CCP Maths PSI 2018

Thème de l'épreuve Équation différentielle et loi forte des grands nombres
Principaux outils utilisés algèbre linéaire en dimension finie, équations différentielles linéaires, séries entières, probabilités
Mots clefs équation de Bessel, loi forte des grands nombres

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2018

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PSIMA02

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"

MATHÉMATIQUES
Lundi 30 avril : 14 h - 18 h!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
!"#$%&'()*+,'+-)+%$)#'#$&+./&+$0.)"+1+!.2"!.!+%.+3-'+2.-&+4-'+/.054.!+6&!.+-).+.!!.-!+#7")()%"8+'4+4.+
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a été amené à prendre.!

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Les calculatrices sont interdites
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Le sujet est composé de 2 problèmes indépendants.
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PROBLÈME 1
Ce problème comporte 3 parties indépendantes.
Notations et définitions
- N désigne l'ensemble des entiers naturels, N désigne l'ensemble des entiers 
naturels non nuls.
- R désigne l'ensemble des nombres réels.
- R[X] désigne le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et, 
pour tout entier n  N,
on note Rn [X] le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de 
degré inférieur ou égal
à n.
- Si n1 et n2 sont deux entiers naturels, on note n1 , n2  l'ensemble des 
entiers naturels compris
(au sens large) entre n1 et n2 .
Objectifs
On s'intéresse dans ce problème à l'équation différentielle x2 y + axy + by = 
0. La partie I est une
partie d'algèbre linéaire qui traite des solutions polynomiales de cette 
équation lorsque a et b sont des
constantes réelles. Dans la partie II, on détermine l'ensemble des solutions de 
l'équation lorsque a
et b sont des constantes réelles. La partie III traite des solutions de cette 
équation lorsque a = 1 et b
est la fonction carrée.

Partie I - Endomorphismes
Dans toute cette partie, n désigne un entier naturel non nul et a et b des 
constantes réelles.
Q1. On note  l'endomorphisme de R[X] défini par :
P  R[X], (P) = XP.
Calculer, pour tout k  0, n, (X k ).
Q2. Montrer que pour tout P  R[X], X 2 P =   ( - Id) (P), où Id désigne 
l'endomorphisme
identité sur R[X].
Q3. Montrer que si P  Rn [X], (P)  Rn [X].
On notera n l'endomorphisme de Rn [X] induit par .
Q4. Déterminer la matrice de n dans la base canonique (1, X, · · · , X n ) de 
Rn [X].
Q5. On définit l'application  par :
P  R[X], (P) = X 2 P + aXP .
Montrer que  = 2 + (a - 1) et en déduire que  définit un endomorphisme de R[X].
Q6. Montrer que  induit un endomorphisme n de Rn [X].
Q7. Montrer que n est diagonalisable.
On considère l'endomorphisme  de R[X] défini par :
P  R[X], (P) = X 2 P + aXP + bP.
2/8

Q8. Montrer que  induit un endomorphisme de Rn [X], endomorphisme que l'on 
notera n .
Exprimer n en fonction de n .
Q9. Exprimer la matrice de n dans la base canonique de Rn [X].
On considère l'équation :
s2 + (a - 1)s + b = 0.

(1)

Q10. Expliciter le noyau de n lorsque l'équation (1) admet deux racines 
entières m1 , m2  0, n.
Q11. Expliciter le noyau de n lorsque l'équation (1) admet une unique racine 
entière m  0, n.
Q12. Déterminer le noyau de . En déduire qu'il est de dimension finie et 
déterminer sa dimension.

Partie II - Une équation différentielle
On considère dans cette partie l'équation différentielle
x2 y + axy + by = 0,

(2)

où a et b sont des constantes réelles.
Q13. Que déduit-on du théorème de Cauchy quant à la structure de l'ensemble des 
solutions de
l'équation (2) sur I =]0, +[ ? Et sur J =] - , 0[ ?
Q14. Montrer que si y est une solution de (2) sur I, alors g = y  exp est une 
solution sur R de
l'équation différentielle linéaire à coefficients constants :
u + (a - 1)u + bu = 0.

(3)

Q15. Réciproquement, soit t  g(t) une solution de (3) sur R. Montrer que la 
fonction g  ln est
solution de (2) sur I.
Q16. Donner les solutions à valeurs réelles de l'équation (3) dans le cas où a 
= 3 et b = 1 et dans
le cas où a = 1 et b = 4. En déduire, dans chacun des cas, les solutions à 
valeurs réelles de
l'équation (2) sur l'intervalle I.
On suppose dans les deux questions suivantes uniquement que a = 1 et b = - 4.
Q17. Montrer que si y est solution de (2) sur J, alors h = y  (- exp) est 
solution de (3) sur R.
Q18. Déduire de ce qui précède l'ensemble des solutions de (2) de classe C 2 
sur R.

Partie III - Une équation de Bessel
On se propose dans cette partie d'étudier l'équation différentielle :
x2 y + xy + x2 y = 0.
Q19. Rappeler la définition du rayon de convergence d'une série entière.

3/8

(4)

Série entière dont la somme est solution de (4)

ck xk , avec c0 = 1, de rayon de convergence R > 0 et dont
On suppose qu'il existe une série entière
k0

la fonction somme J0 est solution de (4) sur ] - R, R[.
Q20. Montrer que, pour tout k  N, on a :

= 0
c

 2k+1
(-1)k .

c
=
 2k
4k (k!)2
Q21. Déterminer le rayon de convergence R de la série entière obtenue :

ck xk .

k0

Q22. Soit r > 0 et soit f une autre solution de (4) sur ]0, r[. Montrer que si 
(J0 , f ) est liée dans
l'espace vectoriel des fonctions de classe C 2 sur ]0, r[, alors f est bornée 
au voisinage de 0.
Inverse d'une série entière non nulle en 0

k xk une série entière de rayon de convergence R > 0 telle que 0 = 1. 
L'objectif de ce
Soit
k0

k xk de rayon de convergence
paragraphe est de montrer l'existence et l'unicité d'une série entière
k0

R > 0 telle que pour tout x appartenant aux domaines de convergence des deux 
séries :

  +
 +

k
k
 k x   k x  = 1.
k=0

k=0

Q23. Montrer que si

k xk est solution, alors la suite (k )kN satisfait aux relations suivantes :

k0

0
= 1

n

.

k n-k = 0

 n  N

(5)

k=0

Soit r un réel tel que 0 < r < R .
Q24. Montrer qu'il existe un réel M > 0 tel que pour tout k  N :
|k | 

M
.
rk

Q25. Montrer que (5) admet une unique solution (k )kN et que, pour tout k  N :
|k | 

M(M + 1)k-1
.
rk

On pourra raisonner par récurrence.
Q26. Que peut-on dire du rayon de convergence R de la série entière

k0

4/8

k xk ?

Ensemble des solutions de (4)
Q27. Soit r > 0 et soit  une fonction de classe C 2 sur ]0, r[.
Montrer que la fonction y : x  (x)J0 (x) est solution de (4) sur ]0, r[ si et 
seulement si la
fonction x  xJ02 (x) (x) est de dérivée nulle sur ]0, r[.
Q28. Montrer que J02 est somme d'une série entière dont on donnera le rayon de 
convergence. Que
vaut J02 (0) ?
Q29. En déduire l'existence d'une fonction  somme d'une série entière de rayon 
de convergence
R > 0 telle que
x  (x) + J0 (x) ln(x)
soit solution de (4) sur un intervalle ]0, R [.
Q30. En déduire l'ensemble des solutions de (4) sur ]0, R [.

5/8

PROBLÈME 2

Notations et définitions
- N désigne l'ensemble des entiers naturels, R désigne celui des nombres réels.
- Si X est une variable aléatoire admettant une espérance, on note E(X) son 
espérance.
Soit (, A, P) un espace probabilisé. Soit X une variable aléatoire discrète sur 
(, A, P), à valeurs
dans [-1, 1]. On considère dans ce problème une suite (Xi )iN de variables 
aléatoires discrètes sur
(, A, P), mutuellement indépendantes et de même loi que X. Pour tout n  N , on 
note :
Sn =

X1 + · · · + Xn
.
n

Objectif
Montrer que si la variable aléatoire X est centrée (E(X) = 0), alors la suite 
(S n )n1 converge presquesûrement vers la constante 0. Il s'agit d'un cas 
particulier de la loi forte des grands nombres.
Q31. On ne suppose pas X centrée dans cette question. Montrer que X admet une 
espérance.
On suppose désormais que X est centrée.
Q32. Énoncer et démontrer l'inégalité de Markov pour une variable aléatoire 
finie Y sur (, A, P).
Montrer que ce résultat est encore vrai lorsque Y est une variable aléatoire 
discrète non nécessairement finie.
Q33. En déduire que pour tout  > 0 :
P (|X|  ) 

E (|X|)
.

Q34. Montrer que pour tout t > 0, pour tout  > 0 et pour tout n  N , on a :
  n

E etX
tnS n
tn
P (S n  ) = P e

.
e
etn

6/8

Majoration de E e t X
Q35. Soit a > 1. On considère la fonction ga définie par :
x  R, ga (x) =

1 - x -1 1 + x
a +
a - ax .
2
2

Montrer que la fonction ga est dérivable sur R et que la fonction ga est 
décroissante sur R.
En déduire, en remarquant que ga (-1) = ga (1) = 0, que pour tout x  [-1, 1], 
ga (x)  0.
Q36. En déduire que pour tout t > 0 et pour tout x  [-1, 1] on a :
etx 

1 - x -t 1 + x t
e +
e.
2
2

Q37. En déduire que pour tout t > 0 :
 
E etX  ch(t).
Q38. Montrer que pour tout entier k  N et tout t  R, on a :
 k
t2k
1 t2
.

(2k)! k! 2
En déduire que pour tout t > 0, on a :
 
t2
E etX  e 2 .
Majoration de P (|S n|  )
Dans ce paragraphe, on considère un entier n  N et un réel  > 0.
Q39. Montrer que la fonction
t2

t  R  e-nt+n 2
atteint un minimum en un point que l'on précisera.
2

Q40. En déduire que P (S n  )  e-n 2 , puis que :
2

P (|S n |  )  2e-n 2 .

7/8

Conclusion
Q41. Montrer que pour tout réel  > 0, la série de terme général P (|S n | > ) 
converge.
Q42. On fixe un réel  > 0. On note, pour tout n  N :

Bn =
{   ; |S m ()| > } .
mn

Montrer que pour tout n  N , Bn est un événement et que :

Bn  = 0.
P 
nN

Q43. Posons, pour tout k  N :

1

k =    ; n  N , m  n, |S m ()| 
.
k
Montrer que pour tout k  N , k est un événement.

Écrire l'ensemble A =    ; lim S n () = 0 à l'aide des événements k , k  N .
n+
En déduire que A est un événement.

Q44. Déduire des questions précédentes que :
P(A) = 1.

8/8

I M P R I M E R I E N A T I O N A L E ­ 18 1062 ­ D'après documents fournis

FIN

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths PSI 2018 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thierry Limoges (professeur en CPGE) ; il a été relu
par Corentin Fierobe (ENS Lyon) et Florian Metzger (docteur en mathématiques).

Ce sujet est composé de deux problèmes indépendants cumulant 44 questions.
Le premier s'intéresse à l'équation différentielle
x2 y  + a x y  + b y = 0
· La première partie traite des solutions polynomiales lorsque a et b sont des
constantes réelles, en utilisant des outils d'algèbre linéaire en dimension 
finie.
· Ensuite, on détermine l'ensemble des solutions lorsque a et b sont des 
constantes
réelles, en se ramenant à une équation différentielle linéaire à coefficients 
constants par un changement de fonction.
· La dernière partie est consacrée à l'étude des solutions de l'équation
x2 y  + x y  + x2 y = 0
On commence par chercher les solutions développables en série entière au 
voisinage de zéro. C'est un cas particulier d'équation de Bessel. Les fonctions 
solutions de cette famille d'équations interviennent dans de nombreux problèmes
physiques circulaires, comme la propagation d'ondes dans un tuyau dont la 
section est circulaire. C'est en coordonnées cylindriques que ces problèmes 
s'expriment le plus simplement.
Le second problème aborde un cas particulier de la loi forte des grands nombres 
:
pour (Xi )iN une suite de variables aléatoires centrées de même loi, la suite de
variables aléatoires (Sn )nN définie par
X1 + · · · + Xn
n
converge presque sûrement vers 0, c'est-à-dire que l'ensemble
n
o
   | lim Sn () = 0
Sn =

n+

a pour probabilité 1. On y utilise des propriétés sur les événements, union, 
intersection
et complémentaire, ainsi que sur la continuité croissante et décroissante d'une 
suite
d'événements.
Ce sujet est composé de nombreuses questions assez courtes, mais pas toujours
évidentes, ce qui en fait un ensemble relativement long. Il permet de balayer de
nombreuses parties du programme, y compris de première année : algèbre linéaire 
en
dimension finie, équations différentielles linéaires, séries entières et 
probabilités.

Indications
Problème 1
7 Déterminer la matrice de n dans la base canonique.
10 Déterminer le rang de n à l'aide de sa matrice, en déduire la dimension du 
noyau
et en trouver une base.
11 Même indication que pour la question 10.
12 Remarquer que deg((P)) = deg(P) lorsque deg(P) n'est pas solution de (1).
Considérer les éventuelles solutions entières de (1), et raisonner dans Rn [X] 
avec
n suffisamment grand.
14 Calculer g  et g  , puis les injecter dans l'équation (3).
15 Calculer (g  ln) et (g  ln) , puis les injecter dans l'équation (2).
16 Appliquer le cours de première année sur les équations différentielles 
linéaires à
coefficients constants.
17 Calculer h et h , puis les injecter dans l'équation (3).
18 Adapter la question 15 pour obtenir les solutions de (2) sur J. Étudier le 
recollement de classe C 2 en 0 de solutions sur I et sur J.
20 Calculer J0  et J0  , puis les injecter dans (4) et montrer la formule par 
récurrence.
21 Appliquer le critère de d'Alembert pour les séries numériques.
22 Écrire une relation de colinéarité entre J0 et f . Utiliser qu'une fonction 
continue
en 0 est bornée au voisinage de 0.
23 Écrire la formule du produit de Cauchy de deux séries entières.
24 Revenir à la définition du rayon de convergence d'une série entière.
r
, montrer que la suite (n n ) est bornée.
26 Pour  =
M+1
27 Calculer d'une part la dérivée de xJ0  , d'autre part y  et y  , puis les 
injecter
dans (4).
28 Faire le produit de Cauchy de la série entière qui définit J0 avec elle-même.
29 Chercher  sous la forme  = J0 + µ et utiliser la question 27.
30 Montrer que (J0 , f ) avec f =  + J0 ln est une base des solutions de (4).
Problème 2
31 Majorer en valeur absolue les termes de la série qui définit l'espérance.

34 Montrer que les événements {Sn > } et e tnSn > e tn sont égaux. Utiliser 
l'inégalité de Markov, puis que l'espérance d'un produit de variables 
aléatoires mutuellement indépendantes est le produit de leurs espérances.
35 Dériver deux fois ga , puis appliquer le théorème des accroissements finis 
sur les
intervalles [ -1 ; x ] et sur [ x ; 1 ] pour x  ] -1 ; 1 [.
37 Majorer le terme général de la série qui définit l'espérance de e tX , et 
utiliser que
la variable aléatoire X est centrée.
38 Développer en série entière les fonctions ch et t 7- e

t2
2

.

39 Étudier la fonction f sur R.

40 Montrer que {|Sn | > } = {Sn > }  {-Sn > }. Prendre t > 0 et utiliser les
questions 34 et 39, puis considérer -Sn .
41 Majorer le terme général de la série par celui d'une série géométrique 
convergente.
42 Une image réciproque d'un intervalle par une variable aléatoire est un 
événement
et une union ou intersection dénombrable d'événements est aussi un événement.
Majorer P(Bn ) par le reste d'une série convergente et utiliser la continuité 
décroissante d'une probabilité.
43 Écrire k comme union d'intersections d'événements, puis A comme intersection.
44 Utiliser la continuité décroissante d'une probabilité et la question 42.

Problème 1
1 Soit k  [[ 1 ; n ]]. On a (X ) = XkXk-1 = kXk et (1) = X × (1) = 0.
Finalement,
k

k  [[ 0 ; n ]] (Xk ) = kXk
2 Soit P  R[X]. Calculons, par linéarité de la dérivation,
  ( - Id )(P) = (XP - P) = X(XP - P) = X(P + XP - P ) = X2 P
On obtient

 P  R[X]

X2 P =   ( - Id )(P)

3 Soit P  Rn [X]. Si P est constant, alors XP = 0  Rn [X]. Sinon, P est non
constant, et deg(P ) = deg(P) - 1. Comme deg(AB) = deg(A) + deg(B) pour
tout (A, B)  R[X]2 , on obtient
deg(XP ) = deg(X) + deg(P ) = 1 + deg(P) - 1 = deg(P) 6 n
donc

 P  Rn [X] (P)  Rn [X]

4 D'après la question 1, on a n (Xk ) = kXk pour 0 6 k 6 n. La matrice de n
dans la base canonique (1, X, . . . , Xn ) est donc la matrice diagonale

0 0 ··· 0

. 
 0 1 . . . .. 
  Mn+1 (R)
Mat (1,X,...,Xn ) (n ) = diag(0, 1, . . . , n) = 
 . .

.. ... 0 
 ..
0 ··· 0 n
5 D'après la question 2 et par linéarité de , on a
 =   ( - Id ) + a = 2 -  + a = 2 + (a - 1)
Ainsi,  est une combinaison linéaire d'endomorphismes de R[X], d'où
L'application  = 2 + (a - 1) est un endomorphisme de R[X].
6 D'après la question 5, on a  = 2 + (a - 1). Or Rn [X] est stable par , donc
par 2 et par (a - 1) soit finalement par .
L'application  induit un endomorphisme n sur Rn [X].
7 D'après les questions 5 et 6, n = n 2 +(a-1)n . Soit M la matrice de n définie
dans la question 4. Ainsi, la matrice de n dans la base canonique (1, X, . . . 
, Xn ) de
Rn [X] est
M2 + (a - 1)M = diag(0, 1, . . . , n)2 + (a - 1)diag(0, 1, . . . , n)
= diag(0, 12 , . . . , n2 ) + diag((a - 1) × 0, (a - 1) × 1, . . . , (a - 1) × 
n)
= diag(0, 1 + a - 1, . . . , n2 + (a - 1)n)

M2 + (a - 1)M = diag k 2 + (a - 1)k 06k6n
Cette matrice M2 + (a - 1)M est diagonale, d'où
L'endomorphisme n est diagonalisable dans la base canonique.