CCP Maths 1 PSI 2009

Thème de l'épreuve Intégrales Jm=0+∞sinm ttdt
Principaux outils utilisés séries de Fourier, intégration sur un intervalle quelconque, fonctions de la variable réelle
Mots clefs intégrale de Dirichlet, intégrales généralisées

Corrigé

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 wc.--52-- .v " own--5 ... mHDO...ËËEËE ...mm ËaS--m .. HDOËUËm aËmËm oeu=o_z=v...h>dcoe m2:ll©u moe=cuzcu ' SESSION 2009 A PSIM 102 CONCOURS COMMUNS POlYÎECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. **** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance àla clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. **** Le sujet comporte 5 pages. Notations : Pour tout nombre réel x tel que l'intégrale généralisée J 0 00 l:chos_t e--xtdt converge, on note ço(x) la valeur de cette intégrale. (sint)m +oo Pour tout entier naturel non nul m tel que l'intégrale généralisée JO dt converge, on deægne par Jm sa valeur. Objectifs : L'objet de ce problème est d'étudier l'existence et un procédé de calcul éventuel de Jm . La partie I est consacrée à l'étude de la fonction @ pour obtenir un résultat qui concerne J1 . L'étude de l'existence de Jm fait l'objet de la partie II. La partie III voit la mise en oeuvre d'un procédé de calcul des intégrales Jm (lorsqu'elles convergent). 1/5 PARTIE 1 Étude de la fonction ça Rappel : Ç0(x)= Jo+oe 1_ÏCZOSÏ e--xtdt. On désigne par ci (respectivement 5 ) la fonction définie sur [0 ;+oo[ par : d (t) =t--l+cost £_ 2 l+cost). (respectivement 5 (t) : I.1/ Étude des fonctions d et 5 . 1.1.1/ Étudier la fonction d; en déduire qu'il existe un nombre réel & tel que, pour tout l--cost !' nombre réel t strictement positif, on ait l'inégalité :O S S a . I.1.2/ Étudier la fonction 5 ; en déduire qu'il existe un nombre réel ,6 tel que, pour tout l--cost 12 5,8. nombre réel t strictement positif, on ait l'inégalité : O S I.2/ Existence de la fonction ça sur[O ;+oo[ . +°° l--cost o t2 Établir la convergence de l'intégrale généralisée J dt . En déduire que ço(x) existe pour tout x appartenant à [O ;+oo[ . I.3/ Limite de la fonction çaen +oo. 1.3.1/ Préciser le signe de ç0(xl)--ça(x2) pourOSq£x2 . En déduire que la fonction ça admet une limite finie À en +oo . I.3.2/ Déterminer la valeur de À (on pourra utiliser 1.1.2). I.4/ Caractère C k de la fonction ça. I.4.1/ Montrer que la fonctionça est continue sur [0 ;+oo[ . I.4.2/ Montrer que la fonctionça est de classe C1 sur ]0 ;+oo[ (on pourra utiliser 1.1.1). 1.4.3/ Montrer que la fonction (p' admet une limite finie (que l'on précisera) en +oo . 1.4.4/ Montrer que la fonctiomp est de classe C 2 sur ]0 ;+oo[ . 1.4.5/ Expliciter ça" (x) pour x appartenant à ]O ;+oo[. 1.4.6/ Expliciter ço' (x) pour x appartenant à ]O ;+oo[ . La fonctionço est--elle dérivable en 0 '? 2/5 I.5/ Expression explicite de fonction ça(x). x2 x2+1 1.5.2/ Expliciter une primitive de la fonction: xl-->ln(x2 +1) (on pourra utiliser une I.5.1/ Déterminer la limite de xln( ) lorsque x tend vers +oo. intégration par parties). 1.5.3/ Expliciter ça(x) pourx appartenant à ]O ;+oo[. I.5.4/ Déterminer ça(O) . PARTIE II Étude de l'existence de Jm . +°° (Sim)m +°° 1-- [ Rappel. Jm = JO t dt et ça(x)= JO ;" e--Xtdt . 11.1/ Étude de J % (S...) dt. 0 t (sh1t)m l ..., ikt Pour tout entier relatif k tel que l'intégrale généralisée ! __e_ dt converge, on note Ik la valeur % [ Justifier la convergence de l'intégrale généralisée JÎ dt pour tout entier naturel non nul m. de cette intégrale. 11.2/ Étude de J1 . Justifier l'existence de J1 et établir une relation entre J1 et ça(O) (on pourra utiliser une intégration par parties, en remarquant que (1 -- cos) ' : sin) . II.3/ Étude de l'existence de Ik . Préciser la nature de l'intégrale généralisée Ik selon la valeur de l'entier relatif k (on pourra utiliser une intégration par parties). II.4/ Étude de la nature de Jm Pour tout x appartenant à {ï;+oe{ et tout entier relatif k, on note : Ik (x) 2 Il '------. II.4.1/ Exprimer, pour tout entier naturel non nul m et pour tout nombre réel x appartenant à x (SÏHÏ)m %-- ! dt àl'aide des intégrales Ik (x). {%;+oo{ , l'intégrale ! 3/5 II.4.2/ En déduire l'existence de J 2 }... pour tout entier naturel p. +00 (Slfi[)2p 0 [ Il.4.3/ Quelle est la nature de l'intégrale généralisée J-- dt pour p entier naturel non nul? PARTIE III Calcul de J 2p+l III.1/ Un développement de Fourier. On désigne par x un nombre réel fixé, non multiple entier de 7z , par h)C la fonction définie surR , à valeurs réelles, 27z -- périodique et vérifiant : hx (t) = cos(--£t) pour tout le ]--7Z';7ï] . 7r III.].1/ Calculer les coefficients de Fourier réels an (hx) et bn (hx) de la fonction hx . On rappelle que pour tout entier naturel n : an(hx) =21; [; hx(t)cos(nt)dt et bn(hx) ='}1£ ffl hx(t)sin(nt)dt. III.1.2/ Justifier la convergence de la série z (--1)" ----2ÏÊËX_ et déduire de Ill.l.l la valeur 2 2 2 "21 X--nîï +oo sinx n 2xsinx de la somme: +Z(--l) 2------5---2--. x n=l x --n 72. III.2/ Étude d'un procédé de calcul. On désigne par f une fonction définie et continue sur [--1 ; l] à valeurs réelles ; on suppose de plus que f est impaire et dérivable en 0. Pour tout entier naturel non nul n on pose : ,, 2t f (sint) [2 _nzfl-2 ) . u l'application de |ïO;%--} dans R définie par un (t)=(--l) III.2.1/ Déterminer la limite de 7" lorsque n tend vers +oo. III.2.2/ Etablir (pour tout entier naturel non nul n) une relation entre yn et ,un . 4/5 III.2.3/ Établir la convergence, pout tout ! appartenant à [O ; %} de la série Zun (t). nZl Désormais on note S (t) : Î un (t) pour tout t appartenant à {O ; %] . n=l III.2.4/ Montrer que la fonction S est continue sur {0 ; %] . III.2.5/ Justifier la convergence de la série Z 7" et l'égalité JÎS(t) dt =Z yn . 1721 ": dt et l'égalité rm f (sint) % t III.2.6/ Justifier la convergence de l'intégrale généralisée III.2.7/ Justifier la convergence des intégrales généralisées _[î J-Ê- f(Slfiî) dt, 0 t +oo . l -'5 . ! III.2.8/ Exprimer la différence J f(sm ) dt -- [â f(s1n ) dt àl'aide de l'intégrale d'une 0 [ sin! fonction continue sur le segment [O ; %]. III.3/ Application au calcul de J2 p+l . III.3.1/ En utilisant les résultats obtenus en 111.1 et 1112 retrouver la valeur de ]1 (déjà obtenue en 11.2). III.3.Z/ CalculerJ3 . III.3.3/ Plus généralement expliciter J 2 pour tout entier naturel p. p+l Fin de l'énoncé 5/5

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 CCP Maths 1 PSI 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Nicolas Weiss (Docteur en mathématiques) ; il a été relu par Thomas Chomette (Professeur en CPGE) et Guillaume Batog (ENS Cachan). Cette épreuve est consacrée à l'étude des intégrales généralisées de la forme Z + (sin t)m Jm = dt t 0 · La première partie du sujet est dédiée à l'étude de la fonction Z + 1 - cos t -xt x 7 (x) = e dt t2 0 et en particulier de sa valeur en 0. On y utilise les propriétés des intégrales généralisées et des intégrales dépendant d'un paramètre. · En début de deuxième partie, la valeur (0) est reliée au calcul de J1 . On détermine ensuite pour quelles valeurs de l'entier naturel m la quantité Jm existe. Pour cela, on ramène le calcul de Jm à celui d'une somme finie d'intégrales généralisées. · Enfin, la troisième partie est consacrée au calcul de Jm pour un entier naturel m impair, à l'aide de l'étude d'un développement de Fourier et de séries de fonctions. Un lien avec les intégrales de Wallis émerge finalement. Le sujet utilise un à un de nombreux points du programme d'analyse et permet ainsi à chacun de faire le point sur ce qui est déjà acquis et ce qui le sera bientôt. En particulier, la première partie est aisément abordable et met en jeu quelques notions d'analyse de sup. Indications Partie I I.2 Se placer sur [ y1 ; y2 ] avec 0 < y1 < y2 avant de passer à la limite en 0. Utiliser le critère de domination en +. I.3.1 Montrer que la fonction est positive. I.4.1 Utiliser le théorème de continuité sous le signe intégrale. I.4.2 Utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégrale. Se placer d'abord sur [ y ; + [ avec y > 0. 1 - cos t I.4.3 Majorer par . t I.4.5 Exploiter la relation 1 - cos t = Re 1 - e it . I.4.6 Appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction sur l'intervalle [ 0 ; x ]. I.5.1 1 x2 =1- 1 + x2 1 + x2 I.5.3 Utiliser la question I.3.2. Partie II II.1 Appliquer l'égalité (sin t) = sin t × (sin t)m-1 . h i II.2 Se placer sur ; a avec a > puis utiliser la question II.1. 2 2 II.4.1 Penser aux formules d'Euler. m II.4.2 Remarquer que 2p + 1 - 2k est impair. Partie III III.1.1 Étudier la parité de la fonction hx . III.1.2 Étudier la régularité de la fonction hx . III.2.1 La fonction f est bornée. III.2.2 Décomposer en éléments simples. III.2.3 La fonction f est bornée. III.2.4 La somme d'une série de fonctions continues qui converge uniformément sur un intervalle est continue sur cet intervalle. III.2.5 Appliquer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions continues. k P III.2.6 Calculer n . n=1 f (t) au voisinage de 0. t III.2.8 Combiner les résultats des questions III.2.6 et III.2.7. III.2.7 Étudier le quotient III.3.1 Penser à la fonction identité. I. Étude de la fonction I.1 Étude des fonctions d et I.1.1 La fonction d est de classe C comme somme de fonctions indéfiniment dérivables. Elle s'annule en 0 (car d(0) = 0 - 1 + cos(0) = 0), et est croissante sur son domaine (puisque d (t) = 1 - sin t > 0), donc est à valeurs positives sur [ 0 ; + [. La fonction d tend vers + en l'infini, et est donc non bornée. La croissance de la fonction d est même stricte car sa dérivée d ne s'annule qu'en les valeurs isolées de la forme + 2n pour n entier naturel. Pour synthétiser, 2 La fonction d est une bijection croissante de classe C de R+ sur lui-même. Pour la suite de cette question, on va montrer que = 1 convient. Soit donc t un réel strictement positif. On a d(t) > 0, puis 1 - cos t 6 t, donc 1 - cos t 61 t Il existe un réel tel que 0 6 1 - cos t 6 pour tout réel t strictement positif. t I.1.2 On procède comme à la question précédente. La fonction est de classe C comme somme de fonctions indéfiniment dérivables. Sa dérivée : t 7 t - sin t est positive car (0) = 0 - sin 0 = 0 et (t) = 1 - cos t > 0. On en déduit que est croissante sur son domaine. 02 Comme de plus s'annule en 0 (en effet (0) = - 1 + cos(0) = 0) et qu'elle 2 tend vers + en l'infini, on obtient que la fonction est positive et non majorée. Enfin, la croissance de la fonction est stricte car sa dérivée ne s'annule qu'en 0. Pour résumer, La fonction est une bijection croissante de classe C de R+ sur lui-même. Pour la suite de cette question, on va montrer que = 1/2 convient. Soit donc t un réel strictement positif. On a (t) > 0, puis 1 - cos t 6 t2 /2, donc 1 - cos t 1 6 t2 2 Il existe un réel tel que 0 6 1 - cos t 6 pour tout réel t strictement positif. t2 I.2 Existence de la fonction sur [ 0 ; + [ I.2 Soient deux réels y1 et y2 vérifiant 0 < y1 < y2 . En utilisant le résultat de la question précédente, on obtient l'encadrement Z y2 1 - cos t 06 dt 6 (y2 - y1 ) 6 y2 t2 y1 car les réels , y1 et y2 sont positifs. Par positivité de la fonction t 7 (1 - cos t)/t2 , l'application Z y2 1 - cos t y1 7 dt t2 y1 définie sur l'intervalle ] 0 ; y2 [ est décroissante. Elle admet donc une limite à droite en 0, qui est finie d'aprèsZ l'encadrement précédent, ce qui démontre la convergence y2 1 - cos t de l'intégrale généralisée dt. t2 0 La fonction t 7 (1 - cos t)/t2 est prolongeable par continuité en 0 par 1/2, ce qui constitue un autre moyen de prouver son intégrabilité sur [ 0 ; y2 ]. 1/t2 Z + 1 - cos t ce qui assure la convergence de l'intégrale généralisée dt. On déduit de t2 y2 ce qui précède que Z + 1 - cos t L'intégrale généralisée dt converge. t2 0 Par ailleurs, on a (1 - cos t)/t2 = O t+ Pour tous réels positifs ou nuls x et t, on a 0 < e -xt 6 1 . Il s'ensuit l'encadrement Z y2 Z y2 1 - cos t -xt 1 - cos t 06 e dt 6 dt 2 t t2 y1 y1 qui, par passage à la limite la convergence des Z y2en 0 puis en +, montre Z successivement + 1 - cos t -xt 1 - cos t -xt intégrales généralisées e dt puis e dt. Finalement, t2 t2 y2 0 Le nombre (x) existe pour tout x appartenant à l'intervalle [ 0 ; + [. Une autre solution consiste à dire que pour tout réel positif x, la fonction t 7 e -xt (1 - cos t)/t2 est intégrable sur R+ car elle est positive, et dominée par la fonction t 7 (1 - cos t)/t2 intégrable sur R+ . I.3 Limite de la fonction en + I.3.1 Soient deux réels x1 et x2 vérifiant 0 6 x1 6 x2 . On a Z + Z + 1 - cos t -x1 t 1 - cos t -x2 t (x1 ) - (x2 ) = e dt - e dt 2 t t2 0 0 Z + 1 - cos t -x1 t = (e - e -x2 t ) dt t2 0