CCP Maths 1 PSI 2000

Thème de l'épreuve Étude d'une série de fonctions à deux variables
Principaux outils utilisés équations différentielles, séries de fonctions, séries de Fourier, intégrales dépendant d'un paramètre, extrema d'une fonction de plusieurs variables

Corrigé

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SESSION 2000 PSI005 A CONCOURS (OHIIHIS POlYTICHNIOIIES ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE PSI MATHÉMATIQUES 1 DURÉE : 4 heures Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la circulaire n° 99-018 du 01.02.99. But du problème Dans la partiel, on étudie les solutions d'une équation différentielle (E) y"--ay = f(x), solutions vérifiant en outre des conditions aux limites. Dans la partie II, on introduit une fonction K de deux variables, fonction qui est définie comme somme d'une série. Dans la partie III, à chaque fonction f continue impaire 27t-périodique sur R, on associe une fonction h grâce à la relation h(x) : _|ïK(x,t)flt)dt et on étudie quelques propriétés de la fonction ainsi obtenue. PARTIE 1 Lorsque p e N, on désigne par % p( [O,7t], R) le R--espace vectoriel des applications de classe ÏËP de [O,n] dans R. Lorsque ae R et fe %°( [O,rt], R) on considère l'équation différentielle: (E) y"--ay = f(x). On désigne par: 0 %E) l'ensemble des solutions réelles sur l'intervalle [O,7t] de l'équation différentielle (E) ; 0 o y (E') l'ensemble des fonctions F appartenant à %E) et vérifiant en outre : F(O) : F(7t) : 0. MI On suppose, dans cette question, que f est la fonction nulle. I.1.1/ Déterminer l'ensemble y °(E) lorsque a = 0. Tournez la page S.V.P. J. 1000 I.l.2/ Déterminer l'ensemble ÿ °(E) (selon la valeur de (» EUR Rî) I.1.2.1/ lorsque a = (02, 1.1.2.2/ lorsque 0: : --w2. I.2.l On suppose, dans cette question, que a = 0. 1.2.1! Déterminer l'ensemble 3" 0(E) I.2.1.1/ lorsque f(x) : cos x, I.2.1.2/ lorsque f(x) : sin (nx) (où n désigne un entier naturel non nul fixé). I.2.2/ On suppose que f(x) = | cos xl. 1.2.2. 1/ Déterminer l'ensemble %E). 0 z I.2.2.2/ Montrer que y (E) contient un seul élément, (seule fonction F de classe % sur [0,75] telle que pour tout x & [O,n] ; F "(x) = | cas x | et F(O) : F(7t) : O) ; expliciter F(x) et indiquer l'allure de son graphe. I.3/ On suppose toujours que a = 0 et on désigne par f une fonction quelconque appartenant à fâ°( [0,n1, R). Montrer que F EUR 5" (E) si et seulement si il existe (A,B) & R2 tel que pour tout xe [0,77] on ait: F(x)=Lïfif{t)dt] du+Ax+B. En déduire que pour tout f EUR % 0( [0,7r], R) l'ensemble 5" 0(E) contient un seul élément que l'on notera F1, Dans toute la suite de cette partie, on désigne par (p l'application de % 0( [0,75], R) dans lui même qui à f associe l'élément F [, unique solution sur l'intervalle [0,71] de l'équation différentielle : (E) y " =f(x) vérifiant en outre y(0) : y(7r) : O. I.4/ Vérifier que (p est un endomorphisme de % 0( [0,7r], R). 1.5/ L'endomorphismc (p est-il injectif ? surjectif ? I.6/ Déterminer les éléments propres de l'endomorphisme (p. I.7/ Pour tout x EUR [0,71] on désigne par T,, l'ensemble des couples (t, u) & R2 tels que 0 S t 5 u 5 x. 1.7.1/ Représenter l'ensemble Tx dans le plan euclidien pour un x fixé, (0 < x < 75). 1.7.2/ Justifier les égalités suivantes, pour x EUR [0,77] et f EUR %°( [0,7r], R) : JL--xf(t) du dt=_fïfifÜ) dt] du=Jä(x--t) f(t)dt. 1.7.3/ Soient fe %°( [0,75], R) et F] : (p(f). I.7.3.1/ Montrer qu'il existe [3 E R (B que l'on explicitera) tel que pour tout x 6 [O,7z] on ait l'égalité: Fl(x)=[;(x--t) f(t)dt+Bx 0 (n--t)f(t)dt. I.7.3.2/ En déduire qu'il existe ye R (1! que l'on explicitera) tel que pour tout x & [O,7t] on ait l'égalité: F1( x ) = y[ _IZt(1t-- x)f(t )dt + [Îx(n--t ) f(t )dt] . PARTIE II. Etude d'une fonction de deux variables sin( nx )sin( ny ) 2 , lorsque la série converge. +°o Pour (x, y) e R2 on note K(x, y) =}: n=l " II.1/ Montrer que la fonction K est définie sur R2. II.2/ Soit y un réel fixé, étudier la continuité de l'application x l----) K(x, y). II.3/ Développement en série de Fourier d'une fonction Ex . On considère un nombre réel x fixé, x E [O, 7r] et on désigne par Ex l'application de R dans R 2n--péfiodique et impaire, définie sur [O, H] par : Ex (t) : t(7t-x) lorsque 0 S t 5 x et Ex (t) : x(7t-t) lorsque x 5 t S H. 11.3.1/ Indiquer l'allure du graphe de t l--> Ex (t) sur l'intervalle [-7t, 7r] (pour un x fixé, x & ]O,7t[ ) ; justifier la convergence de la série de Fourier réelle de Ex et préciser sa somme. (Rappel : la série de Fourier réelle de Ex est : & + Eau c0s(nt)+ b,, sin(nt) 2 nZl où a,, "l!" Ex(t)cos(nt)dt et b,, -- IJ." Ex(t)sin(nt)dt 1: '" _" 112 sont les coefficients de Fourier réels de E x)_ 11.3.2/ Calculer les coefficients de Fourier réels de la fonction Ex. 11.3.3/ Exprimer K(x, t) en fonction de Ex (t) pourx E [O, n] et t E [O, n']. II.4/ On considère les sous-ensembles suivants de R2 : le carré C ensemble des couples (x,t) EUR [O,7r]x [O,7t], le triangle U ensemble des couples (x,t) & C tels que 0 < t < x < 7r, le triangle Ü ensemble des couples (x,t) & C tels que 0 S t 5 x 5 7r. 11.4.1/ Déduire de [1.3.3 l'existence d'un minimum et d'un maximum pour la fonction K sur le carré C et préciser la valeur du minimum. 11.4.2/ La fonction K possède--t--elle un maximum relatif sur le triangle U ? Tournez la page S.V.P. 11.4.3/ Etudier les extremums de la fonction K sur l'ensemble (7 \ U (bords du triangle de Ü ). 11.4.4/ En déduire la valeur du maximum de K sur le carré C . 11.4.5/ Si 6 G R on note F5 l'ensemble des (x,t) & C tels que K(x,t) : ô , (F5 est la ligne de niveau 6 ). Représenter (sur un même croquis) l'ensemble C, F 0 et la ligne E; passant par le point (£ ,ï). 4 4 PARTIE III Dans cette partie on désigne par : . JM le R--espace vectoriel des applications continues, impaires 27z--périodiques de R dans R. 2 +00 . . . K la fonction introduite dans la partie 11 [K(x, y ): E_sm( "x)--W ny )]_ "=] n A toute fonction f appartenant à .Ï2n on associe la fonction h = Il] (f) définie sur R par h(x) = Il K(x,t) f(t)dt. III.1/ Vérifier que si fe Z,; et si h : w(f) alors la fonction h est impaire, 2n--périodique. Justifier l'égalité h(x)=2jâ' K(x,t) f(t)dt. III.2/ Déduire de 113.3 et de la partie 1 que si f & JM alors les fonctions h = w (i) et F, : (p(f) sont proportionnelles sur [O, 75] ; en déduire que h est de classe %2 sur ]0, n[ et qu'elle vérifie les relations : f pour tout x E ]O, n[ { h"(x) = -flflX) lmoe=mm=o IH.3/ En utilisant (en particulier) l'imparité de fet de h, montrer que h est de classe %2 sur R. Dans toute la suite de cette partie, pour chaque application g 27t--périodique, continue par morceaux de R dans R, on désigne par a,,(g) et b,,(g) les coefficients de Fourier réels de g : 1 n' 1 71: pourtout ne N: an(g)=;I fig(t)cos(nt)dt, bn(g)=-ÆI flg(t)sin(nl)dt. Soient désormais fe l,; et h : ut(f). III.4/ Etablir une relation entre b,,(h) et b,.(h ") pour n G N*. n>l nZl " 2 111.5/ Justifier la convergence de la série E(b,l (f ))2 [respectivement 2 (b" (4f » ] et exprimer +00 2 (b,, ( f ))2 (respectivement... 2 (b" (f))2 ------------]en fonction d'une intégrale. : n=l "4 III.6/ Etablir l'inégalité : [; (h(x)) dx< 712 j ...(x) III.7/ Soit D = {(x, y) 6 R2/ -7t< x_ < 7: et -7z.<. y_ < 7:}. On considère l'intégrale double : J(f)= HDK( f(x) f(y ) dx dy- III.7.1/ Exprimer J(f) en fonction de l'intégrale ÿ)JO f(x) h(x)dx. 2 71 III.7.2/ Exprimer J(f) en fonction de l'intégrale IO (h'(x)) dx III.7.3/ Montrer que : 0 5 J( f) 5 2flIä(f(x))2dx III.7.4/ Déterminer les fonctions fe $,, telles que : 2 = 2nfé'(fü)) dx Fin de l'énoncé

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 CCP Maths 1 PSI 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Pascal Delanoe (Mines de Paris), Éric Ricard (ENS Ulm) et Sébastien Desreux (ENS Ulm) ; il a été relu par David Guéron (Mines de Paris) et Gilles Radenne (ENS Ulm). Cette épreuve, composée d'un seul problème divisé en trois parties relativement indépendantes, demande d'avoir de bonnes connaissances de base sur toutes les parties du programme d'analyse : équations différentielles, séries de fonctions, séries de Fourier, intégrales dépendant d'un paramètre, extrema d'une fonction de plusieurs variables. ­ La première partie est consacrée à l'étude d'une équation différentielle avec conditions aux limites. Elle traite différents cas particuliers sans trop de difficultés. Ensuite une étude algébrique de cette équation est amorcée. ­ La deuxième partie consiste principalement en l'étude d'une série de fonctions à deux variables. ­ La troisième partie exploite les deux précédentes et permet de calculer la norme d'un opérateur relié à la fonction de la seconde partie ainsi qu'à l'opérateur différentiel de la première partie. La longueur de cet enoncé est largement compensée par la difficulté plus que moyenne de la plupart des questions. Il s'agit principalement d'illustrer des concepts du cours sur quelques exemples. La partie I et les trois premières questions de la seconde partie sont largement abordables. La dernière partie, quant à elle, est un peu plus délicate (notamment les questions III.3 et III.7). Indications I.1.2.2 Distinguer le cas N . I.2.2 Il faut résoudre l'équation différentielle sur deux intervalles avant de faire un raccord ou alors trouver une solution particulère en intégrant. I.4 Utiliser l'unicité montrée à la question I.3 pour montrer la linéarité. I.5. Pour la surjectivité, remarquer que l'image est contenue dans les fonctions de C 2 nulle en 0 et . I.6. Interpréter les résultats de la question I.1.2. I.7.3.1 Combiner les questions I.3 et I.7.2. II.1.2 Montrer que la convergence de la série est normale. II.3.2 Découper l'intégrale en deux parties. II.4.1 Le carré C est la réunion de deux compacts sur lesquels K est continue. II.4.2 Sur un ouvert, un extremum relatif d'une fonction dérivable est un point critique. II.4.4 Remarquer que les valeurs décrites par K sur les deux triangles composant C sont les mêmes. III.2 Utiliser les résultats des questions I.7.3.2 et II.3.3. III.3 Montrer que h appartient à C 2 ([ 0 ; ] , R) et utiliser le théorème de prolongement des fonctions dérivables, ainsi que la périodicité et la parité de h. III.5 Utiliser l'égalité de Parseval. III.7.1 Penser au théorème de Fubini. III.7.2 Intégrer J(f ) par parties. III.7.3 Penser à l'inégalité de Cauchy-Schwarz. III.7.4 Ramener le problème au cas d'égalité dans la relation démontrée à la question III.6. Partie I I.1.1 Lorsque = 0 et f est la fonction nulle, (E) se réécrit : y = 0 donc, par double intégration, les solutions sont de la forme : x [ 0 ; ] 7- Ax + B avec A et B réels. Les conditions aux limites imposent par ailleurs : B=0 A=0 A + B = 0 B=0 S 0 (E) est donc réduit à la fonction nulle. On peut aussi remarquer que si la fonction polynomiale Ax+B a deux racines, c'est la fonction nulle. I.1.2.1 Si = 2 , (E) se réécrit : y - 2 y = 0 Il s'agit d'une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants. Les solutions sont de la forme x [ 0 ; ] 7- A ch (x) + B sh (x) où A et B sont réels. D'autre part, les conditions aux limites imposent A=0 A ch () + B sh () = 0 Or sh () n'est pas nul (car 6= 0), donc S 0 (E) est à nouveau réduit à la fonction nulle. I.1.2.2 Si = - 2 , les solutions sont de la forme x [ 0 ; ] 7- A cos(x) + B sin(x) , (A, B) R2 A=0 A cos() + B sin() = 0 et par ailleurs : Deux cas se présentent alors : ­ si N , S 0 (E) = {x [ 0 ; ] 7- sin(x) | R} ; ­ sinon, S 0 (E) est réduit à la fonction nulle. I.2.1.1 Lorsque = 0 et f (x) = cos(x), l'équation (E) se réécrit : y (x) = cos(x) Par exemple, en intégrant deux fois, on trouve pour solutions x [ 0 ; ] 7- - cos(x) + Ax + B où A et B sont réels. La solution générale de l'équation avec second membre est la somme de la solution générale de l'équation homogène associée y = 0, soit y(x) = Ax+B, et d'une solution particulière de l'équation avec second membre, par exemple y(x) = - cos x. Les conditions aux limites imposent de plus : y(0) = 0 = B - 1 y() = 0 = A + B + 1 d'où B=1 A = -2/ 2 S (E) = x [ 0 ; ] 7- - cos(x) - x + 1 0 I.2.1.2 Lorsque = 0 et f (x) = sin(nx) avec n 6= 0, (E) se réécrit : y (x) = sin(nx) Les solutions de cette équation sont de la forme sin(nx) + Ax + B , (A, B) R2 n2 La condition y(0) = y() = 0, impose alors A = B = 0, d'où 1 S 0 (E) = x [ 0 ; ] 7- - 2 sin nx n x [ 0 ; ] 7- - I.2.2.1 L'équation à résoudre est maintenant y (x) = | cos(x) | . x7 !j os xj 1 0 2 x Le dessin de la fonction suggère de découper l'intervalle au point /2 ; il suffira de procéder ensuite à un recollement. h i h i Résolvons l'équation (E) sur les segments 0 ; et ; : 2 2 h i ­ sur 0 ; , (E) devient y (x) = cos(x), d'où 2 y(x) = - cos(x) + Ax + B h i ­ sur ; , (E) devient y (x) = - cos(x), d'où 2 y(x) = cos(x) + Cx + D (1) (2)