CCINP Maths 1 PSI 2003

 

SESSION 2003 ' A PSIMIOS

CONCOURS (OMMUNS _P0lYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

****'

N. B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'e'noncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a 
été amené à prendre.

q****

Dans tout ce problème, on désigne par ,il une application continue 27! - 
périodique de R dans R et
on considère l'équation différentielle :

(En) Y"+ y = fl(ï)

On désigne par (a" la solution sur R de (E") qui vérifie en outre les relations 
ça" (0): $;: (0): 0.

Pour xe R , on note :

_ Gfl(x)= Eu(t) cost dt et Hfl(x)=_f0xu(t) sint dt

Dans la partie 1, on étudie quelques propriétés de la fonction $,, . Dans la 
partie II et la partie 111,
on étudie un exemple explicite. V

' PARTIE I

On désigne par F y la fonction définie sur R par F # (x)= (sin x) GF (x)-- (cos 
x) H # (x).
Pour simplifier les notations, on écrira F, G, H , $ pour désigner les fonctions

F", G... H", %.
I.1 Justifier la dérivabilité de G, H "et donc F. Préciser F (O) et 'F'--(O).

I.2 -Montrer que F est de classe EUR?" sur R et exprimer F "(x)+ F (x) en 
fonction de ,u(x).
1.3 Justifier l'affirmation F = $.

1.4 Etude du caractère 271 -' périodique de (p .
1.4.1 Calculer la dérivéede G(x + 27z)---- G(x) et H(x + 27z)-- H(x).

1.4.2 Exprimer G(x + 271 ) -- G(x) en fonction de G(27Z)
et ' H (x + 271 ) -- H (x) en fonction de H (271 ).

1.4.3 Exprimer w(x +_27z )--w(x) en fonction de sin x, cos x, G(27z) H (ZE).

1.4.4 A quelle condition nécessaire et suffisante portant sur G(27z) et H (Zn)
fonction (fl est--elle 27z-- périodique '?

1.4.5 La fonction (p est--elle 272 - périodique lorsque. ,u(t)=sint '? (resp. 
lorsque
,u(t)=cost ?)

1.4.6 La fonction (p est--elle bomée lorsque ,u(t)= sint ? (resp. lorsque
,u(t)= cost ?)

1.4.7 Montrer que la fonction (p est 272 - périodique lorsque ,u(t)= |sin tl.

1.4.8 Les fonctions (0 , (p', et ça" sont--elles bomées lorsque ,u(t)=lsin tl ?

Dans toute la suite du problème, on suppose que ,u(t)= |sin tl .

PARTIE II

Calcul de !

R+

e"çp(t) dt

II. 1 Justifierl' intégrabilité sur R de la fonction 1 +---> e |sintl.

II. 2 Pour ne N, on note v,, : --I(n+l)fle "'lsin tl dt.
11.2.1 Calculer vo.
Il.2.2 Montrer qu'il existe un nombre réel ,a (que l'on explicitera) tel que

pour tout ne N , on ait v,, : p"vo.

11.2.3 En déduire la convergence de la série Evn et expliciter sa somme 2vn .
n20 n=0

[1.2.4 En déduire la valeur de l'intégrale _[R+ e"|sin tl dt.

11.3 -
11.3.1 Déduire des résultats obtenus dans la partie I (en particulier de 1.4.8) 
que les

fonctions 1 |----> e"(p(t), t |--> e"ça'(t) et t l--> e"çü"(t) ,sont 
intégrables sur , R+ .

Il.3.2 Etablir une relation entre !

R+ e"',u(t) dt et [... e"'æ(t) dt.
e"'(0(t) dt ,.

R+

En déduire [

PARTIE III _ \

Développement de Fourier des fonctions ,u et {0 .

Si f est une application continue 2fl- périodique de R dans R, on désigne par a 
(f) et b ( f )
les coefficients de Fourier réels de f:

a ,,(f)=---- ;J?f(r) cos(nt) dt et b ,,(f)= --71Î0J2"f(t) sin(nt) dt pour ne N.

Lorsqu'elle converge, on désigne par SF , (t) la somme de la série de Fourier :

SF,(t)= "ogf)+ É...) cos(nt)+b,(f) s...(m).

III.]

III.1.1 Justifier la convergence de la série de Fourier de la fonction . ,u
(rappel : ,u(t)= |sin tl ).

III. 1.2 Justifier la convergence de la série de Fourier de la fonction @
(rappel: «) "(t)+w(t) =lsîntl. w(0)= (fl'=(O) 0)
III.2 Série de Fourier de la fonction ,a .

III.2.1 Calculer les coefficients an(,u) pour ne N . Quelle est la valeur des 
coefficients
bn(,u) pour ne N' ?

' 1
III.2.2 Etablir la conver ence de la série et ex liciter sa somme
g % (4p21 -- )1 p Ê2 4 p -1
III.2.3 Etablir la convergence de la série Z------l---2-- et calculer sa somme 
Î------l------2
- p>1(4p2 --1) p= -1(4p2 --1)

1113 Série de Fourier de la fonction (0 .

III.3.1 Etudier la parité des fonctions G, H puis celle de la fonction (p . 
Quelle est la
valeur des coefficients bn ((p) pour ne N' ? '

III.3.2 Etablir une relati0n entre an ((p") et a,, ((p) pour ne N .
III.3.3_ En déduire la valeur de au ($) pour n # 1 .

111.3.4 Calculer a1 (@).

III. 4 On considère la série z . Just1f1er la convergence de cette sene et

p>l 4p2 "'1 16p4 "'].

expliciter sa somme Î------l-------- en calculant l'intégrale du II par un 
autre procédé
.. _1(4p2 --1)(16p --1)

qu'on justifiera soigneusement.

III.5 On considère dans cette question l'application à de classe EUR2 de R dans 
R vérifiant;
W(Ù+$(Ù=w(t) pour tout te R
et a(o)= o'(o)= o.

111.5.1 La fonction «) est-elle 271 - périodique ?
III.5.2 La fonction @ est-elle. bornée sur R ?

III.S.3 La fonction t +--> e"'$(t) est--elle intégrable sur R+ ?

Fin de l'énoncé.