CCP Maths 1 PSI 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Yvon Vignaud (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l'université) et Benoît Chevalier
(ENS
Ulm).
Ce sujet en trois parties a pour but d'étudier une fonction définie par une
intégrale
dépendant d'un paramètre. Hormis la définition de la constante , la première
partie
n'a pas d'influence sur les deux autres ; la troisième en revanche dépend des
résultats
obtenus dans la deuxième.
· Dans la première partie, on calcule l'intégrale de Gauss définie par
Z +
=
exp -t2 dt
0
Pour cela, on étudie une primitive de t 7 exp -t2 afin d'encadrer sa limite
en + au moyen d'intégrales de Wallis (Wn )nN . La valeur de s'obtient alors
en admettant un équivalent de Wn fourni par l'énoncé.
· Dans la seconde partie, on étudie deux nouvelles fonctions définies par des
intégrales à paramètre,
Z +
Z +
x2
2
cos(2bt)e-t dt et : x 7
exp -t2 - 2 dt
h : b 7
t
0
0
En calculant l'intégrale curviligne d'une forme différentielle particulière sur
des rectangles de longueur arbitrairement grande, on parvient à expliciter h.
L'étude de la fonction est plus classique : grâce au théorème de dérivation
sous le signe intégrale, on s'aperçoit que satisfait une équation
différentielle
linéaire d'ordre 1, que l'on résout pour exprimer à l'aide de fonctions
usuelles.
· La troisième partie se consacre à l'étude, plutôt technique, de l'intégrale à
paramètre
Z +
cos(2xt)
dt
(x) =
1 + t2
0
Grâce au théorème de convergence dominée, la quantité (x) peut s'interpréter
comme une intégrale double sur un rectangle arbitrairement grand ; une
interversion de l'ordre d'intégration montre alors qu'elle s'exprime en
fonction de
et de la fonction de la deuxième partie.
La résolution de ce problème requiert de maîtriser des théorèmes de régularité
des intégrales à paramètre ainsi que le théorème de convergence dominée pour les
suites de fonctions ; par ailleurs, on y voit apparaître les intégrales de
Gauss et de
Wallis qui font souvent l'objet de questions aux concours. L'originalité de ce
sujet,
et peut-être l'une de ses difficultés, réside dans la combinaison de ces
classiques avec
des points du programme plus rarement abordés, comme les intégrales doubles et
les
intégrales curvilignes de formes différentielles.
Indications
Partie I
I.1.1
I.1.2
I.1.3
I.1.4
I.2.1
I.2.2
I.3.1
I.3.2
I.3.3
I.3.4
Voir f comme une primitive.
Raisonner par récurrence en montrant que deg pn = n - 1.
Déterminer la parité de f (n) en utilisant le résultat de la question I.1.1.
Comparer t 7 exp -t2 avec la fonction t 7 exp(-t) intégrable sur R+ .
Appliquer le développement en série entière de z 7 exp(z) en z = -t2 , puis
intégrer terme à terme.
Utiliser la relation entre les coefficients du développement en série entière
de f
et les f (n) (0). On pourra distinguer les cas selon que n est pair ou impair.
Utiliser la convexité de l'exponentielle ou étudier la fonction x 7 ex - (x +
1).
Appliquer le résultat de la question I.3.1 à -u pour établir la première des
deux inégalités.
Appliquer les inégalités de la question I.3.2 à u = x2 avant de les intégrer.
Exprimer W2n+1 et W2n-2 en fonction des intégrales de la question I.3.3
à l'aide des changements de variables u = sin x et u = tan x respectivement.
Partie II
II.1.1 Comparer cos(2bt) exp -t et exp -t2 .
II.1.2 Montrer que est une forme différentielle fermée sur R2 , puis utiliser
le théorème de Poincaré.
II.1.3 Utiliser le résultat de la question II.1.2 et le fait que est une
courbe fermée.
II.1.4 Après avoir calculé l'intégrale sur chaque segment du rectangle,
utiliser la
réponse à la question II.1.3 puis faire tendre a vers l'infini.
II.2.1 Appliquer le théorème de continuité des intégrales à paramètre.
II.2.2 Montrer en utilisant le théorème de dérivation sous le signe intégrale
que
est de classe C 1 sur tout segment de la forme [ ; A ] où 0 < < A. II.2.3 Exprimer (x) comme une intégrale puis la reformuler en effectuant le changement de variable u = x/t. II.2.4 Résoudre l'équation différentielle établie à la question II.2.3. Utiliser la parité et la continuité de pour étendre le résultat sur R. 2 Partie III III.1.1 Appliquer le théorème de continuité sous le signe intégrale. III.2 Calculer explicitement jp (x) au moyen d'une primitive. III.3 Appliquer le théorème de continuité sous le signe intégrale à la fonction Z n n : y 7 exp -x2 y 2 cos(2ax) dx 0 III.4.1 Appliquer le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions (fp )p où fp : x 7 jp (x) cos(2ax). III.4.2 Réécrire un,p comme une intégrale double puis utiliser le théorème de Fubini. III.5 Montrer que |kn (y)| 6 pour tout n N et tout y R+ . III.6 Appliquer le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions (qn )n où qn : y 7 kn (y) exp -y 2 . I. Étude d'une fonction et de sa limite I.1 Étude de la fonction f I.1.1 En tant que composée de la fonction exponentielle et d'une fonction polyno2 miale, toutes deux continues sur R, l'application g : t 7 e-t est continue sur R. De plus, par construction, f est la primitive de g sur R qui s'annule en 0. Ainsi, f est dérivable sur R. Enfin, en utilisant la relation de Chasles puis le fait que g est paire Z -x Z 0 Z x x R f (-x) = g(t) dt = - g(t) dt = - g(t) dt = -f (x) 0 Autrement dit, -x 0 f est impaire. Notons que toute primitive d'une fonction impaire est paire, mais que parmi les primitives d'une fonction paire, la primitive qui s'annule en 0 est la seule qui soit impaire. On retrouve donc dans la question ci-dessus que la fonction f est impaire en tant que primitive s'annulant en 0 d'une fonction paire. Réciproquement, la dérivée d'une fonction paire (respectivement impaire) est toujours impaire (respectivement paire). I.1.2 D'après le raisonnement effectué à la question précédente, on sait que f est dérivable et que x R f (x) = exp -x2 Ainsi f = g est la composée d'une fonction polynomiale et de l'exponentielle, ce qui entraîne que f est de classe C sur R. Pour le dire autrement, f est indéfiniment dérivable sur R. Montrons maintenant par récurrence sur n N la propriété ( deg pn = n - 1 P(n) : pn R[X] tel que x R f (n) (x) = pn (x) exp -x2 · P(1) : Prenons p1 le polynôme constant égal à 1. Alors p1 est de degré 0 et x R f (x) = exp -x2 = p1 (x) exp -x2 ce qui démontre P(1). · P(n) = P(n + 1) : soit n > 1 fixé et supposons que P(n) soit vraie. Cette
propriété exprime f (n) comme un produit de deux fonctions dérivables ; grâce
à la formule de dérivation d'un produit, il vient que pour tout x R,
f (n+1) (x) = f (n) (x)
= pn (x) exp -x2 + pn (x)(-2x) exp -x2
f (n+1) (x) = [pn (x) - 2xpn (x)] exp -x2
Comme pn est un polynôme de degré n - 1, sa dérivée pn est polynomiale de
degré n - 2, et l'application x 7 -2xpn (x) est polynomiale de degré n. De ceci,
il vient que pn+1 : x 7 pn (x) - 2xpn (x) est bien une fonction polynomiale de
degré n et on a vu que
x R f (n+1) (x) = pn+1 (x) exp -x2
ce qui montre que P(n + 1) est vraie.
· Conclusion :
Pour tout n N il existe un polynôme pn de degré n-1 tel
que l'on ait, pour tout x R, f (n) (x) = pn (x) exp -x2 .
I.1.3 D'après le résultat de la question I.1.1, f est impaire, donc f (n) est
une fonction impaire (respectivement paire) lorsque n est un entier pair
(respectivement un
entier impair). De plus, par définition de pn et grâce à la propriété de
l'exponentielle,
pn (x) = f (n) (x) exp(x2 )
x R
Ainsi, pn apparaît comme le produit de f (n) par la fonction paire x 7 exp x2 .
Mais
alors pn et f (n) ont même parité et par conséquent,
La fonction pn est une fonction paire si n est impair et impaire si n est pair.
I.1.4 Comme t 7 exp -t2 est à valeurs positives, f est croissante. De plus, pour
tout x dans [ 1 ; + [ on peut appliquer la relation de Chasles pour obtenir :
Z x
Z 1
f (x) =
exp -t2 dt +
exp -t2 dt
1
0
Par ailleurs, la croissance de l'exponentielle impose que
t > 1,
t2 > t = exp -t2 6 exp(-t)
Z 1
Z x
2
d'où
f (x) 6
exp -t dt +
exp (-t) dt
0
|1
{z
}
exp(-1)-exp(-x)
Z 1
6
exp -t2 dt + exp(-1)
0
Le majorant obtenu étant indépendant de x, ceci montre que f est majorée sur
l'intervalle [ 1 ; + [. Puisque f est
f admet alors une limite en +, ce qui
Z croissante,
+
signifie que l'intégrale impropre
exp -t2 dt est convergente et que
0
lim f (x) = =
x+
Z
0
+
exp -t2 dt
Incidemment, ceci montre que la fonction g : t 7 exp -t2 à valeurs positives est
intégrable sur [ 0 ; + [. C'est un fait qui sera utile pour la résolution de
plusieurs
questions à venir.
+
On rappelle
Z +ici qu'une fonction g est dite intégrable sur [ 0 ; [ lorsque
Z + l'intégrale
|g(t)| dt est convergente ; on dit alors que l'intégrale
g(t) dt
0
0
est absolument convergente. Un résultat du cours assure qu'en cas d'absolue
