CCP Maths 2 PSI 2004

Thème de l'épreuve Étude d'une suite double
Principaux outils utilisés principe de récurrence, déterminants, changement de base, dénombrements

Corrigé

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 SESSION 2004 _ . PSIM207 CONCOURS (OMMUNS POlYÏICHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI ' MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. **** N. B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concisian de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. **** Ce problème porte sur l'étude d'une suite double et de différents contextes dans lesquels on retrouve cette suite. ; On désigne par N l'ensemble des entiersnaturels, par N* l'ensemble N privé de 0, par Z l'ensemble des entiers relatifs et par R l'ensemble des nombres réels. ! Pour n G N, on note [[O,n]] l'ensemble des entiers naturels k tels que 0 5 k 5 n . On note CMo... (Z) l'anneau des matrices carrées d'ordre n+l à coefficients dans Z. Pour M ecMon+l(Z). on note M =(mM) où mm est l'élément de la ligne p et de la (M)EURl°fll2 m m colonne q.Par exemple M ecMa2 (Z) sera noté M =( °'° OJ). mm mm Pour M HM"... (Z), on note det(M ) le déterminant de M et com(M ) la comatrice de M . R[X ] désigne l'espace des polynômes à coefficients réels et, pour ne N , R,, [X ] désigne le sous--espace de R[X ] des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Les parties II, III et IV de ce problème sont indépendantes entre elles ; seule la suite étudiée dans la ' partie I apparaît dans une question de chacune de ces parties. PARTIE I ' On définit la suite double de nombres réels (am) par : (P-fl)eN2 (i) a..., =1 ii pourtout peN*, a :D () . Po (iii) pourtout qèN*, ao,q=O . (iv) pourtout (p,q)eN2, aP+WI=ap'q+(p+l)ap+l,q. La considération d'un tableau, dans lequel les aM sont disposés avec p indice de ligne et q indice de colonne, pourra se révéler d'une utilité certaine. 1.1. Pour qu, calculer a.... 1.2. Calculer az,l et "2,2- I.3. Pour q 2 2, exprimer a2 G en fonction de a2 q_,. En déduire la valeur de a2_q. ' \ °/ / O , n * n 1.4. Pour p EUR N, on cons1dere la propnete J p . pour tout q EUR N , on a um G N . 53 est vraie. Montrer que pour tout p e N, la pmpnete p 1.5. Pour p>q, calculer aM. 1.6. Pour peN, calculer aw. 1.7. Pour neN, on désigne par A,, la matrice carrée d'ordre n+l (c'est--à--dire à n+l lignes et à n+l colonnes), dont le terme de la ligne p et de la colonne q est am , pour tout (M)ëll°fllY- Expliciter les matrices A2, A3, A4 et A5- PARTIE 11 Dans cette partie, n désigne un entier naturel. 11.1. Soit M =(mP'q)ec/qu... (z). 11.1.]. Montrer que det(M ) EUR Z. > 11.1.2. Montrer que com (M ) & cM»_... (Z). 11.1.3. On rappelle qu'une matrice M est inversible dans cMæ... (Z) si et seulement si M " existe et appartient à cMo... (Z) .Montrer que M est inversible dans CM»... (Z) si et seulement si det (M) : il . 11.2. On définit la suite (Bp)pOEN de polynômes de R[X ] par : BO =1 et pour peN*, p--l BP=H(X--j). J'=0 11.2.1. Montrer que (B...B,,...,B ) est une base de l'espace vectoriel Rn [X ] ; on notera (fi) cette base. " On note (96) la base canonique (l,X,...,X") de R" [X] On note Pn la matrice de passage de la base (96) à la base ($) et Q la matrice de passage dela base (fi) àla base (96). 11.2.2. On prend n=4, expliciter les matrices & et Q. 11.2.3. Montrer que l; est une matrice triangulaire supérieure à coefficients dans Z. 11.2.4. Calculer det(R,). [1.2.5 Montrer que Q" est une matrice triangulaire supérieure à coefficients dans Z. '] On note Q" : (flM) . Pour tout q el[0,n]l , on a donc X" : Z,Bp,qu. . =0 (P»Q)EURlO--flf 11.2.6. En donnant à X des valeurs particulières, déterminer les coefficients fl0,q ' fll,q1 fl2,q p0ur q EUR [[0' ":" ' . " 11.2.7. Montrer que Q" = A" où A" est la matrice définie au 1.7. PARTIE III oo On note F l'espace vectoriel réel des applications de classe EUR définies sur ]O,+oe[ et à valeurs dans R. On définit l'application & de F dans F par: fi(f)=g où g(x)=xf'(x). Pour qu*,on note çô" =çfioçô"" ;ainsi «52 =çboq) (par convention: çfi° =id,, ). III.1. Vérifier que à est un endomorphisme de F . Est--il surjectif ? Est-il injectif ? Préciser le noyau de qi. III.2. Déterminer les vecteurs propres et les valeurs propres de çfi. III.3. Pour f e F , expliciter dz (f). Déterminer le noyau de ç152 et en donner une base. III.4. Soit n e N *. Montrer qu'il existe des entiers dM tels que, pour tout q e[[l,n]] et tout _ q _ f e F, on ait la relation : pour tout x dans ]O,+oe[ , ç$" (f)(x)= de_qx"f(p) (x) où f... est p=l la dérivée p-ième de f . On admet que cette décomposition est unique. 1115. On convient que d0,0 =1 et que, pour p eN* et q eN*, dP_0 : do,q :O et dp_q =O si P>CI-- 2 \ , . . Montrer que pour tout ( p,q) & [[l,n]] , on a dM : a ou les a p_ q sont les termes defims dans la PJ! ' partie I. PARTIE IV IV.1 Soit @ la fonction définie sur R par w(t)=exp((expt)--l), où exp est la fonction exponentielle. [VI.]. Déterminer le développement limité de ça à l'ordre 4 en t= O. -IV1.2. Pour n variant de 1 à 4, en déduire la valeur de la dérivée n-ième de ça en O. Soit E un ensemble de cardinal n , n EUR N. On appelle partition de E , tout ensemble de parties non vides de ' E , deux à deux disjointes, dont la réunion est E. Chaque partie de la partition s'appelle une classe. IV.2. Pour tout entier j EUR N* , on note Pj le nombre de partitions de E en j classes. Par convention, on note 12,0 =1 et, pour tout n EUR N * et jEUR N* , R,° : PJ : O. IV.2.1. Pour j> n, calculer Pnj . IV.2.2. Calculer P,: et Pn" pour nEURN*. IV.2.3. On suppose j 2 2 et n 21. Soit a EUR E . En distinguant parmi les partitions de E en j classes, celles pour lesquelles le singleton {a} est une classe de la partition, justifier l'égalité Pn} : Pn{'l' + ij_,. IV.2.4. En déduire que pour tout . ( j,n) EUR N2 , on a R} = a les a M étant les termes le ' définis dans la partie I. IV.3. On note Pn le nombre de partitions de E . Par convention P0 =1. IV.3.1. Pour n variant de 1à4, calculer Pn et comparer R. à ça(")(0) où ça est la fonction définie en IV.l. IV.3.2. Exprimer Pn à l'aide des P,]. Dans la suite, on admettra la formule _ (1) R... : ZCÀ'Iî où les C]: sont les coefficients du binôme. k=0 IV.3.3 Montrer que pour tout n EUR N on a Pn s n! +") P , . IV.4 Pour x EUR R , on note s(x) : ---"'x" lorsque la ser1e converge. n. " n=0 IV.4.1. Déduire de IV.3.3. que le rayon de convergence de la série est supérieur ou égal à l. IV.4.2. Montrer à l'aide de (1) que pour |x| < 1, on a s'(x) : s(x) expx (on pourra développer en série entière exp x et utiliser le produit de Cauchy de deux séries entières). IV.4.3. En déduire s(x). IV.4.4. Montrer que pour tout n EUR N , on a R, : ça... (0). Fin de l'énoncé.

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 CCP Maths 2 PSI 2004 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Perrier (ENS Cachan) ; il a été relu par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan). Ce problème tourne autour d'une suite double vérifiant la relation de récurrence (p, q) N2 ap+1,q+1 = ap,q + (p + 1)ap+1,q Après une étude élémentaire de cette suite, on en montre des exemples d'application. · Dans la première partie, on calcule certains termes de la suite et on en démontre quelques propriétés. Les trois parties suivantes sont indépendantes les unes des autres mais dépendent toutes de la première. · Dans la deuxième partie, on montre que les termes de la suite double peuvent être vus comme les coefficients des matrices de changement de base entre deux suites de bases de l'espace R[X]. · Dans la troisième partie, on montre que la suite double (ap,q )p,qN peut servir à exprimer simplement les itérés d'un opérateur différentiel. · Enfin, dans la quatrième partie, on établit que la suite (ap,q )p,qN compte le nombre de partitions en p classes d'un ensemble à q éléments. Une technique de série génératrice exponentielle permet de conclure sur le nombre de partitions d'un ensemble. Bien que certaines questions portent sur les séries entières, la plupart des points abordés relèvent plutôt du programme de première année : suites récurrentes, équations différentielles, développements limités. N'oubliez pas que les concours portent sur les deux années de la préparation ! Indications Partie I I.3 Reconnaître une suite arithmético-géométrique I.4 Il est plus simple de montrer que Pq : « pour tout p dans N, ap,q est entier » est vraie par récurrence sur q. I.5 Raisonner par récurrence sur q. Partie II II.1.1 Utiliser la formule générale de développement du déterminant. II.2.5 Utiliser la question II.1.3. II.2.7 Montrer que les coefficients p,q vérifient la même relation de récurrence que les ap,q . Partie III III.1 Montrer que est surjectif et que le noyau de est l'ensemble des fonctions constantes. III.5 Montrer que les réels dp,q vérifient la même relation de récurrence que les ap,q . Partie IV IV.1.1 Composer les développements limités. IV.2.4 Montrer que les coefficients Pqp vérifient la même relation de récurrence que les ap,q . IV.3.3 Raisonner par récurrence forte sur n. Partie I I.1 Afin de déterminer les coefficients a1,q , essayons d'obtenir, à l'aide de la relation de récurrence définissant la suite double (ap,q )(p,q)N2 , une relation de récurrence sur la suite (a1,q )qN2 . On obtient q > 1 a1,q+1 = a0,q + a1,q = a1,q La suite (a1,q )qN est donc constante, égale à son premier terme a1,1 . Calculons celui-ci : a1,1 = a0,0 + a1,0 = 1 car par hypothèse, a0,0 = 1 et a1,0 = 0. Ainsi et a1,0 = 0 I.2 On a immédiatement q N a1,q = 1 a2,1 = a1,0 + 2a2,0 soit a2,1 = 0 et a2,2 = a1,1 + 2a2,1 = a1,1 d'où a2,2 = 1 I.3 Établissons, de manière analogue à la question I.1, une relation de récurrence sur la suite (a2,q )qN . a2,q+1 = a1,q + 2a2,q Or, d'après la question I.1, si q > 1, alors a1,q = 1, donc q > 1 a2,q+1 = 1 + 2a2,q Il s'agit ainsi d'une suite arithmético-géométrique, de point fixe qui vérifie = 2 + 1 d'où = -1 La suite de terme général a2,q + 1 vérifie alors q > 1 a2,q+1 + 1 = 2 (a2,q + 1) Il s'agit d'une suite géométrique de raison 2, et telle que a2,1 + 1 = 1, d'où l'on déduit que a2,q + 1 = 2q-1 . Par conséquent, a2,0 = 0 et q N a2,q = 2q-1 - 1 Rappel : on appelle suite arithmético-géométrique une suite (un )nN vérifiant (a, b) R2 n N un+1 = aun + b Si a 6= 1, celles-ci s'étudient de la manière suivante : on en cherche le point fixe , et on peut alors montrer que la suite de terme général vn = un - est une suite géométrique de raison a. Si a = 1, il s'agit d'une suite arithmétique. On aurait aussi pu calculer les premiers termes de la suite (a2,q )qN et deviner la forme générale des termes de cette suite. Ceci aurait cependant demandé en plus la rédaction d'une récurrence. I.4 Il y a vraisemblablement une erreur d'énoncé. Le but de cette question est de montrer que pour tout couple d'entiers (p, q), ap,q est entier. Ici, la relation de récurrence vérifiée par ap,q relie ap+1,q+1 à ap+1,q et ap,q . Il apparaît donc naturel de faire une récurrence sur q. Une récurrence sur p semble impossible à mener. Soit Pq la propriété « pour tout p dans N, ap,q est entier ». · P0 : a0,0 = 1 et pour tout p > 0, ap,0 = 0, donc pour tout entier p , ap,0 est entier et on en déduit que P0 est vraie. · Pq = Pq+1 : pour tout p dans N , on a ap,q+1 = ap-1,q + p ap,q Or, par hypothèse de récurrence, ap-1,q et ap,q sont entiers, donc ap,q+1 est entier. · Conclusion : pour tout q, Pq est vraie donc (p, q) N2 ap,q N I.5 Montrons par récurrence sur q la propriété suivante : Pq : p > q ap,q = 0 · P0 : pour tout p > 0, ap,0 = 0 ; on en déduit que P0 est vraie. · Pq = Pq+1 : pour tout p entier, on a ap+1,q+1 = ap,q + (p + 1) ap+1,q Si p > q, alors par hypothèse de récurrence, ap,q = 0 et ap+1,q = 0 car p+ 1 > q, donc ap+1,q+1 est nul. · Conclusion : pour tout q, Pq est vraie donc p > q ap,q = 0 I.6 D'après la relation de récurrence vérifiée par la suite ap,q , ap+1,p+1 = ap,p + (p + 1) ap+1,p = ap,p (grâce à la question I.5) On en déduit que la suite (ap,p )pN est constante, égale à son premier terme a0,0 , d'où p N I.7 ap,p = 1 Il a été choisi dans l'énoncé de numéroter les lignes et les colonnes en commençant par 0. Dans la suite, on désignera donc par « première ligne » la ligne 0, et par « (p + 1)e ligne » la ligne p.