CCP Maths 1 PSI 2010

Thème de l'épreuve Interpolation polynomiale
Principaux outils utilisés fonctions réelles d'une variable réelle, polynômes, applications linéaires continues
Mots clefs interpolation, polynômes interpolateurs de Lagrange

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 20 10 PSIM 102 A CONCOURS COMMUN!» FOLYÎ!CNNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. **** Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', ille signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu "il a été amené à prendre. **** Le sujet comporte 8 pages. Cette épreuve porte sur l'interpolation polynômiale d'une fonction et comprend trois parties. Dans la première partie, on définit des polynômes d'interpolation. Dans la deuxième partie, on étudie une fonction. définie sur un segment. La troisième partie conduit à une formule barycentrique. . On désigne par N l'ensemble des entiers naturels, par N" l'ensemble N privé de 0 et par Æ l'ensemble des nombres réels. . Dans tout le problème, on désigne par n un entier naturel., n .>. 2. - Etant donné deux entiers naturels m S n, on note [[m,n]] l'ensemble des entiers naturels [( tels que m S [( S n. - On note Æn [)fl l'ensemble des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à n. Pour simplifier l'écriture, lorsque P est un polynôme de RH [X] , on notera de la même façon P la fonction polynôme associée. - Étant donné un intervalle [ de R et un entier naturel p, on note C " (] ,Æ') le R ---- espace vectoriel. des fonctions f définies sur I à valeur dans Æ' , p fois dérivables sur I et à dérivée p--ième, notée f... , continue sur I . Le Æ -- espace vectoriel des fonctions continues de I dans Æ est, quant à lui. noté C(1,Æ'). Lorsque ] est le segment [a, b], on considère sur l'espace vectoriel C ([a, b] ,Æ') la norme N,, définie par: f(x)! ; xe [a,b]}. . On note [Ink le produit des termes uk pour l'entier [( décrivant l'ensemble indiqué. pourtout fe C([a,b] ,Æ):Næ(f)m5up{ 121 P 171! l'entier ------------------ . ) p!(m-- p)! o Pour 117 et p dans N avec p.<.m, on note ( SESSION 20 10 PSIM 102 A CONCOURS COMMUN!» FOLYÎ!CNNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. **** Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', ille signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu "il a été amené à prendre. **** Le sujet comporte 8 pages. Cette épreuve porte sur l'interpolation polynômiale d'une fonction et comprend trois parties. Dans la première partie, on définit des polynômes d'interpolation. Dans la deuxième partie, on étudie une fonction. définie sur un segment. La troisième partie conduit à une formule barycentrique. . On désigne par N l'ensemble des entiers naturels, par N" l'ensemble N privé de 0 et par Æ l'ensemble des nombres réels. . Dans tout le problème, on désigne par n un entier naturel., n .>. 2. - Etant donné deux entiers naturels m S n, on note [[m,n]] l'ensemble des entiers naturels [( tels que m S [( S n. - On note Æn [)fl l'ensemble des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à n. Pour simplifier l'écriture, lorsque P est un polynôme de RH [X] , on notera de la même façon P la fonction polynôme associée. - Étant donné un intervalle [ de R et un entier naturel p, on note C " (] ,Æ') le R ---- espace vectoriel. des fonctions f définies sur I à valeur dans Æ' , p fois dérivables sur I et à dérivée p--ième, notée f... , continue sur I . Le Æ -- espace vectoriel des fonctions continues de I dans Æ est, quant à lui. noté C(1,Æ'). Lorsque ] est le segment [a, b], on considère sur l'espace vectoriel C ([a, b] ,Æ') la norme N,, définie par: f(x)! ; xe [a,b]}. . On note [Ink le produit des termes uk pour l'entier [( décrivant l'ensemble indiqué. pourtout fe C([a,b] ,Æ):Næ(f)m5up{ 121 P 171! l'entier ------------------ . ) p!(m-- p)! o Pour 117 et p dans N avec p.<.m, on note ( PARTIE I Dans cette partie, on considère n + 1 nombres réels, deux à deux. distincts, notés XO , Xl ,..., X et 179 on définit la forme bilinéaire B sur C (111,11?) par : pourtout (fig) EUR C(Æ',Æ) X C(Æ',Æ'), B(IÏg)=--" Î f(x;)g(x,) . i=--=0 Pour k entier, ke [[O,n]], on définit les polynômes Lk de Æ,,[X] par : Lk(X) x H X-- Xi . i=0 Xk "" Xi i$k I.]. Définition d'une structure euclidienne sur [& [ X ] . 1.1.1. Justifier rapidement l'affirmation : B définit un produit scalaire sur R,,[X] mais pas sur C {R,}? ) . 1.1.2. Pour j et [{ entiers de {[O,n]], calculer L, (Xj). Montrer que la famille (Lk),pour ke [[O,n]], est une base orthonormale de l'espace euclidien 1? [X ] pour le Il produit scalaire B. 1.2. Définition de 3 ( f ) . A toute fonction )" appartenant à C (Æ,]Æ ) on associe le polynôme PH ( f ) défini par : aWîÆ<...æ i=0 1.2.1. Pour toutke {[O,nfl, exprimer B( f , Lk)en fonction de f (Xk). En déduire que P( f) vérifie P(.f)(xk)= f(xk) pourtoutke[[0,nfl. !? !] 1.2.2. Montrer quelî( f ) est l'unique polynôme Pe Rn[X] , vérifiant P(Xk) : f(Xk) pour tout [( EUR [[0, n]] . 1.2.3. Expliciterlä( f ) lorsque 1" & R,,[X ] . Préciser le polynôme î: Lk (X) et, pour x k==0 !? :réel, la valeur de la somme E Lk (X) . k-------0 Pour f EUR C (Æ',Æ' ) , on dira que E)( f) est le polynôme d'interpolation, de degré inférieur ou égal à n, de la fonction faux points x,,pour ie ((O, nl] . Lorsqu'auoune confusion n'est possible, on notera simplement B] au lieu de 3( f) . Dans la suite de cette partie, on considère un segment [a, b] contenant les points x,, pour 1' EUR ((O,n]]. 1.3. Une application linéaire. Soit A l'application linéaire de C ((a, b], R') dans [& [ X] définie par : pour tout fe C([a,b],Æ) : A( f) : P],( f). On considère l'espace vectoriel C ((a, b], Æ')muni de la norme Næ. En identifiant tout polynôme de fin [X ] avec la fonction polynôme associée, on munit également RH [ X ] de la même norme N°° . On définit la norme subordonnée à la norme N,,° de l'application linéaire A par : ||A||zsup{Noe(A(f)) ; N (f)£l}. On note (I) la fonction appartenant à C ((a, b] ,Æ')q)( , définie par : pourtout te[ [a,]b )=Ê|L,t() 1.3.1. Justifier l'inégalité : "A" 5 N,( ().: 1.3.2. Montrer qu'il existe un nombre réel 76 [a, b] tel que N,° ((D) : CD(Z'). 1.3.3. Soitre [a,b] tel que N ((D ):  ]. et te N .Calculer . w(t) En déduire que pour te [l,--â] , on a ço(t ------ l) ?. (p(t). II.1.4. On suppose n pair et on note n= 2 p. Montrer que ça atteint son maximum en un point de l'intervalle [0,1] en supposant d'abord que p = 1 puis p 2 2 . On admettra que pour n impair, (p atteint son maximum en un point de [0,1] . 11.2. Abscisse du maximum de la fonction ça . II.2.1. Soit teE N ,, expliciter ln(ça(t)), où ln désigne la fonction logarithme népérien ;, en ! (. !? déduire çÛ ( ) en fonction. de ----41------. (D(l') k=0 [""k II.2.2. Pour te B,l [ , déterminer le signe de la somme Z _rl-IÇ' En déduire que ça'(t) est k=2 "' strictement négatif sur l'intervalle B--,l [. . . , . , . " 1 11.23. Calculer la der1vee de la fonction defime sur ]0,1[ par : g(t) == 2 n. k=0 "" Déterminer le sens de variation de la fonction g. En. déduire que la fonction (p' s'annule en au plus un point de ]O,l[. II.Z.4. Montrer que le maximum de ça est atteint en un point et un seul de ] 0,--12-= [ , noté tn. '? Quelle est la valeur de la somme Z [ 1 k k:=0 "' !] II.3. Étude de l'abscisse tn du maximum de ça. .* . . _ . . 1. l II.3.1. On suppose [(E N ,3ust1fier l'mégahté [( t > --1-(-. En déduire une minoration de %-- . II.3.2. Prec1ser la nature de la serre Z--- . kZ1 k En déduire la limite de -Ë-- et par suite, celle de rfi lorsque n ----> +oo. II.4. Une majoration de ça . n+l '" II.4.1. Montrer l'inégalité ! --CË< ---1--. 1 [ ... k . . . 1 II.4.Z. Montrer l'inégalité tn < -----------------. ln(n + 1) . 11! 11.4.3. En déduire, que pour tout t' & [O, 17], on a la majoration ça(t) < -----(-----------)-- . lnn+1 11.5. Une majoration de N,,( f ------- P) . !) Dans cette question, on reprend. les notations de la partie I. b ------ a n Soit la, b] un segment, on note 17 x et on considère les n + 1 points équidistants X, ---...---- a + ih de [a, b] , pour 1' EUR [10,11]. X --- a [? & [O, 11]. On note T n+ 1 11.5.1. Pour X e [a, b] , on note [ = le polynôme défini en I.5. [I par T (X) : 11 (X -- X,). Exprimer |T...(X)' en fonction de h et de ç0(t). n+l 1=0 II.5.2. Soit f EUR C"" ([a,b] ,Æ) et soit B} son polynôme d'interpolation, de degré inférieur ou égal. à 11, aux points équidistants X,, pour 1' e [[0, nl] , défini en 1.2. Montrer l'inégalité : ]]n+l __ <...) (2) Næ(f R')S(n+l)ln(n+l) Næ(f ) PARTIE III On conserve les notations des parties I et II, avec en particulier des réels )ç,pour 1' EUR {ID, n]], distincts. On définit les n + 1 réels Wk =---fl-------l------, pour ke [0,17]. H(Xk '" Xi) III.]. Soit xun réel et soit kun entier de [[O, n]] . Exprimer T (X) en fonction de Lk(x) , X --- Xk et Wk. n+l III.Z. Soit f EUR: C (Æ,Æ ) et soit 1--3} son. polynôme d'interpolation, de degré inférieur ou égal à 17, aux oints x., our 1' EUR 0,17 .On su ose xdifférent de tous les X., our ie 0,17 . P ,, P PP , P Montrer l'égalité : " W 1" X (3) ... = r...Î(---1)"( 4" ] 1 ,... 2n+2k X...2k k=...g,, 2n+k X-k 7ÎX la valeur en X d'un polynôme d'interpolation de la fonction eos(--] , en des points est, pour X différent de tous les Xk , équidistants que l'on précisera. ' III.4.3. Soit X EUR [----- 217,211] et soit p la partie entière de X. 2n Montrer l'inégalité : Il k=--2n X-k| .<. (2n+ p+l)!(2n-- p)! III.4.4. Montrer que pour X fixé dans [---2n, Zn] et non entier, on a : | f(X)----Hn(X)l .<.(2n+ p+1)z(2n--p)!Ê4ËL)! =9(n, p). Quelle est la limite de t9(n, p) lorsque n tend vers +oo ? Fin de l'énoncé .

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Maths 1 PSI 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur à l'INRIA) ; il a été relu par Olivier Glorieux (ENS Lyon) et Céline Chevalier (ENS Cachan). Ce problème traite de l'interpolation polynomiale d'une fonction réelle continue d'une variable réelle. · La première partie définit des polynômes d'interpolation de Lagrange et étudie l'application linéaire qui, à une fonction f continue sur un segment [ a ; b ], associe le polynôme de Lagrange Pn interpolant f en des points x0 , . . . , xn de [ a ; b ] donnés. On montre en particulier que est un endomorphisme continu de C([ a ; b ] , R) muni de la norme infinie et l'on calcule sa norme. Lorsque f Cn+1 ([ a ; b ] , R), on prouve également une expression de l'erreur d'interpolation Pn - f . · La deuxième partie consiste en une étude de fonction dont le principal but est d'obtenir, lorsque f Cn+1 ([ a ; b ] , R), une majoration uniforme de l'erreur d'interpolation Pn - f dans le cas où les points d'interpolation sont les points équidistants xi = a + i h avec h = (b - a) /n. · Enfin, la troisième partie propose la démonstration d'une formule barycentrique pour Pn en fonction des (f (xk ))k[[ 0 ; n ]] , puis applique cette formule à l'interpolation polynomiale de la fonction x 7 cos (x/2). D'une longueur raisonnable pour une épreuve de quatre heures, ce sujet d'analyse fait la part belle au programme de première année (étude de fonction, polynômes, racines de polynômes et théorèmes des valeurs intermédiaire et de Rolle notamment) et constitue une bonne occasion de réviser cette partie du programme de mathématiques que l'on ne saurait négliger. Indications Partie I I.1.1 Étudier le caractère défini de la forme bilinéaire symétrique positive B sur les deux espaces Rn [X] et C(R, R). I.2.3 Justifier que si f Rn [X], alors Pn (f ) = f , puis n P Lk (X) = 1 k=0 I.3.1 Utiliser la question I.2.1. I.3.2 Montrer que est continue sur le segment [ a ; b ]. I.3.3 Justifier et utiliser le fait que pour tout i [[ 0 ; n ]] (xi )Li ( ) = |Li ( )| I.4.1 Penser au théorème de Rolle. I.5.1 Montrer que Pn+1 - Pn Rn+1 [X] et que x0 , . . . , xn sont racines de ce polynôme pour conclure. II.1.2 Établir que t [ 0 ; n ] (n - t) = (t) II.1.4 Utiliser (t - 1) > (t) pour t [ 0 ; n/2 ]. Partie II II.2.3 Exploiter le résultat de la question II.1.4. n P 1 =0 k=0 tn - k II.2.4 Justifier l'égalité II.3.2 Montrer que tn ----- 0. n+ II.4.3 Utiliser la définition de tn , celle de et la question précédente. II.5.1 Montrer que |Tn+1 (x)| = hn+1 (t) II.5.2 Utiliser la question I.5.3, puis la question précédente et la question II.4.3. Partie III III.2 Faire usage de la question I.2.1 et de la question précédente. III.3.1 Justifier que (-1)n-k wk = n h k! (n - k)! et wk n = (-1) k k III.3.2 Se servir de la question III.2. III.4.2 Justifier que P4n est le polynôme d'interpolation de f sur [ -2n ; 2n ] aux points déterminés à la question précédente. III.4.3 Se souvenir que p Z et p 6 x < p + 1. III.4.4 Calculer f (n+1) . Utiliser la question I.5.3 et l'inégalité obtenue à la question précédente. Montrer que (n, p) ----- 0 à l'aide de la formule de Stirling. n+ Partie I I.1 Définition d'une structure euclidienne sur Rn [X] I.1.1 Identifions les polynômes de Rn [X] avec les fonctions polynomiales de R dans R. Puisqu'une fonction polynomiale de R dans R est continue, il vient que Rn [X] est un sous-espace vectoriel de C(R, R). La fonction B est définie sur C(R, R)×C(R, R) et à valeurs réelles. Elle est de plus manifestement bilinéaire, symétrique et positive. Elle l'est de même par restriction à Rn [X] × Rn [X]. Montrons que cette restriction est définie positive sur Rn [X]. Supposons que P Rn [X] vérifie B(P, P) = 0. Ceci s'écrit n P P(xi )2 = 0 i=0 Puisque pour tout i [[ 0 ; n ]], P(xi ) R, on a P(xi )2 > 0. Or une somme de n + 1 termes positifs est nulle si et seulement si tous les termes de la somme sont nuls. Ainsi, donc i [[ 0 ; n ]] P(xi )2 = 0 i [[ 0 ; n ]] P(xi ) = 0 On en déduit que le polynôme P, de degré au plus n, admet au moins n + 1 racines distinctes. Par conséquent, P = 0. Ceci montre que la restriction de B à Rn [X]×Rn [X] est définie positive sur Rn [X]. En conclusion, B définit un produit scalaire sur Rn [X]. Montrons que B n'est pas définie positive sur C(R, R). La fonction f définie pour x R par n f (x) = (x - xi ) i=0 est une fonction polynomiale donc continue sur R. Elle est non nulle sur R car c'est une fonction polynomiale de degré n + 1 dont les seules racines sont x0 , . . . , xn . En outre, B(f, f ) = n P i=0 f (xi )2 = n P i=0 n (xi - xj )2 = j=0 n P 0=0 i=0 En résumé, B(f, f ) = 0 et f 6= 0. Par suite, B n'est pas définie positive sur C(R, R). En particulier, B ne définit pas un produit scalaire sur C(R, R). Même lorsque l'énoncé demande de justifier « rapidement » un fait mathématique, il ne faut pas bâcler la réponse, à plus forte raison quand il s'agit de la première question d'une épreuve. Tout au plus peut-on passer rapidement sur certains points faciles et néanmoins traiter sérieusement les points que l'on juge important. Le rapport du jury précise que « nombreux sont ceux qui sont déroutés par une question sur le produit scalaire et qui ne savent pas faire ressortir l'essentiel, en l'occurrence le caractère défini (ou non) de la forme bilinéaire ». I.1.2 Introduisons le symbole de Kronecker défini pour (j, k) N2 par 1 si j = k j,k = 0 sinon Soit (j, k) [[ 0 ; n ]]2 . Calculons n Lk (xj ) = (xj - xi ) i=0 (x - x ) k i6=k i Si j 6= k, alors l'un des termes du produit est (xj -xj )/(xk -xj ) = 0. Par conséquent, dans ce cas, Lk (xj ) = 0. Si j = k, alors les n termes du produit sont égaux à 1 et Lk (xj ) = 1. En résumé, 1 si j = k 2 (j, k) [[ 0 ; n ]] Lk (xj ) = 0 sinon Pour tout k [[ 0 ; n ]], Lk est un polynôme à coefficients réels de degré égal à n, donc Lk Rn [X]. Soit (j, k) [[ 0 ; n ]]2 . Écrivons, à l'aide du calcul précédent, n n P P B(Lj , Lk ) = Lj (xi )Lk (xi ) = i,j i,k i=0 i=0 Si k 6= j, tous les termes de la somme ci-dessus sont nuls. Si k = j, alors n P B(Lj , Lj ) = i,j 2 i=0 et le seul terme non nul dans cette somme est j,j 2 = 12 = 1. Par conséquent, (j, k) [[ 0 ; n ]]2 B(Lj , Lk ) = j,k On en déduit que la famille (Lk )k[[ 0 ; n ]] est une famille orthonormée de Rn [X]. Puisqu'elle comporte n + 1 vecteurs et que Rn [X] est de dimension n + 1, il vient que (Lk )k[[ 0 ; n ]] est une base orthonormée de (Rn [X], B). I.2 Définition de Pn (f ) I.2.1 Soit f C(R, R) et k [[ 0 ; n ]]. Calculons, à l'aide de la question précédente, B(f, Lk ) = = n P i=0 n P f (xi )Lk (xi ) f (xi )k,i i=0 B(f, Lk ) = f (xk ) Par suite, Pn (f )(xk ) = = n P i=0 n P B(f, Li )Li (xk ) B(f, Li )i,k d'après I.1.2 i=0 = B(f, Lk ) Pn (f )(xk ) = f (xk ) d'après le début de la question