CCP Maths PSI 2017

Thème de l'épreuve Matrices antisymétriques réelles et phénomène de Gibbs
Principaux outils utilisés matrices, espaces euclidiens, intégration, séries de fonctions
Mots clefs matrices antisymétriques, pénomène de Gibbs

Corrigé

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SESSION 2017 PSIMA02 ! ! ! EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" ! MATHEMATIQUES Mardi 2 mai : 14 h - 18 h! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la !"#$%&'()*+,'+-)+%$)#'#$&+./&+$0.)"+1+!.2"!.!+%.+3-'+2.-&+4-'+/.054.!+6&!.+-).+.!!.-!+#7")()%"8+'4+4.+ /'9)$4.!$+/-!+/$+%(2'.+.&+#.:!$+2(-!/-':!.+/$+%(02(/'&'()+.)+.;24'3-$)&+4./+!$'/()/+#./+')'&'$&':./+3-7'4+ a été amené à prendre.! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" ! ! ! ! ! ! ! Les calculatrices sont autorisées ! ! ! ! ! ! ! Le sujet est composé de deux problèmes indépendants : un d'algèbre et un d'analyse. ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1/6 ! PROBLÈME 1 Présentation générale On se propose ici d'étudier certaines propriétés des matrices antisymétriques réelles. Après avoir étudié un exemple en dimension 2, on utilise les matrices antisymétriques pour paramétrer un sousensemble des matrices orthogonales. Notations ­ R désigne l'ensemble des réels et, pour tout entier n > 0, Mn (R) désigne l'ensemble des matrices n × n à coefficients réels. On note In la matrice identité de Mn (R). ­ Pour tout entier n > 0, on désigne par An (R) l'ensemble des matrices n × n antisymétriques à coefficients réels et par On (R) celui des matrices n × n orthogonales à coefficients réels. Le groupe spécial orthogonal est constitué des matrices orthogonales de déterminant 1. Partie I - Un exemple en dimension 2 0 t . Déterminer les valeurs propres complexes de A. -t 0 Q1. Soit t un réel et soit A = Q2. Calculer R = (I2 + A)(I2 - A)-1 et montrer que R est une matrice du groupe spécial orthogonal. cos - sin . Calculer M = (I2 + R )-1 (I2 - R ). Pour tout réel R \ Z, on note R = sin cos Q3. Partie II - Matrices antisymétriques et matrices orthogonales Dans ce qui suit, n désigne un entier strictement positif. Q4. Soient B et C deux matrices de Mn (R). Montrer que si C est inversible et BC = CB, alors BC -1 = C -1 B. Q5. Soit A Mn (R) une matrice antisymétrique. Soit une valeur propre complexe de A et X Cn \ {0} un vecteur propre associé. En calculant de deux façons t (AX) X, montrer que est un complexe imaginaire pur (éventuellement nul). Q6. et : Déduire de la question précédente que si A est antisymétrique réelle, alors In + A est inversible (In - A)(In + A)-1 = (In + A)-1 (In - A). Montrer que R = (In + A)-1 (In - A) est une matrice orthogonale. Q7. Calculer le déterminant de R. Q8. Soit R une matrice orthogonale telle que In + R soit inversible. Démontrer que la matrice A = (In + R)-1 (In - R) est antisymétrique. 2/6 Q9. On suppose ici que n = 3 et que R3 est muni de sa structure usuelle d'espace euclidien orienté par la base canonique. Soit r une rotation d'angle ] - , [ autour d'un axe orienté par un vecteur u de norme 1 et soit R O3 (R) sa matrice dans la base canonique. Montrer qu'il existe une matrice antisymétrique A M3 (R) telle que : R = (I3 + A)-1 (I3 - A). PROBLÈME 2 Présentation générale L'objet de ce problème est l'étude du phénomène de Gibbs. Dans la première partie, on démontre des lemmes de Riemann-Lebesgue. Dans la deuxième, on calcule l'intégrale de Dirichlet. Enfin, dans la troisième partie, on met en évidence le phénomène de Gibbs. Notations ­ R désigne l'ensemble des réels, R+ désigne l'intervalle [0, +[ et C désigne l'ensemble des nombres complexes. Partie I - Résultats préliminaires Dans ce qui suit, : R C désigne une fonction continue 2-périodique telle que : 2 (t) dt = 0. 0 Q10. Si f : [0, 2] C est une fonction de classe C1 , montrer que : 2 lim f (t) cos (nt) dt = 0. n+ Q11. 0 Montrer que la primitive de s'annulant en 0 est 2-périodique et bornée sur R. Soient a et b deux réels tels que a < b, déduire de ce qui précède que pour toute fonction f de classe C1 sur [a, b] et à valeurs dans C on a : b lim f (t) (nt) dt = 0. n+ a Q12. Soient et deux réels tels que < et h : , C une fonction continue. Soient un réel strictement positif et g une fonction de classe C1 sur [, ] telle que sup |h - g| , montrer qu'il [,] existe une constante M ne dépendant que de telle que : h (t) (nt) dt M | - | + g (t) (nt) dt . 3/6 En déduire que pour tout intervalle [a, b] de R et toute fonction f : [a, b] C continue par morceaux : b lim f (t) (nt) dt = 0. n+ a On pourra admettre et utiliser le théorème de Weierstrass qui affirme que pour tout segment , avec < et toute fonction continue f : , C, il existe une suite ( fn )nN de fonctions polynomiales qui converge uniformément vers f sur , . Q13. Soient a et b deux réels tels que a < b et f : [a, b] C une fonction continue par morceaux. Déduire de ce qui précède que : b 1 b 2 lim f (t) sin (nt) dt = f (t) dt. n+ a 2 a Partie II - L'intégrale de Dirichlet + Soit f : R C une fonction continue telle que la fonction F : x x + f (t) dt soit bornée. 0 Q14. Montrer que, pour tout réel a > 0, les intégrales généralisées a sont convergentes et que : + F (t) dt puis t2 + a f (t) dt t + F (t) F (a) . dt - 2 t a a a + 2 + sin (t) sin (t) dt sont convergentes et dt et Q15. Montrer que les intégrales généralisées t t2 0 0 que : + + 2 sin (t) sin (t) dt. dt = t t2 0 0 + + Dans ce qui suit, on considère une fonction continue f : R C telle que f (t) dt soit absoluf (t) dt = t 0 ment convergente. Q16. Montrer que la fonction + L ( f ) : x R + f (t) e-xt dt 0 est bien définie et continue sur R+ . Q17. On suppose de plus que la fonction f est bornée. Montrer que la fonction L ( f ) est de classe C sur ]0, +[ et que L ( f ) (x) tend vers 0 quand x tend vers +. 1 . Q18. Soit f : t R+ 1 + t2 1 . Montrer que la fonction L ( f ) est solution de l'équation différentielle y + y = 1 x sur ]0, +[. 4/6 (E) 2 . On cherche une solution particulière de (E) de la forme x (x) cos(x) + (x) sin(x) où les fonctions et sont de classe C2 et vérifient : x ]0, +[ (x) cos(x) + (x) sin(x) = 0. + + Montrer que l'on peut prendre (x) = f1 (t) dt et (x) = f2 (t) dt où f1 et f2 sont des x x fonctions que l'on déterminera. + sin(t) dt est une solution de l'équation (E) sur ]0, +[. 3 . En déduire que x+t 0 4 . Montrer qu'il existe (a, b) R2 tel que : + sin(t) dt. x ]0, +[ L( f )(x) = a cos x + b sin x + x+t 0 + sin(t) Q19. Montrer que dt tend vers 0 quand x tend vers + et en déduire que pour tout x+t 0 x > 0 on a : + sin(t) dt. L ( f ) (x) = x+t 0 + sin(t) sin(t) Q20. Montrer que dt tend vers 0 quand x tend vers 0+ . En déduire que : - x + t t 1 + + sin(t) sin(t) lim+ dt = dt. x0 x+t t 0 0 Q21. Déduire des questions précédentes que + 0 sin (t) dt = . t 2 Partie III - Phénomène de Gibbs Soit f : R R la fonction 2-périodique et impaire définie par : 1 si x ]0, [ . f (x) = 0 si x = 0 ou x = (E.1) On désigne par (S n )nN la suite de fonctions définie par : n 4 sin ((2k + 1) x) . n N, x R, S n (x) = k=0 2k + 1 Q22. En calculant la dérivée de S n , montrer que : 2 n N, x [0, ] , S n (x) = Q23. x 0 sin (2 (n + 1) t) dt. sin (t) Montrer que, pour tout entier n N, on a : n (-1)k - = (-1)n+1 4 k=0 2k + 1 5/6 0 1 t2n+2 dt. 1 + t2 + (-1)k . En déduire la valeur de 2k + 1 k=0 Q24. En déduire que S n tend vers 1 quand n tend vers l'infini. 2 Q25. Calculer S n ( - x) en fonction de S n (x). En utilisant le résultat de la question Q12, montrer que, pour tout x ]0, /2], on a : lim S n (x) = 1. n Q26. Déduire de ce qui précède que la suite (S n )nN converge simplement vers la fonction f définie par (E.1) sur R. Q27. Montrer que la suite de fonctions (n )n1 définie sur [0, ] par 1 sin (x) si x ]0, ] 2n sin 2nx n (x) = 1 si x = 0 converge simplement sur [0, ] vers la fonction définie sur [0, ] par : sin (x) si x ]0, ] x (x) = . 1 si x = 0 Q28. Montrer que est continue sur [0, /2] et en déduire que 2 sin (x) lim S n = dx n+ 2(n + 1) 0 x puis que : lim f n+ Q29. 2 + sin (x) dx. - Sn = 2 (n + 1) 2 (n + 1) x Montrer que 0 + sin (x) 2n+1 n (-1) dx = (2n + 1) (2n + 1)! x n=0 puis que : lim S n n+ Q30. + 2n (-1)n - 1. -f =2 (2n + 1) (2n + 1)! 2 (n + 1) 2 (n + 1) n=0 Comparer + n=0 (-1)n 2n (2n + 1) (2n + 1)! et 3 n=0 (-1)n 2n , (2n + 1) (2n + 1)! et montrer que : lim S n n+ -f > 0.17 . 2 (n + 1) 2 (n + 1) En déduire que la suite de fonctions (S n )nN ne converge pas uniformément vers f sur ]0, /2[. FIN 6/6

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 CCP Maths PSI 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Bertrand Wiel (professeur agrégé) ; il a été relu par Matthias Moreno Ray (professeur en CPGE) et Benoit Chevalier (ENS Ulm). L'épreuve est constituée de deux problèmes indépendants, un d'algèbre (matrices orthogonales, réduction), un second d'analyse (intégrales dépendant d'un paramètre, séries de fonctions et séries numériques). Il couvre une large partie du programme de PSI à l'exception notable des probabilités. Le premier problème comporte deux parties, · La première s'intéresse au cas de la dimension deux. On étudie une application de l'ensemble des matrices antisymétriques vers le groupe spécial orthogonal privé de la matrice -I2 , et on exhibe sa réciproque. · La deuxième partie traite des valeurs propres d'une matrice antisymétrique en dimension quelconque puis établit l'existence d'applications entre l'ensemble des matrices antisymétriques et l'ensemble des matrices orthogonales n'ayant pas la valeur propre -1. En fin de problème, on montre que dans R3 toute rotation R qui n'est pas un retournement peut être paramétrée par une matrice antisymétrique A de la manière suivante : R = (I3 + A)-1 (I3 - A) Le second problème est constitué de trois parties, · Dans la première, on établit des résultats préliminaires en admettant le théorème de Weierstrass d'approximation d'une fonction continue sur un segment par une suite de fonctions polynomiales. · La deuxième partie est consacrée au calcul de l'intégrale de Dirichlet Z + sin(t) dt t 0 par la méthode de transformation de Laplace. C'est l'occasion de mettre en oeuvre les théorèmes et techniques d'intégration du programme. Elle demande beaucoup de soin dans la rédaction, en particulier concernant le rappel et la vérification des hypothèses des théorèmes portant sur les intégrales dépendant d'un paramètre. · Dans la troisième, on met en lumière le « phénomène de Gibbs », c'est-à-dire l'existence d'un écart local, minoré par une constante, entre une certaine fonction et sa somme de Fourier, en manipulant les différents types de séries du programme et en s'appuyant sur le théorème de convergence dominée et le théorème spécial des séries alternées. À l'exception des questions 7 et 8 du problème d'algèbre, l'épreuve avait un niveau de difficulté constant, sans question particulièrement ardue. Le candidat progressait en général en terrain connu, bien guidé par l'énoncé. Toutefois, la diversité des notions mises en oeuvre, la longueur du sujet, le soin nécessaire à la rédaction des preuves dans le second problème et le besoin de recourir plusieurs fois et sans indication à des transformations trigonométriques, exigeaient un bon degré de préparation. En ce sens, cette épreuve constitue un très bon test d'auto-évaluation à passer au cours de la période précédant les écrits. Indications Problème 1 t Q2 Calculer R R pour établir l'orthogonalité de la matrice R. Q3 Utiliser les propriétés de calcul des matrices de rotation. Q5 Utiliser d'abord le fait que X est un vecteur propre puis exploiter l'antisymétrie de A. Q6 Utiliser le fait que, d'après la question 5, la matrice A n'a pas de valeur propre réelle, et le résultat de la question 4. Q7 Décomposer le polynôme caractéristique de A en une puissance de X et un polynôme sans racine réelle. Justifier que est de degré pair et exprimer le déterminant de R à l'aide de ce polynôme. t Q8 Multiplier chacune des matrices A et -A à gauche par (In + R) et à droite par (In + R-1 ). Q9 Compléter le vecteur u en une base orthonormée et appliquer la construction de la question 8 et les résultats de la partie I. Problème 2 Q10 Intégrer par parties et majorer l'expression sous le signe intégral. Q12 Appliquer le résultat de la question 11 à un polynôme approchant la fonction f sur l'intervalle [ ; ]. Q13 Partir de la formule sin2 (u) = (1 - cos(2u))/2 et utiliser le résultat de la question 12. Q15 Utiliser les résultats de la question 14 avec la fonction sinus. Q16 Utiliser le théorème de continuité sous le signe intégral. Q18.2 Résoudre un système 2 × 2 en les variables (x) et (x). Q18.3 Écrire la solution trouvée en 18.2 sous forme intégrale et faire un changement de variable. Q19 Majorer l'intégrale après avoir effectué une intégration par parties. Q20 Comparer à une intégrale de Riemann pour la convergence en +. Étudier la convergence en 0 en utilisant l'inégalité sin(t) 6 t, valable sur R+ . Q22 Se ramener au calcul d'une somme géométrique. Q23 Reprendre la méthode utilisée à la question 22. Q25 Utiliser le résultat de la question 12 avec des fonctions f et adaptées. Q27 Se servir de l'équivalence sin(x) x. 0 Q28 Établir Sn 2(n + 1) 2 = Z n+1 (u) du 0 puis appliquer le théorème de convergence dominée en utilisant le résultat de la question 27. Q29 Partir du développement en série entière de la fonction x 7- sin(x). Q30 Utiliser le théorème spécial des séries alternées. Problème 1 Q1 Calculons le polynôme caractéristique de la matrice A. A (X) = det(X Id -A) = X -t = X2 + t2 = (X - it)(X + it) t X Les valeurs propres complexes de A sont it et -it si t 6= 0, et 0 sinon. Q2 D'après la question 1, la matrice A ne peut avoir comme valeur propre 1, ainsi la matrice (I2 - A) est inversible. On sait par ailleurs que si elle existe, c'est-à-dire si son déterminant est non nul, l'inverse d'une matrice 2 × 2 est donné par -1 1 a b d -b = c d ad - bc -c a -1 1 -t -1 Ainsi, (I2 - A) = t -1 1 1 t = 1 + t2 -t 1 1 1 t 1 t d'où (I2 + A)(I2 - A)-1 = -t 1 1 + t2 -t 1 1 1 - t2 2t soit, finalement R= -2t 1 - t2 1 + t2 Pour montrer l'orthogonalité de R, calculons t R R. ! ! 1 - t2 -2t 1 - t2 2t 1 t RR = (1 + t2 )2 2t 1 - t2 -2t 1 - t2 (1 - t2 )2 + 4t2 1 = (1 + t2 )2 2t(1 - t2 ) - 2t(1 - t2 ) 2t(1 - t2 ) - 2t(1 - t2 ) ! 1 - 2t2 + t4 + 4t2 1 0 = (1 + t2 )2 0 1 t R R = I2 La matrice R est donc orthogonale. Enfin, det R = det donc 4t2 + (1 - t2 )2 ! 1 1 + t2 1 - t2 -2t 2t 1 - t2 = 1 - t2 1 (1 + t2 )2 -2t = 1 ((1 - t2 )2 + 4t2 ) = 1 (1 + t2 )2 2t 1 - t2 La matrice R appartient au groupe spécial orthogonal. Q3 Pour tout réel R\Z, on va essayer de se ramener à des matrices plus faciles à manipuler, en se souvenant que 1 + cos = 2 cos2 (/2). On a 1 + cos - sin I2 + R = sin 1 + cos 2 cos2 /2 -2 sin (/2) cos (/2) = 2 sin (/2) cos (/2) 2 cos2 (/2) I2 + R = 2 cos (/2) R/2 En particulier, la matrice I2 + R est inversible car une matrice de rotation est inversible, et cos (/2) 6= 0 puisque par hypothèse n'est pas dans Z. De cette inversibilité et des propriétés des matrices de rotation, on déduit (I2 + R )-1 = (2 cos (/2))-1 R-/2 (R-1 = R- ) et I2 - R = I2 + R+ = 2 cos (( + )/2) R(+)/2 et donc (I2 + R )-1 (I2 - R ) = = 2 cos (( + )/2) R-/2 R(+)/2 2 cos (/2) - sin (/2) R-/2 R(+)/2 cos (/2) (I2 + R )-1 (I2 - R ) = - tan (/2) R/2 d'où -1 M = (I2 + R ) (I2 - R ) = (-R = R+ ) (R R = R+ ) 0 tan (/2) - tan (/2) 0 La transformation de la question 2 faisait correspondre à toute matrice antisymétrique réelle A de dimension deux une matrice de rotation d'angle différent de . Celle de la question 3 en est la réciproque et permet de construire depuis une matrice de rotation qui n'est pas un retournement une matrice antisymétrique réelle. Cette construction va être généralisée à la dimension n dans la suite. Q4 Multiplions l'égalité CB = BC à gauche et à droite par la matrice C-1 : C-1 CBC-1 = C-1 BCC-1 d'où BC-1 = C-1 B Q5 Comme X est par hypothèse un vecteur propre de A associé à la valeur propre , on a AX = X. Par suite, n P t ( AX)X = t ( X)X = t X X = |xi |2 i=1 Par ailleurs, puisque A est antisymétrique réelle, t t t t ( AX)X = X(-A)X = - X AX = - X X = - n P |xi | 2 i=1 Le vecteur X n'étant pas nul, on en déduit que = -. En conclusion est un complexe imaginaire pur (éventuellement nul). Un raisonnement analogue permet de montrer que les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle sont réelles. Q6 D'après le résultat de la question 5, le réel -1 ne peut pas être une valeur propre de A. Donc, en notant A le polynôme caractéristique de A il vient det(In + A) = A (-1) 6= 0. Par conséquent,