CCP Maths 1 PSI 2002

Thème de l'épreuve Transformation de Laplace ; étude de certaines parties de Mn(R)
Principaux outils utilisés dérivation, séries de fonctions, intégrales à paramètre, dérivation sous le signe « intégrale », déterminants, réduction des endomorphismes

Corrigé

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 SESSION 2002 . PSIMIO4 CONCOURS (0MMUNS POlYÏECHNIOUIS EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. *** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision dela rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. *** Cette épreuve comporte deux problèmes totalement indépendants l'un de l'autre. PROBLEME 1 Dans ce problème, on désigne par : E la fonction partie entière, I l'intervalle ]O,+oe[ , ('A: l'ensemble des applications continues par morceaux de R+ dans R qui vérifient la condition : pour tout t & R+ | f (t)| S t. Si f & CA» et x E I : ]O,+oe[ ,on considère F(x) : Je_nf(t) dt. R Le but de ce problème est d'étudier quelques propriétés de F . Préliminaire -- Etude de deux fonctions : nx nx On considère pour x e R et n e N : un (x) = e_ et vn (x) : ne-- P.1/ Déterminer l'ensemble de convergence simple D de la série 2 un (x) (resp. D' nZO de la série Z vn (x) ). n.>.l +oo +00 On note désormais g(x) : 2 un (x) pour x E D et h(x) : Z vn (x) pour x e D'. n=0 "=1 Tournez la page S.V.P. P.2/ Expliciter g(x) pour x E D. P.3/ Etablir (en la justifiant) une relation entre les fonctions g et h. En déduire l'expression explicite de h(x) pour x e D'. 1/ Une étude de CA: . 1.1/ On considère la fonction fo définie sur R+ par fo (t) =t . Montrer que si x e 1 alors l'application t l-----> e_xif0 (t) est intégrable sur R+ et expliciter FO (x) = Je_fifO (t) dt. R+ 1.2/ Vérifier que si f & CA? et si x E I , alors la fonction çax : t |----> e_)" f (t) est intégrable sur R+ . Ainsi, lorsque f & CAO , la fonction F : x l--> e_fi f (t) dt est bien définie sur I et on R+ note désormais F = î( f ) 1.3/ Soit fecA» et F=Î(f). 1.3.1/ Déduire de ce qui précède que xF (x) admet une limite que l'on précisera lorsque x tend vers + oo . 1.3.2/ On suppose de plus que f est continue sur R+ . Montrer que la fonction F est de classe (61 sur l'intervalle ] . 2/ Exemple 1 : fonction partie entière. On considère dans cette question la fonction fl définie sur R+ par fl (t) = E (t) (partie entière de t) et soit F1 : Î(fl ). 2.1/ Vérifier que la fonction f1 appartient à l'ensemble dti». 2.2/ Montrer que la fonction F1 peut s'exprimer à l'aide de l'une des deux fonctions g ou h , et expliciter F] (x) pour x e I . 3/ Un deuxième exemple. On considère dans cette question la fonction f2 définie sur R+ par fz(f) = ... +( --- E O ? , 1.4.3/ On suppose que "1171 = 0 . Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur al et bl pour que la matrice A soit diagonalisable dans m2 (R). I.5/ On considère deux matrices de EUR] : 0 0 t 4 K = (x à) L = (z 0) avec (x, y, z, t) EUR R I.5.1/ Les deux matrices K et L sont-elles semblables dans m2 (R) lorsque xy # zt ? I.5.2/ On suppose que xy : zt # 0. Les deux matrices K et L sont--elles semblables dans m2 (R) ? PARTIE II Etude de EUR " (al,a2,...,an)EUR R" , b : (b],b2,...,bn)EUR R" ; dans le but de le déterminant de la matrice A : An (a, b). * . Pour nEURN , s01t a simplifier, on notera dn (a, b) ou simplement dn II.1/' Calcul de dn. II.1.1/ Calculer d2. II.1.2/ Pour n 2 3 exprimer dn fonction de an,bn et dn_2. 11.1.3/ Quelle est la valeur de d2p pour p EUR N* ? 11.1.4/ Calculer d2p+1 pour p EUR N , en fonction des ai et des bi, i EUR [[l,2p + 1]]. II.2/ Liens entre în , On +1 et D n+l ' Il.2.1 On suppose qu'il existe une matrice U EUR EUR" n On +1. Soit A EUR Dn+1 , on pose A... UA ; vérifier que A EUR fin et que AtA EUR Dn+l° II.2.2/ Soit A EUR î2P ; existe--t-il U EUR î2p (\ 02p+1 et A EUR D2p+1 telles que A : UA '? II.2.3/ Pour n = 3 ' on considère la matrice A : A3 (a, b) EUR 83 avec a : (1,3,5) b : (2,4,6). Existe--t-il U EUR Î3 m 04 et A EUR D4 telles que A : A3 (a, b) : UA ? Tournez la page S.V.P. 11.2.4/ Onsupposeque n=2p+l etque A=A2p+l(a,b)eî2p+l nOZP+2. 11.2.4.1/ Quelles sont les valeurs possibles pour a], bl , a2 , b2 ? Il.2.4.2/ Préciser l'ensemble EUR 2p+1 n 02P+2 et son cardinal. Il.2.4.3/ Soit A & î2 p +1 telle que AtA & D2P+2 et det A # 0. Montrer qu'il existe UEî2p+lñ02p+2 et AeD2P+2 tellesque A=UA. II.3/ Matrices symétriques de în . On considère dans cette question la matrice A = An (a, a) pour a e R" . 11.3.1/ Justifier l'affirmation : Pour tout a e R" la matrice A est diagonalisable dans mn +1(R). n+l Si  j , j e [[1, n + 1" désignent les valeurs propres de f A , préciser la valeur de 2 À j . j=1 II.3.2/ Pour (x, y) & (Rn+l)z, onnote < x, y > le produit scalaire euclidien canonique de x et y. On associe à A : An (a, a) la fonne bilinéaire ça A (notée simplement (p)_ définie par : pour tout (x, y) & (RMI)2 ço(x, y) =< x, fA (y) >. La forme bilinéaire ça définit-elle un produit scalaire sur R'"1 ? (on pourra considérer ça(x, x) pour x vecteur propre de l'endomorphisme f A ). II.4/ Comatrices et ensemble în . 11.4.1/ Montrer que pour toute matrice A = A] (al , bl) & EUR] la matrice A* est élément de EUR]. Dans la suite on suppose que n 2 2. 11.4.2/ Si A EUR EUR A 0 la matrice A* appartient-elleà £ ? n n+l n II.4.3/ Existe--t-il un entier n 2 2 tel que pour toute matrice A & în la matrice A* soit élément de EUR ,, ? Fin de l'énoncé.

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 CCP Maths 1 PSI 2002 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Aurélien Alvarez (ENS Lyon) ; il a été relu par Thomas Chomette (ENS Ulm) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan). Ce sujet se compose de deux problèmes indépendants. Le premier problème étudie quelques propriétés de la transformée de Laplace alors que le deuxième porte sur l'étude de certaines matrices. · L'étude proposée dans le premier problème se restreint à l'ensemble A des applications continues par morceaux de R+ dans R qui satisfont la condition suivante : t R+ |f (t) | 6 t Après avoir étudié rapidement deux fonctions auxiliaires g et h dans la partie préliminaire, on s'intéresse à des propriétés générales de la transformée de Laplace pour les éléments de A. Dans un deuxième temps, on considère deux exemples particuliers autour de la fonction partie entière. Il est important de bien maîtriser les théorèmes sur les séries de fonctions ainsi que ceux sur les intégrales à paramètre pour bien aborder ce problème. · Dans le deuxième problème, on s'intéresse plus particulièrement à un ensemble de matrices dont les seuls termes non nuls sont ceux de la sur-diagonale et de la sous-diagonale. Dans la première partie, on se restreint à la dimension 2 pour entre autres dégager une condition nécessaire et suffisante pour que ce type de matrices soit diagonalisable. La deuxième partie, quant à elle, est l'étude du cas général. On y calcule notamment le déterminant de ces matrices, et l'on s'intéresse à leur éventuelle décomposition en produit d'une matrice orthogonale et d'une matrice diagonale ; enfin, on regarde plus particulièrement les matrices symétriques de ce type, ainsi que leurs comatrices. Ce sujet ne présente pas de grosses difficultés mais aborde un certain nombre de notions fondamentales d'analyse dans le premier problème, et l'étude proposée dans le deuxième problème permet de revoir une partie des méthodes de l'algèbre linéaire développées au cours de l'année. Indications Premier problème P.1 Utiliser la règle de d'Alembert. P.3 Penser au théorème de dérivation des séries de fonctions. 1.1 Utiliser le théorème de croissance comparée pour justifier l'intégrabilité de la fonction, puis intégrer par parties. 1.2 Utiliser le résultat de la question précédente. 1.3.1 Utiliser le résultat de la question 1.1. 1.3.2 Utiliser le théorème du cours sur les intégrales généralisées à paramètre. 3.2 Utiliser le résultat de la question 1.3.2. 3.3 Faire une étude qualitative, en se servant des résultats des questions 1.3 et 3.1. 3.4 Intégrer par parties. Deuxième problème I.2 Traduire le caractère orthonormé des colonnes. I.3 Utiliser la question précédente. I.4.1 Penser au déterminant. I.4.2 Chercher les racines du polynôme caractéristique. I.4.3 S'intéresser aux valeurs propres de la matrice dans ce cas. I.5.1 Trouver une condition nécessaire. I.5.2 Traduire l'éventuelle similitude des deux matrices (c'est-à-dire l'existence de P inversible telle que PL = KP) pour exhiber une matrice de passage. II.1.2 Développer par rapport à la dernière ligne. II.1.3 Utiliser la question précédente. II.1.4 Faire une récurrence. II.2.1 Calculer explicitement les coefficients de la matrice A. II.2.2 S'intéresser à l'ensemble E2p O2p+1 . II.2.3 Utiliser la question II.2.1. II.2.4.1 Traduire le caractère orthonormé des lignes et des colonnes. II.2.4.2 Faire une récurrence en s'inspirant de la question précédente pour trouver l'ensemble cherché. II.2.4.3 Utiliser la même démarche qu'à la question I.3. II.3.1 Utiliser la trace de l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice. II.3.2 Considérer des vecteurs propres associés à chacune des valeurs propres, puis utiliser la question précédente. II.4.2 Faire le lien entre les matrices A , A-1 et t A. II.4.3 Calculer le cofacteur correspondant à la première ligne et à la dernière colonne, et montrer qu'il peut toujours être choisi non nul. Premier problème Questions préliminaires P.1 Une condition nécessaire de convergence des séries est que leur terme général tende vers 0. On a donc, si x D : un (x) ---- 0 n On en déduit donc que x est nécessairement strictement positif, ce qui prouve que D ] 0 ; + [. On a également cette même condition sur la suite vn (x) qui implique de même que D ] 0 ; + [. Réciproquement, considérons x > 0 et montrons que les séries de terme général (strictement positif) un (x) et vn (x) convergent. D'après un calcul immédiat, on un+1 (x) vn+1 (x) constate que les rapports et tendent tous les deux vers e-x . un (x) vn (x) Or 0 < e-x < 1 x > 0 () La règle de d'Alembert permet alors de conclure que les séries convergent (d'où les inclusions inverses). On a donc : D = D = ] 0 ; + [ P.2 Pour tout x appartenant à D, la série P un (x) est une série géométrique de raison e-x strictement comprise entre 0 et 1 (d'après ()), donc : + g (x) = P + un (x) = n=0 Ainsi on a x D P n (e-x ) = n=0 g (x) = 1 1 - e-x ex ex - 1 P.3 D'abord on constate que : x > 0 un (x) = -vn (x) On utilise donc le théorème de dérivation des séries de fonctions, que l'on rappelle : On considère la série de terme général wn où les fonctions wn de la variable réelle sont supposées de classe C 1 sur un intervalle J. On suppose P que wn converge en tout point de J et qu'il y a convergence uniforme de P la série wn sur tout segment inclus dans J. P P Alors la série wn est en fait de classe C 1 sur J de dérivée wn . P D'après ce qui précède, il ne reste plus qu'à vérifier la convergence uniforme de un . Pour cela, considérons un réel strictement positif. x ] ; + [ |un (x) | < ne-n Or P ne-n est une série convergente d'après la première question pour tout strictement positif. On en déduit donc qu'il y a convergence normale, et donc uniforme sur l'intervalle ] ; + [. Puisque ceci est vrai pour tout > 0, et comme tout segment de ] 0 ; + [ est inclus dans un certain ] ; + [, on a montré qu'il y a convergence uniforme sur tout segment. D'après le théorème rappelé, g est donc de classe C 1 sur l'intervalle ] 0 ; + [, et en outre : + P x > 0 g (x) = -vn (x) = -h (x) n=0 Ainsi x > 0 h (x) = ex (ex - 1)2 Première partie 1.1 L'application t 7- e-xt f0 (t) est clairement continue par morceaux sur R+ pour tout x réel, et est donc intégrable sur tout intervalle de la forme [ 0 ; A ] où A désigne un réel positif. Soit x appartenant à I. D'après le théorème de croissance comparée, on a : |t3 e-xt | ---- 0 t+ Autrement dit, au voisinage de +, on a : te-xt = o 1/t2 . Or la fonction t 7- 1/t2 est intégrable au voisinage de l'infini. Ceci nous permet de conclure que pour x appartenant à I : t 7- e-xt f0 (t) est intégrable sur R+ . Calculons F0 par intégration par parties. Pour x I, on a : Z Z X F0 (x) = e-xt f0 (t) dt = lim te-xt dt X+ R+ Or Z X te 0 Z d'où -xt e-xt dt = t -x X te-xt dt = 0 X - 0 Z X 0 0 e-xt dt -x Xe-xX 1 - e-xX + -x x2 En passant à la limite en X (on rappelle que x est strictement positif), on en déduit : x I F0 (x) = 1 x2 1.2 Soient f un élément de A et x appartenant à I. La fonction x est clairement continue par morceaux. t R+ |x (t) | = |e-xt f (t) | 6 te-xt = e-xt f0 (t)