CCP Maths PSI 2018

Thème de l'épreuve Équation différentielle et loi forte des grands nombres
Principaux outils utilisés algèbre linéaire en dimension finie, équations différentielles linéaires, séries entières, probabilités
Mots clefs équation de Bessel, loi forte des grands nombres

Corrigé

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SESSION 2018 ! ! ! PSIMA02 ! ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" MATHÉMATIQUES Lundi 30 avril : 14 h - 18 h! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la !"#$%&'()*+,'+-)+%$)#'#$&+./&+$0.)"+1+!.2"!.!+%.+3-'+2.-&+4-'+/.054.!+6&!.+-).+.!!.-!+#7")()%"8+'4+4.+ /'9)$4.!$+/-!+/$+%(2'.+.&+#.:!$+2(-!/-':!.+/$+%(02(/'&'()+.)+.;24'3-$)&+4./+!$'/()/+#./+')'&'$&':./+3-7'4+ a été amené à prendre.! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" ! ! ! ! Les calculatrices sont interdites ! ! ! ! ! ! ! Le sujet est composé de 2 problèmes indépendants. ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1/8 ! PROBLÈME 1 Ce problème comporte 3 parties indépendantes. Notations et définitions - N désigne l'ensemble des entiers naturels, N désigne l'ensemble des entiers naturels non nuls. - R désigne l'ensemble des nombres réels. - R[X] désigne le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et, pour tout entier n N, on note Rn [X] le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n. - Si n1 et n2 sont deux entiers naturels, on note n1 , n2 l'ensemble des entiers naturels compris (au sens large) entre n1 et n2 . Objectifs On s'intéresse dans ce problème à l'équation différentielle x2 y + axy + by = 0. La partie I est une partie d'algèbre linéaire qui traite des solutions polynomiales de cette équation lorsque a et b sont des constantes réelles. Dans la partie II, on détermine l'ensemble des solutions de l'équation lorsque a et b sont des constantes réelles. La partie III traite des solutions de cette équation lorsque a = 1 et b est la fonction carrée. Partie I - Endomorphismes Dans toute cette partie, n désigne un entier naturel non nul et a et b des constantes réelles. Q1. On note l'endomorphisme de R[X] défini par : P R[X], (P) = XP. Calculer, pour tout k 0, n, (X k ). Q2. Montrer que pour tout P R[X], X 2 P = ( - Id) (P), où Id désigne l'endomorphisme identité sur R[X]. Q3. Montrer que si P Rn [X], (P) Rn [X]. On notera n l'endomorphisme de Rn [X] induit par . Q4. Déterminer la matrice de n dans la base canonique (1, X, · · · , X n ) de Rn [X]. Q5. On définit l'application par : P R[X], (P) = X 2 P + aXP . Montrer que = 2 + (a - 1) et en déduire que définit un endomorphisme de R[X]. Q6. Montrer que induit un endomorphisme n de Rn [X]. Q7. Montrer que n est diagonalisable. On considère l'endomorphisme de R[X] défini par : P R[X], (P) = X 2 P + aXP + bP. 2/8 Q8. Montrer que induit un endomorphisme de Rn [X], endomorphisme que l'on notera n . Exprimer n en fonction de n . Q9. Exprimer la matrice de n dans la base canonique de Rn [X]. On considère l'équation : s2 + (a - 1)s + b = 0. (1) Q10. Expliciter le noyau de n lorsque l'équation (1) admet deux racines entières m1 , m2 0, n. Q11. Expliciter le noyau de n lorsque l'équation (1) admet une unique racine entière m 0, n. Q12. Déterminer le noyau de . En déduire qu'il est de dimension finie et déterminer sa dimension. Partie II - Une équation différentielle On considère dans cette partie l'équation différentielle x2 y + axy + by = 0, (2) où a et b sont des constantes réelles. Q13. Que déduit-on du théorème de Cauchy quant à la structure de l'ensemble des solutions de l'équation (2) sur I =]0, +[ ? Et sur J =] - , 0[ ? Q14. Montrer que si y est une solution de (2) sur I, alors g = y exp est une solution sur R de l'équation différentielle linéaire à coefficients constants : u + (a - 1)u + bu = 0. (3) Q15. Réciproquement, soit t g(t) une solution de (3) sur R. Montrer que la fonction g ln est solution de (2) sur I. Q16. Donner les solutions à valeurs réelles de l'équation (3) dans le cas où a = 3 et b = 1 et dans le cas où a = 1 et b = 4. En déduire, dans chacun des cas, les solutions à valeurs réelles de l'équation (2) sur l'intervalle I. On suppose dans les deux questions suivantes uniquement que a = 1 et b = - 4. Q17. Montrer que si y est solution de (2) sur J, alors h = y (- exp) est solution de (3) sur R. Q18. Déduire de ce qui précède l'ensemble des solutions de (2) de classe C 2 sur R. Partie III - Une équation de Bessel On se propose dans cette partie d'étudier l'équation différentielle : x2 y + xy + x2 y = 0. Q19. Rappeler la définition du rayon de convergence d'une série entière. 3/8 (4) Série entière dont la somme est solution de (4) ck xk , avec c0 = 1, de rayon de convergence R > 0 et dont On suppose qu'il existe une série entière k0 la fonction somme J0 est solution de (4) sur ] - R, R[. Q20. Montrer que, pour tout k N, on a : = 0 c 2k+1 (-1)k . c = 2k 4k (k!)2 Q21. Déterminer le rayon de convergence R de la série entière obtenue : ck xk . k0 Q22. Soit r > 0 et soit f une autre solution de (4) sur ]0, r[. Montrer que si (J0 , f ) est liée dans l'espace vectoriel des fonctions de classe C 2 sur ]0, r[, alors f est bornée au voisinage de 0. Inverse d'une série entière non nulle en 0 k xk une série entière de rayon de convergence R > 0 telle que 0 = 1. L'objectif de ce Soit k0 k xk de rayon de convergence paragraphe est de montrer l'existence et l'unicité d'une série entière k0 R > 0 telle que pour tout x appartenant aux domaines de convergence des deux séries : + + k k k x k x = 1. k=0 k=0 Q23. Montrer que si k xk est solution, alors la suite (k )kN satisfait aux relations suivantes : k0 0 = 1 n . k n-k = 0 n N (5) k=0 Soit r un réel tel que 0 < r < R . Q24. Montrer qu'il existe un réel M > 0 tel que pour tout k N : |k | M . rk Q25. Montrer que (5) admet une unique solution (k )kN et que, pour tout k N : |k | M(M + 1)k-1 . rk On pourra raisonner par récurrence. Q26. Que peut-on dire du rayon de convergence R de la série entière k0 4/8 k xk ? Ensemble des solutions de (4) Q27. Soit r > 0 et soit une fonction de classe C 2 sur ]0, r[. Montrer que la fonction y : x (x)J0 (x) est solution de (4) sur ]0, r[ si et seulement si la fonction x xJ02 (x) (x) est de dérivée nulle sur ]0, r[. Q28. Montrer que J02 est somme d'une série entière dont on donnera le rayon de convergence. Que vaut J02 (0) ? Q29. En déduire l'existence d'une fonction somme d'une série entière de rayon de convergence R > 0 telle que x (x) + J0 (x) ln(x) soit solution de (4) sur un intervalle ]0, R [. Q30. En déduire l'ensemble des solutions de (4) sur ]0, R [. 5/8 PROBLÈME 2 Notations et définitions - N désigne l'ensemble des entiers naturels, R désigne celui des nombres réels. - Si X est une variable aléatoire admettant une espérance, on note E(X) son espérance. Soit (, A, P) un espace probabilisé. Soit X une variable aléatoire discrète sur (, A, P), à valeurs dans [-1, 1]. On considère dans ce problème une suite (Xi )iN de variables aléatoires discrètes sur (, A, P), mutuellement indépendantes et de même loi que X. Pour tout n N , on note : Sn = X1 + · · · + Xn . n Objectif Montrer que si la variable aléatoire X est centrée (E(X) = 0), alors la suite (S n )n1 converge presquesûrement vers la constante 0. Il s'agit d'un cas particulier de la loi forte des grands nombres. Q31. On ne suppose pas X centrée dans cette question. Montrer que X admet une espérance. On suppose désormais que X est centrée. Q32. Énoncer et démontrer l'inégalité de Markov pour une variable aléatoire finie Y sur (, A, P). Montrer que ce résultat est encore vrai lorsque Y est une variable aléatoire discrète non nécessairement finie. Q33. En déduire que pour tout > 0 : P (|X| ) E (|X|) . Q34. Montrer que pour tout t > 0, pour tout > 0 et pour tout n N , on a : n E etX tnS n tn P (S n ) = P e . e etn 6/8 Majoration de E e t X Q35. Soit a > 1. On considère la fonction ga définie par : x R, ga (x) = 1 - x -1 1 + x a + a - ax . 2 2 Montrer que la fonction ga est dérivable sur R et que la fonction ga est décroissante sur R. En déduire, en remarquant que ga (-1) = ga (1) = 0, que pour tout x [-1, 1], ga (x) 0. Q36. En déduire que pour tout t > 0 et pour tout x [-1, 1] on a : etx 1 - x -t 1 + x t e + e. 2 2 Q37. En déduire que pour tout t > 0 : E etX ch(t). Q38. Montrer que pour tout entier k N et tout t R, on a : k t2k 1 t2 . (2k)! k! 2 En déduire que pour tout t > 0, on a : t2 E etX e 2 . Majoration de P (|S n| ) Dans ce paragraphe, on considère un entier n N et un réel > 0. Q39. Montrer que la fonction t2 t R e-nt+n 2 atteint un minimum en un point que l'on précisera. 2 Q40. En déduire que P (S n ) e-n 2 , puis que : 2 P (|S n | ) 2e-n 2 . 7/8 Conclusion Q41. Montrer que pour tout réel > 0, la série de terme général P (|S n | > ) converge. Q42. On fixe un réel > 0. On note, pour tout n N : Bn = { ; |S m ()| > } . mn Montrer que pour tout n N , Bn est un événement et que : Bn = 0. P nN Q43. Posons, pour tout k N : 1 k = ; n N , m n, |S m ()| . k Montrer que pour tout k N , k est un événement. Écrire l'ensemble A = ; lim S n () = 0 à l'aide des événements k , k N . n+ En déduire que A est un événement. Q44. Déduire des questions précédentes que : P(A) = 1. 8/8 I M P R I M E R I E N A T I O N A L E ­ 18 1062 ­ D'après documents fournis FIN

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 CCP Maths PSI 2018 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Thierry Limoges (professeur en CPGE) ; il a été relu par Corentin Fierobe (ENS Lyon) et Florian Metzger (docteur en mathématiques). Ce sujet est composé de deux problèmes indépendants cumulant 44 questions. Le premier s'intéresse à l'équation différentielle x2 y + a x y + b y = 0 · La première partie traite des solutions polynomiales lorsque a et b sont des constantes réelles, en utilisant des outils d'algèbre linéaire en dimension finie. · Ensuite, on détermine l'ensemble des solutions lorsque a et b sont des constantes réelles, en se ramenant à une équation différentielle linéaire à coefficients constants par un changement de fonction. · La dernière partie est consacrée à l'étude des solutions de l'équation x2 y + x y + x2 y = 0 On commence par chercher les solutions développables en série entière au voisinage de zéro. C'est un cas particulier d'équation de Bessel. Les fonctions solutions de cette famille d'équations interviennent dans de nombreux problèmes physiques circulaires, comme la propagation d'ondes dans un tuyau dont la section est circulaire. C'est en coordonnées cylindriques que ces problèmes s'expriment le plus simplement. Le second problème aborde un cas particulier de la loi forte des grands nombres : pour (Xi )iN une suite de variables aléatoires centrées de même loi, la suite de variables aléatoires (Sn )nN définie par X1 + · · · + Xn n converge presque sûrement vers 0, c'est-à-dire que l'ensemble n o | lim Sn () = 0 Sn = n+ a pour probabilité 1. On y utilise des propriétés sur les événements, union, intersection et complémentaire, ainsi que sur la continuité croissante et décroissante d'une suite d'événements. Ce sujet est composé de nombreuses questions assez courtes, mais pas toujours évidentes, ce qui en fait un ensemble relativement long. Il permet de balayer de nombreuses parties du programme, y compris de première année : algèbre linéaire en dimension finie, équations différentielles linéaires, séries entières et probabilités. Indications Problème 1 7 Déterminer la matrice de n dans la base canonique. 10 Déterminer le rang de n à l'aide de sa matrice, en déduire la dimension du noyau et en trouver une base. 11 Même indication que pour la question 10. 12 Remarquer que deg((P)) = deg(P) lorsque deg(P) n'est pas solution de (1). Considérer les éventuelles solutions entières de (1), et raisonner dans Rn [X] avec n suffisamment grand. 14 Calculer g et g , puis les injecter dans l'équation (3). 15 Calculer (g ln) et (g ln) , puis les injecter dans l'équation (2). 16 Appliquer le cours de première année sur les équations différentielles linéaires à coefficients constants. 17 Calculer h et h , puis les injecter dans l'équation (3). 18 Adapter la question 15 pour obtenir les solutions de (2) sur J. Étudier le recollement de classe C 2 en 0 de solutions sur I et sur J. 20 Calculer J0 et J0 , puis les injecter dans (4) et montrer la formule par récurrence. 21 Appliquer le critère de d'Alembert pour les séries numériques. 22 Écrire une relation de colinéarité entre J0 et f . Utiliser qu'une fonction continue en 0 est bornée au voisinage de 0. 23 Écrire la formule du produit de Cauchy de deux séries entières. 24 Revenir à la définition du rayon de convergence d'une série entière. r , montrer que la suite (n n ) est bornée. 26 Pour = M+1 27 Calculer d'une part la dérivée de xJ0 , d'autre part y et y , puis les injecter dans (4). 28 Faire le produit de Cauchy de la série entière qui définit J0 avec elle-même. 29 Chercher sous la forme = J0 + µ et utiliser la question 27. 30 Montrer que (J0 , f ) avec f = + J0 ln est une base des solutions de (4). Problème 2 31 Majorer en valeur absolue les termes de la série qui définit l'espérance. 34 Montrer que les événements {Sn > } et e tnSn > e tn sont égaux. Utiliser l'inégalité de Markov, puis que l'espérance d'un produit de variables aléatoires mutuellement indépendantes est le produit de leurs espérances. 35 Dériver deux fois ga , puis appliquer le théorème des accroissements finis sur les intervalles [ -1 ; x ] et sur [ x ; 1 ] pour x ] -1 ; 1 [. 37 Majorer le terme général de la série qui définit l'espérance de e tX , et utiliser que la variable aléatoire X est centrée. 38 Développer en série entière les fonctions ch et t 7- e t2 2 . 39 Étudier la fonction f sur R. 40 Montrer que {|Sn | > } = {Sn > } {-Sn > }. Prendre t > 0 et utiliser les questions 34 et 39, puis considérer -Sn . 41 Majorer le terme général de la série par celui d'une série géométrique convergente. 42 Une image réciproque d'un intervalle par une variable aléatoire est un événement et une union ou intersection dénombrable d'événements est aussi un événement. Majorer P(Bn ) par le reste d'une série convergente et utiliser la continuité décroissante d'une probabilité. 43 Écrire k comme union d'intersections d'événements, puis A comme intersection. 44 Utiliser la continuité décroissante d'une probabilité et la question 42. Problème 1 1 Soit k [[ 1 ; n ]]. On a (X ) = XkXk-1 = kXk et (1) = X × (1) = 0. Finalement, k k [[ 0 ; n ]] (Xk ) = kXk 2 Soit P R[X]. Calculons, par linéarité de la dérivation, ( - Id )(P) = (XP - P) = X(XP - P) = X(P + XP - P ) = X2 P On obtient P R[X] X2 P = ( - Id )(P) 3 Soit P Rn [X]. Si P est constant, alors XP = 0 Rn [X]. Sinon, P est non constant, et deg(P ) = deg(P) - 1. Comme deg(AB) = deg(A) + deg(B) pour tout (A, B) R[X]2 , on obtient deg(XP ) = deg(X) + deg(P ) = 1 + deg(P) - 1 = deg(P) 6 n donc P Rn [X] (P) Rn [X] 4 D'après la question 1, on a n (Xk ) = kXk pour 0 6 k 6 n. La matrice de n dans la base canonique (1, X, . . . , Xn ) est donc la matrice diagonale 0 0 ··· 0 . 0 1 . . . .. Mn+1 (R) Mat (1,X,...,Xn ) (n ) = diag(0, 1, . . . , n) = . . .. ... 0 .. 0 ··· 0 n 5 D'après la question 2 et par linéarité de , on a = ( - Id ) + a = 2 - + a = 2 + (a - 1) Ainsi, est une combinaison linéaire d'endomorphismes de R[X], d'où L'application = 2 + (a - 1) est un endomorphisme de R[X]. 6 D'après la question 5, on a = 2 + (a - 1). Or Rn [X] est stable par , donc par 2 et par (a - 1) soit finalement par . L'application induit un endomorphisme n sur Rn [X]. 7 D'après les questions 5 et 6, n = n 2 +(a-1)n . Soit M la matrice de n définie dans la question 4. Ainsi, la matrice de n dans la base canonique (1, X, . . . , Xn ) de Rn [X] est M2 + (a - 1)M = diag(0, 1, . . . , n)2 + (a - 1)diag(0, 1, . . . , n) = diag(0, 12 , . . . , n2 ) + diag((a - 1) × 0, (a - 1) × 1, . . . , (a - 1) × n) = diag(0, 1 + a - 1, . . . , n2 + (a - 1)n) M2 + (a - 1)M = diag k 2 + (a - 1)k 06k6n Cette matrice M2 + (a - 1)M est diagonale, d'où L'endomorphisme n est diagonalisable dans la base canonique.