CCP Maths PSI 2020

Thème de l'épreuve Transformée de Laplace du sinus cardinal et matrices de Kac
Principaux outils utilisés Intégration, algèbre linéaire, transformée de Laplace, probabilités
Mots clefs matrice de Kac, sinus cardinal, loi binomiale, somme de Riemann

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2020 C PSI1M

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Lundi 4 mai:8h-12h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de deux problèmes indépendants.

1/8
PROBLÈME 1
Autour de la fonction sinus cardinal

Objectifs

Dans ce problème, on détermine dans la Partie I la valeur de la transformée de 
Laplace de la fonction
sinus cardinal. On utilise ensuite dans la Partie IT une variante de la formule 
de Viète pour exprimer
la transformée de Laplace de la Partie I comme limite d'une suite d'intégrales.

Partie I - Transformée de Laplace de la fonction sinus cardinal

Pour x > 0, on note :

Q1.
Q2.
Q3.

Q4.
Q5.

Q6.

Q7.

Q8.

+00 ,: t +00 +00
F(x) = [ De" dt, GX) = [ e" sin(n) dt et H(x) = [ e" cos(f) df.
0 0 0

Montrer que : VER", |sin(#)| < fr. Montrer que les fonctions F, G et H sont bien définies sur ]0, +col. Montrer que lim F(x) = 0. X-- +00 Montrer que F est de classe C! sur 10, +col et exprimer F" à l'aide de la fonction G. Trouver une expression simple pour G et pour A. On pourra calculer H(x) + iG(x). +00 En déduire, pour & EUR 10, +, la valeur de [ e"* cos(@f) df. 0 En déduire une expression simple pour F. Que vaut F(1)? Partie II - Autour de la formule de Viète Montrer que pour tout f > 0 et pour tout n EUR N° :

E t | sin(f)
COS -- | = ----
1 _ 2k 2" sin(t/2")
Montrer que pour tout f > 0 et pour tout n EUR N° :

n on]
i Ï 2k---1
[Jeos(5)= 55 De)

k=1 k=1

On pourra raisonner par récurrence et utiliser l'identité :

cos(a) cos(b) = "| cos(a + b) + cos(a -- b)).

2/8
Q9. En déduire que pour tout f > 0:

21-
Sin(s) b = .:

Q10. Montrer que pour tout x > 0:

--1X
FO) = lim > > I s( "}e dé.

On pourra introduire, pour tout n EUR N", la fonction f, : ]0,+coe[-- R définie 
par :

27
V1 E]0, +, D = De E- ) e".

Q11. En déduire que :

T I
_ -- li pn+i |
4 note 2 (2k = 1)2 + 22

L'objet des trois questions suivantes est de redémontrer le résultat précédent 
de façon plus élémentaire.

Q12. Déterminer :
on-1

Ï
im 2 5
n--+00 4k2 + 227
k=0
en écrivant cette quantité à l'aide une somme de Riemann.

Q13. Soit n e N°. Montrer que pour tout k EUR [0,27] :

4x2" 141 I
< ----------""  -- X -------- . 1+27 Ak? + 221 1 1 qe +22 (2k---1ÿ +22 Q14. En déduire que : on 1 li pn+i A -- () te 2 Fe +27 QI) +27 et retrouver le résultat de la question Q11. 3/8 PROBLÈME 2 Les matrices de Kac Notations - Pour n EUR N°, M,(R) désigne l'ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients réels et M, (C) désigne l'ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients complexes. - Dans tout ce problème, les vecteurs de R" seront notés en colonnes. - La lettre i désigne le nombre complexe usuel vérifiant = --1. On s'interdira d'utiliser cette lettre pour tout autre usage ! Objectifs Le but de ce problème est d'étudier quelques propriétés spectrales de deux matrices À, EUR M,,,(R) et BP, EUR M,:1(R) introduites par Mark Kac au milieu du XX° siècle. Ces liens ont été mis en évidence par Alan Edelman et Eric Kostlan au début des années 2 000. Ce problème est divisé en quatre parties largement indépendantes. La Partie I introduit les matrices de Kac en taille 3 et met en évidence les propriétés qui seront démontrées en taille quelconque dans les Parties IT et LIT. La Partie IV est une utilisation probabiliste d'une des deux matrices de Kac. Partie I - La dimension 3 On considère les matrices : 0 1 0 O --I 0 A=12 O0 2[etB=12 0 --2 0 1 0 O0 1 0 Q15. Déterminer le polynôme caractéristique x1 = det(X7; -- A) de À et le décomposer en facteurs irréductibles dans R[X|. Q16. En déduire que la matrice À est diagonalisable sur KR. Donner la liste des valeurs propres de À et la dimension des espaces propres correspondants. On ne demande pas de déterminer les espaces propres de À dans cette question. Q17. Déterminer le polynôme caractéristique y, de B et le décomposer en facteurs irréductibles dans R[X], puis dans C[X]. Vérifier que y4(X) = iyg(iX). Q18. La matrice B est-elle diagonalisable sur R? Est-elle diagonalisable sur C? Donner la liste des valeurs propres réelles puis complexes de B et la dimension des espaces propres sur R et C correspondants. On ne demande pas de déterminer les espaces propres de B dans cette question. On considère : I O O0 D=10 5 0O|eM;(C). 0 O -I Q19. Exprimer D''AD à l'aide de la matrice B. 4/8 1 0 O0 Soit A=|0 V2 01e MR). 0 O0 1 Q20. Calculer A "AA. En déduire à nouveau que la matrice À est diagonalisable sur R. Partie II - Étude d'un endomorphisme Objectifs Dans cette partie, on introduit la matrice B, et on en étudie ses propriétés spectrales à l'aide d'un endomorphisme de dérivation. Soit n EUR N° un entier naturel fixé. Pour k EUR [0, n], on note f; : R -- C la fonction définie par : VxeR, f(x) = cos"(x) sin"""(x). On note V, le C-espace vectoriel défini par : V, -- Vectc( fo, fi; ... În) -- D A fr | (2, ... An) EUR ci . k=0 Q21. Montrer que la famille (fo,...,/,) est libre. En déduire la dimension de l'espace vectoriel complexe V,. Q22. Pour k EUR [0,n], montrer que f; EUR V,. En déduire que : On : Vn -- V, J > Pn(T) -- f
définit un endomorphisme de V, et que sa matrice B, dans la base (fo, f1,..., 
fn) est la matrice :
(O  ---1 DO ..... ..... 0)
n Ô --2
=" 0 eM,u(R)
. 0
.. 2 0 -n
O ... ... 0 1 0)

Pour k EUR [0, n], on note g, : R -- C la fonction définie par : VxeR, gk(x) = 
ex,

Q23. Montrer que : Vxe KR, g4,(x) = (cos x +isin x) (cos x -- i sin x)".
Q24. En déduire, à l'aide de la formule du binôme de Newton, que : Yk EUR 
[0,n], gx EUR Vs.

Q25. Pour k EUR |0,n], calculer g,. En déduire que w, est diagonalisable. 
Donner la liste des valeurs
propres complexes de vw, et décrire les espaces propres correspondants.

Q26. Pour quelles valeurs de n l'endomorphisme v, est-1l un automorphisme de V, 
?

5/8
Q27. Écrire la décomposition de g, dans la base (fo, ...

qi
Ker(B, -in1,,:,) = Vect

où pour tout k EUR [0, n], on note q; = rfi)

., fr) et en déduire que :

go

n

Partie III - Les matrices de Kac de taille » + 1

Objectifs

Dans cette partie, on introduit la matrice À,. On utilise les résultats de la 
Partie IT pour étudier les

propriétés spectrales de la matrice À,,.

Soit n EUR N° un entier naturel fixé. On note À, la matrice tridiagonale 
suivante :

(0 l 0
n 0 2

À, = ° n--1 O0 3
... 2
O :.. +. 0

Le terme général a;, de la matrice À, vérifie donc :
- dx =KSI 

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCINP Maths PSI 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Quentin Guilmant (ENS Lyon) ; il a été relu par 
Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à l'université) et Gilbert Monna 
(professeur
honoraire en CPGE).

Le sujet comporte deux problèmes indépendants mêlant analyse réelle, algèbre
linéaire et probabilités.
· Le premier problème est composé deux parties. Il établit une stratégie 
d'approximation de /4 de deux façons.
­ La première partie propose de donner une forme simple à la transformée
de Laplace de la fonction sinus cardinal.
­ La seconde reprend cette transformée pour l'exprimer sous forme d'une
limite de fonctions de façon à pouvoir approximer correctement /4. Elle
propose ensuite une méthode plus directe pour démontrer à nouveau le
résultat.
· Le second problème, plus long, comporte quatre parties. Il traite des matrices
de Kac, qui ont plusieurs applications, notamment en physique des particules.
La dernière partie présente ainsi un modèle stochastique qui représente certains
phénomènes de mécanique statistique.
­ La première partie est une mise en jambes. Elle s'intéresse au cas simple
de la dimension 3. Les résultats étudiés dans la suite sont cependant déjà
présents.
­ La deuxième introduit un endomorphisme classique, la dérivation, sur un
espace de fonctions construites à partir des fonctions cosinus et sinus.
­ Les résultats de la partie 2 sont ensuite utilisés pour étudier les matrices
de Kac de dimension quelconque.
­ La dernière partie utilise les matrices de Kac pour modéliser une expérience 
aléatoire, les urnes d'Ehrenfest.
Le sujet parcourt à peu près l'ensemble des grands thèmes au programme de PSI.
Les candidats étaient amenés à utiliser les théorèmes d'intégration, à établir 
des majorations et à mobiliser leurs connaissances sur les endomorphismes 
diagonalisables et
les probabilités. Ce sujet permet donc de réviser l'ensemble du programme. Bien 
qu'il
s'agisse souvent d'appliquer le cours, quelques questions opposent plus de 
résistance.

Indications
Problème 1
1 Majorer sin et - sin pour conclure.
2 Comparer à une intégrale de Riemann.
3 Comparer |sin t/te -tx | à une fonction intégrable connue.
7 Utiliser la formule sin(2a) = 2 sin(a) cos(a).
9 Utiliser l'équivalent en 0 de la fonction sinus.
10 À l'aide de la question 8, montrer que

n-1
1 2P
2k - 1
t 61
cos
2n-1 k=1
2n
puis utiliser le théorème de convergence dominée.
11 Utiliser le changement de variable affine u = ((2k - 1)/2n )t.
12 Faire apparaître la somme de Riemann sur [ 0 ; 1 ] avec pas de 2n-1 pour la 
fonction G. Utiliser la question 4.
13 Utiliser le fait que k  [[ 0 ; 2n-1 ]].
Problème 2
19 La matrice D est un produit de matrices d'opérations élémentaires. On peut
répondre sans développer tout le produit matriciel.
21 Procéder par récurrence et montrer la propriété
P(k) :
lorsque l'on suppose que

n
P

i  [[ 0 ; k ]]

n-i = 0

k fk = 0.

k=0

23 Écrire gk (x) = e ikx e -i(n-k)x .
29 Se rappeler que det(MN) = det(M) det(N).
30 Utiliser la question 29 sous la forme Bn = -iDn -1 An Dn .
36 Introduire une nouvelle variable pour chaque boule indiquant si cette boule 
a été
placée dans l'urne U1 .
38 Montrer que le vecteur de la loi de probabilité Z d'une loi  0 satisfaisant 
la même
propriété que  est un vecteur propre de An pour la valeur propre n.

Problème 1. Autour de la fonction sinus cardinal
(
1 Considérons la fonction

u:

R - R
t 7- t - sin t

Cette fonction est dérivable sur R+ et pour tout t  R+ , on a
u0 (t) = 1 - cos t > 0
La fonction u est donc croissante. Or u(0) = 0 donc pour t  R+ , on a u(t) > 0, 
puis

Soit maintenant la fonction

v:

t > sin t
(
R - R
t 7- t + sin t

dérivable sur R telle que pour tout t  R+ , on a
v 0 (t) = 1 + cos t > 0
La fonction v est donc croissante. Or v(0) = 0 donc pour t  R+ , on a v(t) > 0, 
puis
t > - sin t
En réunissant les deux inégalité obtenues, on obtient
t  R+

t > |sin t|

2 Notons f (x, t), g(x, t), h(x, t) les intégrandes respectifs de F(x), G(x) et 
H(x).
Posons aussi f (x, 0) = 1. Par composition et produit, ces fonctions sont 
continues
sur ] 0 ; + [ × [ 0 ; + [. De plus, d'après la question 1, pour tous x, t > 0
|f (x, t)| 6 e -tx
On a aussi

|g(x, t)| 6 e -tx

et

|h(x, t)| 6 e -tx

Ainsi, pour tout x  R+ , on a

1
1
f (x, t) = o
g(x, t) = o
t+ t2
t+ t2

h(x, t) =

o

t+

1
t2

Par comparaison à une intégrale de Riemann,
Les fonctions F, G et H sont bien définies sur R+ .
3 Fixons x > 0. Pour tout t > 0, d'après la question 1, on a
sin t -tx
e
6 e -tx
t
La fonction t 7 e -tx étant intégrable sur R+ par le même argument qu'en 
question 2,
par croissance de l'intégrale, on a

+
Z +
Z +
sin t -tx
1
1
|F(x)| 6
=
e
dt 6
e -tx dt = - e -tx
t
x
x
0
0
0
La valeur absolue étant positive, on en déduit par encadrement que
lim F(x) = 0

x+

4 La fonction

  2
(R+ ) - R
f:
 (x, t) 7- sin t e -tx
t

est de classe C 1 sur son domaine de définition en tant que multiplication de 
fonctions
de classe C 1 . Pour tous x, t > 0
f
(x, t) = -e -tx sin t = -g(x, t)
x
Cette fonction est continue par rapport à chacune de ses variables. De plus, on 
a
f
(x, t) 6 e -tx
x

2

(x, t)  (R+ )

Par croissance de l'exponentielle, on obtient donc l'hypothèse de domination
a > 0

f
(x, t) 6 e -ta
x

x > a t > 0

La fonction t 7 e -ta étant intégrable sur R+ , toutes les hypothèses du 
théorème
de dérivation sont vérifiées pour tout a  R+ et tout x  ] a ; + [. Ainsi, pour 
tout
a  R+ , la fonction F est de classe C 1 sur ] a ; + [ et
Z +
0
x  ] a ; + [
F (x) =
- e -tx sin t = -G(x)
0

Le résultat étant vrai pour tout a  R+ ,
La fonction F est de classe C 1 sur R+ et F0 = -G.
5 On a pour tout x > 0,
Z
H(x) + iG(x) =

+

e -tx (cos t + i sin t) dt =

0

Z

+

e -t(x-i) dt

0

Le module de l'intégrande est e -tx qui est intégrable sur R+ . L'intégrande 
est donc
intégrable sur R+ et une de ses primitives est la fonction
t 7- -

1 -t(x-i)
e
x-i

qui est bien définie car x  R+ et en particulier x 6= i. On en déduit

+
x+i
1
1
-t(x-i)
e
= 2
H(x) + iG(x) =
=
i-x
x-i
x +1
0
Ainsi, en prenant les parties imaginaire et réelle on obtient que
x  R+

G(x) =

1
x2 + 1

et

H(x) =

x
x2 + 1

Soit  > 0. En faisant un changement de variable linéaire de coefficient 
directeur non
nul u = t, on obtient que pour tout x > 0
Z +
Z
1 + - x u
1 x
e -tx cos(t) dt =
e  cos u du = H
 0

0
Z +
x
2
Par conséquent (, x)  (R+ )
e -tx cos(t) dt = 2
x + 2
0