CCP Maths 1 PSI 2001

Thème de l'épreuve Étude de la série entière des restes d'une série entière convergente; calcul d'un déterminant d'ordre n
Principaux outils utilisés série numérique, série entière, théorème de convergence dominée, produit scalaire, intégration

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SESSION 2001 psmo4 A CONCOURS COMMUNS POlYTECHNIOUES ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI MATHÉMATIQUES 1 DURÉE : 4 heures MMM--__-- Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la circulaire n° 99--186 du 16.11.99 -- BOEN n°42 du 25.11.99. Cette épreuve comporte deux problèmes indépendants l'un de l'autre. PROBLÈME 1 +00 Etant donné une série convergente Euk (x), on note R,, (x): Euk (x) son reste d'ordre n, pour k kZO =n+l n E N et on se propose d'étudier la série ZR" (x). nZO PARTIE I 1.1. On suppose que u k (x) = (-- 1)k x" , où x EUR R. k 1.1.1. Déterminer l'ensemble 1 des x EUR R tels que la série Z(-- 1)kx converge et préciser sa , k20 +oo somme 2 (-- 1)kxk pour x E I. k=0 ' 1.1.2. En supposant que x E I, expliciter R,,(x), montrer que la série 2Rn (x) converge et nZO +oo calculer sa somme S (x) = 2 R,, (x). n=O Tournez la page S.V.P. 1.2. On conserve les notations du 1.1 : uk (x) = (-- l)k x" , R.. (x) : Î(-- l)kx" pour n E N et on pose R--1 (x)= Î(-- l)kxk. On considère k=n+l _ k=O 1) (_ k+l . (_ 1)k+l par ailleurs la série 2---- et on pose : r" = Î --------------- pour n E N. On se propose d'établir la kZl k k=n+l k convergence de la série 2 r,, et de calculer sa somme. 1120 .. ,. --1k" . . 1.2.1. Justifier la convergence de la senc 2( ) et par su1te l'ex1stence de r,, pour tout k21 k ne N. 1.2.2. Soit (mm) 5 N2 avec n.<.m et 10: [O, 1[. 1.2.2.1. En remarquant que Î(-- l)k x" = Rn--l (x)--- R... (x) , montrer que pour tout x EUR 10 on a k=n Z (-- 1)" x" k=n l'inégalité : S 2. 1.2.2.2. L'entier n étant fixé, déduire en particulier de 1.2.2.1 que : l... lim (Ë("l)kxk]a= lim É JIO(_1)kxkdx m--->+oo "=" et par suite que r,, : J 10 R,... (x) dx. 1.2.2.3. Retrouver ainsi la valeur (bien connue !) de ra. 1.2.2.4. Montrer que pour tout couple (m, x) EUR N x 10 on a l'inégalité : âR.-.(x) SZ. 1.2.2.5. Déduire en particulier de 1.2.2.4 que la somme î [ 10 R... (x)dx admet une limite =o lorsque m tend vers + oo. En déduire que la série 2 rn converge et calculer sa somme Î r,, . nZO n=O - PARTIE 11 Une égalité sur les restes ; quelques applications. 11.1. Egalité sur les restes. +oo Lorsque la série numérique 2uk converge, on note toujours R,, : Euk son reste d'ordre n. kZl . k=n+l Soit Euk une série convergente ; exprimer pour n E N la différence ËRk -- Ëkuk en fonction de k21 k=O k=l n et de R,. . 11.2. Application à une suite. __1 +1 Montrer qu'il existe deux réels on et [3 tels que Ë(n--k)(--k----= a n + B + o(l) lorsque n tend k=l vers--+00. 11.3. Application à une série à termes positifs. On suppose de plus que u k ?. 0 pour tout k & N*. 11.3.1. Montrer que la convergence de la série ZR}. entraîne la convergence de la série 2kuk . k20 k21 11.3.2. On suppose que la série Ekuk est convergente. Quelle est la limite de la suite (n+l)Rn k21 lorsque n tend vers + oo '? 11.3.3. Déduire de ce qui précède que les deux séries ZR}. et Zkuk sont de même nature et k20 k.>.l lorsqu'elles convergent comparer alors leurs sommes É R,. et Îkuk . k=0 k=1 11.4. Application àla série E--lx-- . k21 k On suppose maintenant que uk (x) = -----1-- pour k E N* et xe D = ] 1,+oo [. kx +oo On note toujours Rn (x) = 2 7}; le reste d'ordre n et on pose {: (x) : î}%x_ pour x E D. k=n+l k=1 ' Préciser l'ensemble D1 des x E D tels que la série 2Rn (x) soit convergente et exprimer, nZO pour x & D1, la somme É R,, (x) à l'aide de la fonction Ç . n=O Tournez la page S.V.P. .*:v.w ....WW--w--mü--'umnùïäà -- ( 'N- " "" 11.5. Application à une série entière. On suppose maintenant que uk (x)= ak x" , où (ak)ke... désigne une suite de nombres réels et où x E R. On désigne par p le rayon de convergence de cette série entière, on suppose p > 0 et on note +oo f(x)=2akxk pour x E ]- p, p [. k=l Il.5.l. Soit x E ]-- p, p [ ; justifier la convergence de la série Ekakxk ; en déduire que la suite k21 (n+l)R,,(x) admet une limite lorsque n ---> +00 (et préciser cette limite). Il.5.2. En déduire que la série 2Rn (x) est convergente pour x EUR ]-- p, ,0 [ et exprimer sa somme nZO +00 2 R,! (x) à l'aide de x et de la fonction f. n=0 Il.5.3. Exemple : on suppose que ak: sinQr--%) + 71c-- cos(k%) pour k & N*. Il.5.3.1. Déterminer alors le rayon de convergence p de cette série entière. Il.5.3.2. Expliciter la somme É R,, (x) pour x E ]-- p, p [ (en justifiant le résultat). n=0 PROBLÈME 2 Notations : - k! . . Pour k E N, j EUR N et 0 5 j 5 k , on note C,{ : ---- le coefficient bmom1al (avec O! = 1). j! (k -- j) ! Si 11 E N on note [[O,nH l'ensemble des entiers naturels k tels que 0 5 k 5 n ; on désigne par M...(R) l'anneau des matrices carrées d'ordre n + 1 à coefficients dans R. Si M EUR M,...(R) on note M = (m...-) avec (i, j) EUR HO,nH2 ou mi,}. désigne l'élément de la lignei et dela colonne j. Pour n E N* on considère la matrice W,, = (w.--, j) EUR M...(R), (i, j) EUR [[O,n]]2 avec w;_ jdéfifliC par: si i +j est pair: i +j : 2p alors wi,j=--2--lêp--Câp si i + j est impair alors w,; ]" = 0 On se propose de calculer le déterminant de W,, noté det W,. PARTIE 1 1.1. Expliciter la matrice W3. 1.2. Calculer det W3. TZ 1.3. Pourm E N on note ] ... = [ cos'" t dt. 0 1.3.1. Calculer Jo et J1. 1.3.2. Etablir une relation entre J...2 et ]m pour m E N. Quelle est la valeur de sz+1 pour p E N '? 1.3.3. Expliciter sz en fonction de p et du coefficient binomial C2",) pour p 6 N. 1.3.4. Exprimer w...-- en fonction de J... , de i et de j pour tout couple (i, j ) & fi0,n]]2. Tournez la page S.V.P. PARTIE II On considère l'espace vectoriel E : Ë([O, Tt], R) des fonctions continues sur l'intervalle [O, n] à valeurs dans R. On considère sur E le produit scalaire <-/ '> défini par : pour(f, g)e EZ:  : % [ f(t) g(t) dt. 0 On définit deux suites (ek )keN et (vk )keN d'éléments de E par: pour tout te [O, %] eo(t) : v0(t) : 1 et pour k.>. 1 ek (t) : «/îcos(kt), vk (t)= cos" (l). Pour m E N on note H...(e) le sous--espace vectoriel vect (eo, el, ..., e...) (sous--espace vectoriel de E engendré par la famille (8j)jg[[Q ,... ). On note, de même, H...(v) le sous--espace vectoriel vect (vo, vl, v...). 11.1. Calculer les produits scalaires < e,-- /ek > pour (i. k) EUR HO,mH2. 11.2. En déduire que pour tout m E N la famille (ej)jeug, ,... est une base de H... (EUR). 11.3. Soit m & N ; montrer que V... E H... (e), c'est--à--dire que V... = îÿi,m e,-- ; expliciter q..._... (on ne i=0 cherchera pas à calculer q... pour 0 S i _<_ m-1). 11.4. Démontrer l'égalité H...(e) : H...(v) pour tout m E N. 11.5. Pour m 6 N on note d... la distance de vm+1 au sous--espace vectoriel H...(e) (pour la distance associée au produit scalaire défini au début de la partie 11). Déduire de ce qui précède la valeur de d... . n 11.6. Soit n G N* ; pour (i, j) & [[O,n]]2 on note vj : eqj ei et on pose alors : '--0 ' Qn : (qi,j)e Mn+l (R) avec (i, j)e [10,nIP. 11.6.]. Calculer det Q,, pour n E N*. 11.6.2. Calculer det W,2 pour n E N*. Fin de l'énoncé.

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 CCP Maths 1 PSI 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sébastien Desreux (ENS Ulm) et Nicolas Andraud (Mines de Paris) ; il a été relu par Vincent Perrier (ENS Lyon) et David Lecomte (ENS Cachan). Cette épreuve, composée de deux problèmes indépendants, demande peu de connaissances techniques ; de surcroît, le travail est très bien guidé par des questions précises et progressives. En revanche, on a souvent besoin de faire appel aux résultats de questions déjà traitées et il est essentiel de prendre un peu de recul vis-à-vis de l'énoncé pour comprendre où il nous mène. En outre, plusieurs questions exigent beaucoup de rigueur. C'est donc un excellent entraînement aux épreuves écrites. · Le premier problème propose l'étude de la série des restes d'une série convergente. Après une mise en jambe facile, on montre à la question II.1 une identité que l'on utilise ensuite pour l'étude : d'une suite, des restes des séries à termes positifs, des restes de la fonction et enfin des restes d'une série entière. · Le second problème propose de calculer le déterminant de la matrice de terme général 1 Cp si i + j est pair (i + j = 2p) 2p wi,j = 22p 0 sinon Z À cette fin, on exprime wi,j en fonction d'une intégrale de la forme cosk t dt 0 (qui doit faire penser aux intégrales de Wallis), ce qui introduit une étude de nature euclidienne au moyen du produit scalaire (usuel) Z 1 hf | gi = f (t)g(t) dt 0 Indications Premier problème I.1.1 La série est géométrique. I.2.1 Utiliser le théorème des séries alternées. I.2.2.2 Utiliser le théorème de convergence dominée. I.2.2.5 Utiliser à nouveau le théorème de convergence dominée. n P II.1 Remarquer que Rk = Rn + up pour tout k [[ 0 ; n ]] ou raisonner par p=k+1 récurrence. II.2 Poser uk = (-1)k+1 /k et utiliser la question précédente sous la forme - n P k uk = . . . k=1 II.3.1 Remarquer (à l'aide de la question II.1) que n P k uk est compris entre 0 et k=1 P Rk . k=0 II.3.2 Encadrer (n + 1)Rn en remarquant que k > n + 1 (n + 1) uk 6 k uk II.4 Utiliser la question II.3.3. II.5.1 Une série entière est dérivable terme à terme sur son intervalle (ouvert) de convergence. II.5.3.1 Remarquer que (ak ) est bornée, ou trouver un équivalent. II.5.3.2 Passer en complexes. Deuxième problème I.3.2 Intégrer Jm+2 par parties (m + 2 = 1 + (m + 1)). I.3.3 Construire une formule empirique et la compléter en ajoutant les termes pairs. II.1 Linéariser le produit de cosinus. II.2 La famille est orthonormale, donc. . . II.3 Utiliser la formule d'Euler puis la formule du binôme. II.4 Montrer que em peut s'écrire comme combinaison des vk , 0 6 k 6 m. II.5 Utiliser le théorème de projection orthogonale et le fait que la famille (ei ) est une base orthonormale de Hm (e). II.6.1 Remarquer que la matrice Qn est triangulaire. II.6.2 Reconnaître une matrice de Gram. Premier problème L'énoncé a choisi d'utiliser une notation qui peut prêter à confusion : P une série est notée un (x) n>0 tandis que sa somme est notée P un (x) n=0 Afin de faciliter votre lecture, nous avons choisi de conserver la notation de l'énoncé. Toutefois, le jour du concours, vous pourriez sans problème utiliser P la notation (standard) un (x) pour une série dans votre copie. Partie I I.1.1.1 La série de terme général (-x)k est géométrique de raison -x ; elle converge si et seulement si | - x| [ 0 ; 1 [ , et dans ce cas sa somme est 1/(1 - (-x)) . P (-1)k xk converge sur I = ] -1 ; 1 [ k>0 et P x I (-1)k xk = k=0 1 1+x + I.1.1.2 La convergence sur I de la série P (-x)k assure l'existence du reste k>0 pour tout x I et tout n N. Rn (x) = P P (-x)k k=n+1 (-x)k k=n+1 = (-x)n+1 P (-x)k k=0 Rn (x) = La série P (-x)n+1 1+x Rn (x) est donc géométrique, de premier terme -x/(1 + x) et de rai- n>0 son -x ; elle converge si et seulement si | - x| [ 0 ; 1 [, c'est-à-dire x I, et sa somme est S(x) = -x (1 + x)2 I.2.1 La suite (1/k)kN est positive, décroissante et de limite nulle, donc la série P alternée (-1)k+1 /k est convergente, ce qui justifie l'existence de ses restes pour k>1 tout n N . I.2.2.1 Commençons par vérifier l'identité proposée (l'existence des restes a été justifiée à la question I.1.2) : m P (-x)k = k=n P (-x)k - k=n P (-x)k = Rn-1 (x) - Rm (x) k=m+1 Chacun des termes du membre de droite peut être majoré par 1 : x [ 0 ; 1 [ p N |Rp (x)| = xp+1 1 6 61 1+x 1+x L'inégalité triangulaire fournit donc le résultat : m P m, n > m x I0 (-x)k 6 |Rn-1 (x)| + |Rm (x)| 6 2 k=n On peut en fait obtenir une majoration plus fine sans effort particulier : x [ 0 ; 1 [ m P (-x)k 6 k=n m P |xk | 6 k=n P xk = k=0 1 61 1+x I.2.2.2 La question précédente semble un peu parachutée et, de surcroît, son résultat n'est guère passionnant : on peut donc se douter qu'il ne s'agit que d'une étape dans un enchaînement plus vaste, en l'occurrence l'hypothèse essentielle du théorème de convergence dominée. Appliquons le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions (fm )m>n (n est fixé) définies par : I0 - R m fm : P (-1)k xk x 7- k=n · Chaque fonction fm est continue (comme somme finie de fonctions qui le sont) sur I0 ; · la suite (fm ) converge simplement vers Rn-1 sur I0 ; · Rn-1 est continue sur I0 ; · chaque fm est majorée sur I0 par la fonction constante à la valeur 2 d'après la question précédente ; · la fonction constante à la valeur 2 est continue et intégrable sur I0 . D'après le théorème de convergence dominée, la fonction Rn-1 est intégrable sur I0 (ce que l'on pouvait prouver de manière plus élémentaire avec la question I.1.2) et (surtout) Z Z lim fm (x) dx = lim fm (x) dx + I0 m m+ I0 ce qui se réécrit