CCP Maths PSI 2021

Corrigé

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SESSION 2021 @ PSI1M

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé d'un exercice et de deux problèmes indépendants.

1/8
EXERCICE
Étude d'extremums

On considère la fonction f définie sur R° par : V(x, y) EUR R°, f(x, y) = x° + 
y" -- 3xy.

L'objectif de cet exercice est d'étudier l'existence d'extremums pour f.

Q1. Déterminer les points critiques de f.

Q2. Expliciter des points (x, y) EUR R° arbitrairement proches de (0, 0), tels 
que f(x, y) < 0. Expliciter de même des points (x, y) EUR R° arbitrairement proches de (0, 0), tels que f(x, y) > 0.
La fonction f admet-elle en (0,0) un maximum local, un minimum local ou aucun 
des deux ?

On considère la fonction g définie sur R° par : V(u,v) EUR R°, g(u,v) = f(1 
+u,1+v)- f({,1).

Q3. Calculer, pour tout (u, v) EUR R°, g(u, v) puis, pour tout (r, 8) e R* x R, 
g(r cos 6, r sin 6).
P puIs, P

1
Q4. Prouver que pour tout (r,0) EUR R° X R, on a : g(rcos 06, rsin 0) > 3r° 5 
.: 2)

Que peut-on en conclure ?

Q5. La fonction f possède-t'elle un ou des extremums globaux ?

2/8
PROBLÈME 1
Étude d'une famille de séries entières

Dans tout le problème, a désigne un nombre réel. On note D, l'ensemble des 
réels x pour lesquels la
n

7 °° X
série entière > à est convergente et on pose, pour tout x EUR D, :
n

n>l
+00 y»
X
RE --
n
n=]l

Objectifs

Ce problème est composé de trois parties indépendantes.
Dans la Partie I, on étudie quelques propriétés élémentaires des fonctions f,.
L'objectif de la Partie IT est de construire un logarithme complexe.

Enfin, la Partie III permet d'obtenir un équivalent de f,(x) lorsque x tend 
vers 1, dans le cas & EUR]0, If.

Partie I - Quelques propriétés des fonctions f,

Q6. Déterminer le rayon de convergence À commun aux séries entières définissant 
les fonctions f,.

Q7. Déterminer, suivant les valeurs du réel &, le domaine de définition D, de 
la fonction f,. On
distinguera les cas & EUR] -- æ,0], « EUR]0, 1] ef æ EUR]1, +ol.

QS. On suppose dans cette question a > 0. Déterminer, pour tout x EUR D),, le 
signe de f,(x).

Q9. Expliciter fo, f_1 et f1.

Q10. Soit « > 1. Prouver que f, est continue sur D,.

Q11. Soit a < 1. Prouver que lim fa(X) = +. On pourra comparer fa à fi. On suppose dans les deux prochaines questions qu'il existe un réel À > 0 et une 
variable aléatoire X,,
définie sur un espace probabilisé (Q, A, P) et à valeurs dans N°", tels que la 
fonction génératrice G,

de X, soit :
Gay = ÀAfo:

Ï
Q12. Montrer que « > 1 et À =
fa(Q)
Q13. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la variable 
aléatoire X, admette une

espérance.
Déterminer cette espérance en fonction de f,(1) et f,_1(1) seulement.

3/8
Partie IT - Un logarithme complexe

Q14. Donner sans démonstration le développement en série entière au voisinage 
de 0 de la fonction
qu'àxel-1,1[ associe In(1 + x).

n

(--2)" |

Pour tout nombre complexe z, tel que la série >
n

+00
est convergente, on note : S (z) = -- >
n>] n=1l

Q15. Donner le rayon de convergence R de la série entière définissant S. Pour 
tout x réel élément
de ] -- R, RT, déterminer la valeur de exp{sS (x)).

Soit z, EUR EUR tel que [zol < À. On considère la série entière de la variable réelle t suivante : De. n>l

En cas de convergence, on note g(f) sa somme.

On a donc, pour f EUR KR tel que la série est convergente, g(f) = S (fz0).

Q16. Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissant g.
Q17. Prouver que g est définie et de classe C°" sur [0, 1]. Déterminer, pour 
tout ft EUR [0, 1], g'(#).

Q18. On pose h = exp og. Prouver que pour tout f EUR [0,1]:

ZO
L + f2o

h'(t) = h(r).

Q19. Résoudre l'équation différentielle de la question précédente et en déduire 
que :

exp(S (zo)) = 20 + 1.

4/8
Partie IIT - Un équivalent de f,(x) quand x tend vers 1,
dans le cas où a EUR]0. 1]

Dans toute cette partie, on suppose que & EURÏ0, If. L'objectif est de donner 
un équivalent de f,(x)
quand x tend vers 1.

+00
Pour tout x EUR]0, 1[, on considère l'intégrale : (x) = [ -- df.
0

Q20.

Q21.

Q22.

Q23.

Q24.

x!

{[®

Justifier que, pour tout x EUR]0, 11, l'intégrale /(x) est convergente.

+00

On rappelle que la fonction l d'Euler est définie sur R° par : Vs EUR R°,1 (5) 
= [ 1 le"'dt.

0
Pour tout x EUR]0, 1[, déterminer une expression de (x) faisant intervenir 
In(x), a et ['(1 -- a).

{

x. .  .
Prouver que, pour tout x EUR]0, 1[, la fonction f a définie pour tout f EUR R° 
est décroissante
sur R'.

En déduire, pour tout x EUR]0, 1[, l'encadrement :

+00 _ f +O0  f
[ --_ dt < f,( < [ -- dr. 1 o En déduire un équivalent de f,(x) quand x tend vers 1. 5/8 PROBLÈME 2 Pour tout C EUR MC), det(I, + CC) e R* Dans ce problème, n désigne un entier non nul fixé. On note M,(C) (respectivement M,(R)) l'espace vectoriel des matrices carrées de taille n à coeffi- cients dans C (respectivement R), GL,(C) l'ensemble des matrices inversibles de taille n à coefficients dans C et M,,(C) l'espace vectoriel des matrices colonnes de taille n à coefficients dans C. Pour toute matrice M EUR M,(C), on note y» = det(X7, -- M) son polynôme caractéristique et Sp(M) l'ensemble de ses valeurs propres complexes. On pourra utiliser librement les produits matriciels par blocs. Objectifs On s'intéresse dans la Partie I à trois cas particuliers. On montre d'abord que det(Z, + CC) > 1 dans le cas particulier des matrices 
diagonales complexes
C, où C désigne la matrice conjuguée de C, c'est-à-dire la matrice obtenue en 
considérant le conjugué
de chaque coefficient de C.

On montre ensuite que det(Z, + C°) > 1 dans le cas particulier des matrices 
symétriques réelles C.
On considère enfin le cas des matrices réelles C pour lesquelles on démontre 
que det(Z, + C°) EUR R*.

La Partie IT est consacrée au cas général. E
On montre que pour toute matrice C de M,(C), det (4, + CC ) e R:.

Partie I - Trois cas particuliers

Q25. On se place dans le cas particulier où C est une matrice de M,(C) 
diagonale. Démontrer que
det (1, + CC) e KR et que :

det(1, + CC) > 1,

avec égalité s1 et seulement si C = Ou, co).
Q26. On se place dans le cas particulier où C est une matrice de M,(R) 
symétrique. Démontrer que :
det (4, + C?) > ],
avec égalité s1 et seulement si C = Ou, m).

Q27. Démontrer par récurrence sur n que : VA EUR M,(C), det (A) -- det(A).

Q28. On suppose dans cette question que C est une matrice de M,(R). Déduire de 
la question pré-
cédente que, dans ce cas, on a :

det (4, + C?) = | det(C -- il, ).

En déduire que det (4, + C?) e R' et que det (4, + C?) = 0 si et seulement si i 
EUR Sp(C).

6/8
Partie II - Le cas général

On considère dans cette partie une matrice EUR de M,(C) et on démontre que 
det(Z, + CC) ER'.
Seule la Q27 de la partie I sera utile pour la suite.

I -C\fl, 0\
Q29. En considérant le produit matriciel ee I I CI | démontrer que :

_ 1, -C
det(Z, + CC) = det Fe 1)

l ï

On notera désormais : Co = | =
C 1,

Q30. Soient (r, s,t,u) EUR C* et (e1, e>) la base canonique de C°. On note w 
l'endomorphisme de C'

r S
dont la matrice dans la base (e,,e;) est + ul Exprimer la matrice de & dans la 
base (e, e:).

Q31. Soit (R,S,T,U) EUR (M,(C)). En s'inspirant de la question précédente, 
montrer que la matrice
S | U T A R S
7 s) est semblable dans M;,(C) à la matrice s #) Montrer de même que h ) est

| R -S
semblable à la matrice = o)

Q32. En déduire que le polynôme caractéristique de la matrice C, est à 
coefficients réels.

X
Pour la suite, nous écrirons les vecteurs de M;, (EUR) sous la forme ;) où 
(X,Y)E (M,1(C)).

On considère l'application Q : M;,,(EURC) -- M, (EUR) définie par :

X X y
Jewmstoa(()-(x}
Q33. Démontrer les propriétés suivantes de l'application Q :

a) Pour tout F;] EUR M, 1(C), CoQ (;) = Q (ci F1}

b) QoQ=- 1dM;, :(C) :

c) Pour tout F EUR M;,1(C) et tout 1e C, Q U F;) = ÀQ (])

. [À
Q34. Soit Fr] EUR MO) \ {Ow,1O)-

Montrer que la famille (f , Q (1) est libre et que le plan Vect (f ,Q (1) est 
stable
par Q.

7/8
Q35. Soit E un sous-espace vectoriel de M; (EUR) stable par Q et soit F;] EUR 
MC) \ E.

E N Veci (f r (1) = (Ou, GO

Pour tout À EUR Sp(Co), on note &, EUR N° sa multiplicité comme racine du 
polynôme caractéristique. On

peut donc écrire : Yc, = IE (X -- À)". On note alors, pour tout À EUR Sp(Co) :
AESp(Co)

Montrer que :

Fh -- ker (A -- Co")

On admet, pour traiter la Q38, que pour tout 1 EUR Sp(Co), on a : dim F3 = @1.

Q36. Montrer que pour tout À EUR Sp(Co), on a : Q(F) = F7.
Q37. Montrer que si À EUR Sp(Co) N KR, alors F, est de dimension paire.

Q38. Conclure que : det(Co) EUR R°.

FIN

8/8

IMPRIMERIE NATIONALE - 211167 - D'après documents fournis

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCINP Maths PSI 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Philippe Bouafia (professeur agrégé en école 
d'ingénieurs) ; il a été relu par Thierry Limoges (professeur en CPGE) et 
Gilbert Monna
(professeur honoraire en CPGE).

Le sujet se compose d'un court exercice suivi de deux problèmes, le premier 
d'analyse (séries entières, équivalents, intégrales) et le second d'algèbre 
linéaire.
· Dans l'exercice, on recherche les extremums d'une fonction de deux variables.
Les méthodes employées sont assez élémentaires et demandent de visualiser la
fonction étudiée.
· Le premier problème porte sur les fonctions polylogarithmiques, définies par 
les
séries entières
P xn

n=1 n
+

f : x 7-

La première partie étudie les propriétés élémentaires de ces séries (domaine
de convergence, comportement au bord). La deuxième étudie une série dont la
définition est proche de f1 , qui prolonge la fonction x 7 ln(1+x) sur une 
partie
du plan complexe. Enfin, la dernière partie continue l'étude au bord du domaine
de convergence des fonctions f , entamée dans la première partie, dans le cas
où   ] 0 ; 1 [. Les trois parties sont indépendantes.
· Le second problème vise à montrer que, pour toute matrice carrée C  Mn (C) à
coefficients complexes, le déterminant de In +CC est un réel positif. Il 
comporte
deux parties quasi indépendantes. La première s'occupe de montrer le théorème
dans des cas particuliers : d'abord lorsque C est diagonale, puis lorsqu'elle 
est
symétrique réelle et plus généralement lorsque C est à coefficients réels. La 
seconde partie traite le cas où C est à coefficients complexes ; elle contient 
les
questions les plus difficiles du sujet.
Cette épreuve balaie de nombreuses parties du programme de mathématiques.
Les questions sont classiques et de difficulté variable. Ce sujet permet de 
s'entraîner
aux écrits sans s'obliger à traiter un énoncé long, puisque ses composantes sont
indépendantes.

Indications
Exercice
2 Étudier les fonctions t 7 f (t, t) et t 7 f (t, -t).
5 Montrer que la fonction f n'est ni majorée ni minorée.
Problème 1
8 Se rappeler que, pour une série alternée, le signe de la somme est celui de 
son
premier terme.
+
P xn
10 Montrer que la série de fonctions
converge normalement sur [ -1 ; 1 ].

n=1 n
11 Montrer que f > f1 sur l'intervalle [ 0 ; 1 [.
12 Se souvenir qu'une fonction génératrice est une série entière dont le 
domaine de
convergence contient le point 1.
13 Calculer d'abord la dérivée de G sur l'intervalle ouvert ] -1 ; 1 [. Pour 
étudier la
dérivabilité en 1, on pourra utiliser le théorème de la limite de la dérivée.
17 Montrer que [ 0 ; 1 ]  ] -R ; R [.
19 Ne pas tenter une résolution directe de l'équation. Utiliser un argument 
d'unicité
de la solution et en trouver une évidente.
21 Trouver un changement de variable approprié.
23 Encadrer tout d'abord xn /n par des intégrales, pour chaque n  N , avant de
sommer.
Z + t
x
dt.
24 Montrer que I(x) 
t
1
Problème 2
25 Calculer explicitement In + CC.
26 Se ramener au cas de la question 25 par une diagonalisation de C.
28 Factoriser In + C2 .
32 Appliquer le résultat de la question 31 à la matrice I2n -C0  M2n (C), où   
R,
et en déduire que C0 prend des valeurs réelles sur R.
   
X
X
35 Si Z  Vect
,
, montrer qu'une certaine combinaison linéaire de Z
Y
Y
 
X
et (Z) est colinéaire à
.
Y
36 Montrer que  =  et remarquer que (I2n - C0 ) (Z) = ((I2n - C0 ) Z)
pour Z  M2n,1 (C).
37 Montrer que F est stable par  et utiliser la question 35.
38 Écrire le déterminant de C0 comme le produit des valeurs propres de C0 
comptées
avec multiplicité.

Publié dans les Annales des Concours

Exercice - Étude d'extremums
1 Tout d'abord, la fonction f est de classe C 1 sur R2 par les théorèmes 
généraux.
Ses points critiques sont les solutions de l'équation f (x, y) = (0, 0), où
f (x, y) = (x f (x, y), y f (x, y)) = (3x2 - 3y, 3y 2 - 3x)
On résout le système

f (x, y) = (0, 0) 

x2 = y
y2 = x

· Analyse : si (x, y)  R2 est solution, alors x4 = (x2 )2 = y 2 = x, de sorte 
que x
satisfait x(x3 - 1) = 0, ce qui ne peut se produire que lorsque x  {0, 1}. 
Ainsi,
on a x = x2 = y. Les solutions possibles de l'équation sont (0, 0) et (1, 1).
· Synthèse : en réinjectant dans l'équation, on vérifie sans difficulté que (0, 
0)
et (1, 1) sont des points critiques de f .
Les points critiques de f sont (0, 0) et (1, 1).
2 On remarque que pour tout t  R, on a f (t, t) = -3t2 + 2t3 = t2 (-3 + 2t), si 
bien
que f (t, t) < 0 pour tout t  ] - ; 3/2 [ r {0}. De manière analogue, on constate que pour tout t 6= 0 on a f (t, -t) = 3t2 > 0. On peut conclure de ce qui précède 
que
La fonction f prend des valeurs strictement positives
et strictement négatives dans tout voisinage de (0, 0).
On aurait pu considérer la fonction partielle x 7 f (x, 0) = x3 qui prend des
valeurs strictement négatives pour x < 0 et strictement positives pour x > 0.
Or il se trouve que f (0, 0) = 0. Il vient alors que
Le point critique (0, 0) n'est pas un extremum local de la fonction f .
3 Soit (u, v)  R2 . On a
g(u, v) =
=
=
g(u, v) =
D'où

f (1 + u, 1 + v) - f (1, 1)
(1 + u)3 + (1 + v)3 - 3(1 + u)(1 + v) - (-1)
(1 + 3u + 3u2 + u3 ) + (1 + 3v + 3v 2 + v 3 ) - 3(1 + u + v + uv) + 1
3(u2 + v 2 - uv) + u3 + v 3
(u, v)  R2

g(u, v) = 3(u2 + v 2 - uv) + u3 + v 3

Soit (r, )  R+ × R. On a cette fois
g(r cos , r sin ) = 3r2 (cos2  + sin2  - cos  sin ) + r3 (cos3  + sin3 )
= 3r2 (1 - cos  sin ) + r3 (cos3  + sin3 )
(r, )  R+ × R

g(r cos , r sin ) = 3r2 (1 - cos  sin ) + r3 (cos3  + sin3 )

Publié dans les Annales des Concours

4 Soit (r, )  R+ × R. Notons qu'on a les inégalités cos  sin  = sin(2)/2 6 1/2
et cos3  + sin3  > -2. Ces inégalités permettent de minorer

1
g(r cos , r sin ) > 3r2 1 -
- 2r3
2
3r2
>
- r2 (2r)
2 

1 2r
2
g(r cos , r sin ) > 3r
-
2
3
De plus, 2r/3 6 2r, d'où l'on déduit que
(r, )  R+ × R

g(r cos , r sin ) > 3r

2

1
- 2r
2

p
Soit (x, y)  R2 tel que (x - 1)2 + (y - 1)2 6 1/4. En utilisant des coordonnées
polaires, il existe r  [ 0 ; 1/4 ] et   R tels que (x - 1, y - 1) = (r cos , r 
sin ).
Par ce qui précède,
f (x, y) - f (1, 1) = g(x - 1, y - 1)
= g(r cos , r sin )

1
2
> 3r
- 2r
2
f (x, y) - f (1, 1) > 0
Par suite,

(car r 6 1/4)

Le point critique (1, 1) est un minimum local de f .

5 D'après le cours, les extremums locaux de f ne peuvent être atteints qu'en
des points critiques, ici (0, 0) et (1, 1). On conclut alors avec les questions 
2 et 4
que f n'admet pas de maximum local. A fortiori, elle n'a pas de maximum global.
De surcroît, on observe que
f (x, 0) = x3 ----- -
x-

Ainsi la fonction f n'est pas minorée et ne peut pour cette raison admettre de 
minimum global. En conclusion,
La fonction f n'a pas d'extremum global.

Problème 1
I. Quelques propriétés des fonctions f
6

On rappelle que le rayon de convergence R d'une série entière

P
n>1

par définition
R = sup {  R+ | la suite (an n )nN est bornée}
La borne supérieure est prise dans R+  {+}.

an xn est