CCP Maths 1 PSI 2008

Thème de l'épreuve Étude de deux séries de fonctions
Principaux outils utilisés suites et séries de fonctions, séries de Fourier, intégration
Mots clefs convergence simple, convergence uniforme

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 wc.--52-- .v " own--5 ... mHDO...ËËEËE ...mm ËaS--m .. HDOËUËm aËmËm oeu=o_z=v...h>dcoe m2:ll©u moe=cuzcu ' Les calculatrices sont autorisées. **** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance àla clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. **** Le sujet comporte 6 pages. Notations : On note : * IR : l'ensemble des nombres réels, * ln : la fonction logarithme népérien. (_ _l)n+l converge (resp. la série Zln(1+e"'") n20 Pour tout nombre réel x tel que la série z n21 n'" ... (_1)"+1 +oo _ , _ converge), on note 9(x) : 2 x (resp f(x )1=Z n(1 + e "" )) la somme de cette senc. = " n=o Objectifs : On se propose d'étudier quelques propriétés des fonctions 9 et f . Dans la partie I, on calcule trois valeurs exactes et une valeur approchée de 9(n) pour quatre entiers naturels n. La partie II est consacrée à une étude de la fonction f en liaison avec 6(2). Dans la partie III, on étudie de façon plus précise la continuité et le caractère C1 de la fonction 9. PARTIE 1 Quelques valeurs de la fonction 6 I.1/ Calcul de 9(1). I.1.1/ Préciser, selon la valeur du nombre réel x , la limite de L lorsque l'entier n tend ,qx vers +00 . I.1.2/ Montrer que l'ensemble de définition de la fonction 9 est E =]O ;+oo[. I.1.3/ Pour tout entier naturel n , on pose Jn = If(tant)"df . I.1.3.1/ Préciser une primitive de la fonction tl--> tant et calculer J1 . I.1.3.2/ Montrer que la suite Jn est convergente et préciser sa limite. I.1.3.3/ Calculer Jn+J n+2 pour tout entier naturel n . I.1.3.4/ En utilisant le résultat obtenu en I.1.3.3/, établir (par exemple par récurrence), k+1 . , " ' --1 ,,, pour tout entier naturel n non nul, la relation : z( ) : J + (--1) 1 J . 2k 1 2n+1 k=l I.1.3.5/ En déduire la valeur de H(l) . 1.2/ Une valeur approchée de 6(3) . (__1)k+l k39' n Pour tout entier naturel n non nul, on pose Sn = 2 k=l 1.2.1/ Décrire, en français, un algorithme de calcul de Sn pour n entier naturel non nul donné. I--.2.2/ En utilisant l'algorithme précédent et la calculatrice, donner la valeur décimale approchée par défaut O' de S3oà la précision 10'4. 1.2.3/ Montrer que a est aussi la valeur décimale approchée par défaut de 9(3) à la précision 10'4. I.3/ Calcul de 9(2) et 6(4). On considère la fonction g définie sur R, à valeurs réelles, 272' -périodique et vérifiant : g(x)=x2 pour tout xe]--7r ; 7r]. "x2 cos(nx)dx . Pour tout entier naturel n , on pose an : j 0 1.3.1/ Calculer an pour tout entier naturel n . 1.3.2/ Expliciter les coefficients de Fourier réels an (g) et bn (g) de la fonction g . On rappelle que pour tout entier naturel 14 : an(g)=lJ " gdx et bn=ägi --72' g(x)sin(nx)dx . _1 " 1.3.3/ Justifier la convergence, pour tout x réel, de la série z( ) cos(nx) et expliciter _ ' n +°° <--1)" sa somme Z "2 cos(nx) pour tout xe]--7r ; 7r]. 1.3.4/ En déduire la valeur de 9(2) . 1.3.5/ Justifier la convergence de la série Z---- et calculer la valeur de sa somme Î--1--4 n>1n n=1n 1.3.6/ En utilisant le résultat obtenu en 1.3.3/ , établir la convergence de la série Z (_13) sin(nx) et expliciter sa somme Î (_13) sin(nx) pour \xe]--7r ; 7r]. n...>.l n n=l n ( 1) 1.3.7/ Justifier, pour tout x réel, la convergence de la série î------------ cos(nx) et calculer sa n>l SOOEIÏIC î(_nl cos( )pou_r xe]--7r-; 7r] en fonction de x et 9(4). 1.3.8/ En déduire la valeur de 9(4) . v PARTIE II Etude d'une fonction Pour tout entier naturel n et tout nombre réel x , on note un (x) : ln (l + e""' ) . Pour tout nombre réel x tel que la série Zu(x x)converge on note f (x) =Zun (x) la somme de n>0 cette série. On se propose d'étudier quelques propriétés de la fonction f en utilisant en particulier a(z)= Îfiî " n=l II.1/ Montrer que la fonction f est définie sur ]0 ;+oo[. On note désormais EUR l'image par f de l'intervalle ]O ;+oo[. II.2/ Montrer que la fonction f est continue sur ]0 ;+oo[. II.3/ Montrer que la fonction f est strictement monotone sur ]0 ;+oo[. II.4/ Justifier l'affirmation: EUR est un intervalle de R. II.5/ Montrer que la fonction f admet une limite finie il (que l'on précisera) en +oo. II.6/ Pour tout nombre réel x strictement positif, on désigne par 1//x la fonction définie sur lR + par wx (t) : ln(l+e'°') . II.6.1/ Justifier la convergence de l'intégrale ) O+oe1//x (t) dt, Il.6.2/ Etablir, pour tout nombre réel x >O, la double inégalité : J; oewx(t) dt 

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 CCP Maths 1 PSI 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Mehdi Tibouchi (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Frédérique Charles (ENS Cachan) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE). Le problème est consacré à l'étude de quelques propriétés des fonctions P (-1)n+1 nx n=1 + (x) = + et f (x) = P ln(1 + e-nx ) n=0 Il se compose de trois parties très largement indépendantes. · La première s'intéresse à des valeurs particulières de la fonction . On y calcule la valeur de (1), qui est classique, à l'aide d'une suite d'intégrales trigonométriques. On obtient ensuite une approximation de (3). Enfin, on utilise des séries de Fourier pour calculer (2) et (4), par une méthode également classique. · La deuxième partie propose d'étudier la fonction f . On montre qu'elle est continue et strictement monotone sur son intervalle de définition, et l'on détermine ensuite son image ainsi que son comportement au voisinage de 0 à l'aide d'une comparaison avec une intégrale sur R+ . · La troisième partie, plus difficile, revient sur la fonction , en montrant en particulier qu'elle est continue puis continûment dérivable sur son intervalle de définition, par une étude assez fine de séries alternées. Dans l'ensemble, le problème propose un panorama assez complet des résultats à connaître sur les suites et séries de fonctions : différentes notions de convergence, théorèmes de continuité et de dérivation, théorèmes de convergence sous l'intégrale, théorème spécial des séries alternées... Il fait aussi des incursions assez classiques dans les séries de Fourier et les intégrales sur des intervalles quelconques. On peut le conseiller au lecteur qui recherche un bon problème de révision sur les séries de fonctions, qui ne s'éloigne pas trop du cours. Indications Partie I I.1.1 Discuter suivant le signe de x. I.1.2 Utiliser la question I.1.1, et le théorème spécial des séries alternées. I.1.3.1 On pourra écrire tan = - cos / cos. I.1.3.2 Utiliser le théorème de convergence dominée. I.1.3.3 Se rappeler que tan = 1 + tan2 . I.1.3.5 Utiliser la question I.1.3.2 pour passer à la limite quand n tend vers + dans la relation obtenue à la question I.1.3.4. I.2.1 Avec quelle précision faut-il mener les calculs pour approximer à près ? I.2.3 Utiliser le théorème spécial des séries alternées pour majorer le reste. I.3.1 Effectuer deux intégrations par parties. I.3.3 g est continue et C 1 par morceaux. Qu'en déduit-on sur sa série de Fourier ? I.3.5 Appliquer l'égalité de Parseval pour la fonction g. I.3.6 Il s'agit d'intégrer terme à terme la série apparaissant à la question I.3.3. Attention aux hypothèses de convergence nécessaires. I.3.7 La convergence et la somme s'obtiennent par une nouvelle intégration terme à terme. Attention à la constante d'intégration. I.3.8 On obtient (4) en évaluant l'égalité de la question I.3.7 pour x = . Partie II II.1 On pourra donner un équivalent simple de un (x) pour n tendant vers +. II.2 Établir que la série converge normalement sur tout intervalle de la forme [ a ; + [. On pourra utiliser l'inégalité de concavité ln(1 + t) 6 t. II.3 La somme d'une série de fonctions décroissantes est décroissante. P II.5 Donner une majoration simple de un par une fonction tendant vers 0. II.6.1 On pourra donner un équivalent simple de x (t) pour t tendant vers +. II.6.2 Comparer la série et l'intégrale, en utilisant la décroissante de x . II.6.3 Utiliser le théorème d'intégration terme à terme des séries de fonctions. II.6.4 Faire un changement de variable pour exprimer l'intégrale apparaissant dans l'encadrement de la question II.6.2 en fonction de celle de la question II.6.3. II.6.5 Conclure à l'aide des questions II.4, II.5 et II.6.4. Partie III III.1 À l'aide du théorème spécial des séries alternées (donnant le signe du reste), encadrer par les premières sommes partielles de la série qui la définit. III.3.1 La convergence normale sur [ a ; + [, avec a > 1, s'obtient par comparaison à une série de Riemann. III.3.2 Utiliser le théorème spécial des séries alternées pour montrer la convergence uniforme sur [ a ; + [ avec a > 0. III.4.2.1 Pour appliquer le théorème de dérivation sous le signe somme, il s'agit d'établir la convergence uniforme sur un intervalle convenable de la série des dérivées terme à terme. Le théorème spécial des séries alternées va la donner sur [ 1/ ln 2 ; + [ tout entier, en utilisant la question III.4.1.1. III.4.2.2 Sur un intervalle de la forme [ a ; + [, la question III.4.1.2 permet d'écrire la série des dérivées comme somme d'un nombre fini de termes et d'une série alternée. Conclure alors comme à la question III.4.2.1. III.4.3.1 Comme 2 > 1/ ln 2, la série donnant (2) est alternée spéciale, d'après la question III.4.1.1. En déduire son signe. III.4.3.2 La question III.4.1.2 montre que la série donnant (1) est alternée à partir d'un certain rang que l'on déterminera. I. Quelques valeurs de la fonction Calcul de (1) I.1 I.1.1 La suite de terme général 1/nx tend vers 0 si x est strictement positif et vers + si x est strictement négatif. Si x est nul, elle est constante égale à 1, et donc tend vers 1. En somme, + si x < 0 1 1 si x = 0 lim x = n n 0 si x > 0 I.1.2 Pour montrer que l'ensemble de définition de la fonction est exactement E = ] 0 ; + [, il faut vérifier d'une part que pour tout x / E, la série définissant (x) diverge, et d'autre part qu'elle converge pour tout x E. Le premier point résulte de la question I.1.1. En effet, pour tout x / E, c'est-à-dire pour tout x négatif ou nul, on a vu que (-1)n+1 /nx = 1/nx a pour limite 1 ou + quand n tend vers +. Ainsi, le terme général de la série ne tend pas vers 0 : elle est donc grossièrement divergente. Pour le second point, on remarque que la série est alternée, et que pour x E, c'est-à-dire pour x strictement positif, la valeur absolue du terme général est décroissante et tend vers 0 quand n tend vers +. D'après le théorème spécial des séries alternées, la série converge. Ainsi, L'ensemble de définition de la fonction est bien E. I.1.3.1 La fonction tan s'écrit sin / cos, c'est-à-dire encore - cos / cos. De ce fait, une primitive de t 7 tan t est t 7 - ln | cos t| sur tout intervalle où le cosinus ne s'annule pas. Sur l'intervalle [ 0 ; /4 ], le cosinus est strictement positif, donc on a Z /4 h i/4 1 tan t dt = - ln cos t = - ln + ln 1 J1 = 0 2 0 Finalement, J1 = 1 ln 2 2 I.1.3.2 Utilisons le théorème de convergence dominée, et considérons pour cela (hn )nN la suite des fonctions définies sur [ 0 ; /4 ] par la relation hn (t) = (tan t)n . Pour tout t [ 0 ; /4 [, on a 0 6 tan t < 1, donc hn (t) ---- 0 n De plus, la suite (hn (/4))n>0 est constante égale à 1. Par conséquent, la suite de fonctions (hn )n>0 converge simplement vers la fonction h : [ 0 ; /4 ] R continue par morceaux donnée par h(/4) = 1 et h(t) = 0 pour tout t 6= /4. Par ailleurs, toutes les fonctions hn sont positives et majorées par la fonction constante égale à 1, qui est intégrable sur le segment [ 0 ; /4 ]. Ainsi, (hn )nN est : · une suite de fonctions continues par morceaux ; · convergeant simplement sur [ 0 ; /4 ] vers une fonction continue par morceaux ; · et dominée sur cet intervalle par une fonction intégrable. On est donc en mesure d'appliquer le théorème de convergence dominée, qui assure Z /4 Z /4 Jn = hn ---- h=0 0 n 0