CCP Maths 2 PSI 2001

Thème de l'épreuve Amélioration de la méthode des trapèzes
Principaux outils utilisés intégration sur un segment, récurrences, développements limités

Corrigé

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SESSION 2001 \ PSIOOG A CONCOURS (OMMUNS POlYTECHNIOUES ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI MATHÉMATIQUES 2 DURÉE : 4 heures Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la circulaire n° 99-186 du 16.11.99 .. BOEN n°42 du 25.11.99. L'objet de ce problème est de définir un algorithme de calcul approché d'une intégrale, utilisant la méthode des trapèzes. Dans la première partie, on étudie le procédé d'extrapolation de Richardson. Dans une deuxième partie, on établit la formule d'Euler -- Mac Laurin. La troisième partie utilise les deux premières parties pour définir la méthode de Romberg, qui est une méthode d'intégration basée sur l'accélération de la convergence à partir de la méthode des trapèzes. La deuxième partie est indépendante de la première partie. De nombreuses questions de ce problème sont simples ; le candidat s'attachera à les résoudre avec soin et complètement. On note R l'ensemble des nombres réels, N l'ensemble des entiers naturels et N* l'ensemble des entiers naturels non nuls. Etant donné un intervalle I de R, on note C °°(I, R) l'ensemble des fonctions définies sur I à valeurs dans R, indéfiniment dérivables. Etant donné un entier se N et une fonction  O, @@ tS qui signifie que le quotient est borné lorsque t ---> 0, t # 0. t,, étant le terme général d'une suite qui ne s'annule pas et qui tend vers 0 10rsque n -----> +oo, on note u,.=O(tn) lorsque n --> +oo, le terme général d'une suite telle que le quotient y--£'-- est borné lorsque ln ll "9 +00. Tournez la page S.V.P. PREMIÈRE PARTIE Procédé d'extrapolation de Richardson On désigne par A une fonction définie sur R à valeurs dans R, et on suppose que A admet un développement limité à tout ordre au voisinage de 0. On note A( t ) : ao + alt + -- --- + aktk + O(tk+l) son développement limité à l'ordre k au voisinage de 0, les coefficients a,, étant des réels. 1.1.1 Etant donné un réel p non nul et un entier se N , on suppose que (p est une fonction qui vérifie (p(t) : O((pt)') lorsque t ----> 0 .Montrer que (p(t) : O(t') lorsque t ----> 0. 1.1.2 Pour k EUR N * , on suppose que ç0(t) : O(t") lorsque t ---> 0. Déterminer la limite lorsque 1 ---9 0, t # O , du quotient (;)/((i) . 1.2.1. Montrer que A( t) admet une limite lorsque t ----> 0 et déterminer cette limite. Soit r un réel vérifiant r > 1. On définit la suite des fonctions A,, par : n , , r A __ t --- A __ rt pour t réel, A0(Ï) =A(t) plus, pour t reel et n E N*, A,, (t)=---------'--'--l%)----Ë--LÇ--). r ---1 1.2.2. Montrer qu'il existe un réel a... , que l'on déterminera, tel que le développement limité de A, à l'ordre k au voisinage de 0 soit A1 (t): a() + al'2t2 + - . - + O(t""1 ). 1.2.3. En déduire qu'il existe un réel a,,_n+1_ que l'on ne demande pas de déterminer, tel que le développement limité de A,, à l'ordre k au voisinage de 0 soit A,, (t') = a() + a,m+lt"+1 + - - - + 0(t""1 ). 1.2.4. Soit to un réel non nul fixé. Montrer que la suite de terme général A(r--"' to) converge vers ao lorsque m -----> + oo. Dans la suite de la première partie, on suppose que pour tout to # 0 fixé et r >1 fixé, on sait calculer les premiers termes A(to), A(r "'to), ..., A(r--'" to) de la suite. Le procédé de Richardson consiste à extrapoler ces valeurs pour obtenir, grâce à un procédé d'accélération de convergence, la valeur de ao_ Pour p E N, on note Ap,o : A0 (r"p to) puis, pour q entier vérifiant 1 5 q S p, on note Ap_q : Aq(r'p to). 1.3.1. Justifier l'égalité A,... : ao + O(r"p ) lorsque p ----> +00 . 1.3.2. Déterminer un entier naturel a(p,q)>0, que l'on expliciterà, tel que AP,q : aO+O(r" °"""") lorsque p ---> +oo. 1.3.3. Pour p 2 l, justifier l'égalité : Ap,l 1 r .. 1.3.4. Pour 1 5 q 5 p, justifier l'égalité : r"A _] --- A prq "'1, --1 qu : ' p q :AP (14 + (AP (H _A ' rq ----1 r" ----1 Dans la pratique on range les valeurs AP,q pour 0 5 q 5 p .<... m dans un tableau triangulaire : Ao,o A1,0 Al,l A2,0 A2,1 A2,2 A A m,2 m ,m Am,0 A m,l 1.4. Déterminer la plus petite valeur et la plus grande valeur de oc (p,q) pour 0 5 q S p 5 m . Lorsque m --> +00 , de laquelle des valeurs Ap,q du tableau peut--on attendre la meilleure approximation de ao (on pourra utiliser 1.1.2 pour justifier la réponse) ? On écrira cette valeur sous la forme ao + O(r" 0(m)) lorsque m ---> +00 et on précisera la valeur de l'entier naturel a(m) > O . On considère une fonction g E C °°(R, R) et on note g(oc+h) : co + c;h + ...+ cu h2k + O(h2k+l) son développement limité à l'ordre 2k au voisinage de oc. 1.5.1. Exprimer les coefficients c[) pour 0 S p _<_ 2k, en fonction de g et de ses dérivées successives. - Pour h : 0, on note G(h) = ËË--Ülz'lË--(Y--ZËÎ. 1.5.2. Montrer que la fonction G est paire. Montrer que G se prolonge par continuité en 0 par une valeur que l'on déterminera. On note G la fonction G prolongée en 0 par cette valeur. N 1.5.3. Exprimer à l'aide des coefficients cp le développement limité de G à l'ordre 2k ----1 au voisinage de 0. Pour l réel positif, on note A(t)=G(JÏ). h 1.6.1. On choisit h > 0 et on considère la suite de valeurs G(h), G(--2--), ..., G(--£-fi--]. Déterminer un réel to > 0 et un réel r >1 tels que cette suite de valeurs soit A(to), A(r"1 to), A(fm IQ). ..., Tournez la page S.V.P. On utilise les notations des questions précédentes avec A0( t) : A(t), A,,,g : Ao(r' %) puis A..., , pour les valeurs r et to déterminées dans 1.6.1. 1.6.2. Quelle est la limite EUR de A,... lorsque p----> +oo '? On exprimera EUR à l'aide de la fonction g et de oc. Dans ce qui suit, on prend g(x) : Ën x, ou = 3 et h = 0,8. I.7.1. Calculer les valeurs A...) pour 0 .<. p S 3. Donner le tableau des valeurs A..., pour 0 5 q 5 p 5 3. I.7.2. Quelle est la valeur exacte de EUR? Parmi les valeurs Am trouvées, quelle est la meilleure approximation de [? DEUXIÈME PARTIE Formule d'Euler --Mac Laurin Pour p EUR N, on définit la suite B,) de polynômes par : (i) Pour tout t E R, Bo (t) = 1 (ii) Pour pE N* et te R, B;,(r)= po_l(t) et Ipr(t)dt=0, () et on note b,, : B,,(O). II.1.1. Déterminer les polynômes 31, 32, B3. 11.1.2. Pour 0 .<. p S 3, calculer bp et comparer b,, à B,) (1). II.1.3. Montrer que pour p .>. 2, on a b,) : Bp (1). 11.2.1. Pour p e N et : E R, on définit Ëp(r)= (-1)P BP (1 --r). Montrer que la suite de polynômes ËP vérifie les relations (i) et (ii). En déduire que ËP : B p . Il.2.2. Montrer que pour p EUR N*, on a 172,0": 0. Soit fe C °°([0,1], R) ; on note f"" la dérivée d'ordre p de la fonction f. 11.3.1. Montrerl'égalité [ 1f(t)dr= [ 1B.,(r) f(t)dt=â--(f(0)+ f(1))--j IBI(t) f'(r)æ. 0 0 ' 0 II.3.2. Pour n 2 2, montrer l'égalité â--(f(0)+ f(1))= J;f(t) .. + Ë<-- 1)? " _L 2 P-' (f """(l)-- f'""'(0))+ (-1)flflj(') En?) f...(t) dt. ." II.3.3. En déduire que pour n-- -- 2kbzp on a l'égalité ... à<:@»:@> =)j):@ .:.. @P(f<@--1111f@--...) J@@fa( p=1 1(2p)! 0 (2k)! Pour t E R, on note E(t) la partie entière de t. Pour p E N, on définit la fonction Dp par: pour t E R, D,,(t) : B,,(t-E(t)). II.4.1. Montrer que D,) est une fonction périodique de période 1. Montrer que D[) est une fonction de classe C °°par morceaux sur R. Dans la suite la fonction f appartient à C °°([O,N], R) où N E Navec NZ 2. Pour q entier vérifiant 1 5 q S N, on définit les fonctions fq de [0,1] dans R par fq (Ï)=f(ï+CI--1) II.4.2. Montrer que les fonctions f() appartiennent à C oe([O,l], R) et qu'elles vérifient les égalités : pour m E N et q entier tel que 2 .<.. q 5 N, f:""'(0)=f'm)(0), :°"'(0 0=) f.'£'9(l) :S"')(l)=f(m)(N). 11.4.3. En appliquant (1) aux fonctions fq, en déduire la formule d'Euler --Mac Laurin sur [O,N] : (2) â-f(O)+Êf(q)+ --â--f(N)= JZf(t)d:+Ê2 b2p !----)((f(2p 1 (N)--fl @ 1)(0))_ JNP_2ÀQ'f(uW p=1(2) P) ("')- TROISIÈME PARTIE Méthode de Romberg Dans cette partie on note [a, b] un intervalle de R et f une fonction de C °°([a, b], R). _ --1 Etant donné N E N* et h=b a, on note Tf(h)=1{--â--f@)+î f(a+qh)%f(b)} si N 2 , q=1 N Tf (h) : hË-- f (a)+ % f (b)] si N = 1 , la valeur approchée de l'intégrale Jb f (t) dt obtenue par la méthode des trapèzes pour le pas h. III. 1. On suppose N> 2. En appliquant la formule (2) à la fonction g(t)= f(a + ht) définie sur [0 ,N], montrer la formule bD2k("Î) ... (%)! f(( (tdt) (3) T(h )=î(:)jf d(::+pË_h2p(2; )!--(f(2p 1((b)--f(2p'a )) th) Tournez la page S.V.P. III.2. Montrer que la formule (3) peut s'écrire : (4) Tf(h) =)bf(t) dt+Îdph2"+0(hu) où les dp a p=1 désignent des nombres réels. Pour : > 0, on définit A(t) = T, (J? ) 111.3.1. Déterminer lim A(t). t-->O III.3.2. On prend N = 1 et donc h = b -- a , et on calcule la suite de valeurs T,(h), T,%), Tf{--2b--). Déterminer un réel to >O et un réel r > 1 tels que cette suite de valeurs soit A(t ), A(r"to),..., A(r--mm). A(t), Ap,0 =Ao(r"Ptg) puis, AM, zo b--a 2P ' On utilise les notations de la première partie avec Ao(t) et r étant les valeurs trouvées en III.3.Z. On note h p : III.4.l. Exprimer Ap,o et Ap-l,0 à l'aide de Tf et de hp. III.4.2. Pour p _>_ 1, on définit A;... =hp2 f (a+(2q+l) hp), la somme étant étendue aux entiers q telsque a 

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 CCP Maths 2 PSI 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Perrier (ENS Lyon) ; il a été relu par David Lecomte (ENS Cachan) et Nicolas Andraud (Mines de Paris). Le problème porte sur une accélération de la convergence de la méthode des trapèzes pour le calcul d'intégrales. Dans la première partie on établit une formule d'extrapolation en O hn(n+1) . Puis, dans la deuxième partie, on introduit les polynômes de Bernoulli et on étudie certaines de leurs propriétés afin d'établir la formule d'Euler-Maclaurin. Enfin dans la troisième partie, on exprime une approximation de l'intégrale de f par la méthode des trapèzes à l'aide de la formule d'Euler-Maclaurin, puis on accélère la convergence de ce processus à l'aide des résultats de la première partie. Ce problème ne pose pas de difficulté mathématique majeure et pourrait être résolu dans sa quasi-totalité par un bon élève de mathématiques supérieures. Il nécessite cependant beaucoup de rigueur dans les calculs. Indications Première partie I.2.3 Raisonner par récurrence. I.2.4 Utiliser la question I.2.1. I.5.1 Utiliser la formule de Taylor-Young. I.5.2 Développer g au voisinage de à l'ordre 1. I.6.2 Utiliser les questions I.5.1 et I.5.2. I.7.1 Utiliser la formule de récurrence obtenue à la question I.3.4. Pour voir apparaître des différences entre les Ap,q , il faut approximer au moins à 10-7 près. Deuxième partie II.2.1 Montrer que Bn (t) vérifie (i) et (ii), puis montrer par récurrence que la suite définie par ces deux hypothèses est unique. II.2.2 Utiliser les questions II.2.1 et II.1.3. II.3.2 Raisonner par récurrence sur n ; le passage de n à n + 1 se fait à l'aide d'une intégration par parties. II.4.3 Appliquer (1) aux fq et sommer les égalités obtenues pour q entre 1 et N. Troisième partie III.5.1 Montrer que t 7 convergence infini. sin(t) est développable en série entière, avec un rayon de t I. Procédé d'extrapolation de Richardson (t) = O ((t)s ) I.1.1 On sait que Donc > 0 d'où La fonction t 7 M > 0 t [-; ] t [-; ] (t) 6M (t)s (t) 6 Ms ts (t) est donc bornée sur [-; ]. ts On en déduit (t) = O (ts ) I.1.2 On a (t) = O tk Donc > 0 M > 0 D'où t [-; ] t [-; ] Or (t) 6M tk (t) 6 M|t| tk-1 lim M|t| = 0 t0 D'après le théorème d'encadrement : lim t0 (t) =0 tk-1 I.2.1 On a A(t) - a0 = O (t). Donc t 7 A(t) - a0 admet une limite quand t tend vers 0 et cette limite est nulle, d'après la question précédente. On en déduit que t 7 A(t) admet une limite quand t tend vers 0 et que cette limite est a0 . D'où lim A(t) = a0 t0 I.2.2 Par définition, A1 (t) = rA0 (t) - A0 (rt) rA(t) - A(rt) = r-1 r-1 Donc, au voisinage de zéro : r A1 (t) = a0 + a1 t + a2 t2 · · · + O tk+1 r-1 1 - a0 + a1 rt + a2 (rt)2 · · · + O (rt)k+1 r-1 r 1 r 1 2 A1 (t) = a0 + a1 - a1 r t + a2 - a 2 r t2 r-1 r-1 r-1 r-1 + · · · + O tk+1 En posant a1,2 = r - r2 a2 , on a bien : r-1 A1 (t) = a0 + a1,2 t2 + · · · + O tk+1 I.2.3 Raisonnons par récurrence sur n pour prouver ce résultat. Notons P(n) la propriété « Il existe an,n+1 tel qu'au voisinage de 0 on ait An (t) = a0 + an,n+1 tn+1 + · · · + O tk+1 » et montrons que celle-ci est vraie pour tout n dans N. · P(0) est vraie, car A0 admet un développement limité au voisinage de 0. On sait même que P(1) est vraie, d'après la question précédente, laquelle peut donc paraître superflue ; en réalité, elle est là pour introduire cette question. · P(n) = P(n + 1) rn+1 An (t) - An (t) rn+1 - 1 n+1 r = n+1 a0 + an,n+1 tn+1 + an,n+2 tn+2 + · · · + O tk+1 r -1 1 - n+1 a0 + an,n+1 (rt)n+1 + an,n+2 (rt)n+2 r -1 k+1 + · · · + O (rt) n+1 r 1 n+1 An+1 (t) = a0 + an,n+1 - n+1 an,n+1 r tn+1 rn+1 - 1 r -1 rn+1 - rn+2 + an,n+2 tn+2 + · · · + O tk+1 rn+1 - 1 An+1 (t) = rn+1 - rn+2 an,n+2 , on obtient bien : rn+1 - 1 An+1 (t) = a0 + an+1,n+2 tn+2 + · · · + O tk+1 Donc, en posant an+1,n+2 = ce qui veut dire que P(n + 1) est vraie. · Conclusion : la propriété P(n) est vraie pour tout n N. Donc, au voisinage de 0, An (t) = a0 + an,n+1 tn+1 + · · · + O tk+1