CCP Maths 1 PSI 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Mehdi Tibouchi (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Frédérique Charles (ENS Cachan) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE).
Le problème est consacré à l'étude de quelques propriétés des fonctions
P (-1)n+1
nx
n=1
+
(x) =
+
et
f (x) =
P
ln(1 + e-nx )
n=0
Il se compose de trois parties très largement indépendantes.
· La première s'intéresse à des valeurs particulières de la fonction . On y
calcule
la valeur de (1), qui est classique, à l'aide d'une suite d'intégrales
trigonométriques. On obtient ensuite une approximation de (3). Enfin, on utilise
des séries de Fourier pour calculer (2) et (4), par une méthode également
classique.
· La deuxième partie propose d'étudier la fonction f . On montre qu'elle est
continue et strictement monotone sur son intervalle de définition, et l'on
détermine ensuite son image ainsi que son comportement au voisinage de 0 à
l'aide
d'une comparaison avec une intégrale sur R+ .
· La troisième partie, plus difficile, revient sur la fonction , en montrant en
particulier qu'elle est continue puis continûment dérivable sur son intervalle
de
définition, par une étude assez fine de séries alternées.
Dans l'ensemble, le problème propose un panorama assez complet des résultats
à connaître sur les suites et séries de fonctions : différentes notions de
convergence,
théorèmes de continuité et de dérivation, théorèmes de convergence sous
l'intégrale,
théorème spécial des séries alternées... Il fait aussi des incursions assez
classiques
dans les séries de Fourier et les intégrales sur des intervalles quelconques.
On peut
le conseiller au lecteur qui recherche un bon problème de révision sur les
séries de
fonctions, qui ne s'éloigne pas trop du cours.
Indications
Partie I
I.1.1 Discuter suivant le signe de x.
I.1.2 Utiliser la question I.1.1, et le théorème spécial des séries alternées.
I.1.3.1 On pourra écrire tan = - cos / cos.
I.1.3.2 Utiliser le théorème de convergence dominée.
I.1.3.3 Se rappeler que tan = 1 + tan2 .
I.1.3.5 Utiliser la question I.1.3.2 pour passer à la limite quand n tend vers +
dans la relation obtenue à la question I.1.3.4.
I.2.1 Avec quelle précision faut-il mener les calculs pour approximer à près ?
I.2.3 Utiliser le théorème spécial des séries alternées pour majorer le reste.
I.3.1 Effectuer deux intégrations par parties.
I.3.3 g est continue et C 1 par morceaux. Qu'en déduit-on sur sa série de
Fourier ?
I.3.5 Appliquer l'égalité de Parseval pour la fonction g.
I.3.6 Il s'agit d'intégrer terme à terme la série apparaissant à la question
I.3.3.
Attention aux hypothèses de convergence nécessaires.
I.3.7 La convergence et la somme s'obtiennent par une nouvelle intégration terme
à terme. Attention à la constante d'intégration.
I.3.8 On obtient (4) en évaluant l'égalité de la question I.3.7 pour x = .
Partie II
II.1 On pourra donner un équivalent simple de un (x) pour n tendant vers +.
II.2 Établir que la série converge normalement sur tout intervalle de la forme
[ a ; + [. On pourra utiliser l'inégalité de concavité ln(1 + t) 6 t.
II.3 La somme d'une série de fonctions décroissantes est décroissante.
P
II.5 Donner une majoration simple de un par une fonction tendant vers 0.
II.6.1 On pourra donner un équivalent simple de x (t) pour t tendant vers +.
II.6.2 Comparer la série et l'intégrale, en utilisant la décroissante de x .
II.6.3 Utiliser le théorème d'intégration terme à terme des séries de fonctions.
II.6.4 Faire un changement de variable pour exprimer l'intégrale apparaissant
dans
l'encadrement de la question II.6.2 en fonction de celle de la question II.6.3.
II.6.5 Conclure à l'aide des questions II.4, II.5 et II.6.4.
Partie III
III.1 À l'aide du théorème spécial des séries alternées (donnant le signe du
reste),
encadrer par les premières sommes partielles de la série qui la définit.
III.3.1 La convergence normale sur [ a ; + [, avec a > 1, s'obtient par
comparaison
à une série de Riemann.
III.3.2 Utiliser le théorème spécial des séries alternées pour montrer la
convergence
uniforme sur [ a ; + [ avec a > 0.
III.4.2.1 Pour appliquer le théorème de dérivation sous le signe somme, il
s'agit d'établir la convergence uniforme sur un intervalle convenable de la
série des dérivées terme à terme. Le théorème spécial des séries alternées va
la donner
sur [ 1/ ln 2 ; + [ tout entier, en utilisant la question III.4.1.1.
III.4.2.2 Sur un intervalle de la forme [ a ; + [, la question III.4.1.2 permet
d'écrire
la série des dérivées comme somme d'un nombre fini de termes et d'une série
alternée. Conclure alors comme à la question III.4.2.1.
III.4.3.1 Comme 2 > 1/ ln 2, la série donnant (2) est alternée spéciale,
d'après la
question III.4.1.1. En déduire son signe.
III.4.3.2 La question III.4.1.2 montre que la série donnant (1) est alternée à
partir
d'un certain rang que l'on déterminera.
I. Quelques valeurs de la fonction
Calcul de (1)
I.1
I.1.1 La suite de terme général 1/nx tend vers 0 si x est strictement positif et
vers + si x est strictement négatif. Si x est nul, elle est constante égale à
1, et donc
tend vers 1. En somme,
+ si x < 0
1
1 si x = 0
lim x =
n n
0 si x > 0
I.1.2 Pour montrer que l'ensemble de définition de la fonction est exactement
E = ] 0 ; + [, il faut vérifier d'une part que pour tout x
/ E, la série définissant (x)
diverge, et d'autre part qu'elle converge pour tout x E.
Le premier point résulte de la question I.1.1. En effet, pour tout x
/ E, c'est-à-dire
pour tout x négatif ou nul, on a vu que (-1)n+1 /nx = 1/nx a pour limite 1 ou +
quand n tend vers +. Ainsi, le terme général de la série ne tend pas vers 0 :
elle est
donc grossièrement divergente.
Pour le second point, on remarque que la série est alternée, et que pour x E,
c'est-à-dire pour x strictement positif, la valeur absolue du terme général est
décroissante et tend vers 0 quand n tend vers +. D'après le théorème spécial
des séries
alternées, la série converge. Ainsi,
L'ensemble de définition de la fonction est bien E.
I.1.3.1 La fonction tan s'écrit sin / cos, c'est-à-dire encore - cos / cos. De
ce fait,
une primitive de t 7 tan t est t 7 - ln | cos t| sur tout intervalle où le
cosinus ne
s'annule pas. Sur l'intervalle [ 0 ; /4 ], le cosinus est strictement positif,
donc on a
Z /4
h
i/4
1
tan t dt = - ln cos t
= - ln + ln 1
J1 =
0
2
0
Finalement,
J1 =
1
ln 2
2
I.1.3.2 Utilisons le théorème de convergence dominée, et considérons pour cela
(hn )nN la suite des fonctions définies sur [ 0 ; /4 ] par la relation hn (t) =
(tan t)n .
Pour tout t [ 0 ; /4 [, on a 0 6 tan t < 1, donc
hn (t) ---- 0
n
De plus, la suite (hn (/4))n>0 est constante égale à 1. Par conséquent, la
suite de
fonctions (hn )n>0 converge simplement vers la fonction h : [ 0 ; /4 ] R
continue
par morceaux donnée par h(/4) = 1 et h(t) = 0 pour tout t 6= /4.
Par ailleurs, toutes les fonctions hn sont positives et majorées par la fonction
constante égale à 1, qui est intégrable sur le segment [ 0 ; /4 ]. Ainsi, (hn
)nN est :
· une suite de fonctions continues par morceaux ;
· convergeant simplement sur [ 0 ; /4 ] vers une fonction continue par morceaux
;
· et dominée sur cet intervalle par une fonction intégrable.
On est donc en mesure d'appliquer le théorème de convergence dominée, qui assure
Z /4
Z /4
Jn =
hn ----
h=0
0
n
0
