CCP Maths 2 PSI 2002

Thème de l'épreuve Développement d'irrationnels en fraction continue
Principaux outils utilisés équations différentielles, suites récurrentes linéaires, suite adjacentes
Mots clefs séries entières, fractions continues, nombre irrationnel

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 SESSION 2002 A PSIM207 concours comüuus rouncuuuours EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. *** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. *** On désigne par N l'ensemble des entiers naturels, par N * l'ensemble N privé de 0, par Z l'ensemble des entiers relatifs, par Q l'ensemble des nombres rationnels et par R l'ensemble des nombres réels. Etant donné un entier naturel n, on noté [[0, n]] l'ensemble des entiers naturels k tels que 0 5 k S n. Cette épreuve comporte trois parties. Dans la première partie, on étudie les solutions développables en série entière d'une équation différentielle. Dans la deuxième partie, qui est indépendante de la première partie, on étudie des suites numériques définies par des relations de récurrence. La troisième partie utilise les résultats des parties précédentes pour obtenir un encadrement de 1 ---- par des nombres rationnels (th désignant la fonction tangente hyperbolique). th(1) Tournez la page S.V.P. PARTIE I Pour n e N , on considère les équations différentielles (En) x2y" + (n -- n2 -- x2) y = O , où x désigne une variable réelle et y = y (x) une fonction deux fois dérivable. On remarque que (E0) et (El) sont les mêmes équations. 1.1. On prend n = 0 et on étudie l'équation différentielle (EO ). 1.1.1. Déterminer les solutions de (E0) sur chacun des intervalles ]-- oo,O[ , ]O,+oo[. 1.1.2. L'équation (EO) a--t--elle des solutions sur R ? 1.2. On prend n 2 2 et on suppose que l'équation différentielle (En) a une solution - , +oo développable en série entière y(x) : 2 u kxk , de rayon de convergence R > O. k=O 1.2.1. Calculer uO et "1- 1.2.2. Pour k 2 2 , donner une relation entre "k et uk_2. 1.2.3. Calculer les Coefficients "k pour k EUR [[0, n ---- 11]. 1.2.4. Pour p & N , calculer les coefficients un +2 p +1 . 1.2.5. Peut-on calculer un ? On justifiera la réponse. 1.2.6. Déterminer le rayon de convergence R de la série entière. 2"(k + n) ! _ ' _ Pour k et n dans N , on note C k " : ------------- et on cons1dere les fonctmns ' k !(2k + 2n) ! - +oo ça,, définies pour x réel par (pn (x) = 2 Ck nx2k+" lorsque la série converge. k=O 1.3. 1.3.1. Exprimer çaO (x) et çal(x) à l'aide des fonctions usuelles. 1.3.2. Montrer que les fonctions (pn sont indéfiniment dérivables sur R. 1.4. 1.4.1. Calculer le quotient Ck'"+l . Ck,n 1.4.2. En déduire l'expression de Ck,n -- (2n + ]) Ck, ,, +1 en fonction de k et de Ck,n+l' 2n+1 1.4.3. Pour x # 0 , exprimer (p,, (x) ---- (on +1(x) en fonction de çan+2(x). JC 1.4.4. On admet que pour tout n & N , la fonction ça,, est solution sur R de +00 l'équation (E n ). En reprenant la notation de 1.2, on écrit ça,, (x) : y(x) : z u kxk . k=0 Quelle est la valeur de u n ? 1.5. Dans cette question on suppose x : 0 . 1.5.1. Montrer que pour tout n e N , on a ça,, (x) : 0. cv.. (x) (pn+l (x) Pour n e N et x # 0 , ondéfinit y,, (x) = . Dans la suite de la question, on pourra utiliser 1.4.3. 1.5.2. On suppose 0 < x 5 1 , montrer l'inégalité y,, (x) > ]. _ 2n + 1 1 1.5.3. Montrer la relatwn y,, (x) = + . ' x 7 n+1 (x ) PARTIE II On note S l'ensemble des suites a : (an )neN vérifiant : a0 & Z et pour tout n 2 1 , an EUR N*- Etant donné une suite a = (a,, )neN de S , on définit les suites (pn )neN et (qn )nEN par: Po =ao ,P1=aoa1+1a qo =1aql=a1 puis, pour n .>. 2, par : pn : anpn--l + pn--2 et qn : anqn--l + qn--2' Tournez la page S.V.P. 11.1. Montrer que pour tout n e N on a qn 2 n. 11.2. Relations entre les pn et les qn. 11.2.1. Pour n 2 1 , calculer ann--1 -- ann--1- 11.2.2. Pour n 2 2 , calculer ann--2 -- ann--2- £n_ qn Pour n G N , on définit xn : 11.3. Etude de la suite (xn )neN . 11.3.1. Pour n 21 , calculer xn -- xn_1 et pour n 2 2 , calculer x -- xn_2 en n fonction des a k et des qk . 11.3.2. En déduire que les suites (x2n )neN et (x2n+1)neN sont adjacentes. 11.3.3. On note a la limite de la suite (xn )neN° On se propose de démontrer par l'absurde que a est un nombre irrationnel. * c En supposant que a = -- & Q , avec d & N , et en utilisant l'encadrement d d 0 < a -- x2n < x2n+1 --- x2n , déterminer un entier k En " vérifiant 0 < kn < . q2n+l déduire que a n'est pas rationnel. * Soit À & N un entier naturel non nul fixé ; on considère la fonction f définie pour tout t réel par f(t)=t2 --Àt--l. 11.4. Etude de la fonction f 11.4.1. Tracer le graphe de la fonction f sur l'intervalle [-- 1, /1 + 1]. 11.4.2. On note r, et r; , avec r, < r; , les deux racines de f Déterminer le signe et la partie entière de chacune des racines. 11.5. Pour tout n e N , on prend an :  et on considère la suite a : (an )neN' 11.5.] pour i EUR [[0,3]] , calculer p,--, et q,--. 11.5.2. Pour n 2 1 , exprimer q,, en fonction des Pk pour k & N. En déduire une expression de xn en fonction des qk pour k & N. 11.5.3. Exprimer q,, en fonction de r, , r; et n. II.5.4. Déduire des questions précédentes une expression de x,, en fonction de r, , U et n. 1155. En déduire la valeur de la limite a de la suite (xn )neN en fonction de r, et r;. 11.5.6. On prend  : 3. Calculer q,, pour n & [[0,6]]. En déduire deux nombres rationnels qui encadrent a à 10'4 près. PARTIE III Etant donné une suite de nombres réels (bn )neN , telle que pour tout n 2 1 on ait bn > O , on définit la suite dont le terme général d'indice n est noté [bO, bl, , bn] par : 1 l [b0]=b0,[bo,bl]=bo+--,puispournZl, lîbo,...,bn,bn+l :l={b0""'bn--l'bn +------ . bl bn+l 1 En particulier { bo, b1» b2 } = {b... bl + --}. 52 III.]. Soit a : (an )neN un élément de S . On lui associe les suites (pn )neN , (qn )neN et (xn )neN définies dans Il. III.1.1 Ecrire [ao , al] et [ao , al , az] sous forme de fractions en fonction des ai. III.1.2 On suppose que, pour un entier n 2 2 fixé, on a [a... , an] : £--"--. q n Quel nombre rationnel obtient-on en remplaçant dans [a0, , an_1, an] , le terme an par 1 an + ? an+l III.1.3 Montrer que pour tout n e N on a [a... , a ]= x 1 III.1.4 Pour n EUR N°" , montrer [a0,...,an]= "O + ---------- [a1,...,an] . n . Dans 11.3, on a montré que la suite (xn )neN converge vers un nombre irrationnel a. On note a = [a... al, ...] et on note F l'application de S dans l'ensemble des nombres irrationnels définie par: F (a) = a = [a... al, ...] . On admet que F est surjective. Tournez la page S.V.P. 111.2. Soit a un nombre irrationnel et soit a e S une suite telle que a = F (a) : [a0, al, ....] Ill.2.l Comparer x0, xl et a. En déduire que ao est la partie entière de a. III.2.2 Pour k 5 N, on note ak : [ak, ak+1, ...] Montrer l'égalité a : ao : ao + --. Donner une relation entre a k , a k +1 et a k . III.2.3 Décrire un algorithme qui donne la suite (an )neN° En' déduire que F est bij ective. III.2.4 On prend a : J3-- et on note a = (an )neN e S la suite vérifiant F (a): 5 . Calculer a0,a1,a2,a3 et exprimer a1,a2, et 053 en fonction de «5 . Détermmer la suite a : (an )neN° III.3 Soit ,u e N*. On note th la fonction tangente hyperbolique. III.3.1 _ Déduire des parties précédentes qu'il existe une suite a E S telle que 1 la] III.3.2 On choisit ,u = l. Pour n EUR [[0,4]] donner le tableau des entiers an, pn , qn. l En déduire deux nombres rationnels qui donnent un encadrement de ---- à 10"4 près. th(l) F (a) = et expliciter les termes de cette suite (on pourra utiliser les résultats du 1). Fin de l'énoncé.

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 CCP Maths 2 PSI 2002 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Thomas Chomette (ENS Ulm) ; il a été relu par Aurélien Alvarez (ENS Lyon) et Walter Appel (professeur en CPGE). Ce problème est composé de trois parties, les deux premières étant indépendantes l'une de l'autre. La troisième partie, quant à elle, utilise un certain nombre de résultats de la deuxième, ainsi que ceux de la première partie pour les dernières questions. Ce sujet est intéressant et nécessite dans l'ensemble un assez bon niveau. Le sujet principal est l'irrationnalité de certains réels, dont ceux de la forme : 1 1 th µ où µ est un entier naturel non nul. On y exhibe au passage des suites de rationnels encadrant ces nombres de manière fine, pour finir avec leur développement en fraction continue. · La première partie tourne autour de l'étude d'une famille d'équations différentielles linéaires homogènes : x2 y + n - n2 - x2 y = 0 (En ) Après avoir déterminé les solutions de (E0 ), on s'intéresse aux solutions développables en série entière de l'équation (En ). En effet, cette équation admet une seule solution yn développable en série entière (à une constante multiplicative près), définie sur R tout entier. Les relations vérifiées par les coefficients de chacune de ces fonctions yn permettent, à la fin de la partie, d'établir une relation de récurrence entre ces fonctions. · La deuxième partie traite de suites définies par une relation de récurrence linéaire d'ordre 2. Deux suites sont introduites, vérifiant la même relation de récurrence. On montre que le rapport de ces deux suites tend alors vers un irrationnel et que ces suites permettent d'obtenir des encadrements rationnels précis de cette limite. · Enfin, la troisième partie fait le lien entre cette suite de rapports et le développement en fraction continue de la limite. On y établit qu'il y a une correspondance bijective entre les irrationnels et les développements en fraction continue infinis, et l'on donne un algorithme permettant de calculer ce développement. À la fin de la partie, on s'intéresse plus particulièrement aux nombres de la 1 , où µ est un entier naturel non nul. La relation de récurrence de forme 1 th µ la première partie nous permet de calculer sans aucun effort leur développement en fraction continue, par une méthode assez originale. Au passage, on obtient également leur irrationnalité. Indications Partie I I.1.2 Recoller les solutions trouvées à la question précédente. I.2.1 Poser x = 0 dans l'équation (En ) et dans l'équation obtenue par dérivation. I.2.3 Faire une récurrence. I.2.4 Procéder de même par récurrence. I.2.5 Se rappeler que si y est solution de (En ), alors y l'est aussi, pour tout réel . I.2.6 Utiliser le critère d'Abel. I.5.1 Utiliser un argument de parité. I.5.2 Comparer terme à terme les sommes définissant n (x) et n+1 (x). Partie II II.1 Faire une récurrence forte, avec comme hypothèse de récurrence k 6 n qk > k II.3.2 Utiliser les expressions de la question II.3.1 et la minoration obtenue à la question II.1. II.4.2 S'inspirer du graphe pour localiser r1 . II.5.5 Utiliser les encadrements de r1 et r2 . II.5.6 Utiliser le caractère adjacent des suites (x2n )nN et (x2n+1 )nN . Partie III III.1.2 Démontrer un résultat plus fort : si [a0 , . . . , an ] = pn /qn quelle que soit la valeur de an , alors on a le même résultat au rang n + 1. III.1.4 Faire une récurrence. III.2.2 Considérer la suite (ak+n )nN , elle aussi dans S. III.2.4 Montrer que la suite (n )nN est périodique. 1 à l'aide des fonctions n , 1 th µ puis la relation de récurrence démontrée à la question I.5.3. III.3.1 Utiliser la question I.3.1 pour exprimer Partie I I.1.1 L'équation différentielle (E0 ) est l'équation x2 y - x2 y = 0. Sur chacun des intervalles ] - ; 0 [ et ] 0 ; + [, le terme x2 ne s'annule pas, et donc (E0 ) devient : y - y = 0 Sur l'intervalle ] - ; 0 [ comme sur l'intervalle ] 0 ; + [, les solutions de (E0 ) sont de la forme : x 7- Aex + Be-x avec A, B R I.1.2 Une solution de (E0 ) sur R tout entier, si elle existe, est obtenue en recollant des solutions obtenues sur ] - ; 0 [ et sur ] 0 ; + [. Pour toute solution y sur R, il existe donc quatre constantes A, B, A et B telles que : x ] - ; 0 [ x ] 0 ; + [ y(x) = Aex + Be-x y(x) = A ex + B e-x Pour qu'une telle fonction soit solution de (E0 ) sur R, il faut qu'elle soit de classe C 2 , c'est-à-dire qu'elle et ses deux dérivées successives soient continues en 0. Une condition nécessaire pour que y soit solution de (E0 ) est donc : lim y(x) = lim y(x) x0+ x0- c'est-à-dire On obtient A = A et lim y (x) = lim y (x) x0+ x0- A + B = A + B A - B = A - B et B = B c'est-à-dire que la fonction y doit être de la forme x 7- Aex + Be-x sur R tout entier, avec A et B deux constantes. Inversement, une telle fonction est solution de (E0 ) sur R. Les solutions sur R de (E0 ) sont les fonctions de la forme x 7- Aex +Be-x , avec A et B deux réels fixés. Pour répondre stricto sensu à la question de l'énoncé, on n'a pas besoin de tout ceci. On remarque en effet que les fonctions de la forme x 7- Aex + Be-x sont solutions sur R, et que donc l'équation (E0 ) admet bien des solutions sur R. Il suffit en théorie d'exhiber une solution complètement triviale (par exemple x 7- ex ). Il est cependant probable que le correcteur attende ici que l'on détermine exactement l'ensemble des solutions sur R de l'équation (E0 ). I.2.1 Sur son disque ouvert de convergence, la série entière y(x) est de classe C , et l'on a les relations suivantes entre coefficients de la série entière et dérivées successives en 0 : y (k) (0) k! On a donc u0 = y(0) et u1 = y (0). Or, en posant x = 0 dans l'équation (En ), on obtient : k N uk = (n - n2 )y(0) = 0 soit, pour n > 2, y(0) = 0, et donc u0 = 0. Ensuite, la fonction y étant de classe C sur un voisinage de 0, on peut dériver l'équation (En ) sur un intervalle centré en 0. On obtient l'équation : 2xy + x2 y (3) - 2xy + n - n2 - x2 y = 0 En posant x = 0 dans cette équation, on trouve ici (n - n2 )y (0) = 0, et donc également u1 = 0. u0 = u1 = 0 On peut aussi retrouver ces deux valeurs en remplaçant dans l'équation (En ) la fonction y par son développement en série entière. C'est ce que nous allons faire à la question suivante pour déterminer des relations entre les coefficients uk . + I.2.2 La fonction y est développable en série entière, et son développement P uk xk k=0 possède un rayon de convergence R strictement positif. La fonction y est donc de classe C sur ] -R ; R [, et l'on peut dériver deux fois terme à terme pour obtenir : + x ] -R ; R [ y (x) = P k(k - 1)uk xk-2 k=2 En remplaçant dans (En ) les fonctions y et y par leurs développements en série entière, on obtient : + +P P uk xk = 0 x2 k(k - 1)uk xk-2 + n - n2 - x2 k=0 k=2 soit, en regroupant les termes de même degré : + P k(k - 1)uk + (n - n2 )uk - uk-2 xk = 0 (n - n2 ) × (u0 + u1 x) + k=2 Or, une série entière est nulle (sur un ouvert) si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. On obtient : k > 2 (k(k - 1) + n(1 - n)) uk = uk-2 I.2.3 Montrons par récurrence (finie) sur k que, pour tout entier k [[ 0 ; n - 1 ]], on a la propriété P(k) : uk = 0. · P(0) et P(1) sont vraies d'après la question I.2.1. · P(k) = P(k + 2) (0 6 k 6 n - 3) : on suppose donc P(k) vraie. Le résultat de la question précédente appliqué à l'entier k + 2, puis l'hypothèse de récurrence, nous donnent l'égalité : ((k + 2) × (k + 1) + n(1 - n)) uk+2 = uk = 0 Or, par hypothèse, k 6 n - 3, et donc k + 2 < n, d'où (k + 2) × (k + 1) < n(n - 1) et donc (k + 2) × (k + 1) + n(1 - n) 6= 0 Il vient uk+2 = 0, c'est-à-dire que la propriété P(k + 2) est vraie.