CCP Maths PSI 2019

Thème de l'épreuve Le théorème de Borel et résolution d'une équation linéaire par réduction
Principaux outils utilisés Séries de fonctions, intégrales à paramètres, réduction, séries entières
Mots clefs Théorème de Borel, fonctions indéfiniment dérivables, éléments propres d'une matrice, systèmes différentiels

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2019 © PSIMA02

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Lundi 29 avril : 14h-18h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur dénoncé, il le

signalera sur Sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de deux problèmes indépendants.

1/8
PROBLÈME 1

Objectifs

Dans la partie I, on considère deux exemples de fonctions indéfiniment 
dérivables sur R et on s'inter-
roge sur l'existence d'un développement en série entière dans un voisinage de 0 
pour ces fonctions.
Dans la partie IT, indépendante de la partie I, on démontre le théorème de 
Borel en construisant,
pour toute suite réelle (b,),en, une fonction f indéfiniment dérivable sur R 
telle que pour tout p EUR N,

fP(0) = b,.
Partie I - Deux exemples de fonctions indéfiniment dérivables

On considère la fonction f définie sur R par :
+00 |
Vx ER, f(x) = [ ed ir.
0

Q1. Montrer que la fonction f est bien définie sur R.
+00
Pour tout p EUR N, on note [', = [ te 'dt.
0

Q2. Pour tout p EUR N, justifier l'existence de [", et déterminer une relation 
entre [',;, et F',.
Q3. En déduire, pour tout p EUR N, la valeur de F';.
Q4. Montrer que f est indéfiniment dérivable sur R et déterminer, pour tout x 
EUR R et tout p EUR N,

fo.

x?

)(O

Q5. En déduire le rayon de convergence de la série entière > J
p>0 P

La fonction f est-elle développable en série entière au voisinage de 0 ?

On considère la fonction g définie sur R par :

+00

Vre R, g(x) _ > e RAR)
k=0

Q6. Montrer que g est indéfiniment dérivable sur R et déterminer, pour tout x 
EUR R et tout p EUR N,
g(( x).
Q7. Montrer que pour tout p EUR N, \gP) (0) > per.

x? .

@)(O
QS. En déduire le rayon de convergence de la série entière > $ )
p>0 P
La fonction g est-elle développable en série entière au voisinage de 0 ?

2/8
Partie II - Le théorème de Borel

Q9. Déterminer deux nombres complexes a et b tels que pour tout x EUR KR :

I a b
5 = + =.
1 + x X--i X+I

1
Q10. On considère la fonction y définie sur R par : Vx EUR KR, Y(x) = --.
x--i

Montrer par récurrence que pour tout p EUR N et tout x EUR R :

C1) p'
(x _ j)P+l

W'P(x) =

Q11. Déterminer, pour tout p EUR N, la dérivée p-1ème de la fonction &, définie 
sur R par :

l
1 +x2

VxeR, (x) =

Q12. Montrer que pour tout pe Nettoutxe R, |(x + Pl (x y] < 2(1 + x). En déduire que pour tout p EUR Net tout x EUR R", on a: (x) < DT Q13. Pour tout réel &, notons 4, la fonction définie sur R par : I VxER, @,(x) = --. Pa(x) 1 + a2x2 Montrer que pour tout p EUR Net tout x EUR R°: | |) P: ak O< or On considère une suite réelle (a,),-n et on lui associe la suite de fonctions (4,),-n définie sur R par : anX" VxEeR, U,(X) -- inox: 3/8 Q14. Q15. Q16. Q17. Q18. Q19. Pour tout n EUR N, on note a, = Vnl!la,. Montrer que pour tout entier p > 0, 
tout entier n > p et
tout réel x, on a :
l |
D) = ÿ P\ UT n-k, (p-D
uP'(x) = a X X).

En déduire que pour tout entier n > 0 et tout entier p EUR [0,n -- 1], u°?/(0) 
= 0 et déterminer
(n)
u, (0).

Montrer que pour tout entier n EUR N°, tout entier p EUR [0, n -- 1] et tout 
réel x, on a :
xl p-1
juP) (x) < A p'2". Vn! +00 En déduire que la fonction U = > u, est bien définie et indéfiniment dérivable 
sur R.
n=0

p-1
Montrer que U(0) = a) et pour tout entier p > 1, U()(0) = uP)(0) + pla,.
n=0

Déduire de ce qui précède que pour toute suite réelle (b,),ew, 1l existe une 
fonction f indéfini-
ment dérivable sur R telle que pour tout p EUR N, f(0) = D.

Ce résultat est appelé théorème de Borel. Il à été démontré par Peano et Borel 
à la fin du
xIx° siècle.

4/8
PROBLÈME 2

Notations et définitions

- Soient n EUR N° et (p, q) EUR (N*)'.

- R[X] désigne l'ensemble des polynômes à coefficients dans KR. S1 P EUR R[X], 
on notera encore
P la fonction polynomiale associée.

- M,(R) et M,(C) désignent respectivement les ensembles des matrices carrées de 
taille p à
coefficients dans R et dans C. M,,(R) et M,,(C) désignent respectivement les 
ensembles des
matrices à p lignes et g colonnes à coefficients dans R et dans C.

- On note 7, la matrice identité de M,(C) et O, la matrice de M,(C) ne 
comportant que des 0.

- On note y4 le polynôme caractéristique d'une matrice À EUR M,(C), 
c'est-à-dire le polynôme
det(XJ, -- A).

- Étant donnée une matrice M EUR M,(C), on note Sp(M) l'ensemble des valeurs 
propres com-
plexes de M.

Objectifs

Dans la partie I, on détermine les valeurs propres d'une matrice tridiagonale 
symétrique réelle parti-
culière. On utilise les résultats démontrés dans la partie I pour résoudre, 
dans la partie IE, un système
différentiel.

Partie I- Éléments propres d'une matrice

L.1 - Localisation des valeurs propres

On considère une matrice À = (a; j)1<, jen EUR M,(C). Soient une valeur propre 1 EUR C de À et un vecteur X] propre associé x = | : [EUR M, (EUR) \ {Ou, co}. Àn n Q20. Montrer que pour tout i EUR [1,n], on a : Ax; = > di, jXj.
j=1

Q21. Soit à EUR [1,n] tel quex;| = max |x;|. Montrer que : [A| < > ai. jl.

JEl 1, j=1
En déduire que :
[A] < max la; le. LE 1. n D ' Soient & et 5 deux nombres réels. On considère la matrice À,(&,B) EUR M,(R) définie par : a B O0 :.. 0) Bb « Pb A,(@,B) =10 '+. ':. '-. oO. Bb « bp (O 0 5 a) 5/8 Q22. Justifier que les valeurs propres de A,(«, 5) sont réelles. Q23. Soit 1 EUR R une valeur propre de A,(@, B). Montrer que : A] < |a| + 216]. 1.2 - Calcul des valeurs propres de AÀ,(&, B) Q24. En utilisant la question Q23, montrer que pour toute valeur propre À de A,(0, 1), 1l existe 0 EUR [0, x] tel que À = 2 cos 6. On note U, le polynôme y A,(0 122 Q25. Etablir, pour n > 3, une relation entre XA (0. 1y XA, (0. 1) LXA (0. 1)

En déduire, pour n > 3, une relation entre U,, U,_ ; et U, 5.

Q26. Montrer par récurrence sur nr que pour tout 4 EUR]0, x :

sin((n + 1)6)

U,(cos 0) = sin@)

Q27. Déduire de la question précédente que l'ensemble des valeurs propres de 
A,(0,1) est

2 cos | -- | ,j EUR [1, nl} Déterminer la multiplicité des valeurs propres et 
la dimension des
n

espaces propres associés.

Considérons j EUR [1,n] et posons 6; = 7.
n+l
À]
Q28. Montrer que pour tout vecteur propre x = | : | EUR M, ,(R) de A,(0, 1) 
associé à la valeur propre
Xn

2 cos(6;), on a :
-- 2COSs(0;)x1 + x2 = 0
XE-1 -- 2 cos(6;)xz + Xi] -- 0, Vke [2,7 -- 1] .

Xn-1 -- 2 COS(0;)xy = 0
Soit E l'ensemble des suites réelles (uz);en vérifiant la relation de 
récurrence :
Vk EUR N°, uy-1 -- 2cC0s(6;) ux + ux+1 = 0.
Q29. Montrer que E est un espace vectoriel sur R dont on précisera la dimension.
Q30. Déterminer l'ensemble E des suites (uz)xen EUR E telles que uo = uy:1 = 0.

Q31. En déduire l'espace propre de A,(0, 1) associé à la valeur propre 2 
cos(6;).

Q32. En déduire, pour tout (a, B) EUR R°, l'ensemble des valeurs propres de 
À,(&, 5) et les espaces
P
propres associés. On distinguera le cas 6 Æ 0 du cas 5 = 0.

6/8
Partie II - Système différentiel

IL.1 - Matrices par blocs

On considère À, B,C et D des matrices de M,(C) telles que C et D commutent.

A B\[D O0,
Q33. Calculer c n [ c }

L'objectif des trois prochaines questions est de démontrer la relation :
À B
det ( c p) = det(AD -- BC). (1)

Q34. Montrer l'égalité (1) dans le cas où D est inversible.
Q35. On ne suppose plus D inversible. Montrer qu'il existe po EUR N° tel que 
pour tout entier p > po,

D + --1I, est inversible.
D

Q36. En déduire que l'égalité (1) est également vraie dans le cas où D n'est 
pas inversible.

Considérons une matrice M EUR M,(C) et formons la matrice :
O0, L,
N={ÿ 6)

Q37. Montrer que Sp(N) = {ue C; u° EUR Sp(M)}.
X1
Q38. Soient u e Sp(N) et x = | : | e M,,(C) un vecteur propre de M associé à la 
valeur propre y".

Àn

X SPON
Montrer que le vecteur L | EUR M;,1(C) est vecteur propre de N associé à la 
valeur propre 4.

Q39. Montrer que si M est diagonalisable et inversible, alors N est également 
diagonalisable et
inversible.

IL.2 - Application à un système différentiel dans le cas où nr = 2

On considère le système différentiel :

MOT DR @)
2 -- 1 2
Q40. Déterminer («, B) EUR R° tel que le système (2) soit équivalent au système 
différentiel du premier
X1
ordre X' = BX.où X=l"?leg=l %  ?|cMR
ff (m@B) 0)
x
Que déduit-on du théorème de Cauchy quant à la structure de l'ensemble des 
solutions de ce

système ?

Q41. En utilisant la question Q37, déterminer les valeurs propres de B et en 
déduire que B est
diagonalisable.

7/8
On considère la matrice :

iV3 0 0 0
p=-l 9 iv3 0 0!
0 O0 --i 0
0 0 O0 à

Q42. En utilisant la question Q38, déterminer une matrice inversible P EUR 
M,(C) dont la première
ligne ne comporte que des 1 et telle que B = PDP".

V1

Y2

»3 |

YA

Q44. Déterminer la solution du système  diflérentiel (2) avec conditions  
intiales
(x1(0), x2(0), x: (0), x,(0)) = (1,0, 0, 0).

Q43. Déterminer l'ensemble des solutions du système différentiel Y" = DY, avec 
Y =

FIN

8/8

IMPRIMERIE NATIONALE - 191154 - D'après documents fournis

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCINP Maths PSI 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Christophe Fiszka (professeur en CPGE) ; il a été 
relu
par Corentin Fierobe (ENS Lyon) et Gilbert Monna (professeur honoraire en CPGE).

Le sujet est composé de deux problèmes indépendants : le premier d'analyse, le
second d'algèbre linéaire.
· Le premier problème contient deux parties indépendantes. Dans la première,
on construit, à l'aide des intégrales à paramètre et des séries de fonctions, 
deux
exemples de fonctions de classe C  qui ne sont pas développables en série
entière au voisinage de 0 :
Z +
+
P -k(1-ikx)
x 7
e -t(1-itx) dt et x 7
e
0

k=0

La seconde partie est consacrée à une démonstration du théorème de Borel :
« Pour toute suite réelle (bp )pN , il existe f , une fonction de classe C  , 
telle
que pour tout entier p, f (p) (0) = bp . » En particulier, on retrouve le 
résultat de
la première partie : il existe des fonctions de classe C  dont la série de 
Taylor
P f (p) (0) p
x
p!
p>0
est divergente.
· Le second problème étudie les valeurs propres et vecteurs propres d'une 
matrice tridiagonale à deux paramètres. Les résultats obtenus sont appliqués à 
la
résolution d'un système différentiel linéaire du second ordre.
Ce sujet comporte peu de subtilités ou de grandes difficultés conceptuelles, 
mais
il s'avérera très utile pour ceux qui voudront tester leur maîtrise des bases 
en analyse
avec le premier problème (intégrales à paramètre, développements en série) et en
algèbre linéaire avec le second (réduction des matrices). Autre avantage, on 
peut
traiter chaque problème séparément en consacrant deux heures à chacun.

Indications
Problème I
1 Si z = a + i b est un nombre complexe sous forme algébrique alors
|e z | = |e a+ib | = e a
En déduire l'intégrabilité de f (x).
2 Procéder par intégration par parties.
4 Appliquer le théorème de dérivation des intégrales à paramètre (ou théorème de
Leibniz).
5 En partant de f (p) (0) = ip (2p) !, vérifier que le rayon de convergence est 
nul.
6 Appliquer le théorème de dérivation terme à terme pour les séries de 
fonctions.
+
P 2p -k
k e
par l'un de ses termes.
7 Minorer la somme
k=0

8 Justifier que, pour tout r > 0, la série
minorant le terme général.

P

g (p) (0) rp / p ! diverge grossièrement en

11 Utiliser la question 9 et la linéarité de la dérivation pour justifier 
l'égalité

(-1)p p ! (x + i)p+1 - (x - i)p+1
1 (p) (x) =
2i
(1 + x2 )p+1
12 Utiliser les relations sur les nombres complexes :
Im (z) =

z-z
2i

et

|Im (z)| 6 |z|

13 Appliquer le résultat de la question 12 avec  (x) = 1 (x).
14 C'est une application de la formule de Leibniz pour calculer les dérivées 
successives
d'un produit de fonctions dérivables.
15 Attention, 0k vaut 1 si k = 0.
16 Utiliser les questions 13 et 14 ainsi que la formule du binôme de Newton pour
justifier l'inégalité

p
n
P
P
n
n
6
= 2n
k
k=0
k=0 k
17 Appliquer le théorème de dérivation terme àP
terme pour les séries de fonctions.
(p)
Prouver la convergence
uniforme
de
la
série
à l'aide de la convergence
n un
P
(p)
normale de la série n>p un sur tout intervalle du type [ -b ; b ] et l'inégalité
de la question 16.
18 Utiliser la question 15.
19 Construire par récurrence une suite (ap )pN telle que
p  N

p-1
P

un(p) (0) + p ! ap = bp

n=0

Problème II
20 Le vecteur x est propre pour la valeur propre  si x est non nul et Ax = x.
21 Utiliser la question 20 et l'inégalité triangulaire. N'oubliez pas de 
préciser qu'un
vecteur propre est par définition non nul. Ainsi, xi0 6= 0.
22 La matrice An (, ) est symétrique réelle.
23 Utiliser la question 21.
25 Développer le déterminant suivant la première ligne puis un des deux 
déterminants
obtenus suivant la première colonne. En déduire la relation
 n  N r {0 ; 1 ; 2 }

An (0,1) = X × An-1 (0,1) - An-2 (0,1)

26 Utiliser une récurrence double
P(n) :

« Un (cos()) =

sin((n + 1))
sin()

Un-1 (cos()) =

sin(n)
»
sin()

Les formules trigonométriques sont rappelées en fin d'ouvrage. Par exemple, pour
tous a, b  R, sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b).
27 Vérifier que la matrice An (0, 1) admet n valeurs propres distinctes données 
par
les 2 cos (j/(n + 1)), où j  [[ 1 ; n ]].
29 Penser aux suites récurrentes linéaires d'ordre 2
k  N
30
32
35
36

37
39

40
41

vk+2 = vk+1 + vk

L'expression de vk dépend du discriminant de l'équation caractéristique.
Vérifier qu'il existe un réel µ tel que pour tout k  N, uk = µ sin(kj ).
Partir de l'égalité An (, ) = In + An (0, 1).
La matrice D + (1/p)In n'est pas inversible si et seulement si -1/p est une 
racine
du polynôme caractéristique D .
Si Dp = D + (1/p)In est inversible, la relation suivante est vraie :

A B
= det(ADp - BC)
det
C Dp
Passer à la limite en invoquant la continuité.
Utiliser la relation (1) avec les polynômes caractéristiques N et M .
Une matrice A est inversible si et seulement si 0 n'est pas une valeur propre de
A. De plus, une matrice A est diagonalisable si et seulement si il existe une 
base
de vecteurs propres.
Prendre  = -2 et  = 1.
Vérifier que les valeurs propres de la matrice A2 (-2, 1) et les vecteurs 
propres
associés sont

1
1
-1 avec
et
- 3 avec
-1
1

En déduire les valeurs propres de B à l'aide de la question 38.
42 Les colonnes de la matrice P sont les vecteurs propres
  de B dont la première
composante est 1, associés aux valeurs propres -i 3, i 3, -i et i.
44 Le vecteur X est solution de X = BX si et seulement si Y = P-1 X est solution
de Y = DY.

PROBLÈME I

Partie I. Deux exemples de fonctions
indéfiniment dérivables
1 La fonction f est définie sur R si, pour tout réel x, f (x) est une intégrale 
convergente. Soit x  R. La fonction t 7 e -t(1-itx) est définie et continue sur 
R+ . On a
donc une intégrale généralisée en +. Or, pour tout réel t
2

2

e -t(1-itx) = e -t e it x = |e -t | e it x = e -t
Z +
De plus, l'intégrale
e -t dt est convergente. En effet, pour A  R
0

Z

A

0

Ainsi,

Z

A

e -t dt = [-e -t ]0 = 1 - e -A - 1  R
A+

+

e -t(1-itx) dt est absolument convergente, donc convergente.

0

La fonction f est donc bien définie sur R.
2 Soit p  N. La fonction t 7 tp e -t est définie et continue sur R+ . On a donc 
une
intégrale généralisée en +. De plus, le théorème des croissances comparées 
implique
 
1
p -t
t e = o
t+ t2
Z +
Or,
1/t2 dt est une intégrale de Riemann convergente (en +). Par le critère de
1

domination des intégrales à paramètre dans le cas positif
Z +
Pour tout p  N, l'intégrale généralisée p =
tp e -t dt est convergente.
0

Soit A  R+ . Intégrons par parties
Z A
Z A

A
tp+1 e -t dt = tp+1 (-e -t ) 0 -
(p + 1)tp (-e -t ) dt
0
0
Z A
Z A
p+1 -t
p+1 -A
t e dt = -A e
+ (p + 1)
tp e -t dt
0

Lorsque A  +

0

Z

+

0

C'est-à-dire

Z
p+1 -t
t e dt = (p + 1)

+

tp e -t dt

0

p  N

p+1 = (p + 1)p

3 Montrons par récurrence que la propriété
P(p) :

« p = p ! »

est vraie pour tout p  N.

· P(0) est vraie puisque
0 =

Z

+

e -t dt = 1 = 0 !

0