CCP Maths 1 PSI 2004

Thème de l'épreuve Étude de deux normes sur des espaces de fonctions
Principaux outils utilisés espaces normés, intégrales à paramètre, séries de Riemann, développements limités, décomposition de fractions en éléments simples

Corrigé

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 SESSION 2004 ' . PSIM105 CONCOURS COMMUNS POIYÏECNNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. **** N. B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. **** Notation et but du problème On désigne par : * EO : le R - espace vectoriel des fonctions f définies sur R+ à valeurs réelles, de classe EUR1 sur R et qui vérifient f (O)=O; + , ° E1 : l'ensemble des fonctions f appartenant à E0 et telles que la fonction 2 t * t|--> {jf--)] soit intégrable sur R+ ; ° E2 : l'ensemble des fonctions f appartenant à E() et telles que la fonction t +-----> ( f '(t))2 soit intégrable sur R+ . On note : ' 1/2 1/2 Nl(f)= [(I--@] dt pour feEl; N2(f)= J(f'(t))2dt pour feE2. Ri ' R+ Le but de ce problème est de comparer les ensembles E1 et E2 d'une part, les fonctions N1 et N2 d'autre part. Les parties I et Il sont consacrées à deux exemples, la partie III aborde le problème de comparaison de façon plus générale... PARTIE 1 - Exemple 1 Dans cette partie, on suppose que f est la fonction définie sur R+ par f (t) : Arctan t (où Arctan désigne la fonction Arctangente). I.1/ Montrer que f appartient à E,. * . 1 . , I.2/ Montrer que, pour tout xEUR R+ , la fonct10n HJr : t l--> ( est 1ntegrable sur t2 +l)(t2 +x2) R+ , et qu'en particulier f appartient à EZ. » 1.3/ Calcul de N2 (f). Pour xEURRî, on note w(x)= [HX (t)dt. ' R+ 1.3.1/ Montrer que la fonction ça est continue sur R1. 1.3.2/ Soit x EUR Ri , x il ; décomposer en éléments simples la fraction rationnelle de la variable T : 1 (T + 1) (T + x2) 1.3.3/ En déduire l'expression explicite de çp(x) pour x EUR Ri , x # 1 . 1.3.4/ Quelle est la valeur de N2 (f) ? I.4/ Etudier le signe de u -- Arctan u , pour u EUR R+ . Arctan (xt) - * I.5/ Montrer que, pour tout x EUR R+ , la fonction GX : t l--> t (t2 +1) est intégrable sur Ri. I.6l Calcul de N1( f ) Pour xeR+ , on pose EUR(x)='IGx(t)dt. , R: 1.6.1/ Montrer que la fonction 9 est continue sur R+. 1.6.2/ Montrer que la fonction '9 est de classe EUR" sur R+. 1.6.3! Expliciter 9'(x) pour xeR+. 1.6.4/ Expliciter 6(x) pour xe_R+. 1.6.5/ Etablir une relation entre [Nl ( f )]2 et 6'(l) . 1.6.6/ En déduire la valeur de N1 (f) et celle de N' (f) . ' N 2 (f ) PARTIE II -- Exemple 2 Dans cette partie, on suppose que f est la fonction définie sur R+, par f (t) : ln (t + t2 +1) (où ln désigne la fonction logarithme népérien). II.1/ Calculer, f '(t) pour te R+. En déduire que f appartient à EZ. Quelle est la valeur de N2 (f) ? II.2/ Déterminer unéquivalent (simple !) de f (t) lorsque tI--> 0+ (respectivement lorsque t --> +oo ). II.3/ Montrer que f appartient à El. II.4/ Calcul d'une intégrale. * ---lnt 1---t2 Il.4.l/ Montrer que la fonction t +--> est intégrable sur l'intervalle ]O,l[. --lnt 2 dt. On note désormais J = ! ]0,1[ 1 "" t II.4.2/ Montrer que, pour tout k eN , la fonction t 1----> --t"' Int est intégrable sur l'intervalle ]0,1[ ;expliciter la valeur de :" J,, = ! (--t"' ln t)dt. ]°1[ II.4.3/ Justifier avec soin l'égalité: ]: ZJk =Z J (-- t2" ln t)dt. k- =,0]01[ II. 4. 4/ Déduire de ce qui précède la valeur de l'intégrale ], sachant que la série Z-- n.>.l " 72,2 converge et que Î-- : --. ,,_1 n 6 11.5/ Calcul de N,( f). Pour simplifier, on note 1 : (N1 ( f))2 J' (ft -----)-f](t2dt. e" --e'" 6" +6" , chu : 2 2 On rappelle que shu : pour ( u 6 R) et la relation ch2u - sh2u =1. 11.5.1/ Montrer que 1=2[tf() dt. t +1 11.5.2/ Justifier le changement de variable u= f (t)=ln (t+ t2+1) dans l'intégrale obtenue dans la question II.5.1 ; que devient 1 quand on effectue ce changement '? Même question pour le changement de variable v = e"" N II.5.3/ En déduire la valeur de N1 (f) , puis celle de '(f) . N2 (f) PARTIE III Le but de cette partie est de comparer, d'une part, les ensembles E1 et E2 , et, d'autre part, les fonctions N1 et N2. III.1/ Soit f une fonction quelconque appartenant à EO (donc de classe EUR] sur R et telle f __(__î) que f (O)-O). On associeà f deux fonctions g et h définies sur R+ par g(t)=------ J; et h(t)=--f--£î--)- pourtout t>0.0npose a=f'(0). III.1.1/ Quelle est la limite de h(t) (respectivement de g(t)) lorsque t --> 0+ ? III.1.Z/ Exprimer f '(t) --\/; g'(t) en fonction de h(t) lorsque t 6 R: . III.1.3/ Quelle est la limite de JÏg'(t) (respectivement de g(t).g'(t)) lorsque t--> 0+ ? (on exprimera les résultats en fonction de a = f '(0) ). III.1.4/ Etablir, pour x > 0 , la relation. ° (fi) ( ( f'(t))2dt : ()(gx) + _( («Î g '(t)) dt + -- 4_( (h(t))2dt. ]... 10x1 410x1 (après avoir justifié l'intégrabilité sur ]o,x] de chacune des fonctions qui interviennent). III.2/ Comparaison de E1 et E2. III.2.II Déduire de la relation (5%) l'inclusion: E2 CE]. III.2.2/ Les ensembles E1 et E2 sont-ils égaux ? (On pourra considérer la fonction t l--> sin t ). III.3/ Comparaison de N1 et N2 . III.3.1/ Montrer que E2 est un sous-espace vectoriel du R - espace vectoriel EO. On admettra sans justification que N1 et N 2 sont des normes sur l'espace vectoriel EZ. \ III.3.2/ Justifier l'inégalité : Nl ( f) g 2N2 (f) ,pour f E E2 . III.3.3I Pour n EUR-- N* , on définit sur R+ la fonction fn par f,, (î ) = e"' sin (nt) . Vérifier que fn & E2 pour tout n e N'" et calculer N2 ( fn) . 111.3.4/ Les normes N1 et N2 sont--elles équivalentes sur E2 '? III.4/ Soit f appartenant à E2 ;en utilisant la relation (fi) ,montrer que g(t) admet une limite lorsque t ---> +oo ; quelle est cette limite ? Fin de l'énoncé.

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 CCP Maths 1 PSI 2004 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Joseph Salmon (ENSAE) ; il a été relu par Olivier Dudas (ENS Ulm) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE). Cette épreuve d'analyse se fixe l'objectif ambitieux d'étudier deux normes d'espaces fonctionnels. En fait, les deux premières parties sont consacrées à des exemples et seule la troisième traite des normes de manière frontale. Les trois parties sont indépendantes. · Les deux premières traitent les cas des fonctions usuelles Arctan et Argsh, dont on calcule les normes N1 et N2 . On a recourt d'abord à l'étude de fonctions définies par des intégrales dépendant d'un paramètre, puis on utilise, des séries pour le calcul explicite. Ces deux parties sont assez calculatoires ; elles passent en revue les principales techniques de base : développements limités, décomposition en éléments simples, intégration par parties, etc. · La troisième partie, plus théorique, s'attache à comparer les espaces E1 et E2 , puis les normes N1 et N2 . Pour finir, on montre que les deux normes ne sont pas équivalentes sur E2 . Dans l'ensemble, ce sujet est très technique et calculatoire, mais il n'est pas d'une difficulté trop élevée. Il peut être utile pour réviser tout ce qui concerne l'analyse de première année, ainsi que les intégrales : intégration par parties, intégrales à paramètre, interversion série-intégrale, changement de variable, etc. Indications Partie I I.3.3 Intégrer la forme de Hx donnée à la question précédente. I.3.4 Trouver un lien simple entre N2 (f ) et (1). I.5 Utiliser un équivalent de Arctan au voisinage de 0 et une majoration en +. I.6.1 Majorer Gx indépendamment de x et appliquer le théorème de continuité des intégrales à paramètres. I.6.4 Utiliser l'expression établie à la question précédente. Z A (Arctan t)2 dt puis faire tendre A I.6.5 Faire une intégration par parties dans t2 0 vers +. I.6.6 Utiliser les résultats des questions I.3.4 et I.6.5. Partie II II.4.1 Donner les équivalents de ] 0 ; 1 [. - ln(t) en 0 et en 1 pour justifier l'intégration sur 1 - t2 II.4.2 Pour le calcul, faire une nouvelle intégration par parties. II.4.3 Pour intervertir les deux signes de sommation, étudier le reste d'ordre n d'une t ln t série géométrique, en utilisant le fait que la fonction t 7- est bornée. 1 - t2 p Z + ln(t + (1 + t2 ))2 II.5.1 Intégrer par partie l'intégrale dt. t2 0 II.5.2 Reconnaître que f (t) = Argsh t. II.5.3 Utiliser le calcul de la question II.5.2 . Partie III III.1.3 Reprendre ici les résultats des deux questions précédentes. III.1.4 Partir de la valeur de f obtenue en III.1.2. III.2.1 Z Se servir de la croissance de l'intégrale afin de prouver la convergence de + h(t) dt. 0 III.3.1 Utiliser l'inégalité (a + b)2 6 2(a2 + b2 ). III.3.2 Se servir de la question III.2 III.3.4 Montrer que N1 (fn ) est de l'ordre de n en coupant intégrales d'extrémité 1/n grâce à la règle de Chasles. Z 0 + fn (t)2 en deux t2 Partie I I.1 La fonction Arctan est de classe C 1 sur R+ et nulle en 0, si bien qu'elle appartient à l'ensemble E0 . Ensuite, la fonction R+ - R 2 h: t 7- Arctan t t est continue sur R+ et vu que Arctan t t, elle est prolongeable par continuité en 0 t0 en posant h(0) = 1. De plus, Arctan t ---- /2, ce qui permet d'écrire t+ 2 t+ 4t2 h(t) et la fonction t 7- 1/t2 est positive et intégrable au voisinage de l'infini, de sorte que h l'est aussi d'après le théorème de comparaison. Finalement, f E1 I.2 Soit x > 0. Hx est continue sur [ 0 ; + [ comme fraction rationnelle en t dont le dénominateur ne s'annule pas sur cet intervalle. Hx (t) = 1 1 (t2 + 1)(t2 + x2 ) t+ t4 et t 7- 1/t4 est intégrable et positive au voisinage de +. Ainsi, Hx est intégrable sur [ 0 ; + [. Or f (t) = 1/(1 + t2 ) donc H1 (t) = f 2 (t). On en déduit par définition de E2 que f E2 I.3.1 On a affaire à une intégrale à paramètre. Cherchons à utiliser le théorème de continuité dominée sous le signe somme. On a la majoration suivante : t R+ 1 (t2 + x2 ) (1 + t2 ) 6 t2 (1 1 + t2 ) mais la fonction définie par le membre de droite n'est pas intégrable au voisinage de 0. Cela suggère d'appliquer le théorème sur tous les intervalles du type [ ; + [, où est un réel strictement positif. Validons les hypothèses du théorème : · la fonction (x, t) 7- Hx (t) est continue sur [ ; + [ × R+ comme fraction rationnelle sans pôles dans le domaine d'étude ; · de plus, t R+ et la fonction t 7- 1 (t2 + x2 ) (1 + t2 ) 6 2 (1 1 + t2 ) 1 est positive, continue et intégrable sur R+ . 1 + t2 Ainsi, d'après le théorème de continuité, la fonction est continue sur l'intervalle [ ; + [. Ceci étant vrai pour tout > 0, on en déduit finalement que est continue sur R+ . I.3.2 Supposons que x appartient à R+ . On peut écrire la forme a priori 1 a b = + (T + 1)(T + x2 ) 1 + T T + x2 car cette fraction rationnelle en T n'a que des pôles simples. On calcule ces deux coefficients par substitution et l'on trouve 1 a= 2 et b = -a x -1 1 1 = 2 2 (T + 1)(T + x ) x -1 1 1 - 1 + T T + x2 I.3.3 On déduit de la question I.3.2 en remplaçant T par t2 que 1 1 1 Hx (t) = - 2 2 2 2 t +1 t +x x -1 On peut intégrer les deux termes du membre de droite car les fonctions en présence sont positives sur R+ et majorées par 1/t2 sur un voisinage de +. L'intégration donne alors Z + 1 t i+ 1 h Hx (t) dt = 2 Arctan t - Arctan x -1 x x 0 0 = Z d'où + Hx (t) dt = 0 x R+ r {1} (x - 1) 1 2x x2 - 1 2x(x + 1) (x) = 2x(x + 1) I.3.4 Grâce à la question I.3.3, on connaît sur ] 0 ; 1 [] 1 ; + [. À la question I.3.1 on a vu que est continue sur R+ et donc que N2 (f )2 = (1) = lim = x1 2x(x + 1) 4 Par conséquent, N2 (f ) = 2 I.4 On considère la fonction définie par u R+ (u) = u - Arctan u Cette fonction étant de classe C 1 sur R+ , on peut étudier le signe de sa dérivée. u R+ (u) = 1 - 1 u2 = > 0 2 1+u 1 + u2