CCP Maths 1 PSI 2011

Thème de l'épreuve Étude d'une série. Limite d'une intégrale.
Principaux outils utilisés analyse, séries, intégrale à paramètre, analyse de Fourier
Mots clefs intégrale dépendant d'un paramètre, séries de Fourier

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                 

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
     

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2011 PSIM102 A CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les calculatrices sont autorisées Le sujet comporte 6 pages. Notations On note : |z| le module du nombre complexe z , ] un intervalle de [O,--Fool , f une fonction définie sur ] à valeurs dans R ou (C , g une fonction définie sur [O,+oo[ à valeurs dans R ou C . Sous réserve de son existence on note : Îg (x) = f f (t) g(xt)dt pour x EUR ]O,+oo[. ] Chaque fois qu'aucune confusion ne sera possible, on notera Î (x) au lieu de À (x) . Objectifs Pour différentes hypothèses sur la fonction f, sur l'intervalle J et pour deux choix de la fonction g, on se propose de déterminer la limite de À (x) lorsque le nombre réel x tend vers +oo . Dans la partie 1, on étudie un exemple explicite avec application à des calculs de sommes de séries. Dans la partie II, on considère une fonction f définie sur [O,+oo[ à valeurs réelles et l'objectif est d'obtenir la limite en +00 de Îg(x) lorsque g(t)= \sin(t) ,lorsque f est de classe C ' ou lorsque f est continue par morceaux. PARTIE I Une étude de séries 1.1. Étude de la fonction L k +oo k , , . .. 1 x 1 x Pour tout x reel tel que la serre entiere 5 (--1)" [? converge, on note L(x) : ê (-- 1)k 1Î sa [(à] k=l somme . 1.1.1. Préciser le rayon de convergence de cette série entière, montrer que la fonction L est définie sur l'intervalle ]-- 1,1] et expliciter L(x) pour x appartenant à ]-- 1,1[ . 1.1.2. Montrer, avec soin, que la fonction L est continue sur l'intervalle [0,1] . En déduire que L(l) : ln(2) (où ln désigne la fonction logarithme népérien). I ..2 Étude de la sérieZ% cos [ 2--k7T] [(>] 3 On considère la suite (ak ) keN. définie par : Pourtout EN*'a =--£ et ourtout EURN'd -- ] eta -- 1 p -- 3p p P ' 3p+l 3p+1 3[7+2 3p+2' 3P 1.2.1. Montrer que : 3zpak= Ë%= _Î_h k=l k=p+lk ph=11+_ p 1.2.2. Déterminer la limite de la somme Zak lorsque [9 tend vers +oo (on pourra k=l 1 considérer la fonction qui à t associe -- sur un intervalle convenable). En déduire la 1 + t convergence de la série Ê ak et préciser sa somme. k21 1.2..3 En déduire que la série 2% cos [<>] 2k7r 3 --] converge et montrer que sa somme est égale à 11%]- 1.3. Étude des séries 2 cos(ka) sin(ka) k et z k kZl k21 Pour te ]0,277[et n E N* , on note: g0(t) = .1 et S (t) = Ze"" . en _ 1 " On désigne par a un nombre réel fixé dans l'intervalle ]0,27r[. Pour simplifier l'écriture des démonstrations, on supposera que W 5 a < 27r . Dans cette partie, on désigne par f une fonction continue par morceaux sur l'intervalle [0,+oo[ a 1.3.1. Montrer que S" (t) = 90 (t)[e"""" -- e"] . 1.3.2. Montrer que la fonction ça est de classe C1 sur le segment [7r,a] . (1 1.3.3. Montrer que l'intégrale ] Ve"""" 0, il existe un réel positif A tel que f | f (t)| dt 5 5 . A [xr A 11.2.2. Le nombre réel A étant fixé, montrer que l'intégrale f f (t)e dt tend vers zéro 0 lorsque le nombre réel x tend vers +oo (on pourra utiliser une intégration par parties). +00 1123. En déduire la limite de Îg(x)= f (t)e'" dt lorsque le nombre réel x tend 0 vers +oo . Dans toute la suite du problème, on suppose que g(t) : |sin(t)l et on note simplement : f(x) = L+xf(t)lsin(xt)ldt . 11.3. Étude pour une fonction f particulière On suppose (dans cet exemple) que f désigne la fonction E définie par E (t) = e*' pour t E [O,+oo[ +00 et donc Ë(x)=f eÎ'|sin(xt)|dt pour xEUR]0,+oo[. 0 7l' 11.3.1. Pour 7 E R , calculer l'intégrale ()(fy) : f e" sin (y)dy . 0 II.3.2. Montrer que pour x E ]O,+oo[ : ... 1 +00 Îï E(x)=--f e X sin(u)ldu. x () (k+l)7r ÎË II.3.3. Exprimer pour tout k EUR Net pour toutxEUR R* , l'intégrale f e x k7r sin (u)ldu en J'l fonction de e *" et de 9(7) pour un 7 convenable. km" 1134. Justifier, pour x E l0,+oo[ ,la convergence de la série Ze " ; k20 +oc -- kl préciser sa somme E e -* . k=0 11.3.5. Expliciter Ë(x) pour xEUR]0,+oo[. Déterminer la limite de Ë(x) lorsque x tend vers +oo . 11.4. Étude générale On désigne de nouveau par f une fonction quelconque continue par morceaux sur l'intervalle +oo [O,--Fool telle que l'intégrale généralisée f | f (t)ldt converge et on note : 0 Î(x)= fo+oef(t)lsin(xt)ldt pour xEUR}0,+oo[. Il.4.1. Lemme préliminaire cos(2kt) +°° cos(2kt) --conver e,on ose h t = _ [(=] Pour tout tréel tel que la série Z . Montrer k21 que la fonction il est définie et continue sur R . Justifier l'égalité : Vt @ R, sin(t)l = Ê--Îh(r) . 7T 7l' Il.4.2. Limite de f (x) dans le cas C1 On suppose de plus que fest une fonction de classe C ' sur l'intervalle [0,+oo[. En utilisant les résultats obtenus en 112 et Il.4.l , déterminer la limite de Î (x) lorsque le réel x tend vers +oo . Le résultat est--il conforme avec celui obtenu pour la fonction E ? 11.4 .3. Cas d'une fonction continue par morceaux II.4.3.1. Une limite Étant donnés deux nombres réels fiet 6tels que 0 S 5 < 6, on considère l'intégrale 5 '.r F(x) : [ lsin(xt)|dt pour x E l0,+oo[ . Montrer que F(x) : if!) sin(u)l du . /3 _X x . ... x . ... 6x 7r On pose p la partie ent1ere de --et 61 la partie ent1ere de -- . Pourx > 7r W 5--5 , donner un encadrement de F (x) en fonction de p, q et x. 2 En déduire que F (x) tend vers--(ô -- 5) lorsque le nombre réel x tend vers +oo . 71" 11.432. Limite de f (x) dans le cas d'une fonction continue par morceaux Si J est un intervalle de [O,+oo[ et si f est une fonction continue par morceaux sur J à valeurs réelles et telle que l'intégrale ] \ f (t)l dt existe, on note toujours : ] Î (x) = f f(t)lsin(xt)l dt . J Quelle est la limite de Î (x) lorsque le réel x tend vers +oo : -- lorsque ] est un segment de [O,+oo[ et f une fonction en escalier ? -- lorsque ] est un segment de [O,+oo[ et f une fonction continue par morceaux ? -- lorsque ] : [0,+oo[ et f est une fonction continue par morceaux ? Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Maths 1 PSI 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Baptiste Morisse (ENS Cachan) ; il a été relu par Pierre-Elliot Bécue (ENS Cachan) et Gilbert Monna (professeur en CPGE). Le sujet est constitué de deux parties indépendantes, l'une portant sur la convergence et le calcul de la somme de deux séries trigonométriques, l'autre sur le calcul de la limite d'une intégrale dépendant d'un paramètre. P · La première partie concerne l'étude de la série (1/k) cos(k), pour dans l'intervalle [ ; 2 [. L'objectif est de démontrer la convergence de cette série et d'en calculer la somme. On commence par étudier une fonction L, définie par une série entière, dont la valeur en 1 intervient dans le calcul de la somme. Ensuite, on étudie le cas particulier = 2/3, à l'aide d'une méthode spécifique. n P Enfin, en utilisant la somme partielle e ikt on montre pas à pas la convergence k=1 de la série, dont on calcule la somme à l'aide du premier point. Cette partie ne présente pas de difficulté majeure. En suivant les indications de l'énoncé, et en connaissant bien son cours sur les séries, on peut la traiter rapidement. Le seul point délicat est l'étude de la continuité de L en une extrémité du domaine de convergence. · La deuxième partie se penche sur la limite lorsque x tend vers + d'une intégrale à paramètre du type Z + f (t)g(xt) dt feg (x) = 0 avec f intégrable sur R+ . On considère dans un premier temps l'existence de feg (x) pour g bornée. Ensuite, on calcule la limite de feg (x) pour g(t) = e it . Puis, dans toute la suite du problème, on se concentre sur le cas g(t) = |sin(t)|. On explicite alors feg = fe pour la fonction f (t) = e -t , et on calcule sa limite en +. Après deux lemmes intermédiaires, on calcule la limite de fe(x) dans le cas où f est C 1 , puis dans le cas général. Cette deuxième partie est beaucoup plus longue, et comporte des questions sensiblement plus difficiles que la précédente car moins guidées, en particulier la dernière question du sujet. Globalement, les questions s'enchaînent bien et les indications de l'énoncé permettent de répondre sans obstacle majeur. En revanche, deux questions très longues demandent du recul, et peuvent bloquer même les candidats les mieux préparés. Indications Partie I I.1.1 I.1.2 I.2.2 I.2.3 Penser à une série de Taylor. Montrer que la série qui définit L est uniformément convergente sur [ 0 ; 1 ]. Utiliser une somme de Riemann. Poser bk = 1/k cos (2k/3) et calculer b3p , b3p+1 et b3p+2 . Z cos(t/2) ik ik I.3.6 Utiliser cos(k) = Re e et sin(k) = Im e . Puis calculer dt. sin(t/2) Partie II II.2.3 Fixer d'abord , puis A, et découper l'intégrale en deux pour utiliser les deux questions précédentes. II.3.1 Faire deux intégrations par parties successives. II.3.3 Appliquer le changement de variable u = x + k. II.3.4 Montrer que e -/x < 1 pour x > 0. II.4.1 Après avoir noté que |sin| est -périodique et paire, la décomposer en série de Fourier. II.4.2 Attention : par « les résultats obtenus en II.2 » il faut comprendre « le schéma de la démonstration de la question II.2 » en remplaçant la fonction e it par h. Montrer ainsi que Z + lim f (t)h(xt) dt = 0 x+ 0 II.4.3.2 Dans le premier point, utiliser la linéarité de l'intégrale pour se ramener au cas où f est constante. Montrer alors que Z Z 2 lim f (t) |sin(xt)| dt = f (t) dt x+ J J Pour le deuxième point, penser à l'approximation des fonctions continues par morceaux par les fonctions en escaliers, pour utiliser le premier point. En se ramenant à la définition « epsilonnesque » de la limite, montrer à nouveau que Z Z 2 lim f (t) |sin(xt)| dt = f (t) dt x+ J J Enfin, pour le dernier point, utiliser la question II.2.1 pour se ramener à un segment [ 0 ; A ] et ainsi utiliser le point précédent. Les conseils du jury Dans le rapport de l'épreuve, le jury note que « l'épreuve couvrait une large part du programme » et qu'il donnait ainsi l'occasion de connaître « le niveau d'assimilation de nombreuses notions d'analyse ». En particulier, il s'étonne fortement « d'énormes faiblesses lors de l'utilisation des inégalités et des nombres complexes : environ un quart des candidats considèrent une relation d'ordre sur C ! ! » Enfin, rappelons qu'une présentation soignée est très appréciée des correcteurs, notant que « la plupart des candidats [ont] fait un effort pour rendre leur copie agréable à lire ». I. Une étude de séries I.1. Étude de la fonction L I.1.1 Utilisons la règle de d'Alembert pour calculer le rayon de convergence de cette série. Soit x 6= 0. Comme (-1)k xk+1 k k = |x| ---- |x| k (-1)k-1 xk (k + 1) k+1 k > 1 on conclut que la série est convergente pour |x| < 1 et divergente pour |x| > 1. Ainsi, Le rayon de convergence de la série entière est 1. La fonction L est donc définie au moins sur l'intervalle ouvert ] -1 ; 1 [. Elle est aussi définie en 1, car la série de terme général (-1)k /k est convergente : c'est une série alternée dont la valeur absolue du terme général, ici 1/k, décroît et tend vers 0. Par suite, La fonction L est définie sur ] -1 ; 1 ]. Cette série est connue : c'est le développement en série entière de la fonction x 7- ln(1 + x) sur l'intervalle ] -1 ; 1 [. Ainsi, x ] -1 ; 1 [ L(x) = ln(1 + x) Si on a oublié le développement en série entière de ln, on peut le retrouver à partir du développement x ] -1 ; 1 [ + P k 1 = x 1 - x k=0 qui est très facile à retenir : c'est la somme géométrique de raison x. L'autre développement à connaître est celui de l'exponentielle : P xk k=0 k! + x R ex = À l'aide de ces deux développements, on peut retrouver quasiment tous les autres développements en série entière, par dérivation, intégration ou autre. I.1.2 Pour montrer la continuité de L sur [ 0 ; 1 ], utilisons le fait que la série de terme général (-1)k-1 xk /k est alternée et que le module du terme général décroît et tend vers 0 pour x [ 0 ; 1 ]. On peut alors utiliser la majoration classique du module du reste d'ordre n par son premier terme : x [ 0 ; 1 ] c'est-à-dire n > 1 Sup x[ 0 ;1 ] L(x) - L(x) - n (-1)k-1 xk P xn+1 1 6 6 k n+1 n+1 k=1 n (-1)k-1 xk P 1 6 k n + 1 k=1 et donc lim n+ Sup L(x) - x[ 0 ;1 ] n (-1)k-1 xk P =0 k k=1 ce qui démontre la convergence uniforme de la série entière sur [ 0 ; 1 ], et ainsi La fonction L est continue sur [ 0 ; 1 ]. Comme L coïncide avec la fonction ln(1 + x) sur [ 0 ; 1 [, par continuité à gauche en 1, L(1) = ln(1 + 1) = ln(2) Il faut bien noter qu'une série entière de rayon de convergence R > 0 est continue sur l'intervalle ouvert ] -R ; R [, mais on ne sait rien a priori sur la continuité de la série entière au bord de cet intervalle. Il faut alors faire une étude plus précise en un point du bord. Le rapport du jury note que les candidats « ont rarement su montrer la convergence uniforme de la série de fonctions sur [ 0 ; 1 ] » et qu'ils se sont contentés d'établir « la convergence uniforme de la série sur tout segment de [ 0 ; 1 [ », ce qui ne justifie aucunement la continuité de L en 1. I.2 Étude de la série P1 cos k>1 k I.2.1 Pour tout p entier non nul 3p p P P ak = k=1 = k=1 p P k=1 = 3p P k=1 ak = 2k 1 1 2 + - 3k - 2 3k - 1 3k 3 1 1 1 1 + + - 3k - 2 3k - 1 3k k p 1 3p 1 P P - k=1 k k=1 k 3p 1 P k=p+1 k En translatant l'indice k de p, c'est-à-dire en remplaçant k par p + h et en sommant de h = 1 à 2p on obtient 2p 3p X P 1 ak = p + h k=1 h=1 et ensuite en factorisant par p au dénominateur, on obtient la deuxième égalité 3p P k=1 2p ak = 1X 1 p 1 + h/p h=1 1 sur l'intervalle [ 0 ; 2 ]. Alors, 1+t 2p 2p 3p P 1X 1 2 - 0X 2-0 ak = = f 0+h p 1 + h/p 2p 2p k=1 I.2.2 Notons f la fonction définie par f (t) = h=1 h=1