CCP Maths 1 PSI 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Thomas Chomette (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Aurélien Alvarez (ENS Lyon) et Benoît Chevalier (ENS Ulm). Ce problème est consacré à l'étude d'une famille d'équations différentielles linéaires à coefficients constants et d'ordre 2, de la forme : y + y = µ où µ est une fonction continue de R dans R, 2-périodique. On étudie notamment un certain nombre de propriétés de la solution µ du problème de Cauchy défini par les conditions initiales y(0) = y (0) = 0, en fonction de l'application µ choisie. Dans l'ensemble, le problème est d'un niveau assez raisonnable, aucune question n'étant insurmontable si l'on maîtrise bien son cours. Il est composé de trois parties, les résultats de la première étant utilisés dans les deux autres, largement indépendantes entre elles. · Dans la première partie, on commence par exhiber un procédé de construction de la solution du problème de Cauchy, puis on détermine des critères sur l'application µ pour que la solution µ vérifie certaines propriétés : 2-périodicité et caractère borné. Cette partie se termine sur l'étude de quelques exemples, notamment le cas µ = |sin| qui sera étudié plus en détail dans la suite du problème. Z · La deuxième partie est consacrée au calcul de l'intégrale e-t (t)dt (où est R+ la solution Z du problème de Cauchy). Pour cela, on commence par calculer l'intégrale e-t |sin t| dt, en la découpant selon les intervalles [ n ; (n + 1) ]. R+ Puis on établit une relation entre ces deux intégrales, ce qui permet de calculer la première. · Enfin, dans la troisième partie, on étudie les séries de Fourier des fonctions µ et , ce qui permet de calculer la valeur d'un certain nombre de séries numériques, dont les sommes : P 1 2 p=1 4p - 1 P p=1 (4p2 1 2 - 1) et P p=1 (4p2 1 - 1) (16p4 - 1) Indications Partie I I.3 Utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz, et notamment l'unicité de la solution du problème de Cauchy. I.4.4 Utiliser le résultat de la question I.4.3 pour trouver des conditions suffisantes. Montrer ensuite qu'elles sont nécessaires. I.4.5 Utiliser la question I.4.4. I.4.6 Utiliser la question I.4.3 pour construire une suite (tk ) telle que (tk ) - + k I.4.8 Montrer d'abord que est bornée sur [ 0 ; 2 ]. Partie II II.2.1 Faire deux intégrations par parties ou raisonner avec des nombres complexes. II.2.2 Utiliser le changement de variable t t + n. II.3.2 Z En intégrant par parties, exprimer l'intégrale e-t (t) dt. Z e-t (t) dt en fonction de R+ R+ Partie III III.1 Se rappeler le théorème de convergence normale des séries de Fourier. III.2.1 Utiliser la formule de trigonométrie donnant sin a cos b comme une somme de sinus, ainsi que la parité de la fonction µ. III.2.2 Utiliser le critère de Riemann pour montrer la convergence de la série. III.2.3 Utiliser la formule de Parseval pour calculer la somme de la série. III.3.2 Effectuer deux intégrations par parties. III.3.3 Utiliser l'équation différentielle vérifiée par la fonction . III.3.4 Revenir à la définition des coefficients de Fourier. Décomposer l'intégrale en somme de coefficients de Fourier des fonctions G et H, et utiliser la parité de ces fonctions. III.4 Découper l'intégrale de la partie II, dont on connaît la valeur, selon des intervalles de type [ 2k ; 2(k + 1) ] pour l'exprimer en fonction de l'intégrale Z 2 e-t (t) dt 0 Dans cette dernière intégrale, remplacer par sa série de Fourier (en justifiant correctement l'opération) afin de faire apparaître les coefficients de la série à calculer. Partie I I.1 La fonction t 7- µ(t) cos t est continue sur R. La fonction G étant définie comme sa primitive qui s'annule en 0, elle est donc de classe C 1 sur R, et vérifie x R G (x) = µ(x) cos x De la même manière, H est une primitive de la fonction t 7- µ(t) sin t, donc également de classe C 1 , et x R H (x) = µ(x) sin x En particulier, les théorèmes généraux de dérivation assurent que F est dérivable, et x R F (x) = cos x G(x) + sin x G (x) + sin x H(x) - cos x H (x) = cos x G(x) + sin x H(x) Enfin, G et H s'annulent en 0 donc F est dérivable sur R et F(0) = F (0) = 0. I.2 On a vu à la question précédente que F s'écrit : x R F (x) = cos x G(x) + sin x H(x) La fonction F est de classe C 1 , en tant que somme de produits de fonctions de classe C 1 . On en déduit que F est de classe C 2 avec, en dérivant F , x R d'où F (x) = - sin x G(x) + cos x G (x) + cos x H(x) + sin x H (x) = - sin x G(x) + cos x H(x) + µ(x) cos2 x + sin2 x F est de classe C 2 et x R F (x) + F(x) = µ (x) I.3 Par définition, est la solution sur R de l'équation y + y = µ qui vérifie en outre y(0) = y (0) = 0. On vient de montrer que F vérifie exactement les mêmes conditions, on a donc nécessairement : F= Tel qu'est rédigé l'énoncé, est présentée comme la fonction vérifiant ces trois conditions, l'unicité étant donc admise. Celle-ci n'est ni plus ni moins qu'une application directe du théorème de Cauchy-Lipschitz, qui affirme l'existence et l'unicité d'une solution au problème de Cauchy. I.4.1 Pour tout réel x, on a G(x + 2) - G(x) = Z x+2 x e µ(t) cos t dt. Soit G l'application qui, à tout réel x, associe la quantité G(x + 2) - G(x). Le théorème de dérivation d'une intégrale fonction de ses bornes donne alors e (x) = µ(x + 2) cos(x + 2) - µ(x) cos x x R G et comme les fonctions µ et cosinus sont toutes deux 2-périodiques, cette dérivée e définie sur R par la relation est nulle. On obtient le même résultat pour la fonction H e H(x) = H(x + 2) - H(x), la fonction sinus étant elle aussi 2-périodique. Les deux applications x 7- G(x + 2) - G(x) et x 7- H(x + 2) - H(x) sont de dérivées nulles sur R. I.4.2 La fonction x 7- G(x + 2) - G(x) est de dérivée nulle, donc constante. En particulier, elle est égale à sa valeur en 0, à savoir G(2) - G(0) = G(2). Z 0 (En effet, on a G(0) = µ(t) cos t dt = 0). Il en est de même pour la fonction 0 x 7- H(x + 2) - H(x) x R G(x + 2) - G(x) = G(2) x R H(x + 2) - H(x) = H(2) I.4.3 En utilisant l'égalité F = , on a en particulier, pour tout réel x, (x) = sin x G(x) - cos x H(x) On en déduit l'expression de (x + 2) - (x) : sin(x + 2) G(x + 2) - sin x G(x) - (cos(x + 2) H(x + 2) - cos x H(x)) qui, par périodicité des fonctions sinus et cosinus, se simplifie en sin x (G(x + 2) - G(x)) - cos x (H(x + 2) - H(x)) Soit, grâce aux résultats de la question précédente : x R (x + 2) - (x) = sin x G(2) - cos x H(2) I.4.4 La condition G(2) = H(2) = 0 est clairement suffisante pour que soit 2-périodique (dans l'expression précédente, on a alors (x + 2) = (x) pour tout réel x). Réciproquement, supposons que la fonction est 2-périodique. En appliquant la relation trouvée à la question précédente en x = 0, on a 0 = (2) - (0) = -H(2) et pour x = 0= + 2 - = G(2) 2 2 2 d'où est 2-périodique si et seulement si G(2) = H(2) = 0. I.4.5 Si µ est la fonction sinus (qui est bien continue et 2-périodique), alors on a Z 2 H(2) = sin2 t dt > 0, donc n'est pas 2-périodique. De même, si µ est Z 2 0 la fonction cosinus, alors on a cette fois G(2) = 2-périodique non plus. cos2 t dt > 0, et n'est pas 0 L'application n'est pas 2-périodique lorsque µ est la fonction sinus ou la fonction cosinus. Les intégrales Z 2 2 sin t dt et 0 Z 2 cos2 t dt sont strictement positives comme 0 intégrales de fonctions continues, positives et non identiquement nulles sur [ 0 ; 2 ]. L'argument suffit à prouver que n'est pas 2-périodique, mais on peut aussi aisément calculer ces intégrales. Par exemple, en utilisant les 1 + cos(2x) 1 - cos(2x) relations cos2 x = et sin2 x = 2 2 Z Z 2 2 sin2 t dt = cos2 t dt = on trouve : 0 0
