo' 2 1--10 2"01° Le problème porte sur l'étude de sous-ensembles de matrices de ch»2 (C) et conduit à définir, par (C) , on note det(M) le déterminant de M et tr(M ) la trace de M . On note ...des matrices de icM92 ((C) , des rotations d'un espace euclidien de dimension 3. Dans la première partie, on définit un produit scalaire sur l'espace vectoriel complexe ° I'll.l.3. En déduire que U appartient à 30611 si et seulement si U : (Z _ ] avec » a |al2 +|br =1. a--Ë bâ III.2.1. Déterminer le polynôme caractéristique 1(À) : det(U --ÀI,) de U. En déduire 1112. Soit U =( ) , avec |a|2 +|b|2 =] une matrice de Îf°U. qu'il existe un réel 9 tel que les valeurs propres de U sont ei" et e"9. Etant donné une matrice U & ÎYGU , on admet que" U est semblable à une matrice diagonale D,, avec une matrice de passage Pe ÏGU , c'est à dire qu'il existe 0 e R et PeÎf°U tels que U : PD,,P'1 . La démonstration de ce résultat fera l'objet de la question IV.7 . III.2.2. Vérifier que la matrice T définie àla question 1.3 appartient à Îf°U . Déterminer un réel 9 et une matrice P appartenant à Ï6U , tels que T : PDÛP". PARTIE IV Rappel : E étant un espace euclidien orienté de dimension 3, rapporté à la base orthonorrnale 1 -- 0 O directe (31,329 a, ) , 9 étant un réel, on note R,, = 0 cos9 --sin9 la matrice, relativement à 0 sin 9 cost? cette base, de la rotation de E d'axe dirigé par le vecteur EUR, et dont une mesure de l'angle est le réel 9. ' Onnote 6Û={AGJ"12(C) ; A:'Â et tr(A)=0}. IV.1. Soit A: a C e°Û. b d , a r +is IV.1.1. Montrer que A eSt'de la forme A =( ) avec a, r, s réels. En déduire r--ù --a que GÜ est un espace ÿectoriel réel dont une base est formée par les matrices 1 0 0 1 0 i E1 : , E2 : , E3 : . 0 --1 \ 1 0 ---i 0 1 IV.1.2. Montrer que l'application définie sur GÜX°Ü par : (A,B) +-->< A,B >=,--2--tr(AB) définit un produit scalaire sur l'espace vectoriel réel GÜ. En notant "A" = ,/< A,A > la norme de A , exprimer "A"2 en fonction de det(A). IV.1.3. Pour j et k appartenant à l'ensemble {l,2,3} , calculer les produits scalaires < E j , E k >. Que peut--on en déduire '? Dans la suite, on considère GU comme un espace euclidien, pour le produit scalaire défini ci--dessus. IV.2. Soit P e 50 GU . On note lP l'application définie sur 6Üpar : pour tout A & GÜ , lp (A) : PAP"1 . IV.2.1. Montrer que l,, est un automorphisme orthogonal de l'espace euclidien CÜ (c'est-à- dire un endomorphisme de OU qui conserve la norme). IV.2.2. Soient P et Q dans ÔÛGU. Montrer que le produit PQ appartient à ÎYGU et montrer que la composée [P 0 [Q vérifie le4 o [Q : [PQ. Dans la suite, pour U & îf°U , on étudie les automorphisrhes [U de GU. IV.3. Caractérisation de lDe' IV.3.1. Pour j=1,2,3, exprimer lDa (Ej) dans labase (E1,EZ,E3). IV.3.2. En déduire que ng est une_rotation de l'espace euclidien GU , dont on donnera un vecteur qui dirige l'axe et une mesure de l'angle. IV.4. Soit U eÎYGU. En utilisant le résultat admis dans III.2., déterminer une base orthonoimale de l'espace euclidien %, relativement à laquelle la matrice de [U est une matrice de rotation. Préciser un vecteur qui dirige l'axe et une mesure del'angle de cette rotation. a--Ï5 IV.5. Soit U =( b a ]eÎGU Ennotant a=p+iq, (p,q)eR2, onécrit U=p],+iH avec HECN\92(C). IV.5.1. Montrer que H appartient à GÜ. IV.5.2. Déterminer lU (H). IV.5.3. En notant b = r +is, (r,s) EUR RZ, déterminerparSes composantes relativement à la base (E1 , E2 , E3 ) , un vecteur de l'axe de la rotation lU . IV.6. On considère la rotation [T de CU, définie par la matrice de T -- de la question I.3 ; donner un vecteur qui dirige l'axe et une mesure de l'angle de cette rotation. IV.7 . Soit U e 30 Cu . Démonstration du résultat admis dans III.2. IV.7.1 On suppose que U a une valeur propre double ; quelles sont les matrices U possibles ? IV.7.2 Dans le cas où U a deux valeurs propres distinctes, montrer que les sous espaces pr0pres correspondants sont orthogonaux dans C2 . En déduire le résultat admis dans 1112. Fin de l'énoncé.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Maths 2 PSI 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (ENS Cachan) ; il a été relu par Olivier Dudas (ENS Ulm) et Walter Appel (Professeur en CPGE). Ce problème propose une étude des matrices de Pauli, qui sont les matrices complexes (2, 2) égales à la transposée de leur conjuguée et de trace nulle. Tout le problème est construit en progression pour aboutir, dans la partie IV, à la mise en oeuvre de tous les moyens exposés dans les parties précédentes et, en particulier, à la généralisation des résultats sur les matrices orthogonales au cas complexe. · La première partie, très facile, traite de résultats classiques sur les vecteurs complexes et le produit scalaire canonique. Elle introduit à la question I.3 une matrice T qui servira d'exemple tout au long du problème. · La deuxième partie étudie le groupe unitaire, équivalent complexe du groupe orthogonal, et montre les résultats qui seront utilisés par la suite. · La troisième partie s'intéresse au cas particulier des matrices de déterminant 1, qui constituent le groupe spécial unitaire. · Enfin, la quatrième partie étudie l'algèbre des matrices de Pauli et certains de ses endomorphismes. Ce problème progressif est remarquablement guidé : tous les outils dont on a besoin sont introduits petit à petit. Il propose une étude intéressante mais requiert peu de connaissances et n'utilise pas beaucoup de théorèmes. Il demande surtout de savoir prendre du recul par rapport au programme et d'être à l'aise avec les raisonnements abstraits. C'est une excellente occasion de réviser l'algèbre bilinéaire. Indications Partie I I.2.1 La famille (x, y) est une base de C2 si et seulement si elle est libre. I.3.1 Calculer le polynôme caractéristique de T pour déterminer ses valeurs propres, puis résoudre les deux systèmes TX = X. I.3.2 Montrer que la famille de vecteurs propres obtenue est orthogonale, puis diviser les vecteurs par leur norme. Partie II II.1 Utiliser la question précédente. t II.3.1 Montrer que U = U-1 . t II.3.2 Utiliser l'égalité U = U-1 . II.4 Partir de l'égalité UX = X, la conjuguer et la transposer, puis faire appat raître une égalité avec la norme de X en utilisant U U = I2 . Partie III III.1.1 Utiliser la question I.4 . III.1.2 Effectuer des combinaisons linéaires sur le système obtenu à la question précédente. III.1.3 Utiliser la question précédente pour le sens direct et vérifier la réciproque par le calcul. Partie IV IV.1.1 Montrer que V est un sous-espace vectoriel réel de M2 (C). IV.1.2 Montrer que l'application h· , ·i est une forme bilinéaire symétrique définie positive. IV.4 Calculer lU (PEj P-1 ) pour j = 1, 2, 3. IV.5.1 Calculer explicitement H en fonction de b et q. IV.5.2 Montrer que U et H commutent. IV.7.1 Utiliser la question III.2.1 pour déterminer les valeurs propres de U. Conclure à l'aide de la trace et du déterminant. IV.7.2 Utiliser la question III.2.1 puis la relation 2 (X | Y) = (X | Y) avec X (resp. Y) vecteur propre associé à (resp. ). Conclure à l'aide de la question II.1 . Partie I I.1 Vérifions que (· | ·) possède bien les propriétés d'un produit scalaire. Si l'on se fie aveuglément à l'énoncé, il n'y a strictement rien à faire dans cette question. Celui-ci dit que c'est un produit scalaire, donc on peut directement rappeler les résultats du cours. Cependant, on ne peut pas exclure l'hypothèse d'une formulation maladroite : peut-être l'énoncé demande-t-il de vérifier par le calcul que c'est effectivement un produit scalaire. Sachant que le calcul est trivial, il serait dommage de passer bêtement à côté de points faciles. Nous vous conseillons donc d'effectuer explicitement les vérifications. t On a (y | x) = Y X t = (t X Y) t t = ( X Y) t = (x | y) (y | x) = (x | y) t De la même manière, (x | y) = X Y t = XY (x | y) = (x | y) t Enfin, (x | µy) = X µY (x | µy) = µ(x | y) I.2.1 La famille (x, y) est une base de C2 si et seulement si c'est une famille libre de C2 , ce qui revient à dire que la matrice (X Y) est inversible, c'est-à-dire que detB (x, y) 6= 0. Or, detB (x, y) = a -1 + 5i = a(3 - 2i) - (1 + 3i)(-1 + 5i) 1 + 3i 3 - 2i ce qui montre que la condition nécessaire et suffisante cherchée est : a 6= c'est-à-dire, après calculs, (1 + 3i)(-1 + 5i) 3 - 2i a 6= -4 - 2i La famille (x, y) est une base de C2 si et seulement si a 6= -4 - 2i. I.2.2 La base (x, y) est orthogonale si et seulement si (x | y) = 0, ce qui s'écrit t On en déduit X Y = a(-1 + 5i) + (1 + 3i)(3 - 2i) = 0 (1 - 3i)(3 - 2i) 1 - 5i (-3 - 11i)(1 + 5i) = 12 + 52 52 - 26i = 26 a = 2-i a= Dans ces conditions, kxk2 = |2 + i|2 + |1 + 3i|2 = 5 + 10 = 15. La famille (x, y) est une base orthogonalesi et seulement si a = 2 + i. On a alors kxk = 15. I.3.1 Déterminons le polynôme caractéristique T () = det(T - I2 ) de T. Pour tout C, 3 i ! ! - i i 3 3 2 2 = - - - - - = 2 + 1 2 2 2 2 3 i - - - 2 2 Dans le cas particulier de la dimension 2, on peut toujours utiliser directement la formule T () = 2 - (tr T) + det T. Elle permet de déterminer le polynôme caractéristique de T plus facilement. ! ! i -i - 3 3 2 2 T () = - (tr T) + det T = + - = 2 + 1 2 2 2 2 On en déduit que les valeurs propres de T sont i et -i. Cherchons les vecteurs propres associés. · Le vecteur propre X = (a, b) associé à la valeur propre i vérifie TX = iX : 3 i a+ b = ia 2 2 - 3 a - i b = ib 2 2 soit puis 3b = ia - 3a = 3ib ia = 3b Ainsi, le vecteur ( 3, i) convient.