CCP Maths 1 PSI 2014

Thème de l'épreuve Longueur d'une courbe
Principaux outils utilisés calcul intégral, suites et séries de fonctions, normes
Mots clefs calcul intégral, théorème de convergence dominée, théorème spécial des séries alternées

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2014 PSIM102 .:==_ CONCOURS COMMUNS -=- POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené a repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené a prendre. Les calculatrices sont autorisées Notations, définitions et rappels Pour toute fonction f : [a, 19] --> R de classe C1, on note : L (f) = / b\/1 + (f' >2dt une expression intégrale de la longueur de la courbe représentative de f . Partie I Quelques exemples de calculs de longueurs I.1 Vérifier la formule donnant L ( f ) pour f définie sur [D, 1] par f (t) = 75. I.2 Calculer L ( f ) pour f définie sur [D, 1] par f (t) : ch (t) . 1/5 1.3 Un exemple de calcul de longueur d'un arc de courbe 1 1.3.1 Calculer L ( f ) pour f définie sur {D, Ëi par f (t) = \/ 1 -- t2. 1.3.2 Retrouver le résultat de la question 1.3.1 sans calcul, par des considérations géométriques. 1.4 Soit f définie sur [D, 1] par f (t) = 752. Calculer L ( f), en utilisant une intégration par parties ou en s'inspirant de la question 1.2. Partie II Un calcul approché de longueur L'objectif de cette partie est d'effectuer un calcul approché de la longueur d'un arc d'hyperbole. 1 1 On considère, pour ce faire, la fonction f définie sur {? 1} par f (t) = ;. 11.1 Expression intégrale de L (f) 11.1.1 Donner une expression intégrale de L ( f ) . 11.1.2 Montrer que L ( f ) est aussi la longueur de l'arc d'hyperbole correspondant à la res- triction de f a l'intervalle [1, 2] . 11.2 Expression de L (f) sous forme de série numérique 11.2.1 Soit 04 E R \ N . Rappeler le développement en série entière de la fonction u v--> (1 + u)", en précisant son domaine de validité. 11.2.2 Montrer que, pour tout t E ]O, 1[, on a : +00 V 1 + É4 : 1 + Z (_1)n--1 (Zn)! t4n--2 t2 ? (Zn -- 1) 22" (n!)2 (Zn)! (Zn -- 1) 2% (n!)2 (a...)nEURN* est décroissante et donner un équivalent de on quand n tend vers l'infini. 11.2.3 On note, pour tout entier n 2 1, an : . Montrer que la suite 1124 En déduire une expression de L ( f ) comme somme d'une série numérique (on vérifiera avec soin les hypothèses du théorème utilisé). 2/5 II.2.S Donner une valeur approchée de L ( f ) en utilisant les 5 premiers termes de la série obtenue àla question précédente et donner une majoration de l'erreur commise. Partie III Longueur du graphe des fonctions puissances On s'intéresse ici, pour tout entier n 2 1, aux fonctions puissances p,, définies sur [O, 1] par : Vt EUR [0,1] , p,, (t) = t". On désigne par ()...) la suite définie par : nEURN* 1 Vn E N*, )... = L (p,,) = / \/l + n2t2n_2dt. 0 111.1 Conjecture sur la limite éventuelle de (Àn)nEURN* III.1.1 Déterminer À1 et À2. III.1.2 En traçant, sur un même graphe, les courbes représentatives de quelques fonctions p,, avec n de plus en plus grand, conjecturer la convergence de la suite (Àn)nEURN* ainsi que la valeur de sa limite éventuelle. III.2 Convergence et limite de la suite (Àn)nEURN* III.2.1 Montrer que, pour tout entier n E N *, on a : 1 )... -- n/ tn_1dt : ,un 0 /1 dt Un : _ _ - 0 ,/1 +_712t2n 2 +_7ltn 1 III.2.2 Montrer que )... < 2 pour tout n E N *. III.2.3 Déterminer la limite de la suite ( ,un)nEURN, (on citera avec précision le théorème uti- lisé). III.2.4 En déduire la convergence de la suite ()...) ainsi que la valeur de sa limite. nEURN*' III.3 Plus généralement, montrer que si f : [O, 1] --> R est une fonction de classe C1, croissante et telle que f (0) = 0 et f (1) = l, on a alors L (f) < 2. 3/5 Partie IV Un résultat inattendu 1 . t IV.1 Etude de l'intégrale généralisée / smt( )dt 0 n (t) , - / / / - / 1 Si IV.1.1 Montrer que l 1ntegrale generahsee / --dt est convergente. 0 IV.1.2 Montrer que, pour tout a: Z 1, on a : /1OESint(t)dt = COS (1) -- M -- /ÏCOS (t)dt. a: t2 sin (t) +00 En déduire que l'intégrale généralisée / dt est convergente. 1 cos (Qt) +oo IV.1.3 Montrer que l'intégrale généralisée / dt est convergente. 1 +00 sin2 (t) IV.1.4 Montrer que l'intégrale généralisée / dt est divergente. En déduire la di- 1 +OO ' t vergence de l'intégrale généralisée / ]SmtÀdt. 1 , . . , . 1 . 1 . IV.2 On des1gne par g la fonct1on defin1e sur ]0, 1] par Q (t) = % sm % et par f la fonct1on 1 définie sur le même intervalle par f (a:) = / g (t) dt. IV.2.1 Montrer que la fonction f se prolonge par continuité en 0. On notera encore f ce prolongement. IV.2.2 Montrer que f est continue sur ]0, 1] et indéfiniment dérivable sur ]0, 1] . IV.2.3 Montrer que : 1 nm/flfi...fi=+oe. oe-->O+ IV.3 Pour tout réel 3: EUR ]0, 1] , on désigne par A (a:) la longueur de la courbe représentative de la restriction de la fonction f au segment ]a:, 1] . Donner une expression intégrale de A (a:) , pour tout a: E ]O, 1] , puis montrer que lim+ A (a:) : +oo. Donner une interprétation de ce résultat. oe-->O 4/5 Partie V Continuité de la fonction longueur On rappelle que l'application : :fF+HÏWOED==SUP]f(Ü] te[0,1] définit une norme sur l'espace E = C0 (]O, 1] ,R) des fonctions continues de ]O, 1] dans R. On note El : C1 (]O, 1] ,R) l'espace des fonctions continûment dérivables de ]O, 1] dans R et pour toute fonction f E El, on note : ]VH=VOEW+]NQ- V.1 Comparaison des normes ]]-]] et ]]-]]00 V.1.1 Montrer que l'application f v--> ]] f ]] définit une norme sur l'espace El. V.1.2 Montrer que : VfEUREb]floeîHfl- V.1.3 Les normes ]] - ]] et ]] - ]]OO sont-elles équivalentes sur El '? V.2 On désigne par ( fn)nEURN* la suite de fonctions définie sur ]0, 1] par : sin (nat) VnEURN*, Vte]0,1], fn(t)= \/ñ V.2.1 Montrer que la suite ( fn)nEURN* converge uniformément vers la fonction nulle sur ]0, 1] . V.2.2 On désigne, pour tout entier n E N*, par In : L ( fn) la longueur de la courbe représentative de fn. Montrer que : Vn E N", In 2 fig. V.2.3 L'application L : f v--> L ( f ) est-elle continue sur (El, ]]]]oe) '? V.2.4 L'application L : f v--> L ( f ) est-elle continue sur (El, HH) '? Fin de l'énoncé 5/5

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 CCP Maths 1 PSI 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sylvain De Moor (ENS Cachan) ; il a été relu par Clément Mifsud (ENS Cachan) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE). Le problème s'intéresse à la longueur de courbes représentatives de fonctions de la variable réelle à valeurs réelles. Si f est une fonction de classe C 1 définie sur un segment [ a ; b ] et à valeurs dans R, la longueur de sa courbe représentative peut être écrite sous la forme intégrale Z bq 2 1 + (f (t)) dt L(f ) = a Le problème propose d'étudier quelques résultats sur cette application longueur L dans cinq parties indépendantes. · La première partie consiste à calculer la longueur de courbes représentatives de fonctions f données en utilisant les techniques classiques du calcul d'intégrale sur un segment, comme l'intégration par parties ou le changement de variable. À deux reprises, il est demandé de vérifier par des considérations géométriques les résultats obtenus de façon analytique. · La seconde partie s'intéresse à la longueur de l'arc d'hyperbole défini par la fonction t 7 1/t sur le segment [ 1/2 ; 1 ]. Il s'agit d'exprimer cette longueur comme la somme d'une série numérique, ce qui permet ensuite d'en calculer une valeur approchée et de donner une majoration de l'erreur commise. Pour cela, on fait appel à la notion de série entière. · La troisième partie propose d'étudier le comportement asymptotique de la suite des longueurs des graphes des fonctions puissances (t 7 tn )nN restreintes au segment [ 0 ; 1 ]. · Le but de la quatrième partie est de construire un exemple de cas pathologique d'une fonction continue sur un segment dont la courbe est de longueur infinie. Cette partie mobilise les connaissances sur les intégrales généralisées. · Enfin, dans la cinquième et dernière partie, on étudie la continuité de l'application L sur l'espace des fonctions continûment dérivables de [ 0 ; 1 ] dans R, que l'on munit de deux normes différentes. Ce sujet clair et bien guidé est de difficulté croissante, progressant de calculs simples dans la première partie à des questions techniques nécessitant une rédaction soignée. Comme il aborde en outre un large spectre du programme d'analyse, c'est une bonne occasion de réviser tout en s'entraînant aux écrits. Indications Partie I I.3.2 Montrer que la courbe représentative de f est un arc du cercle de centre (0, 0) et rayon 1 dans R2 . Se rappeler que la longueur d'un arc d'angle d'un cercle de rayon R est donnée par R. I.4 [HP] Intégrer par parties enintégrant t 7 1 et en dérivant t 7 1 + 4t2 . Une primitive de t 7- 1/ 1 + t2 sur R est notée Argsh (cette fonction est hors-programme à compter de la rentrée 2014 : c'est la réciproque de la fonction sh ). Partie II II.1.2 Penser au changement de variable u = 1/t. II.2.2 Développer en série entière t 7 1 + t4 grâce à la question II.2.1. II.2.3 Pour la monotonie de la suite, étudier la rapport an+1 /an . En ce qui concerne son comportement asymptotique, utiliser la formule de Stirling. II.2.4 Combiner les questions II.1.1 et II.2.2. Justifier ensuite l'échange du signe intégral et de la somme en prouvant que la série de fonctions en question converge normalement. II.2.5 Utiliser le théorème spécial des séries alternées pour obtenir une majoration de l'erreur. III.2.1 III.2.2 III.2.3 III.3 Partie III Observer que 1 + n2 t2n-2 - ntn-1 = 1 + n2 t2n-2 - n2 t2n-2 pour n N et t [ 0 ; 1 ]. Remarquer que, pour tout u > 0, 1 + u < 1 + u. Pour conserver cette majoration stricte en intégrant cette inégalité, utiliser un résultat classique sur les intégrales de fonctions continues positives. Utiliser le théorème de convergence dominée. Procéder de façon analogue à la question III.2.2. Remarquer de plus que f est positive. Partie IV IV.1.1 Montrer que la fonction t 7 sin(t)/t se prolonge en une fonction continue sur le segment [ 0 ; 1 ]. IV.1.2 Intégrer par parties en intégrant t 7 sin(t) et en dérivant t 7 1/t. Montrer ensuite que Z x cos(x) cos(t) x 7 cos(1) - dt - x t2 1 admet une limite finie lorsque x tend vers +. IV.1.3 Procéder de façon analogue à la question IV.1.2 en intégrant par parties. IV.1.4 Utiliser la formule de trigonométrie 2 sin2 (t) = 1 - cos(2t). Remarquer que | sin(t)| > sin2 (t). IV.2.1 Effectuer le changement de variable u = 1/t dans l'intégrale définissant f (x). IV.2.3 Réaliser le changement de variable u = 1/t. IV.3 Utiliser la minoration 1 + u > u valable pour tout réel u > 0. Partie V V.1.2 Utiliser le théorème fondamental de l'analyse. V.1.3 Raisonner par l'absurde et exhiber une suite de fonctions bien choisie pour aboutir à une contradiction. V.2.1 Pour n N , majorer fn (t) par une quantité indépendante de t [ 0 ; 1 ] qui tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini. V.2.2 Utiliser les minorations 1 + u > u et | cos(t)| > cos2 (t) valables pour tous réels u > 0 et t. V.2.3 [HP] Dans cette question et la suivante, la continuité des applications d'un espace vectoriel de dimension infinie dans un autre ne sont plus au programme. Cependant, les définitions sont identiques au cas de la dimension finie. Raisonner par l'absurde et utiliser la suite (fn )nN . V.2.4 Montrer que l'application L est continue en utilisant la caractérisation séquentielle de la continuité. I. Quelques exemples de calculs de longueurs I.1 La fonction f est de classe C 1 sur le segment [ 0 ; 1 ] car c'est une fonction polynomiale et sa dérivée est donnée par f (t) = 1 t [ 0 ; 1 ] La longueur de la courbe représentative de f est donc Z 1 Z 1 2 L(f ) = 1 + 1 dt = 2 dt = 2 0 0 Définissons les points A(0, 0), B(1, 0) et C(1, 1) du plan R2 . Le calcul précédent redonne bien la longueur du segment [ A ; C ] obtenue en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B. C (1, 1) 1 f t A (0, 0) En conclusion, B (1, 0) L(f ) = 2 I.2 La fonction f est de classe C 1 sur le segment [ 0 ; 1 ] d'après le cours sur les fonctions usuelles et sa dérivée est donnée par t [ 0 ; 1 ] f (t) = sh (t) Rappelons que pour tout réel t on a ch 2 (t) - sh 2 (t) = 1 et que la fonction ch est positive sur R de sorte que q t R 1 + sh 2 (t) = | ch (t)| = ch (t) Par conséquent, la longueur de la courbe représentative de f est Z 1q Z 1 1 L(f ) = 1 + sh 2 (t) dt = ch (t) dt = [sh (t)]0 = sh (1) 0 d'où 0 L(f ) = sh (1)