CCP Maths 2 PSI 2003

Thème de l'épreuve Une méthode de calcul approché d'intégrales
Principaux outils utilisés espaces préhilbertiens, intégration
Mots clefs polynômes de Tchebychev, calcul approché d'intégrale

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 SESSION 2003 - A PSIM207 CONCOURS (OMMUNS POLYTEC_HNIOUES ' EPREUVE SPECIFIQUÈ - FILIERE PSI MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. - **** N. B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce-qui peut lui sembler être une erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. **** On désigne par N l'ensemble des entiers naturels, par N* l'ensemble N privé de 0 et par R l'ensemble des nombres réels. ' Etant donné un entier naturel n , on note [[O,n]] l'ensemble des entiers naturels k tels que OSkSn. On note R[x] l'espace des polynômes à coefficients réels et, pour k & N , on note Rk [x] le sous espace de R[x] des polynômes de degré inférieur ou égal 'à k. On identifierale polynôme P E R[x] avec la fonction polynôme associée. On note EUR l'espace des fonctions continues définies sur l'intervalle [-- 1,1] et à valeurs dans R , on note il) l'espace des restrictions à [-- 1,1] des polynômes de R[x] et on note fik l'espace des restrictions à [-- 1,1] des polynômes de Rk [x] . Par abus, on appellera polynôme une fonction de Yl' Le but du problème est de définir une méthode de calcul approché d'une famille d'intégrales. Dans la partie I, on étudie une famille de polynômes. La partie Il utilise une structure d'espace préhilbertien réel de l'espace EUR, pour obtenir une formule de calcul exacte de certaines intégrales. La partie III conduit à la méthode de calcul approché annoncée. Dans tout le problème, n désigne un entier naturel, Pour tout entier ne N , on définit la fonction tne EUR par: pour tout xe [-- 1,1] , tn(x)=cos(n Arc cos x). PARTIE I l. Simplifier les expressions de t... t,, t,, [3 et constater que ces fonctions ont des expressions polynomiales, que l'on explicitera. 2. Tracer, sur un même dessin, les graphes de to, l',, t2 et l'3 . Préciser les racines et les extremums de chaque fonction. ' ' 2k+1 2n Pour neN* et kEUR[[0,n--l]],on note EUR,, = 75 et xk =cos(6;J. 3. Pour ne N* , déterminer les racines dela fonction tn . Montrer que les racines de t,, sont deux à deux opposées. 4. On suppose l'entier n _>. 2. Soit p EUR [[l,n --'-- 1]]. n--l 4.1 Calculer la somme Ee'""" . k=0 n--l _ - 4.2 Montrer que El}, (xk ): 0 . " k=0 Pour xe [-- 1,1] , le changement de variable bijectif 6'= Arc cosx , permet d'écrire t,, (x)= cos (119) avec 06 [0,72]. 5. Pour n 21, eXprimer t...(x)+ tn_1 (x) en fonction de x et de t,, (x). 6. En déduire que pour tout ne N , la fonction tn est la restriction à l'intervalle [-- 1,1] d'un polynôme T,, de R[x]. Préciser le degré de Tn et le coefficient de son terme de plus haut degré. ' ' ' 7. Montrer que pour tout entier n 2 1 , le polynôme Tn n'a pas de racine complexe non réelle. PARTIE II 1. Soit f une fonction de EUR Montrer que la fonction xt--> f(x)2 est intégrable sur ]--l,l[. 1---x n , 1 x 2. Pour nEURN ,onnote I :! dx. " °'Vl--x2 2.1 Calculer I() et Il. 2.2 Pour n 2 2 , donner une relation entre I,, et In_2 (on pourra, entre autre méthode, utiliser le changement de variable @: Arc cos x ). 2.3 En déduire les valeurs de 12 et 14. Quelle est la valeur de I2p+l pour p E N ? 3. Définition d'une structure préhilbertienne réelle sur EUR. 3.1 Montrer que l'application de ËX EUR dans R définie par ( f , g)l-->< f | g > = I_ll--[£ÎÏJ_)_--g--_(Ë--) dx , -- x définit un produit scalaire sur EUR . 3.2 Montrer que la famille de fonction tp, pour pe [[O,n]], est une base orthogonale de l'espace vectoriel il) n . Calculer la norme de chaque fonction t p . 3.3»Déduire de ce qui précède que, pour tout nZl et tout ke [[O,n--l]] , on a J'l xktn(x) dx=O. 4. On veut montrer qu'il existe trois réels a...a,,a2 uniques, tels que pour tout polynôme Pe .72'5 , on a , (l) £1 % dx =- a°P{:È/ä) + a,P(O)+ a2P[l/Ë--]. ' 4.1 On suppose que l'égalité (l) est satisfaite par tout Pe .7Ï 5 . En prenant successivement les polynômes P définis par P(x)= 1, P(x)= x , P(x)= x2 , déterminer les réels a,,,a,,a2 . 4.2 Montrer que le triplet (ao,al,a2) trouvé convient pour les polynômes P définis par P(x)= x4 puis P(x)= x5 . ' En déduire que l'égalité (l) est vérifiée pour tout polynôme P & fis . 5. calcul d'une intégrale. 4 x 5.1 Montrer que la fonction x |--> Î--=Î est intégrable sur ]),l[. xl--x 4 . l x . 5.2 Calculer l'1ntégrale ] = I----------- dx , à l'aide du changement de variable t= 2x ---1 et ° ,/xll -- x ) ,, \ de la formule (1). PARTIE III Soit ne N *. Etant donné des réels ao,al,...,an_1 et Une fonction fe EUR , on note sn où x. =cos(2k"n]. 2n On se propose de montrer qu'il existe des réels ao,al,...,an_l uniques, tels que pour tout polynôme PdeÎ2> n---l ' on ait : "(2) fi P(x) dx=s,(p). \/l--x2 1. On suppose que l'égalité (2) est satisfaite pour tout Pe %.... En prenant successivement \ n--l pour polynômes P les monômes l,x,...,x , montrer que les réels ao,al,...,an_1 sont les solutions d'un système de n équations linéaires à n inconnues, dont le déterminant est non nul (on ne demande pas le calcul des intégrales qui interviennent dans le second membre du système). 2. On suppose qu'il existe des réels a_...a,,...,an_1 tels que, pour tout pEUR [[O,n --1]], la relation (2) soit vérifiée par les fonctions tp. 2.1 Montrer qu'alors la relation (2) est vérifiée pour tout polynôme Pe .fi... 2.2 En utilisant ce qui précède, en particulier 1.4 et 11.3, montrer que les ak sont tous égaux et calculer leur valeur. \ 2. 3 On suppose que les ak ont la valeur trouvée en 2. 2. Soit P un polynôme de .72)2n_1. En ecr1vant la division euclidienne de P par t (sur [--1,1]), montrer que P vérifie (2). Etant donné une fonction ge EUR, on note D (g)=I_1 «fig--(Ji dx-- S (g) et on note x "glloo-- -- xfËlpl}g g.(x] 3. Soit fe EUR . 3.1 Soit Pe %. Montrer qu 'il existe un entier no > 0, qui dépend de P, tel que pour tout l< 2fillf PM.. n.>.n... ona 3.2 En déduire l_i)m S (f ) £1\/'__f (x ) . 4. Pour xe [--l,l], on prend f (x)= EUR*. Soit m un entier de N*. 4.1 Montrer que la série Z---- converge et que îkl! ----- < ----1-----. k>0 k! ' k=m+1k m° m! 4.2 Déterminer un polynôme P de degré m tel que " f .--- P"æ .<. -----1--'. / m. m. x e dx à 10"3 4.3 Justifier que S,,(f ) fournit une valeur approchée de l'intégrale _[ 11 2 _ ' \ 1--x près. 4.4 Calculer cette valeur approchée. Fin de l'énoncé.

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 CCP Maths 2 PSI 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Paul Pichaureau (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Walter Appel (Professeur en CPGE) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan). Le but de ce problème est de proposer une méthode de calcul approché des intégrales du type Z 1 f (x) dx 2 -1 1 - x où f est une fonction continue sur [ -1 ; 1 ]. La première partie étudie les racines des polynômes de Tchebychev et établit quelques résultats généraux à leur propos. La deuxième partie définit une structure pré-hilbertienne réelle sur l'espace C et donne une méthode de calcul exact de la famille d'intégrales précédente sur l'ensemble R5 . Dans la troisième partie, la méthode de la deuxième partie est généralisée à Rn . On montre ensuite qu'elle donne une approximation d'intégrales sur C . Le problème se conclut par un exemple d'application. Vu d'une part les objets manipulés (polynômes de Tchebychev), les techniques employées (structure préhilbertienne réelle) et d'autre part son objet (calcul approché d'intégrales), on peut dire que ce problème, un peu calculatoire, est très classique. C'est donc un excellent problème de révision. Indications Partie I I.1 Exprimer cos(2 ) et cos(3 ) en fonction de cos3 , cos2 et cos avec les formules d'addition du cosinus. I.3 Comparer tk et tn-(k+1) . I.4.1 Reconnaître une suite géométrique. I.6 Considérer le résultat de la question I.5 comme une relation de récurrence. I.7 Compter le nombre de racines de tn trouvées à la question I.3. Partie II II.2.3 Pour le calcul de I2p+1 , penser à la parité. II.3.2 Faire le changement de variable = Arccos x. Puis calculer pour n Z. Z cos n x dx, 0 II.3.3 Remarquer que xk Vect (t0 , t1 , . . . , tn-1 ). II.4.2 Introduire une forme linéaire judicieuse, et montrer qu'elle est nulle. Partie III III.2.2 Deviner la valeur des réels a0 , a1 , . . . , an-1 , puis vérifier qu'avec cette valeur la propriété est vraie avec les fonctions t0 , t1 , . . . , tn-1 . III.3.1 Montrer que |Dn (f )| 6 2kf k , puis remarquer que Dn (f ) = Dn (f - P), si n > deg(P). III.3.2 Utiliser le théorème de Weierstrass. m 1 P 1 + , et montrer que (Vn )nN est décroissante III.4.1 Définir la suite Vn = n n! k=0 k! + P 1 et tend vers . k=0 k! Partie I I.1 Soit x [ -1 ; 1 ]. On a successivement : · t0 (x) = 1 ; · t1 (x) = cos(Arccos x) = x ; · t2 (x) = cos(2 Arccos x) = 2 cos2 (Arccos x) - 1 = 2x2 - 1. Avant de donner t3 , exprimons cos(3) en fonction de cos , cos2 , etc. : cos 3 = cos(2 + ) = cos 2 cos - sin 2 sin = (2 cos2 - 1) cos - 2 cos sin sin = 2 cos3 - cos - 2 cos (1 - cos2 ) cos 3 = 4 cos3 - 3 cos On en déduit donc que t3 (x) = 4 cos3 (Arccos x) - 3 cos(Arccos x) = 4x3 - 3x x [ -1 ; 1 ] t0 (x) = 1 t1 (x) = x t2 (x) = 2x2 - 1 et t3 (x) = 4 x3 - 3x Rappelons que la fonction cosinus définit une bijection de [ 0 ; ] sur [ -1 ; 1 ]. Sa bijection réciproque est appelée « arc cosinus » et notée Arccos . On a donc très simplement, pour x [ -1 ; 1 ], cos(Arccos x) = x et Arccos x [ 0 ; ]. I.2 La fonction t0 est constante, égale à 1. Elle n'a pas de racine et ses extremums sont tous les points de [ -1 ; 1 ]. La fonction t1 n'admet que 0 comme racine. Son maximum, qui vaut 1, est atteint en 1. Son minimum est atteint en -1 et vaut -1. Établissons le tableau de variations de t2 , avec t2 (x) = 4 x pour x [ -1 ; 1 ]. x t2 (x) -1 1 t2 (x) - 0 0 +1 + 1 -1 Le maximum de t2 vaut 1 et il est atteint p en -1 et en p1. Son minimum vaut -1 et il est atteint en 0. Les racines de t2 sont - 1/2 et + 1/2. De même, établissons le tableau de variations de t3 , avec t3 (x) = 12 x2 - 3 pour x [ -1 ; 1 ]. Les racines du polynôme P défini par P(x) = 12 x2 - 3 sont -1/2 et 1/2. x t3 (x) -1 t3 (x) -1 + -1/2 0 1 - 0 1 + 1 -1 Le maximum de t3 vaut 1 et il est atteint en -1/2 et en minimum vaut -1 et 1. Son il est atteint en -1 et 1/2. Les racines de t3 sont 0, - 3/2 et 3/2. 1 1 x 2 x2 - 1 4 x3 - 3 x 0 -1 1 -1 I.3 Soit n N . Le réel x est racine de tn si et seulement si cos(n Arccos x) = 0, c'est-à-dire si et seulement si cos(n Arccos x) = 0 n Arccos x = + k 2 Arccos x = k + 2n n (avec k Z) (avec k Z) Mais Arccos x doit appartenir à l'intervalle [ 0 ; ], ce qui donne une limitation sur les valeurs de k : k 06 + 6 2n n k 6 6- 2n n 2n 1 1 - 6k 6n- 2 2 Le réel x est racine de tn si et seulement si - k + avec k [[ 0 ; n - 1 ]] 2n n On trouve donc exactement n valeurs distinctes de Arccos x, toutes comprises entre 0 et , et qui sont exactement les réels k définis dans l'énoncé. Or, la fonction cosinus établissant une bijection de [ 0 ; ] dans [ -1 ; 1 ], on trouve exactement n racines pour tn . Arccos x = Les racines de tn sont xk = cos (k ) pour k [[ 0 ; n - 1 ]]. On verra à la question I.7 tout l'intérêt de déterminer précisément le nombre de racines.