CCP Maths 1 PSI 2013

Thème de l'épreuve Étude de plusieurs intégrales à paramètre
Principaux outils utilisés intégrales à paramètre, intégrales curvilignes, théorème de Fubini, développements en série entière
Mots clefs intégrales doubles, intégrale de Gauss, intégrale de Wallis

Corrigé

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SESSION 2013 PSIM102 .î- CONCOURS COMMUNS -=- POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures N .B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les calculatrices sont autorisées. Notations : On note : . N l'ensemble des entiers naturels. . R l'ensemble des réels et R+ l'intervalle [O, +oo[. Pour tout entier naturel n on note n! la factorielle de n avec la convention O! = 1. Objectifs : L'objet de ce problème est d'expliciter la valeur d'une fonction (notée rl) définie par une intégrale. Dans la partie 1, on étudie une fonction f et l'on propose un procédé de calcul de la limite de f en +00. La partie II est consacrée à l'étude de deux fonctions (notées h et go) qui seront utilisées dans la partie 111. 1/4 Partie I Etude d'une fonction et de sa limite 1.1 Etude de la fonction f On note f la fonction définie sur R par : f(a:) : / exp(--t2) dt : / e_t2 dt. 0 0 1.1.1 Montrer que f est une fonction impaire dérivable sur R. 1.1.2 Montrer que f est indéfiniment dérivable sur R. Pour tout entier n E N *, on note f(") la dérivée n-ième de f . Montrer qu'il existe une fonction polynôme p... dont on précisera le degré, telle que pour tout a: E R : f(n)(âî) : pn(a:) exp(--a:2) . 1.1.3 Que peut-on dire de la parité de pn'? 1.1.4 Démontrer que f admet une limite finie en +oo (on ne demande pas de calculer cette limite). Dans toute la suite du problème, on note A cette limite. 1.2 Développement en série de f +00 2n--l--l 33 1.2.1 Montrer que pour tout a: E R, on a f(æ) : (--l)"--. nî=:0 n!(2n + 1) 1.2.2 Expliciter pn (0). 1.3 Calcul de A Pour tout entier n, on note : 7r/2 Wn : / cos" a: da:. 0 1.3.1 Montrer que pour tout réel u, on a e" 2 l + u. 1.3.2 Soit n un entier naturel non nul. Montrer que : {(l--u)"îe_nu si u --1 2/4 1.3.3 Démontrer que pour tout entier 72 non nul, on a : 1 n +00 2 +00 dâÎ / (l -- 232) da: £ / e_""' da: £ / _2n. 0 0 0 (1 +33 ) 1.3.4 En déduire que pour tout 72 E N* : A Wn < _ < Wn_ . 2 +1 _ \/ñ _ 2 2 TF En admettant que Wn +f:Ô . /--n, calculer A. Partie II Etude de deux fonctions II.1 Etude de la fonction h II.1.1 Justifier l'existence, pour tout réel (9, de l'intégrale : +oo h(b) : / cos(2bt) exp(--t2) dt. 0 On note au la forme différentielle définie sur R2 par : w(a:, y) : e_(oe2_92) (cos(2oey)dæ + sin(2æy)dy) . II.1.2 La forme différentielle w est-elle exacte sur R2 '? II.1.3 Etant donnés deux réels strictement positifs & et b, on note P le pavé de R2 défini par : 0 S a: S a et 0 5 y 5 b. On note v le bord de P orienté dans le sens trigonométrique. Quelle est la valeur de l'intégrale curviligne / w '? v II.1.4 En évaluant l'intégrale curviligne de au le long des segments qui forment v, déterminer h(b) en fonction de b et A. 11.2 Etude de la fonction 90 II.2.1 Montrer que l'on définit une fonction 90 paire et continue sur R en posant : +00 332 g0(a:) : / exp <--t2 -- t_2) dt. 0 II.2.2 Montrer que 90 est de classe C1 sur ]0, +oo[. 3/4 II.2.3 Déterminer une constante oz telle que pour tout a: EUR]O, +oo[ on ait : @'(ff) = W(æ). II.2.4 Expliciter gp(a:) pour a: EUR]O, +oo[, puis pour a: E R. Partie III Calcul d'une intégrale III.1 Etude de la fonction @ III.1.1 Vérifier que l'on définit une fonction tb, continue sur R, paire en posant : @@") : /Û+OO cos(2æt) dt. 1+fi III.1.2 Calculer @ (0). 111.2 Soit p E N * et jp la fonction définie sur R par : jp(a:) : /Ûpyexp (-- (l + 332) f) dy. Montrer que ( jp) pEURN est une suite de fonctions continues qui converge simplement sur R. Expliciter sa limite. III.3 Désormais, & désigne un réel. Soit n E N * et kn fonction définie sur R+ par : kn(y) : /Û yexp (--y2æ2) cos(2aæ) da:. Montrer que (kn)nEURN* est une suite de fonctions continues qui converge simplement sur R+. Expliciter sa limite. III.4 Soit un,p : / jp(a:) cos(2aæ) da: avec 71 E N* etp E N*. 0 III.4.1 Justifier l'existence de lim un,p et l'expliciter sous forme d'une intégrale. p-->--l--oo p III.4.2 Montrer que un,p : / kn(y) exp (--y2) dy. 0 111.5 Justifier l'intégrabilité sur [D, +oo[ de la fonction y v--> kn(y) exp (--y2). III.6 Calculer @ (33). Fin de l'énoncé 4/4 IMPRIMERIE NATIONALE -- 131169 -- D'aprèsdocumentsf0urnis

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 CCP Maths 1 PSI 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Yvon Vignaud (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l'université) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet en trois parties a pour but d'étudier une fonction définie par une intégrale dépendant d'un paramètre. Hormis la définition de la constante , la première partie n'a pas d'influence sur les deux autres ; la troisième en revanche dépend des résultats obtenus dans la deuxième. · Dans la première partie, on calcule l'intégrale de Gauss définie par Z + = exp -t2 dt 0 Pour cela, on étudie une primitive de t 7 exp -t2 afin d'encadrer sa limite en + au moyen d'intégrales de Wallis (Wn )nN . La valeur de s'obtient alors en admettant un équivalent de Wn fourni par l'énoncé. · Dans la seconde partie, on étudie deux nouvelles fonctions définies par des intégrales à paramètre, Z + Z + x2 2 cos(2bt)e-t dt et : x 7 exp -t2 - 2 dt h : b 7 t 0 0 En calculant l'intégrale curviligne d'une forme différentielle particulière sur des rectangles de longueur arbitrairement grande, on parvient à expliciter h. L'étude de la fonction est plus classique : grâce au théorème de dérivation sous le signe intégrale, on s'aperçoit que satisfait une équation différentielle linéaire d'ordre 1, que l'on résout pour exprimer à l'aide de fonctions usuelles. · La troisième partie se consacre à l'étude, plutôt technique, de l'intégrale à paramètre Z + cos(2xt) dt (x) = 1 + t2 0 Grâce au théorème de convergence dominée, la quantité (x) peut s'interpréter comme une intégrale double sur un rectangle arbitrairement grand ; une interversion de l'ordre d'intégration montre alors qu'elle s'exprime en fonction de et de la fonction de la deuxième partie. La résolution de ce problème requiert de maîtriser des théorèmes de régularité des intégrales à paramètre ainsi que le théorème de convergence dominée pour les suites de fonctions ; par ailleurs, on y voit apparaître les intégrales de Gauss et de Wallis qui font souvent l'objet de questions aux concours. L'originalité de ce sujet, et peut-être l'une de ses difficultés, réside dans la combinaison de ces classiques avec des points du programme plus rarement abordés, comme les intégrales doubles et les intégrales curvilignes de formes différentielles. Indications Partie I I.1.1 I.1.2 I.1.3 I.1.4 I.2.1 I.2.2 I.3.1 I.3.2 I.3.3 I.3.4 Voir f comme une primitive. Raisonner par récurrence en montrant que deg pn = n - 1. Déterminer la parité de f (n) en utilisant le résultat de la question I.1.1. Comparer t 7 exp -t2 avec la fonction t 7 exp(-t) intégrable sur R+ . Appliquer le développement en série entière de z 7 exp(z) en z = -t2 , puis intégrer terme à terme. Utiliser la relation entre les coefficients du développement en série entière de f et les f (n) (0). On pourra distinguer les cas selon que n est pair ou impair. Utiliser la convexité de l'exponentielle ou étudier la fonction x 7 ex - (x + 1). Appliquer le résultat de la question I.3.1 à -u pour établir la première des deux inégalités. Appliquer les inégalités de la question I.3.2 à u = x2 avant de les intégrer. Exprimer W2n+1 et W2n-2 en fonction des intégrales de la question I.3.3 à l'aide des changements de variables u = sin x et u = tan x respectivement. Partie II II.1.1 Comparer cos(2bt) exp -t et exp -t2 . II.1.2 Montrer que est une forme différentielle fermée sur R2 , puis utiliser le théorème de Poincaré. II.1.3 Utiliser le résultat de la question II.1.2 et le fait que est une courbe fermée. II.1.4 Après avoir calculé l'intégrale sur chaque segment du rectangle, utiliser la réponse à la question II.1.3 puis faire tendre a vers l'infini. II.2.1 Appliquer le théorème de continuité des intégrales à paramètre. II.2.2 Montrer en utilisant le théorème de dérivation sous le signe intégrale que est de classe C 1 sur tout segment de la forme [ ; A ] où 0 < < A. II.2.3 Exprimer (x) comme une intégrale puis la reformuler en effectuant le changement de variable u = x/t. II.2.4 Résoudre l'équation différentielle établie à la question II.2.3. Utiliser la parité et la continuité de pour étendre le résultat sur R. 2 Partie III III.1.1 Appliquer le théorème de continuité sous le signe intégrale. III.2 Calculer explicitement jp (x) au moyen d'une primitive. III.3 Appliquer le théorème de continuité sous le signe intégrale à la fonction Z n n : y 7 exp -x2 y 2 cos(2ax) dx 0 III.4.1 Appliquer le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions (fp )p où fp : x 7 jp (x) cos(2ax). III.4.2 Réécrire un,p comme une intégrale double puis utiliser le théorème de Fubini. III.5 Montrer que |kn (y)| 6 pour tout n N et tout y R+ . III.6 Appliquer le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions (qn )n où qn : y 7 kn (y) exp -y 2 . I. Étude d'une fonction et de sa limite I.1 Étude de la fonction f I.1.1 En tant que composée de la fonction exponentielle et d'une fonction polyno2 miale, toutes deux continues sur R, l'application g : t 7 e-t est continue sur R. De plus, par construction, f est la primitive de g sur R qui s'annule en 0. Ainsi, f est dérivable sur R. Enfin, en utilisant la relation de Chasles puis le fait que g est paire Z -x Z 0 Z x x R f (-x) = g(t) dt = - g(t) dt = - g(t) dt = -f (x) 0 Autrement dit, -x 0 f est impaire. Notons que toute primitive d'une fonction impaire est paire, mais que parmi les primitives d'une fonction paire, la primitive qui s'annule en 0 est la seule qui soit impaire. On retrouve donc dans la question ci-dessus que la fonction f est impaire en tant que primitive s'annulant en 0 d'une fonction paire. Réciproquement, la dérivée d'une fonction paire (respectivement impaire) est toujours impaire (respectivement paire). I.1.2 D'après le raisonnement effectué à la question précédente, on sait que f est dérivable et que x R f (x) = exp -x2 Ainsi f = g est la composée d'une fonction polynomiale et de l'exponentielle, ce qui entraîne que f est de classe C sur R. Pour le dire autrement, f est indéfiniment dérivable sur R. Montrons maintenant par récurrence sur n N la propriété ( deg pn = n - 1 P(n) : pn R[X] tel que x R f (n) (x) = pn (x) exp -x2 · P(1) : Prenons p1 le polynôme constant égal à 1. Alors p1 est de degré 0 et x R f (x) = exp -x2 = p1 (x) exp -x2 ce qui démontre P(1). · P(n) = P(n + 1) : soit n > 1 fixé et supposons que P(n) soit vraie. Cette propriété exprime f (n) comme un produit de deux fonctions dérivables ; grâce à la formule de dérivation d'un produit, il vient que pour tout x R, f (n+1) (x) = f (n) (x) = pn (x) exp -x2 + pn (x)(-2x) exp -x2 f (n+1) (x) = [pn (x) - 2xpn (x)] exp -x2 Comme pn est un polynôme de degré n - 1, sa dérivée pn est polynomiale de degré n - 2, et l'application x 7 -2xpn (x) est polynomiale de degré n. De ceci, il vient que pn+1 : x 7 pn (x) - 2xpn (x) est bien une fonction polynomiale de degré n et on a vu que x R f (n+1) (x) = pn+1 (x) exp -x2 ce qui montre que P(n + 1) est vraie. · Conclusion : Pour tout n N il existe un polynôme pn de degré n-1 tel que l'on ait, pour tout x R, f (n) (x) = pn (x) exp -x2 . I.1.3 D'après le résultat de la question I.1.1, f est impaire, donc f (n) est une fonction impaire (respectivement paire) lorsque n est un entier pair (respectivement un entier impair). De plus, par définition de pn et grâce à la propriété de l'exponentielle, pn (x) = f (n) (x) exp(x2 ) x R Ainsi, pn apparaît comme le produit de f (n) par la fonction paire x 7 exp x2 . Mais alors pn et f (n) ont même parité et par conséquent, La fonction pn est une fonction paire si n est impair et impaire si n est pair. I.1.4 Comme t 7 exp -t2 est à valeurs positives, f est croissante. De plus, pour tout x dans [ 1 ; + [ on peut appliquer la relation de Chasles pour obtenir : Z x Z 1 f (x) = exp -t2 dt + exp -t2 dt 1 0 Par ailleurs, la croissance de l'exponentielle impose que t > 1, t2 > t = exp -t2 6 exp(-t) Z 1 Z x 2 d'où f (x) 6 exp -t dt + exp (-t) dt 0 |1 {z } exp(-1)-exp(-x) Z 1 6 exp -t2 dt + exp(-1) 0 Le majorant obtenu étant indépendant de x, ceci montre que f est majorée sur l'intervalle [ 1 ; + [. Puisque f est f admet alors une limite en +, ce qui Z croissante, + signifie que l'intégrale impropre exp -t2 dt est convergente et que 0 lim f (x) = = x+ Z 0 + exp -t2 dt Incidemment, ceci montre que la fonction g : t 7 exp -t2 à valeurs positives est intégrable sur [ 0 ; + [. C'est un fait qui sera utile pour la résolution de plusieurs questions à venir. + On rappelle Z +ici qu'une fonction g est dite intégrable sur [ 0 ; [ lorsque Z + l'intégrale |g(t)| dt est convergente ; on dit alors que l'intégrale g(t) dt 0 0 est absolument convergente. Un résultat du cours assure qu'en cas d'absolue