CCP Maths PSI 2017

Thème de l'épreuve Matrices antisymétriques réelles et phénomène de Gibbs
Principaux outils utilisés matrices, espaces euclidiens, intégration, séries de fonctions
Mots clefs matrices antisymétriques, pénomène de Gibbs

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2017

PSIMA02

!

!
!

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
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MATHEMATIQUES
Mardi 2 mai : 14 h - 18 h!
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N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
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a été amené à prendre.!

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Les calculatrices sont autorisées
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Le sujet est composé de deux problèmes indépendants : un d'algèbre et un 
d'analyse.
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1/6

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PROBLÈME 1
Présentation générale
On se propose ici d'étudier certaines propriétés des matrices antisymétriques 
réelles. Après avoir
étudié un exemple en dimension 2, on utilise les matrices antisymétriques pour 
paramétrer un sousensemble des matrices orthogonales.
Notations
­ R désigne l'ensemble des réels et, pour tout entier n > 0, Mn (R) désigne 
l'ensemble des matrices
n × n à coefficients réels. On note In la matrice identité de Mn (R).
­ Pour tout entier n > 0, on désigne par An (R) l'ensemble des matrices n × n 
antisymétriques à
coefficients réels et par On (R) celui des matrices n × n orthogonales à 
coefficients réels. Le groupe
spécial orthogonal est constitué des matrices orthogonales de déterminant 1.

Partie I - Un exemple en dimension 2

0 t
. Déterminer les valeurs propres complexes de A.
-t 0

Q1.

Soit t un réel et soit A =

Q2.

Calculer R = (I2 + A)(I2 - A)-1 et montrer que R est une matrice du groupe 
spécial orthogonal.

cos  - sin 
. Calculer M = (I2 + R )-1 (I2 - R ).
Pour tout réel   R \ Z, on note R =
sin  cos 

Q3.

Partie II - Matrices antisymétriques et matrices orthogonales
Dans ce qui suit, n désigne un entier strictement positif.
Q4. Soient B et C deux matrices de Mn (R). Montrer que si C est inversible et 
BC = CB, alors
BC -1 = C -1 B.
Q5. Soit A  Mn (R) une matrice antisymétrique. Soit  une valeur propre complexe 
de A et
X  Cn \ {0} un vecteur propre associé. En calculant de deux façons
t

(AX) X,

montrer que  est un complexe imaginaire pur (éventuellement nul).
Q6.
et :

Déduire de la question précédente que si A est antisymétrique réelle, alors In 
+ A est inversible
(In - A)(In + A)-1 = (In + A)-1 (In - A).

Montrer que R = (In + A)-1 (In - A) est une matrice orthogonale.
Q7.

Calculer le déterminant de R.

Q8. Soit R une matrice orthogonale telle que In + R soit inversible. Démontrer 
que la matrice
A = (In + R)-1 (In - R) est antisymétrique.
2/6

Q9. On suppose ici que n = 3 et que R3 est muni de sa structure usuelle 
d'espace euclidien orienté
par la base canonique. Soit r une rotation d'angle  ] - , [ autour d'un axe 
orienté par un vecteur
u de norme 1 et soit R  O3 (R) sa matrice dans la base canonique.
Montrer qu'il existe une matrice antisymétrique A  M3 (R) telle que :
R = (I3 + A)-1 (I3 - A).

PROBLÈME 2
Présentation générale
L'objet de ce problème est l'étude du phénomène de Gibbs. Dans la première 
partie, on démontre
des lemmes de Riemann-Lebesgue. Dans la deuxième, on calcule l'intégrale de 
Dirichlet. Enfin, dans
la troisième partie, on met en évidence le phénomène de Gibbs.
Notations
­ R désigne l'ensemble des réels, R+ désigne l'intervalle [0, +[ et C désigne 
l'ensemble des nombres
complexes.

Partie I - Résultats préliminaires
Dans ce qui suit,  : R  C désigne une fonction continue 2-périodique telle que :
 2
 (t) dt = 0.
0

Q10.

Si f : [0, 2]  C est une fonction de classe C1 , montrer que :
 2
lim
f (t) cos (nt) dt = 0.
n+

Q11.

0

Montrer que la primitive de  s'annulant en 0 est 2-périodique et bornée sur R.

Soient a et b deux réels tels que a < b, déduire de ce qui précède que pour 
toute fonction f de classe
C1 sur [a, b] et à valeurs dans C on a :
 b
lim
f (t)  (nt) dt = 0.
n+

a

Q12. Soient  et  deux réels tels que  <  et h : ,   C une fonction continue. 
Soient  un
réel strictement positif et g une fonction de classe C1 sur [, ] telle que sup 
|h - g|  , montrer qu'il
[,]

existe une constante M ne dépendant que de  telle que :

h (t)  (nt) dt  M | - |  + 
g (t)  (nt) dt .

3/6

En déduire que pour tout intervalle [a, b] de R et toute fonction f : [a, b]  C 
continue par morceaux :
 b
lim
f (t)  (nt) dt = 0.
n+

a

On pourra admettre et utiliser le théorème de Weierstrass qui affirme que pour 
tout segment ,  avec

 <  et toute fonction continue f : ,   C, il existe une suite ( fn )nN de 
fonctions polynomiales

qui converge uniformément vers f sur ,  .

Q13. Soient a et b deux réels tels que a < b et f : [a, b]  C une fonction 
continue par morceaux.
Déduire de ce qui précède que :
 b

1 b
2
lim
f (t) sin (nt) dt =
f (t) dt.
n+ a
2 a

Partie II - L'intégrale de Dirichlet
+

Soit f : R  C une fonction continue telle que la fonction F : x 

x

+

f (t) dt soit bornée.

0

Q14.

Montrer que, pour tout réel a > 0, les intégrales généralisées

a

sont convergentes et que :

+

F (t)
dt puis
t2

+
a

f (t)
dt
t

+

F (t)
F (a)
.
dt -
2
t
a
a
a
 + 2
 +
sin (t)
sin (t)
dt sont convergentes et
dt et
Q15. Montrer que les intégrales généralisées
t
t2
0
0
que :
 +
 + 2
sin (t)
sin (t)
dt.
dt =
t
t2
0
0
 +
+
Dans ce qui suit, on considère une fonction continue f : R  C telle que
f (t) dt soit absoluf (t)
dt =
t

0

ment convergente.
Q16.

Montrer que la fonction
+

L ( f ) : x  R 

+

f (t) e-xt dt

0

est bien définie et continue sur R+ .
Q17. On suppose de plus que la fonction f est bornée. Montrer que la fonction L 
( f ) est de classe
C sur ]0, +[ et que L ( f ) (x) tend vers 0 quand x tend vers +.
1
.
Q18. Soit f : t  R+ 
1 + t2
1 . Montrer que la fonction L ( f ) est solution de l'équation différentielle
y + y =

1
x

sur ]0, +[.
4/6

(E)

2 . On cherche une solution particulière de (E) de la forme x  (x) cos(x) + (x) 
sin(x) où les
fonctions  et  sont de classe C2 et vérifient :
x ]0, +[  (x) cos(x) +  (x) sin(x) = 0.
 +
 +
Montrer que l'on peut prendre (x) =
f1 (t) dt et (x) =
f2 (t) dt où f1 et f2 sont des
x

x

fonctions que l'on déterminera.
 +
sin(t)
dt est une solution de l'équation (E) sur ]0, +[.
3 . En déduire que
x+t
0
4 . Montrer qu'il existe (a, b)  R2 tel que :
 +
sin(t)
dt.
x ]0, +[ L( f )(x) = a cos x + b sin x +
x+t
0
 +
sin(t)
Q19. Montrer que
dt tend vers 0 quand x tend vers + et en déduire que pour tout
x+t
0
x > 0 on a :
 +
sin(t)
dt.
L ( f ) (x) =
x+t
0

 + 
sin(t) sin(t)
Q20. Montrer que
dt tend vers 0 quand x tend vers 0+ . En déduire que :
-
x
+
t
t
1
 +
 +
sin(t)
sin(t)
lim+
dt =
dt.
x0
x+t
t
0
0
Q21.

Déduire des questions précédentes que

+

0

sin (t)
dt = .
t
2

Partie III - Phénomène de Gibbs
Soit f : R  R la fonction 2-périodique et impaire définie par :

1 si
x  ]0, [
.
f (x) =
0 si x = 0 ou x = 

(E.1)

On désigne par (S n )nN la suite de fonctions définie par :
n

4  sin ((2k + 1) x)
.
n  N, x  R, S n (x) =
 k=0
2k + 1
Q22.

En calculant la dérivée de S n , montrer que :
2
n  N, x  [0, ] , S n (x) =

Q23.

x

0

sin (2 (n + 1) t)
dt.
sin (t)

Montrer que, pour tout entier n  N, on a :
n

  (-1)k
-
= (-1)n+1
4 k=0 2k + 1
5/6

0

1

t2n+2
dt.
1 + t2

+

(-1)k
.
En déduire la valeur de
2k + 1
k=0

Q24. En déduire que S n
tend vers 1 quand n tend vers l'infini.
2
Q25. Calculer S n ( - x) en fonction de S n (x). En utilisant le résultat de la 
question Q12, montrer
que, pour tout x ]0, /2], on a :
lim S n (x) = 1.
n

Q26. Déduire de ce qui précède que la suite (S n )nN converge simplement vers 
la fonction f définie
par (E.1) sur R.
Q27.

Montrer que la suite de fonctions (n )n1 définie sur [0, ] par

1 sin (x)

  si x  ]0, ]

 2n sin 2nx
n (x) = 

1
si x = 0

converge simplement sur [0, ] vers la fonction  définie sur [0, ] par :

sin (x)

si x  ]0, ]

x
 (x) = 
.

1
si x = 0
Q28.

Montrer que  est continue sur [0, /2] et en déduire que

2  sin (x)

lim S n
=
dx
n+
2(n + 1)
 0
x

puis que :
 
lim f

n+

Q29.

2 + sin (x)
dx.
- Sn
=
2 (n + 1)
2 (n + 1)
 
x

Montrer que

0

+

sin (x)
2n+1
n
(-1)
dx =
(2n + 1) (2n + 1)!
x
n=0

puis que :
 
lim S n

n+

Q30.

+

2n
(-1)n
- 1.
-f
=2
(2n + 1) (2n + 1)!
2 (n + 1)
2 (n + 1)
n=0

Comparer
+

n=0

(-1)n

2n
(2n + 1) (2n + 1)!

et

3

n=0

(-1)n

2n
,
(2n + 1) (2n + 1)!

et montrer que :
 
lim S n

n+

-f
> 0.17 .
2 (n + 1)
2 (n + 1)

En déduire que la suite de fonctions (S n )nN ne converge pas uniformément vers 
f sur ]0, /2[.

FIN
6/6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths PSI 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Bertrand Wiel (professeur agrégé) ; il a été relu par
Matthias Moreno Ray (professeur en CPGE) et Benoit Chevalier (ENS Ulm).

L'épreuve est constituée de deux problèmes indépendants, un d'algèbre (matrices
orthogonales, réduction), un second d'analyse (intégrales dépendant d'un 
paramètre,
séries de fonctions et séries numériques). Il couvre une large partie du 
programme
de PSI à l'exception notable des probabilités.
Le premier problème comporte deux parties,
· La première s'intéresse au cas de la dimension deux. On étudie une application
de l'ensemble des matrices antisymétriques vers le groupe spécial orthogonal
privé de la matrice -I2 , et on exhibe sa réciproque.
· La deuxième partie traite des valeurs propres d'une matrice antisymétrique en
dimension quelconque puis établit l'existence d'applications entre l'ensemble
des matrices antisymétriques et l'ensemble des matrices orthogonales n'ayant
pas la valeur propre -1. En fin de problème, on montre que dans R3 toute
rotation R qui n'est pas un retournement peut être paramétrée par une matrice
antisymétrique A de la manière suivante :
R = (I3 + A)-1 (I3 - A)
Le second problème est constitué de trois parties,
· Dans la première, on établit des résultats préliminaires en admettant le 
théorème de Weierstrass d'approximation d'une fonction continue sur un segment
par une suite de fonctions polynomiales.
· La deuxième partie est consacrée au calcul de l'intégrale de Dirichlet
Z +
sin(t)
dt
t
0

par la méthode de transformation de Laplace. C'est l'occasion de mettre en
oeuvre les théorèmes et techniques d'intégration du programme. Elle demande
beaucoup de soin dans la rédaction, en particulier concernant le rappel et la
vérification des hypothèses des théorèmes portant sur les intégrales dépendant
d'un paramètre.
· Dans la troisième, on met en lumière le « phénomène de Gibbs », c'est-à-dire
l'existence d'un écart local, minoré par une constante, entre une certaine 
fonction et sa somme de Fourier, en manipulant les différents types de séries du
programme et en s'appuyant sur le théorème de convergence dominée et le
théorème spécial des séries alternées.
À l'exception des questions 7 et 8 du problème d'algèbre, l'épreuve avait un 
niveau
de difficulté constant, sans question particulièrement ardue. Le candidat 
progressait
en général en terrain connu, bien guidé par l'énoncé. Toutefois, la diversité 
des notions
mises en oeuvre, la longueur du sujet, le soin nécessaire à la rédaction des 
preuves
dans le second problème et le besoin de recourir plusieurs fois et sans 
indication à
des transformations trigonométriques, exigeaient un bon degré de préparation. 
En ce
sens, cette épreuve constitue un très bon test d'auto-évaluation à passer au 
cours de
la période précédant les écrits.

Indications
Problème 1
t

Q2 Calculer R R pour établir l'orthogonalité de la matrice R.
Q3 Utiliser les propriétés de calcul des matrices de rotation.
Q5 Utiliser d'abord le fait que X est un vecteur propre puis exploiter 
l'antisymétrie
de A.
Q6 Utiliser le fait que, d'après la question 5, la matrice A n'a pas de valeur 
propre
réelle, et le résultat de la question 4.
Q7 Décomposer le polynôme caractéristique de A en une puissance de X et un
polynôme  sans racine réelle. Justifier que  est de degré pair et exprimer
le déterminant de R à l'aide de ce polynôme.
t

Q8 Multiplier chacune des matrices A et -A à gauche par (In + R) et à droite
par (In + R-1 ).
Q9 Compléter le vecteur u en une base orthonormée et appliquer la construction
de la question 8 et les résultats de la partie I.
Problème 2
Q10 Intégrer par parties et majorer l'expression sous le signe intégral.
Q12 Appliquer le résultat de la question 11 à un polynôme approchant la 
fonction f
sur l'intervalle [  ;  ].
Q13 Partir de la formule sin2 (u) = (1 - cos(2u))/2 et utiliser le résultat de 
la
question 12.
Q15 Utiliser les résultats de la question 14 avec la fonction sinus.
Q16 Utiliser le théorème de continuité sous le signe intégral.
Q18.2 Résoudre un système 2 × 2 en les variables  (x) et   (x).
Q18.3 Écrire la solution trouvée en 18.2 sous forme intégrale et faire un 
changement
de variable.
Q19 Majorer l'intégrale après avoir effectué une intégration par parties.
Q20 Comparer à une intégrale de Riemann pour la convergence en +. Étudier la
convergence en 0 en utilisant l'inégalité sin(t) 6 t, valable sur R+ .
Q22 Se ramener au calcul d'une somme géométrique.
Q23 Reprendre la méthode utilisée à la question 22.
Q25 Utiliser le résultat de la question 12 avec des fonctions f et  adaptées.
Q27 Se servir de l'équivalence sin(x)  x.
0

Q28 Établir

Sn

2(n + 1)

2
=

Z

n+1 (u) du

0

puis appliquer le théorème de convergence dominée en utilisant le résultat de
la question 27.
Q29 Partir du développement en série entière de la fonction x 7- sin(x).
Q30 Utiliser le théorème spécial des séries alternées.

Problème 1
Q1 Calculons le polynôme caractéristique de la matrice A.
A (X) = det(X Id -A) =

X -t
= X2 + t2 = (X - it)(X + it)
t X

Les valeurs propres complexes de A sont it et -it si t 6= 0, et 0 sinon.
Q2 D'après la question 1, la matrice A ne peut avoir comme valeur propre 1, 
ainsi
la matrice (I2 - A) est inversible. On sait par ailleurs que si elle existe, 
c'est-à-dire si
son déterminant est non nul, l'inverse d'une matrice 2 × 2 est donné par

-1

1
a b
d -b
=
c d
ad - bc -c a

-1
1 -t
-1
Ainsi,
(I2 - A) =
t -1

1
1 t
=
1 + t2 -t 1

1
1 t
1 t
d'où
(I2 + A)(I2 - A)-1 =
-t 1
1 + t2 -t 1

1
1 - t2
2t
soit, finalement
R=
-2t 1 - t2
1 + t2
Pour montrer l'orthogonalité de R, calculons t R R.
!
!
1 - t2
-2t
1 - t2
2t
1
t
RR =
(1 + t2 )2
2t
1 - t2
-2t 1 - t2
(1 - t2 )2 + 4t2

1
=
(1 + t2 )2

2t(1 - t2 ) - 2t(1 - t2 )

2t(1 - t2 ) - 2t(1 - t2 )
!
1 - 2t2 + t4 + 4t2 1 0
=
(1 + t2 )2
0 1
t

R R = I2

La matrice R est donc orthogonale.

Enfin,
det R = det

donc

4t2 + (1 - t2 )2

!

1
1 + t2

1 - t2
-2t

2t
1 - t2

=

1 - t2
1
(1 + t2 )2 -2t

=

1
((1 - t2 )2 + 4t2 ) = 1
(1 + t2 )2

2t
1 - t2

La matrice R appartient au groupe spécial orthogonal.

Q3 Pour tout réel   R\Z, on va essayer de se ramener à des matrices plus faciles
à manipuler, en se souvenant que 1 + cos  = 2 cos2 (/2). On a

1 + cos  - sin 
I2 + R =
sin 
1 + cos 

2 cos2 /2
-2 sin (/2) cos (/2)
=
2 sin (/2) cos (/2)
2 cos2 (/2)
I2 + R = 2 cos (/2) R/2
En particulier, la matrice I2 + R est inversible car une matrice de rotation est
inversible, et cos (/2) 6= 0 puisque par hypothèse  n'est pas dans Z. De cette
inversibilité et des propriétés des matrices de rotation, on déduit
(I2 + R )-1 = (2 cos (/2))-1 R-/2

(R-1
 = R- )

et

I2 - R = I2 + R+ = 2 cos (( + )/2) R(+)/2

et donc

(I2 + R )-1 (I2 - R ) =
=

2 cos (( + )/2)
R-/2 R(+)/2
2 cos (/2)
- sin (/2)
R-/2 R(+)/2
cos (/2)

(I2 + R )-1 (I2 - R ) = - tan (/2) R/2
d'où

-1

M = (I2 + R )

(I2 - R ) =

(-R = R+ )

(R R  = R+  )

0
tan (/2)
- tan (/2)
0

La transformation de la question 2 faisait correspondre à toute matrice 
antisymétrique réelle A de dimension deux une matrice de rotation d'angle 
différent de . Celle de la question 3 en est la réciproque et permet de 
construire
depuis une matrice de rotation qui n'est pas un retournement une matrice
antisymétrique réelle. Cette construction va être généralisée à la dimension
n dans la suite.
Q4 Multiplions l'égalité CB = BC à gauche et à droite par la matrice C-1 :
C-1 CBC-1 = C-1 BCC-1
d'où

BC-1 = C-1 B

Q5 Comme X est par hypothèse un vecteur propre de A associé à la valeur propre ,
on a AX = X. Par suite,
n
P
t
( AX)X = t ( X)X =  t X X =  |xi |2
i=1

Par ailleurs, puisque A est antisymétrique réelle,
t

t

t

t

( AX)X = X(-A)X = - X AX = - X X = -

n
P

|xi |

2

i=1

Le vecteur X n'étant pas nul, on en déduit que  = -. En conclusion
 est un complexe imaginaire pur (éventuellement nul).
Un raisonnement analogue permet de montrer que les valeurs propres d'une
matrice symétrique réelle sont réelles.
Q6 D'après le résultat de la question 5, le réel -1 ne peut pas être une valeur 
propre de A. Donc, en notant A le polynôme caractéristique de A il vient
det(In + A) = A (-1) 6= 0. Par conséquent,