CCP Maths 1 PSI 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thomas Chomette (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Aurélien Alvarez (ENS Lyon) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).
Ce problème est consacré à l'étude d'une famille d'équations différentielles
linéaires à coefficients constants et d'ordre 2, de la forme :
y + y = µ
où µ est une fonction continue de R dans R, 2-périodique. On étudie notamment
un certain nombre de propriétés de la solution µ du problème de Cauchy défini
par
les conditions initiales y(0) = y (0) = 0, en fonction de l'application µ
choisie.
Dans l'ensemble, le problème est d'un niveau assez raisonnable, aucune question
n'étant insurmontable si l'on maîtrise bien son cours. Il est composé de trois
parties,
les résultats de la première étant utilisés dans les deux autres, largement
indépendantes entre elles.
· Dans la première partie, on commence par exhiber un procédé de construction
de la solution du problème de Cauchy, puis on détermine des critères sur
l'application µ pour que la solution µ vérifie certaines propriétés :
2-périodicité
et caractère borné. Cette partie se termine sur l'étude de quelques exemples,
notamment le cas µ = |sin| qui sera étudié plus en détail dans la suite du
problème.
Z
· La deuxième partie est consacrée au calcul de l'intégrale
e-t (t)dt (où est
R+
la solution
Z du problème de Cauchy). Pour cela, on commence par calculer l'intégrale
e-t |sin t| dt, en la découpant selon les intervalles [ n ; (n + 1) ].
R+
Puis on établit une relation entre ces deux intégrales, ce qui permet de
calculer
la première.
· Enfin, dans la troisième partie, on étudie les séries de Fourier des
fonctions µ
et , ce qui permet de calculer la valeur d'un certain nombre de séries
numériques, dont les sommes :
P
1
2
p=1 4p - 1
P
p=1 (4p2
1
2
- 1)
et
P
p=1
(4p2
1
- 1) (16p4 - 1)
Indications
Partie I
I.3 Utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz, et notamment l'unicité de la
solution
du problème de Cauchy.
I.4.4 Utiliser le résultat de la question I.4.3 pour trouver des conditions
suffisantes.
Montrer ensuite qu'elles sont nécessaires.
I.4.5 Utiliser la question I.4.4.
I.4.6 Utiliser la question I.4.3 pour construire une suite (tk ) telle que
(tk ) -
+
k
I.4.8 Montrer d'abord que est bornée sur [ 0 ; 2 ].
Partie II
II.2.1 Faire deux intégrations par parties ou raisonner avec des nombres
complexes.
II.2.2 Utiliser le changement de variable t t + n.
II.3.2 Z
En intégrant par parties, exprimer l'intégrale
e-t (t) dt.
Z
e-t (t) dt en fonction de
R+
R+
Partie III
III.1 Se rappeler le théorème de convergence normale des séries de Fourier.
III.2.1 Utiliser la formule de trigonométrie donnant sin a cos b comme une
somme de
sinus, ainsi que la parité de la fonction µ.
III.2.2 Utiliser le critère de Riemann pour montrer la convergence de la série.
III.2.3 Utiliser la formule de Parseval pour calculer la somme de la série.
III.3.2 Effectuer deux intégrations par parties.
III.3.3 Utiliser l'équation différentielle vérifiée par la fonction .
III.3.4 Revenir à la définition des coefficients de Fourier. Décomposer
l'intégrale en
somme de coefficients de Fourier des fonctions G et H, et utiliser la parité de
ces fonctions.
III.4 Découper l'intégrale de la partie II, dont on connaît la valeur, selon
des intervalles de type [ 2k ; 2(k + 1) ] pour l'exprimer en fonction de
l'intégrale
Z 2
e-t (t) dt
0
Dans cette dernière intégrale, remplacer par sa série de Fourier (en justifiant
correctement l'opération) afin de faire apparaître les coefficients de la série
à
calculer.
Partie I
I.1 La fonction t 7- µ(t) cos t est continue sur R. La fonction G étant définie
comme sa primitive qui s'annule en 0, elle est donc de classe C 1 sur R, et
vérifie
x R
G (x) = µ(x) cos x
De la même manière, H est une primitive de la fonction t 7- µ(t) sin t, donc
également de classe C 1 , et
x R
H (x) = µ(x) sin x
En particulier, les théorèmes généraux de dérivation assurent que F est
dérivable, et
x R
F (x) = cos x G(x) + sin x G (x) + sin x H(x) - cos x H (x)
= cos x G(x) + sin x H(x)
Enfin, G et H s'annulent en 0 donc
F est dérivable sur R et F(0) = F (0) = 0.
I.2 On a vu à la question précédente que F s'écrit :
x R
F (x) = cos x G(x) + sin x H(x)
La fonction F est de classe C 1 , en tant que somme de produits de fonctions de
classe C 1 . On en déduit que F est de classe C 2 avec, en dérivant F ,
x R
d'où
F (x) = - sin x G(x) + cos x G (x) + cos x H(x) + sin x H (x)
= - sin x G(x) + cos x H(x) + µ(x) cos2 x + sin2 x
F est de classe C 2 et
x R F (x) + F(x) = µ (x)
I.3 Par définition, est la solution sur R de l'équation y + y = µ qui vérifie
en outre y(0) = y (0) = 0. On vient de montrer que F vérifie exactement les
mêmes
conditions, on a donc nécessairement :
F=
Tel qu'est rédigé l'énoncé, est présentée comme la fonction vérifiant ces trois
conditions, l'unicité étant donc admise. Celle-ci n'est ni plus ni moins qu'une
application directe du théorème de Cauchy-Lipschitz, qui affirme l'existence
et l'unicité d'une solution au problème de Cauchy.
I.4.1 Pour tout réel x, on a G(x + 2) - G(x) =
Z
x+2
x
e
µ(t) cos t dt. Soit G
l'application qui, à tout réel x, associe la quantité G(x + 2) - G(x). Le
théorème de
dérivation d'une intégrale fonction de ses bornes donne alors
e (x) = µ(x + 2) cos(x + 2) - µ(x) cos x
x R G
et comme les fonctions µ et cosinus sont toutes deux 2-périodiques, cette
dérivée
e définie sur R par la relation
est nulle. On obtient le même résultat pour la fonction H
e
H(x) = H(x + 2) - H(x), la fonction sinus étant elle aussi 2-périodique.
Les deux applications x 7- G(x + 2) - G(x) et
x 7- H(x + 2) - H(x) sont de dérivées nulles sur R.
I.4.2 La fonction x 7- G(x + 2) - G(x) est de dérivée nulle, donc constante.
En particulier, elle est égale à sa valeur en 0, à savoir G(2) - G(0) = G(2).
Z 0
(En effet, on a G(0) =
µ(t) cos t dt = 0). Il en est de même pour la fonction
0
x 7- H(x + 2) - H(x)
x R G(x + 2) - G(x) = G(2)
x R H(x + 2) - H(x) = H(2)
I.4.3 En utilisant l'égalité F = , on a en particulier, pour tout réel x,
(x) = sin x G(x) - cos x H(x)
On en déduit l'expression de (x + 2) - (x) :
sin(x + 2) G(x + 2) - sin x G(x) - (cos(x + 2) H(x + 2) - cos x H(x))
qui, par périodicité des fonctions sinus et cosinus, se simplifie en
sin x (G(x + 2) - G(x)) - cos x (H(x + 2) - H(x))
Soit, grâce aux résultats de la question précédente :
x R
(x + 2) - (x) = sin x G(2) - cos x H(2)
I.4.4 La condition G(2) = H(2) = 0 est clairement suffisante pour que soit
2-périodique (dans l'expression précédente, on a alors (x + 2) = (x) pour tout
réel x).
Réciproquement, supposons que la fonction est 2-périodique. En appliquant
la relation trouvée à la question précédente en x = 0, on a
0 = (2) - (0) = -H(2)
et pour x =
0=
+ 2 -
= G(2)
2
2
2
d'où
est 2-périodique si et seulement si G(2) = H(2) = 0.
I.4.5 Si µ est la fonction sinus (qui est bien continue et 2-périodique), alors
on a
Z 2
H(2) =
sin2 t dt > 0, donc n'est pas 2-périodique.
De même, si µ est
Z
2
0
la fonction cosinus, alors on a cette fois G(2) =
2-périodique non plus.
cos2 t dt > 0, et n'est pas
0
L'application n'est pas 2-périodique lorsque
µ est la fonction sinus ou la fonction cosinus.
Les intégrales
Z
2
2
sin t dt et
0
Z
2
cos2 t dt sont strictement positives comme
0
intégrales de fonctions continues, positives et non identiquement nulles sur
[ 0 ; 2 ]. L'argument suffit à prouver que n'est pas 2-périodique, mais
on peut aussi aisément calculer ces intégrales. Par exemple, en utilisant les
1 + cos(2x)
1 - cos(2x)
relations cos2 x =
et
sin2 x =
2
2
Z
Z
2
2
sin2 t dt =
cos2 t dt =
on trouve :
0
0
