Centrale Informatique MP-PC-PSI 2017

Thme de l'preuve Mars Exploration Rovers: mission d'exploration martienne
Principaux outils utiliss algorithmique, recherche de minimum, listes, SQL
Mots clefs numpy, calcul de distances, minimisation, algorithme gntique, algorithme du plus proche voisin, jointure, robot, Mars

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JS- S*- SaA- haA
j ?2m`2b

*H+mHi`B+2b miQ`Bb2b

kyRd

AM7Q`KiB[m2
J`b 1tTHQ`iBQM _Qp2`b
JBbbBQM /2tTHQ`iBQM K`iB2MM2

J`b 1tTHQ`iBQM _Qp2`b UJ1_V 2bi mM2 KBbbBQM /2 H La [mB +?2`+?2  im/B2` H2 
`H2 DQm T` H2m /Mb
H?BbiQB`2 /2 H THMi2 J`bX .2mt `Q#Qib ;QHQ;m2b- aTB`Bi 2i PTTQ`imMBiv U};m`2 
RV- b2 bQMi TQbb bm` +2ii2
THMi2- bm` /2mt bBi2b QTTQbb- 2M DMpB2` kyy9X G2m` KBbbBQM 2bi /2 `2+?2`+?2` 
2i /MHvb2` /Bz`2Mib ivT2b /2
`Q+?2b 2i /2 bQHb [mB T2mp2Mi +QMi2MB` /2b BM/B+2b bm` H T`b2M+2 /2mX AHb bQMi 
[mBTb /2 bBt `Qm2b 2i /mM2
bmbT2MbBQM bT+BH2K2Mi +QMm2 TQm` H2m` T2`K2ii`2 /2 b2 /TH+2` [m2HH2 [m2 bQBi 
H Mim`2 /m i2``BM `2M+QMi`X
G2m` +?B2` /2b +?`;2b T`pQvBi mM2 /m`2 /2 pB2 /2 Ny DQm`b K`iB2Mb UH2 DQm` 
K`iB2M 2bi 2MpB`QM 9y KBMmi2b
THmb HQM; [m2 H2 DQm` i2``2bi`2VX aTB`Bi  +2bb /K2ii`2 H2 kk K`b kyRy- bQBi 
kkRy DQm`b K`iB2Mb T`b bQM
``Bp2 bm` H THMi2X .#mi kyRd- PTTQ`imMBiv 2bi iQmDQm`b 2M +iBpBi 2i BH  
T`+Qm`m THmb /2 99 FK bm` J`bX

6B;m`2 R om2 /`iBbi2 /mM `Q#Qi ;QHQ;m2 /2 H KBbbBQM J`b 1tTHQ`iBQM _Qp2`b 
ULafCSG  *H@
i2+?f*Q`M2HHV
*?[m2 `Q#Qi 2bi [mBT /2 THmbB2m`b BMbi`mK2Mib /MHvb2 U+K`- KB+`Qb+QT2- 
bT2+i`QKi`2bV 2i /mM #`b
[mB T2`K2i /K2M2` H2b BMbi`mK2Mib m THmb T`b /2b `Q+?2b 2i bQHb /B;M2b /BMi`iX 
 T`iB` /2 T?QiQ;`T?B2b /2
H bm`7+2 /2 H THMi2- T`Bb2b  THmbB2m`b HQM;m2m`b /QM/2b T` /Bz`2Mib bi2HHBi2b 
2i T` H2 `Q#Qi HmB@KK2- H2b
b+B2MiB}[m2b /2 H La /}MBbb2Mi mM2 HBbi2 /2KTH+2K2Mib UTQBMib /BMi`i Qm SAV Q 
2z2+im2` /2b MHvb2bX
*2ii2 HBbi2 2bi i`MbKBb2 m `Q#Qi [mB /QBi b2 `2M/`2  +?[m2 2KTH+2K2Mi BM/B[m 
2i v 2z2+im2` H2b MHvb2b
T`pm2bX *?[m2 `Q#Qi 2bi +T#H2 /2z2+im2` mM +2`iBM MQK#`2 /2 ivT2b /MHvb2b 
;QHQ;B[m2b +Q``2bTQM/Mi
mt /Bz`2Mib BMbi`mK2Mib /QMi BH /BbTQb2X lM2 7QBb iQmb H2b TQBMib /BMi`ib 
pBbBib 2i H2b `bmHiib /2b MHvb2b

kyRd@yj@kd ky,Rj,98

S;2 Rf3

i`MbKBb  H h2``2- H2 `Q#Qi `2QBi mM2 MQmp2HH2 HBbi2 /2 TQBMib /BMi`ib 2i 
/K``2 mM2 MQmp2HH2 2tTHQ`iBQMX
*QKTi2@i2Mm /2b +QMi`BMi2b /2 i`MbKBbbBQM 2Mi`2 H h2``2 2i H2b `Q#Qib UHi2M+2- 
T`BQ/2b /QK#`2- 7B#H2 /#Bi2i+XV BH 2bi T`pm [m2 H2b `Q#Qib i`pBHH2Mi 2M 
miQMQKB2 TQm` THMB}2` H2 T`+Qm`b /2 +?[m2 2tTHQ`iBQMX BMbBmM2 7QBb H HBbi2 /2b 
TQBMib /BMi`i `2m2- H2 `Q#Qi MHvb2 H2 i2``BM }M /2 /i2+i2` /p2Mim2Hb 
Q#bi+H2b 2i
/i2`KBM2 H2 K2BHH2m` +?2KBM HmB T2`K2iiMi /2 pBbBi2` H2Mb2K#H2 /2 +2b TQBMib 
2M /T2MbMi H2 KQBMb /M2`;B2
TQbbB#H2X
T`b bi`2 BMi`2bb  H2M`2;Bbi`2K2Mi /2b 2tTHQ`iBQMb- /2b TQBMib /BMi`ib 
+Q``2bTQM/Mib 2i /2b MHvb2b
 v K2M2`- +2 bmD2i #Q`/2 i`QBb H;Q`Bi?K2b [mB T2mp2Mi i`2 miBHBbb T` H2 `Q#Qi 
TQm` /i2`KBM2` H2 K2BHH2m`
T`+Qm`b HmB T2`K2iiMi /2 pBbBi2` +?[m2 TQBMi /BMi`i mM2 2i mM2 b2mH2 7QBbX 
SQm` +2H MQmb 7BbQMb [m2H[m2b
?vTQi?b2b bBKTHB}+i`B+2bX
 G xQM2 /2tTHQ`iBQM 2bi /TQm`pm2 /Q#bi+H2 , H2 `Q#Qi T2mi `2DQBM/`2 
/B`2+i2K2Mi 2M HB;M2 /`QBi2 MBKTQ`i2
[m2H TQBMi /BMi`iX
 G2 bQH 2bi ?Q`BxQMiH 2i /2 Mim`2 +QMbiMi2 , HM2`;B2 miBHBb TQm` b2 /TH+2` 
2Mi`2 /2mt TQBMib M2 /T2M/
[m2 /2 H2m` /BbiM+2- mi`2K2Mi /Bi H2 K2BHH2m` +?2KBM 2bi H2 THmb +Qm`iX
 G +Qm`#m`2 /2 H THMi2 2bi M;HB;2 +QKTi2 i2Mm /2 H /BK2MbBQM `/mBi2 /2 H 
xQM2 /2tTHQ`iBQM , MQmb
i`pBHH2`QMb 2M ;QKi`B2 2m+HB/B2MM2 2i H2b TQBMib /BMi`ib b2`QMi `2T`b T` 
H2m`b +QQ`/QMM2b +`ibB2MM2b
 HBMi`B2m` /2 H xQM2 /2tTHQ`iBQMX
G2b b2mHb HM;;2b /2 T`Q;`KKiBQM miQ`Bbb /Mb +2ii2 T`2mp2 bQMi Svi?QM 2i aZGX 
hQmi2b H2b [m2biBQMb
bQMi BM/T2M/Mi2bX LMKQBMb- BH 2bi TQbbB#H2 /2 7B`2 TT2H  /2b 7QM+iBQMb Qm 
T`Q+/m`2b +`2b /Mb /mi`2b
[m2biBQMbX .Mb iQmi H2 bmD2i QM bmTTQb2 [m2 H2b #B#HBQi?[m2b Ki?- MmKTv 2i 
`M/QK QMi i BKTQ`i2b ;`+2
mt BMbi`m+iBQMb
BKTQ`i Ki?
BKTQ`i MmKTv b MT
BKTQ`i `M/QK
aB H2b +M/B/ib 7QMi TT2H  /2b 7QM+iBQMb /mi`2b #B#HBQi?[m2b BHb /QBp2Mi 
T`+Bb2` H2b BMbi`m+iBQMb /BKTQ`i@
iBQM +Q``2bTQM/Mi2bX
*2 bmD2i miBHBb2 H bvMit2 /2b MMQiiBQMb TQm` T`+Bb2` H2 ivT2b /2b `;mK2Mib 2i 
/m `bmHii /2b 7QM+iBQMb 
+`B`2X BMbB
/27 K6QM+iBQMUM,BMi- t,7HQi- /,bi`V @= MTXM/``v,
bB;MB}2 [m2 H 7QM+iBQM K6QM+iBQM T`2M/ i`QBb `;mK2Mib- H2 T`2KB2` 2bi mM 
2MiB2`- H2 /2mtBK2 mM MQK#`2 
pB`;mH2 ~QiiMi2 2i H2 i`QBbBK2 mM2 +?BM2 /2 +`+i`2b 2i [m2HH2 `2MpQB2 mM i#H2m 
MmKTvX
lM2 HBbi2 /2 7QM+iBQMb miBH2b 2bi /QMM2  H }M /m bmD2iX

A *`iBQM /mM2 2tTHQ`iBQM 2i ;2biBQM /2b TQBMib /BMi`i
lM2 2tTHQ`iBQM 2bi mM 2Mb2K#H2 /2 TQBMib /BMi`ib  HBMi`B2m` /mM2 xQM2 
;Q;`T?B[m2 HBKBi2- mM2 b`B2
/MHvb2b iMi bbQ+B2  +?[m2 TQBMi /BMi`iX *?[m2 ivT2 /MHvb2 [m2 H2 `Q#Qi T2mi 
2z2+im2` 2bi +Q/B}
2i `7`2M+ T` mM MQK#`2 2MiB2`X lM TQBMi /BMi`i 2bi `2T` T` /2mt 2MiB2`b- 
TQbBiB7b Qm MmHb- +Q``2bTQM/Mi
 b2b +QQ`/QMM2b +`ibB2MM2b 2M KBHHBKi`2b  HBMi`B2m` /2 H xQM2 /2tTHQ`iBQMX 
G2Mb2K#H2 /2b TQBMib
/BMi`ib /mM2 2tTHQ`iBQM [mB 2M +QMiB2Mi  2bi `2T`b2Mi T` mM Q#D2i /2 ivT2 
MmKTvXM/``v-  HK2Mib
2MiB2`b-  k +QHQMM2b 2i  HB;M2b- HHK2Mi /BM/B+2 B-y +Q``2bTQM/Mi  H#b+Bbb2 
/m TQBMi /BMi`i  2i HHK2Mi
/BM/B+2 B-R  bQM Q`/QMM2X

y

j98

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Ryde

9R8

k

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38N

j

RkR

83k

6B;m`2 k 1t2KTH2 /2tTHQ`iBQM p2+
[mi`2 TQBMib /BMi`i
AX 

:M`iBQM /mM2 2tTHQ`iBQM /2bbB

AXXRV

*?QBt /2 TQBMib m ?b`/

V }M /2 /BbTQb2` /2 /QMM2b TQm` i2bi2` H2b /Bz`2Mib H;Q`Bi?K2b /2 +H+mH /2 
+?2KBM [mB b2`QMi /p2HQTTb
THmb i`/- +`B`2 mM2 7QM+iBQM [mB +QMbi`mBi mM2 2tTHQ`iBQM m ?b`/X *2ii2 
7QM+iBQM /2Mii2
/27 ;M`2`nSAUM,BMi- +Kt,BMiV @= MTXM/``v,
kyRd@yj@kd ky,Rj,98

S;2 kf3

T`2M/ 2M T`Ki`2b H2 MQK#`2 /2 TQBMib /BMi`ib  ;M`2` 2i H H`;2m` /2 H xQM2 
/2tTHQ`iBQM UbmTTQb2
+``2V 2i `2MpQB2 mM Q#D2i /2 ivT2 MmKTvXM/``v +QMi2MMi H2b +QQ`/QMM2b /2  
TQBMib /2mt  /2mt
/BbiBM+ib +?QBbBb m ?b`/ /Mb H xQM2 /2tTHQ`iBQM U};m`2 kVX
#V Zm2HH2b +QMi`BMi2b /QBp2Mi p`B}2` H2b `;mK2Mib /2 H 7QM+iBQM ;M`2`nSA \
AXXkV *H+mH /2b /BbiM+2b
PM /BbTQb2 /2 H 7QM+iBQM /2Mii2
/27 TQbBiBQMn`Q#QiUV @= imTH2,
[mB `2MpQB2 mM +QmTH2 /QMMMi H2b +QQ`/QMM2b +im2HH2b /m `Q#Qi /Mb H2 bvbiK2 /2 
+QQ`/QMM2b /2 H2tTHQ`iBQM
 THMB}2`X BMbB HBMbi`m+iBQM t- v 4 TQbBiBQMn`Q#QiUV T2`K2i /2 `+mT`2` H2b 
+QQ`/QMM2b +Qm`Mi2b /m
`Q#QiX
}M /2 7+BHBi2` HTTHB+iBQM /2b /Bz`2Mib H;Q`Bi?K2b /2 `2+?2`+?2 /2 +?2KBM- QM 
bQm?Bi2 +QMbi`mB`2 mM i#H2m
/2b /BbiM+2b 2Mi`2 H2b /Bz`2Mib TQBMib /BMi`i /mM2 2tTHQ`iBQM 2i 2Mi`2 
+2mt@+B 2i H TQbBiBQM +Qm`Mi2 /m
`Q#Qi m KQK2Mi /m +H+mHX +`B`2 mM2 7QM+iBQM /2Mii2
/27 +H+mH2`n/BbiM+2bUSA,MTXM/``vV @= MTXM/``v,
[mB T`2M/ 2M T`Ki`2 mM i#H2m /2  TQBMib /BMi`i i2H [m2 /+`Bi T`+/2KK2Mi 2i 
`2MpQB2 mM i#H2m /2
MQK#`2b ~QiiMib- /2 /BK2MbBQM      - i2H [m2 HHK2Mi /BM/B+2 B-D 7Qm`MBi H 
/BbiM+2 2Mi`2 H2b
TQBMib /BMi`i  2i - HBM/B+2 M /bB;MMi H2 TQBMi /2 /T`i /m `Q#QiX
AX" 
h`Bi2K2Mi /BK;2
PM /BbTQb2 /2 T?QiQ;`T?B2b /mM2 xQM2 /2tTHQ`iBQM 2z2+im2b  /Bz`2Mi2b 
HQM;m2m` /QM/2X *?[m2 T?QiQ@
;`T?B2  i KBb2b  H+?2HH2 /2 H xQM2 /2tTHQ`iBQM TmBb biQ+F2 /Mb mM i#H2m 
MmKTv UMTXM/``vV 
/2mt /BK2MbBQMbX G2b /BK2MbBQMb +Q``2bTQM/2Mi mt +QQ`/QMM2b ;Q;`T?B[m2b /m 
TQBMi T?QiQ;`T?B- +?[m2
HK2Mi 2bi mM 2MiB2`- +QKT`Bb 2Mi`2 y 2i k88- /QMMMi HBMi2MbBi /m TQBMi 
+QMbB/` bm` HBK;2X BMbB HHK2Mi
/BM/B+2 t-v +QMiB2Mi mM 2MiB2`- +QKT`Bb 2Mi`2 y 2i k88- +Q``2bTQM/Mi  
HBMi2MbBi bm` H T?QiQ;`T?B2 +QMbB/`2
/m TQBMi /2 +QQ`/QMM2b   X  T`iB` /2 +2b T?QiQ;`T?B2b- H2b ;QHQ;m2b 
/i2`KBM2Mi H2b 2M/`QBib  MHvb2`
2M }Hi`Mi +2mt [mB QMi mM T`Q}H /KBbbBQM +`+i`BbiB[m2 /2 +2`iBM2b `Q+?2b 
BMi`2bbMi2bX
AX"XRV MHvb2 /mM2 BK;2
G 7QM+iBQM 6R +B@/2bbQmb T`2M/ 2M T`Ki`2 mM2 T?QiQ;`T?B2 `2T`b2Mi2 +QKK2 
/+`Bi THmb ?miX 1tTHB[m2`
+2 [m2 7Bi +2ii2 7QM+iBQM 2i /+`B`2 bQM `bmHiiX
R
k
j
9
8
e
d

/27 6RUT?QiQ,MTXM/``vV @= MTXM/``v,
M 4 T?QiQXKBMUV
# 4 T?QiQXKtUV
? 4 MTXx2`QbU# @ M Y R- MTXBMie9V
7Q` T BM T?QiQX7Hi,
?(T @ M) Y4 R
`2im`M ?

AX"XkV

aH2+iBQM /2 TQBMib /BMi`ib

+`B`2 mM2 7QM+iBQM /2Mii2
/27 bH2+iBQMM2`nSAUT?QiQ,MTXM/``v- BKBM,BMi- BKt,BMiV @= MTXM/``v,
Q T?QiQ 2bi mM i#H2m `2T`b2MiMi mM2 T?QiQ;`T?B2X G2 `bmHii /2 H 7QM+iBQM 
bH2+iBQMM2`nSA 2bi mM
i#H2m  /2mt /BK2MbBQMb- /2 bi`m+im`2 bBKBHB`2  +2HmB /+`Bi };m`2 k- +QMi2MMi 
H2b +QQ`/QMM2b /2b TQBMib
/QMi HBMi2MbBi bm` H T?QiQ;`T?B2 2bi +QKT`Bb2 2Mi`2 BKBM 2i BKtX
AX* 
"b2 /2 /QMM2b
}M /bbm`2` bQM miQMQKB2 QT`iBQMM2HH2- H2 `Q#Qi /BbTQb2 HQ+H2K2Mi /2b 
BM7Q`KiBQMb M+2bbB`2b  bQM
7QM+iBQMM2K2Mi [mQiB/B2MX BMbB- BH 2M`2;Bbi`2 H /m`2 /miBHBbiBQM /2 b2b 
/Bz`2Mib BMbi`mK2Mib 2K#`[mbX AH
+QMMBi ;H2K2Mi H2b /Bz`2Mib ivT2b /MHvb2b [mBH T2mi 2z2+im2` 2i- TQm` +?+mM 
/2 +2b ivT2b- H2b BMbi`mK2Mib
 miBHBb2`X AH 2M`2;Bbi`2 H T`Q+?BM2 2tTHQ`iBQM- +2bi@@/B`2 H2b /Bz`2Mib 
TQBMib /BMi`ib [mBH /QBi pBbBi2` 2i
TQm` +?+mM H Qm H2b MHvb2b [mBH /QBi 2z2+im2`X .mi`2 T`i- BH +QMb2`p2 H2b 
`bmHiib /MHvb2b 2z2+im2b
HQ`b /2 b2b 2tTHQ`iBQMb Tbb2bX *2b `bmHiib M2 bQMi 2z+b [mT`b +QM}`KiBQM /2 
H2m` #QMM2 i`MbKBbbBQM
bm` h2``2X
*2b /Bz`2Mi2b BM7Q`KiBQMb bQMi biQ+F2b /Mb mM2 #b2 /2 /QMM2b `2HiBQMM2HH2 
/QMi H2 KQ/H2 T?vbB[m2 2bi
b+?KiBb };m`2 jX
kyRd@yj@kd ky,Rj,98

S;2 jf3

1sSGP

SA

LGu

1snLlJ BMi2;2`

1snLlJ BMi2;2`

1snLlJ BMi2;2`

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`2H

SAnLlJ BMi2;2`

SAnLlJ BMi2;2`

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`2H

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BMi2;2`

hunLlJ BMi2;2`

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BMi2;2`

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hunLlJ BMi2;2`

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ALnLlJ BMi2;2`

hun.1a p`+?`U3yV

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`2H

ALnLPJ p`+?`U3yV
6B;m`2 j ai`m+im`2 T?vbB[m2 /2 H #b2 /2 /QMM2b /mM `Q#Qi
*2ii2 #b2 +QKTQ`i2 H2b bBt i#H2b bmBpMi2b ,
 H i#H2 1sSGP /2b 2tTHQ`iBQMb- p2+ H2b +QHQMM2b
r 1snLlJ MmK`Q U2MiB2`V /2 H2tTHQ`iBQM U+H27 T`BKB`2V
r 1sn*>: /i2 /2 i`MbKBbbBQM /2b TQBMib /BMi`ib /2 +2ii2 2tTHQ`iBQM
r 1sn.1" /i2 /2 /#mi /2 H2tTHQ`iBQM ULlGG bB H2tTHQ`iBQM M2bi Tb 2M+Q`2 
+QKK2M+2V
r 1sn6AL /i2 /2 }M /2 H2tTHQ`iBQM ULlGG bB H2tTHQ`iBQM M2bi Tb 2M+Q`2 i2`KBM2V
r 1snGh HiBim/2 U2M /2;`b /+BKmtV /m TQBMi /2 +QQ`/QMM2b   /2 H xQM2 
/2tTHQ`iBQM
r 1snGPL HQM;Bim/2 U2M /2;`b /+BKmtV /m TQBMi /2 +QQ`/QMM2b   /2 H xQM2 
/2tTHQ`iBQM
 H i#H2 SA /2b TQBMib /BMi`ib- /2 +H27 T`BKB`2 U1snLlJ- SAnLlJV- p2+ H2b 
+QHQMM2b
r 1snLlJ MmK`Q /2 H2tTHQ`iBQM  H[m2HH2 TT`iB2Mi H2 TQBMi /BMi`i
r SAnLlJ MmK`Q /m TQBMi /BMi`i /Mb H2tTHQ`iBQM Um b2BM /mM2 2tTHQ`iBQM H2b SA 
bQMi MmK`Qib 2M
b[m2M+2 2M +QKK2MMi  y- +2 MmK`Q M Tb /2 `TTQ`i p2+ HQ`/`2 /Mb H2[m2H H2b 
SA bQMi 2tTHQ`b
T` H2 `Q#QiV
r SAns H#b+Bbb2 /m TQBMi /BMi`i /Mb H xQM2 /2tTHQ`iBQM U2MiB2` TQbBiB7 2M 
KBHHBKi`2bV
r SAnu HQ`/QMM2 /m TQBMi /BMi`i /Mb H xQM2 /2tTHQ`iBQM U2MiB2` TQbBiB7 2M 
KBHHBKi`2bV
r SAn__ /i2 /``Bp2 /m `Q#Qi m TQBMi /BMi`i ULlGG bB +2 TQBMi M Tb 2M+Q`2 i 
pBbBiV
r SAn.1S /i2  H[m2HH2 H2 `Q#Qi  [mBii H2 TQBMi /BMi`i ULlGG bB +2 TQBMi M Tb 
2M+Q`2 i 2tTHQ` Qm
bB H pBbBi2 2bi 2M +Qm`bV
 H i#H2 ALah_ /2b BMbi`mK2Mib 2K#`[mb- p2+ H2b +QHQMM2b
r ALnLlJ H2 MmK`Q U2MiB2`V /2 HBMbi`mK2Mi U+H27 T`BKB`2V
r ALn6*h H /m`2 T2M/Mi H2[m2H HBMbi`mK2Mi  /D i miBHBb /2TmBb H``Bp2 bm` 
H THMi2 UMQK#`2
/+BKH , 7`+iBQM /2 DQm` K`iB2MV
r ALn.1_ H /i2 /2 H /2`MB`2 miBHBbiBQM /2 HBMbi`mK2Mi
r ALnLPJ MQK /2 HBMbi`mK2Mi
 H i#H2 huL /2b ivT2b /MHvb2b  2z2+im2`- p2+ H2b +QHQMM2b
r hunLlJ H2 MmK`Q /2 `7`2M+2 U2MiB2`V /m ivT2 /MHvb2 U+H27 T`BKB`2V
r hun.1a H2 MQK /m ivT2 /MHvb2
 H i#H2 ALhuS /2b BMbi`mK2Mib miBHBbb TQm` mM ivT2 /MHvb2- /2 +H27 T`BKB`2 
UhunLlJ- ALnLlJV- p2+ H2b
+QHQMM2b
r hunLlJ H2 MmK`Q /2 `7`2M+2 U2MiB2`V /m ivT2 /MHvb2
r ALnLlJ H2 MmK`Q U2MiB2`V /2 HBMbi`mK2Mi
r Ahn.l_ H /m`2 biM/`/ /miBHBbiBQM /2 HBMbi`mK2Mi /Mb +2 ivT2 /MHvb2 UMQK#`2 
/+BKH , 7`+iBQM
/2 DQm` K`iB2MV
 H i#H2 LGu BM/B[mMi TQm` +?[m2 TQBMi /BMi`i H2b ivT2b /MHvb2b  2z2+im2` Qm 
2z2+im2b- /2 +H27
T`BKB`2 U1snLlJ- SAnLlJ- hunLlJV 2i p2+ H2b +QHQMM2b
r 1snLlJ MmK`Q /2 H2tTHQ`iBQM  H[m2HH2 TT`iB2Mi H2 TQBMi /BMi`i
r SAnLlJ MmK`Q /m TQBMi /BMi`i /Mb H2tTHQ`iBQM
r hunLlJ ivT2 /2 HMHvb2
kyRd@yj@kd ky,Rj,98

S;2 9f3

r Ln.h /i2 /2 HMHvb2 ULlGG bB HMHvb2 M Tb i 2z2+im2V
r Ln.h_ /i2 /2 i`MbKBbbBQM bm` h2``2 /2b `bmHiib /2 HMHvb2 ULlGG bB HMHvb2 M 
Tb i i`MbKBb2V
r Ln_1a `bmHii /2 HMHvb2 U/QMM2 QT[m2 /QMi H bB;MB}+iBQM /T2M/ /m ivT2 
/MHvb2V
hQmi2b H2b /i2b bQMi biQ+F2b bQmb 7Q`K2 /mM MQK#`2 /+BKH +Q``2bTQM/Mi m 
MQK#`2 /2 DQm`b K`iB2Mb
/2TmBb H``Bp2 /m `Q#Qi bm` H THMi2X
AX*XRV +`B`2 mM2 `2[mi2 aZG [mB /QMM2 H2 MmK`Q /2 H2tTHQ`iBQM 2M +Qm`b- bBH v 
2M  mM2X
AX*XkV +`B`2 mM2 `2[mi2 aZG [mB /QMM2- TQm` mM2 2tTHQ`iBQM /QMi QM +QMMBi H2 
MmK`Q- H HBbi2 /2b TQBMib
/BMi`ib /2 +2ii2 2tTHQ`iBQM p2+ H2m`b +QQ`/QMM2bX
AX*XjV +`B`2 mM2 `2[mi2 aZG [mB /QMM2 H bm`7+2- 2M Ki`2b +``b- /2 +?[m2 xQM2 
/D 2tTHQ`2 T` H2
`Q#QiX G xQM2 /2tTHQ`iBQM 2bi /}MB2 +QKK2 H2 THmb T2iBi `2+iM;H2 [mB 2M;HQ#2 
H2Mb2K#H2 /2b TQBMib /BMi`ib
/2 H2tTHQ`iBQM 2i /QMi H2b #Q`/b bQMi T`HHH2b mt t2b /2 `7`2M+2 Ut2b /2b 
#b+Bbb2 2i /2b Q`/QMM2bVX
AX*X9V Zm2HH2 2bi H bm`7+2 KtBKH2 /mM2 xQM2 /2tTHQ`iBQM [m2 T2mi biQ+F2` +2ii2 
#b2 /2 /QMM2b \
AX*X8V +`B`2 mM2 `2[mi2 aZG [mB /QMM2- TQm` H2tTHQ`iBQM 2M +Qm`b- H2 MQK#`2 /2 
7QBb Q +?[m2 BMbi`mK2Mi
/QBi i`2 miBHBb 2i b /m`2 /miBHBbiBQM i?Q`B[m2 U2M DQm`b K`iB2MbV TQm` H 
iQiHBi /2 H2tTHQ`iBQMX

AA SHMB}+iBQM /mM2 2tTHQ`iBQM , T`2KB`2 TT`Q+?2
pMi /2 /K``2` mM2 MQmp2HH2 2tTHQ`iBQM- H2 `Q#Qi /QBi /i2`KBM2` mM +?2KBM [mB 
HmB T2`K2i /2 Tbb2` T`
iQmb H2b TQBMib /BMi`ib mM2 2i mM2 b2mH2 7QBbX G2MD2m /2 HQT`iBQM 2bi /2 
i`Qmp2` H2 +?2KBM H2 THmb +Qm`i
TQbbB#H2 }M /2 HBKBi2` H /T2Mb2 /M2`;B2 2i /2 HBKBi2` Hmbm`2 /m `Q#QiX
*?[m2 TQBMi /BMi`i b2` `2T` T` mM 2MiB2` TQbBiB7 Qm MmH +Q``2bTQM/Mi  bQM 
BM/B+2 /Mb H2 i#H2m /2b
TQBMib /BMi`iX lM +?2KBM /2tTHQ`iBQM b2` `2T`b2Mi T` mM Q#D2i /2 ivT2 HBbi 
/QMMMi H2b BM/B+2b /2b
TQBMib /BMi`i /Mb HQ`/`2 /2 H2m` T`+Qm`bX
AAX 

Zm2H[m2b 7QM+iBQMb miBHBiB`2b

AAXXRV GQM;m2m` /mM +?2KBM
+`B`2 mM2 7QM+iBQM /2Mii2
/27 HQM;m2m`n+?2KBMU+?2KBM,HBbi- /,MTXM/``vV @= 7HQi,
[mB T`2M/ 2M T`Ki`2 mM +?2KBM  T`+Qm`B` 2i H Ki`B+2 /2b /BbiM+2b 2Mi`2 TQBMib 
/BMi`i Ui2HH2 [m2
`2MpQv2 T` H 7QM+iBQM +H+mH2`n/BbiM+2bV 2i `2MpQB2 H /BbiM+2 [m2 /QBi 2z2+im2` 
H2 `Q#Qi TQm` bmBp`2
+2 +?2KBM 2M T`iMi /2 b TQbBiBQM +Qm`Mi2 U+Q``2bTQM/Mi  H /2`MB`2 
HB;M2f+QHQMM2 /m i#H2m /V 2i 2M
pBbBiMi iQmb H2b TQBMib /BMi`i /Mb HQ`/`2 BM/B[mX
AAXXkV LQ`KHBbiBQM /mM +?2KBM
+`B`2 mM2 7QM+iBQM /2Mii2
/27 MQ`KHBb2`n+?2KBMU+?2KBM,HBbi- M,BMiV @= HBbi,
[mB T`2M/ 2M T`Ki`2 mM2 HBbi2 /2MiB2`b 2i `2MpQB2 mM2 HBbi2 +Q``2bTQM/Mi  mM 
+?2KBM pHB/2- +2bi@@/B`2
+QMi2MMi mM2 b2mH2 7QBb iQmb H2b 2MiB2`b 2Mi`2 y 2i M U2t+HmVX SQm` +2H +2ii2 
7QM+iBQM +QKK2M+2 T` bmTT`BK2`
H2b p2Mim2Hb /Qm#HQMb U2M M2 +QMb2`pMi [m2 H T`2KB`2 Q++m``2M+2V 2i H2b pH2m`b 
bmT`B2m`2b Qm ;H2b  MbMb KQ/B}2` HQ`/`2 `2HiB7 /2b HK2Mib +QMb2`pb- TmBb 
DQmi2  H }M H2b p2Mim2Hb HK2Mib KM[mMib 2M
Q`/`2 +`QBbbMi /2 MmK`QbX
AAX"  6Q`+2 #`mi2
SQm` `2+?2`+?2` H2 THmb +Qm`i +?2KBM- QM T2mi BK;BM2` /2 +QMbB/`2` iQmb H2b 
+?2KBMb TQbbB#H2b 2i /2 +H+mH2`
H2m` HQM;m2m`X PM Q#iB2M/` BMbB  +QmT b` H2 +?2KBM H2 THmb +Qm`iX
AAX"XRV .i2`KBM2` 2M 7QM+iBQM /2 - MQK#`2 /2 TQBMib  pBbBi2`- H2 MQK#`2 /2 
+?2KBMb TQbbB#H2b TbbMi
2t+i2K2Mi mM2 7QBb T` +?+mM /2b TQBMibX
AAX"XkV *2i H;Q`Bi?K2 2bi@BH miBHBb#H2 TQm` mM2 xQM2 /2tTHQ`iBQM +QMi2MMi ky 
TQBMib /BMi`ib \ CmbiB}2`X
AAX*  H;Q`Bi?K2 /m THmb T`Q+?2 pQBbBM
lM2 B/2 bBKTH2 TQm` Q#i2MB` mM H;Q`Bi?K2 miBHBb#H2 2bi /2 +QMbi`mB`2 mM +?2KBM 
2M +?QBbBbbMi bvbiKiB[m2@
K2Mi H2 TQBMi- MQM 2M+Q`2 pBbBi- H2 THmb T`Q+?2 /2 H TQbBiBQM +Qm`Mi2X
AAX*XRV +`B`2 mM2 7QM+iBQM /2Mii2
/27 THmbnT`Q+?2npQBbBMU/,MTXM/``vV @= HBbi,
[mB T`2M/ 2M T`Ki`2 H2 i#H2m /2b /BbiM+2b `bmHii /2 H 7QM+iBQM 
+H+mH2`n/BbiM+2b U[m2biBQM AXXkV
2i 7Qm`MBi mM +?2KBM /2tTHQ`iBQM 2M TTHB[mMi HH;Q`Bi?K2 /m THmb T`Q+?2 pQBbBMX
kyRd@yj@kd ky,Rj,98

S;2 8f3

AAX*XkV Zm2HH2 2bi H +QKTH2tBi i2KTQ`2HH2 /2 HH;Q`Bi?K2 /m THmb T`Q+?2 pQBbBM 
2M +QMbB/`Mi [m2 +2i
H;Q`Bi?K2 2bi +QMbiBim /2b /2mt 7QM+iBQMb +H+mH2`n/BbiM+2b 2i 
THmbnT`Q+?2npQBbBM \
AAX*XjV 1M +QMbB/`Mi H2b i`QBb TQBMib /2 +QQ`/QMM2b   -   -   2i 2M 
+?QBbBbbMi mM TQBMi /2
/T`i /[mi TQm` H2 `Q#Qi- KQMi`2` [m2 HH;Q`Bi?K2 /m THmb T`Q+?2 pQBbBM M2 
7Qm`MBi Tb M+2bbB`2K2Mi H2
THmb +Qm`i +?2KBMX
.Mb H T`iB[m2- QM +QMbii2 [m2- /b [m2 H2 MQK#`2 /2 TQBMib /BMi`i /2pB2Mi 
BKTQ`iMi- HH;Q`Bi?K2 /m
THmb T`Q+?2 pQBbBM 7Qm`MBi mM +?2KBM [mB T2mi i`2 8yW THmb HQM; [m2 H2 THmb 
+Qm`i +?2KBMX

AAA .2mtBK2 TT`Q+?2 , H;Q`Bi?K2 ;MiB[m2
G2b H;Q`Bi?K2b ;MiB[m2b bBMbTB`2Mi /2 H i?Q`B2 /2 HpQHmiBQM 2M bBKmHMi 
HpQHmiBQM /mM2 TQTmHiBQMX AHb
7QMi BMi2`p2MB` +BM[ i`Bi2K2MibX
RX AMBiBHBbiBQM
AH b;Bi /2 +`2` mM2 TQTmHiBQM /Q`B;BM2 +QKTQb2 /2  BM/BpB/mb UB+B /2b +?2KBMb 
TQm` H2tTHQ`iBQM 
THMB}2`VX :M`H2K2Mi H TQTmHiBQM /2 /T`i 2bi T`Q/mBi2 HiQB`2K2MiX
kX pHmiBQM
*2ii2 iT2 +QMbBbi2  ii`B#m2`  +?[m2 BM/BpB/m /2 H TQTmHiBQM +Qm`Mi2 mM2 MQi2 
+Q``2bTQM/Mi  b
+T+Bi  `TQM/`2 m T`Q#HK2 TQbX A+B H MQi2 b2` bBKTH2K2Mi H HQM;m2m` /m 
+?2KBMX
jX aH2+iBQM
lM2 7QBb iQmb H2b BM/BpB/mb pHmb- HH;Q`Bi?K2 M2 +QMb2`p2 [m2 H2b  K2BHH2m`b  
BM/BpB/mbX SHmbB2m`b K@
i?Q/2b /2 bH2+iBQM bQMi TQbbB#H2b , +?QBt HiQB`2- +2mt [mB QMi Q#i2Mm H 
K2BHH2m`2 MQi2- HBKBMiBQM T`
iQm`MQB- 2i+X
9X *`QBb2K2Mi
G2b BM/BpB/mb bH2+iBQMMb bQMi +`QBbb /2mt  /2mt TQm` T`Q/mB`2 /2 MQmp2mt 
BM/BpB/mb 2i /QM+ mM2 MQmp2HH2
TQTmHiBQMX G 7QM+iBQM /2 +`QBb2K2Mi UQm `2T`Q/m+iBQMV /T2M/ /2 H Mim`2 /2b 
BM/BpB/mbX
8X JmiiBQM
lM2 T`QTQ`iBQM /BM/BpB/mb 2bi +?QBbB2 U;M`H2K2Mi HiQB`2K2MiV TQm` bm#B` mM2 
KmiiBQM- +2bi@@/B`2
mM2 i`Mb7Q`KiBQM HiQB`2X *2ii2 iT2 T2`K2i /pBi2`  HH;Q`Bi?K2 /2 `2bi2` 
#HQ[m bm` mM QTiBKmK
HQ+HX
1M `TiMi H2b iT2b /2 bH2+iBQM- +`QBb2K2Mi 2i KmiiBQM- HH;Q`Bi?K2 7Bi BMbB 
pQHm2` H TQTmHiBQM- Dmb@
[m i`Qmp2` mM BM/BpB/m [mB `TQM/2 m T`Q#HK2 BMBiBHX *2T2M/Mi /Mb H2b +b 
T`iB[m2b /miBHBbiBQM /2b
H;Q`Bi?K2b ;MiB[m2b- BH M2bi Tb TQbbB#H2 /2 bpQB` bBKTH2K2Mi bB H2 T`Q#HK2 
2bi `bQHm UH2 THmb +Qm`i +?2@
KBM };m`2@i@BH /Mb K TQTmHiBQM \VX PM miBHBb2 /QM+ /2b +QM/BiBQMb /``i 
?2m`BbiB[m2b #b2b bm` mM +`Bi`2
`#Bi`B`2X
G2 #mi /2 +2ii2 T`iB2 2bi /2 +QMbi`mB`2 mM H;Q`Bi?K2 ;MiB[m2 TQm` `2+?2`+?2` 
mM K2BHH2m` +?2KBM /2tTHQ`iBQM
[m2 +2HmB Q#i2Mm T` HH;Q`Bi?K2 /m THmb T`Q+?2 pQBbBMX
AAAX  AMBiBHBbiBQM 2i pHmiBQM
lM2 TQTmHiBQM 2bi `2T`b2Mi2 T` mM2 HBbi2 /BM/BpB/mb- +?[m2 BM/BpB/m iMi 
`2T`b2Mi T` mM +QmTH2 UHQM@
;m2m`- +?2KBMV /Mb H2[m2H
 +?2KBM /bB;M2 mM +?2KBM `2T`b2Mi +QKK2 T`+/2KK2Mi T` mM2 HBbi2 /2MiB2`b 
+Q``2bTQM/Mi mt BM/B+2b
/2b TQBMib /BMi`i /Mb H2 i#H2m /2b /BbiM+2b T`Q/mBi T` H 7QM+iBQM 
+H+mH2`n/BbiM+2b c
 HQM;m2m` 2bi mM 2MiB2` +Q``2bTQM/Mi  H HQM;m2m` /m +?2KBM- 2M i2MMi +QKTi2 /2 
H TQbBiBQM /2 /T`i /m
`Q#QiX
+`B`2 mM2 7QM+iBQM /2Mii2
/27 +`2`nTQTmHiBQMUK,BMi- /,MTXM/``vV @= HBbi,
[mB +`2 mM2 TQTmHiBQM /2  BM/BpB/mb HiQB`2bX *2ii2 7QM+iBQM T`2M/ 2M T`Ki`2 
H2 MQK#`2 /BM/BpB/mb 
2M;2M/`2` 2i H2 i#H2m /2b /BbiM+2b 2Mi`2 TQBMib /BMi`i U2i H TQbBiBQM +Qm`Mi2 
/m `Q#QiV i2H [m2 T`Q/mBi T`
H 7QM+iBQM +H+mH2`n/BbiM+2bX 1HH2 `2MpQB2 mM2 HBbi2 /BM/BpB/mb- +2bi@@/B`2 /2 
+QmTH2b UHQM;m2m`- +?2KBMVX
AAAX"  aH2+iBQM
+`B`2 mM2 7QM+iBQM /2Mii2
/27 `/mB`2UT,HBbiV @= LQM2,
[mB `/mBi mM2 TQTmHiBQM /2 KQBiB 2M M2 +QMb2`pMi [m2 H2b BM/BpB/mb 
+Q``2bTQM/Mi mt +?2KBMb H2b THmb
+Qm`ibX PM `TT2HH2 [m2 T 2bi mM2 HBbi2 /2 +QmTH2b UHQM;m2m`- +?2KBMVX G 
7QM+iBQM `/mB`2 M2 `2MpQB2 Tb /2
`bmHii KBb KQ/B}2 H HBbi2 Tbb2 2M T`Ki`2X

kyRd@yj@kd ky,Rj,98

S;2 ef3

AAAX*  JmiiBQM
AAAX*XRV +`B`2 mM2 7QM+iBQM /2Mii2
/27 Kmi2`n+?2KBMU+,HBbiV @= LQM2,
[mB T`2M/ 2M T`Ki`2 mM +?2KBM 2i H2 i`Mb7Q`K2 2M BMp2`bMi HiQB`2K2Mi /2mt /2 
b2b HK2MibX
AAAX*XkV +`B`2 mM2 7QM+iBQM /2Mii2
/27 Kmi2`nTQTmHiBQMUT,HBbi- T`Q#,7HQi- /,MTXM/``vV @= LQM2,
[mB T`2M/ 2M T`Ki`2 mM2 TQTmHiBQM /QMi 2HH2 7Bi Kmi2` mM +2`iBM MQK#`2 
/BM/BpB/mbX G2 T`Ki`2 T`Q#
U+QKT`Bb 2Mi`2 y 2i RV /bB;M2 H T`Q
/ 2bi H Ki`B+2 /2b
/BbiM+2b 2Mi`2 TQBMib /BMi`iX
AAAX.  *`QBb2K2Mi
AAAX.XRV +`B`2 mM2 7QM+iBQM /2Mii2
/27 +`QBb2`U+R,HBbi- +k,HBbiV @= HBbi,
[mB +`2 mM MQmp2m +?2KBM  T`iB` /2 /2mt +?2KBMb Tbbb 2M T`Ki`2X *2 MQmp2m 
+?2KBM b2` T`Q/mBi 2M
T`2MMi H T`2KB`2 KQBiB /m T`2KB2` +?2KBM bmBpB /2 H /2mtBK2 KQBiB /m /2mtBK2 
TmBb 2M  MQ`KHBbMi 
H2 +?2KBM BMbB Q#i2MmX
AAAX.XkV +`B`2 mM2 7QM+iBQM /2Mii2
/27 MQmp2HH2n;M`iBQMUT,HBbi- /,MTXM/``vV @= LQM2,
[mB 7Bi ;`QbbB` mM2 TQTmHiBQM 2M +`QBbMi b2b K2K#`2b TQm` 2M /Qm#H2` H2z2+iB7X 
SQm` +2H- H 7QM+iBQM 7Bi b2
`2T`Q/mB`2 iQmb H2b +QmTH2b /BM/BpB/mb [mB b2 bmBp2Mi /Mb H TQTmHiBQM UT(B)- 
T(BYR)V 2i UT(K@R)- T(y)V
/2 7QM  T`Q/mB`2  MQmp2mt BM/BpB/mb [mB bDQmi2Mi mt  BM/BpB/mb /2 H TQTmHiBQM 
/2 /T`iX
AAAX1  H;Q`Bi?K2 +QKTH2i
AAAX1XRV +`B`2 mM2 7QM+iBQM /2Mii2
/27 H;Qn;MiB[m2USA,MTXM/``v- K,BMi- T`Q#,7HQi- ;,BMiV @= 7HQi- HBbi,
[mB T`2M/ 2M T`Ki`2 mM i#H2m /2 TQBMib /BMi`ib U};m`2 kV- H iBHH2 K /2 H 
TQTmHiBQM- H T`Q
/2 KmiiBQM T`Q# 2i H2 MQK#`2 /2 ;M`iBQMb ;X *2ii2 7QM+iBQM BKTHMi2 mM 
H;Q`Bi?K2 ;MiB[m2  HB/2
/2b /Bz`2Mi2b 7QM+iBQMb +`Bi2b Dmb[m T`b2Mi 2i `2MpQB2 H HQM;m2m` /m THmb 
+Qm`i +?2KBM /2tTHQ`iBQM 2i H2
+?2KBM HmB@KK2 Q#i2Mmb m #Qmi /2 ; ;M`iBQMbX
AAAX1XkV 1bi@BH TQbbB#H2 p2+ HBKTHMiiBQM `HBb2- [mmM2 Bi`iBQM /2 HH;Q`Bi?K2 
/;`/2 H2 `bmHii , H2
K2BHH2m` +?2KBM Q#i2Mm  H ;M`iBQM   2bi THmb HQM; [m2 +2HmB /2 H ;M`iBQM  \
.Mb H{`KiBp2- +QKK2Mi KQ/B}2` H2 T`Q;`KK2 TQm` [m2 +2ii2 bBimiBQM M2 TmBbb2 
THmb ``Bp2` \
AAAX1XjV Zm2HH2b mi`2b +QM/BiBQMb /``i T2mi@QM BK;BM2` \ i#HB` mM +QKT`iB7 
T`b2MiMi H2b pMi;2b
2i BM+QMpMB2Mib /2 +?[m2 +QM/BiBQM /``i 2MpBb;2X

PT`iBQMb 2i 7QM+iBQMb Svi?QM /BbTQMB#H2b
6QM+iBQMb
 `M;2UMV `2MpQB2 H b[m2M+2 /2b M T`2KB2`b 2MiB2`b U    V
 HBbiU`M;2UMVV `2MpQB2 mM2 HBbi2 +QMi2MMi H2b M T`2KB2`b 2MiB2`b /Mb HQ`/`2 
+`QBbbMi ,
HBbiU`M;2U8VV  (y- R- k- j- 9)
 `M/QKX`M/`M;2U- #V `2MpQB2 mM 2MiB2` HiQB`2 +QKT`Bb 2Mi`2  2i #@R BM+Hmb U 2i 
# 2MiB2`bV
 `M/QKX`M/QKUV `2MpQB2 mM MQK#`2 ~QiiMi iB` HiQB`2K2Mi /Mb < < bmBpMi mM2 
/Bbi`B#miBQM mMB7Q`K2
 `M/QKXb?m77H2UmV T2`Kmi2 HiQB`2K2Mi H2b HK2Mib /2 H HBbi2 m UKQ/B}2 mV
 `M/QKXbKTH2Um- MV `2MpQB2 mM2 HBbi2 /2 M HK2Mib /BbiBM+ib /2 H HBbi2 m 
+?QBbBb HiQB`2K2Mi- bB M =
H2MUmV- /+H2M+?2 H2t+2TiBQM oHm21``Q`
 Ki?Xb[`iUtV +H+mH2 H `+BM2 +``2 /m MQK#`2 
 Ki?X+2BHUtV `2MpQB2 H2 THmb T2iBi 2MiB2` bmT`B2m` Qm ;H  t
kyRd@yj@kd ky,Rj,98

S;2 df3

 Ki?X7HQQ`UtV `2MpQB2 H2 THmb ;`M/ 2MiB2` BM7`B2m` Qm ;H  t
 bQ`i2/UmV `2MpQB2 mM2 MQmp2HH2 HBbi2 +QMi2MMi H2b HK2Mib /2 H HBbi2 m i`Bb 
/Mb HQ`/`2  Mim`2H  /2 b2b
HK2Mib UbB H2b HK2Mib /2 m bQMi /2b HBbi2b Qm /2b imTH2b- HQ`/`2 miBHBb 
2bi HQ`/`2 H2tB+Q;`T?B[m2V
PT`iBQMb bm` H2b HBbi2b
 H2MUmV /QMM2 H2 MQK#`2 /HK2Mib /2 H HBbi2 m ,
H2MU(R- k- j)V  j c H2MU((R-k)- (j-9))V  k
 m Y p +QMbi`mBi mM2 HBbi2 +QMbiBim2 /2 H +QM+iMiBQM /2b HBbi2b m 2i p ,
(R- k) Y (j- 9- 8)  (R- k- j- 9- 8)
 M
m +QMbi`mBi mM2 HBbi2 +QMbiBim /2 H HBbi2 m +QM+iM2 M 7QBb p2+ 2HH2@KK2 ,
j
(R- k)  (R- k- R- k- R- k)
 2 BM m 2i 2 MQi BM m /i2`KBM2Mi bB HQ#D2i 2 };m`2 /Mb H HBbi2 m- +2ii2 
QT`iBQM  mM2 +QKTH2tBi
i2KTQ`2HH2 2M   
k BM (R- k- j)  h`m2 c k MQi BM (R- k- j)  6Hb2
 mXTT2M/U2V DQmi2 HHK2Mi 2  H }M /2 H HBbi2 m UbBKBHB`2  m 4 m Y (2)V
 /2H m(B) bmTT`BK2 /2 H HBbi2 m bQM HK2Mi /BM/B+2 B
 /2H m(B,D) bmTT`BK2 /2 H HBbi2 m iQmb b2b HK2Mib /QMi H2b BM/B+2b bQMi 
+QKT`Bb /Mb HBMi2`pHH2 < <
 mX`2KQp2U2V bmTT`BK2 /2 H HBbi2 m H2 T`2KB2` HK2Mi [mB  TQm` pH2m` 2- 
/+H2M+?2 H2t+2TiBQM oHm21``Q`
bB 2 M2 };m`2 Tb /Mb m- +2ii2 QT`iBQM  mM2 +QKTH2tBi i2KTQ`2HH2 2M   
 mXBMb2`iUB- 2V BMb`2 HHK2Mi 2  H TQbBiBQM /BM/B+2 B /Mb H HBbi2 m U2M 
/+HMi H2b HK2Mib bmBpMibV c
bB B =4 H2MUmV- 2 2bi DQmi 2M }M /2 HBbi2
 m(B)- m(D) 4 m(D)- m(B) T2`Kmi2 H2b HK2Mib /BM/B+2 B 2i D /Mb H HBbi2 m
 mXbQ`iUV i`B2 H HBbi2 m 2M TH+2- /Mb HQ`/`2  Mim`2H  /2 b2b HK2Mib UbB H2b 
HK2Mib /2 m bQMi /2b HBbi2b
Qm /2b imTH2b- HQ`/`2 miBHBb 2bi HQ`/`2 H2tB+Q;`T?B[m2V
PT`iBQMb bm` H2b i#H2mt UMTXM/``vV
 MTX``vUmV +`2 mM MQmp2m i#H2m +QMi2MMi H2b HK2Mib /2 H HBbi2 mX G iBHH2 2i 
H2 ivT2 /2b HK2Mib
/2 +2 i#H2m bQMi //mBib /m +QMi2Mm /2 m
 MTX2KTivUM- /ivT2V- MTX2KTivUUM- KV- /ivT2V +`2 `2bT2+iBp2K2Mi mM p2+i2m`  M 
HK2Mib Qm mM2 K@
i`B+2  M HB;M2b 2i K +QHQMM2b /QMi H2b HK2Mib- /2 pH2m`b BM/i2`KBM2b- bQMi 
/2 ivT2 /ivT2 [mB T2mi i`2
mM ivT2 biM/`/ U#QQH- BMi- 7HQi- wV Qm mM ivT2 bT+B}[m2 MmKTv UMTXBMiRe- 
MTX7HQijk- wVX aB H2
T`Ki`2b /ivT2 M2bi Tb T`+Bb- BH T`2M/ H pH2m` 7HQi T` /7mi
 MTXx2`QbUM- /ivT2V- MTXx2`QbUUM- KV- /ivT2V 7QM+iBQMM2 +QKK2 MTX2KTiv 2M 
BMBiBHBbMi +?[m2 H@
K2Mi  H pH2m` x`Q TQm` H2b ivT2b MmK`B[m2b Qm 6Hb2 TQm` H2b ivT2b #QQH2Mb
 XM/BK MQK#`2 /2 /BK2MbBQMb /m i#H2m  UR TQm` mM p2+i2m`- k TQm` mM2 Ki`B+2- 
2i+XV
 Xb?T2 imTH2 /QMMMi H iBHH2 /m i#H2m  TQm` +?+mM2 /2 b2b /BK2MbBQMb
 H2MUV iBHH2 /m i#H2m  /Mb b T`2KB`2 /BK2MbBQM UMQK#`2 /HK2Mib /mM p2+i2m`- 
MQK#`2 /2 HB;M2b
/mM2 Ki`B+2- 2i+XV [mBpH2Mi  Xb?T2(y)
 XbBx2 MQK#`2 iQiH /HK2Mib /m i#H2m 
 X7Hi Bi`i2m` bm` iQmb H2b HK2Mib /m i#H2m 
 XKBMUV- XKtUV `2MpQB2 H pH2m` /m THmb T2iBi U`2bT2+iBp2K2Mi THmb ;`M/V HK2Mi 
/m i#H2m  c +2b
QT`iBQMb QMi mM2 +QKTH2tBi i2KTQ`2HH2 2M  
 # BM  /i2`KBM2 bB # 2bi mM HK2Mi /m i#H2m  c bB # 2bi mM b+HB`2- p`B}2 bB 
# 2bi mM HK2Mi /2  c bB
# 2bi mM p2+i2m` Qm mM2 HBbi2 2i  mM2 Ki`B+2- /i2`KBM2 bB # 2bi mM2 HB;M2 /2 
 MTX+QM+i2Mi2UUR- kVV +QMbi`mBi mM MQmp2m i#H2m 2M +QM+iMMi /2mt i#H2mt c R 2i 
k /QBp2Mi
pQB` H2 KK2 MQK#`2 /2 /BK2MbBQMb 2i H KK2 iBHH2  H2t+2TiBQM /2 H2m` iBHH2 /Mb 
H T`2KB`2 /BK2MbBQM
U/2mt Ki`B+2b /QBp2Mi pQB` H2 KK2 MQK#`2 /2 +QHQMM2b TQm` TQmpQB` i`2 
+QM+iM2bV
r r r 6AL r r r

kyRd@yj@kd ky,Rj,98

S;2 3f3

Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



Centrale Informatique PSI 2017 -- Corrig
Ce corrig est propos par Cyril Ravat (professeur en CPGE) ; il a t relu par
Julien Dumont (professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (professeur en CPGE).

Ce sujet d'informatique a pour contexte la mission martienne Mars Exploration
Rovers. Celle-ci conduit  une tude en trois parties des aspects robotiques de 
l'exploration, principalement le dplacement du systme sur une carte : calculs 
de distances
parcourues et optimisation du chemin reliant tous les points suivant deux 
approches.
De nombreuses questions font intervenir des tableaux numpy, donc l'utilisation 
des
fonctions associes, alors que des listes de listes suffiraient la plupart du 
temps.
Un catalogue de ces fonctions est fourni en fin de sujet, avec des explications 
claires
et des exemples.
 La premire partie est compose de trois sous-parties indpendantes et de 
difficults ingales : la premire permet de raliser deux fonctions 
lmentaires de
gnration de carte et de calcul de distance ; la deuxime traite trs 
brivement de traitement d'image ; la troisime tudie le fonctionnement de la 
base
de donnes des analyses  effectuer. On regrette la difficult importante de la
premire question, qui a d dcourager nombre de candidats, du moins ceux
qui ont correctement lu le sujet. Comparativement, les deux questions sur le
traitement d'image sont d'une simplicit dconcertante. Enfin, on note que les
requtes SQL demandent l'utilisation d'une syntaxe (IS NULL) conceptuellement 
complexe et certainement peu enseigne.
 La deuxime partie aborde le problme trs classique dit  du voyageur de
commerce  : il faut optimiser le passage du robot par tous les points d'une 
liste
une seule et unique fois. On met en place ici quelques fonctions lmentaires 
puis
on ralise l'algorithme glouton du plus proche voisin. L'ensemble est quilibr
et suffisamment progressif en termes de difficult.
 La dernire partie continue le travail prcdent en proposant pour le mme
problme l'tude d'un autre type de solution, lui aussi classique : un 
algorithme
gntique. Les questions sont bien dtailles et se suivent parfaitement ; y 
rpondre donne le plaisir de construire petit  petit un algorithme complexe et
utilisable sur un cas concret.
Ce sujet laisse au final deux impressions : celle d'un dbut mal matris et peu
progressif, suivie dans les deux dernires parties d'un sujet classique 
permettant
aux candidats de s'exprimer correctement. Il contient quelques questions de 
langage
SQL mais n'aborde pas la partie ingnierie numrique du programme et ne demande
aucune dmonstration thorique.

Indications
Partie I
I.A.1.a Le plus simple est de continuer  gnrer des couples tant que le 
rsultat n'en
contient pas n et d'enregistrer ces couples uniquement s'ils ne sont pas dj
prsents dans le rsultat,  l'aide de l'oprateur not in.
I.A.2 Ce genre de matrices est symtrique, on vite de doubler les calculs. La 
distance entre deux points se calcule  l'aide du thorme de Pythagore.
I.B Il existe une fonction permettant d'obtenir les dimensions d'un tableau 
numpy.
I.C.1 Pour tester si un champ est gal  NULL, ce n'est pas l'oprateur = mais
l'oprateur IS qui est ncessaire : champ IS NULL ou champ IS NOT NULL.
I.C.3 Un seul rsultat par exploration, pour plusieurs explorations, car il 
s'agit
d'une requte d'agrgation. Les champs  calculer et la slection des 
explorations termines se font sur deux tables, une jointure est donc 
ncessaire.
I.C.4 L'nonc est incomplet, il ne dit pas comment sont stocks les entiers 
dans
la base. On peut imaginer qu'ils sont positifs et enregistrs sur 64 bits.
I.C.5 Il faut raliser une jointure. Toutes les tables dcrites dans l'nonc 
ne sont
pas utiles. Les champs EX_NUM et TY_NUM sont prsents et quivalents dans
trois tables.
Partie II
II.A.2 Gnrer une liste de n valeurs boolennes permet de savoir rapidement si 
un
point a dj t visit, sans utiliser la syntaxe in.
II.C.1 Il s'agit d'une recherche classique de minimum, mais uniquement sur les
points encore disponibles  la ie itration. Comme en II.A.2, une liste de
valeurs boolennes peut aider. Faire attention  l'initialisation du critre 
minimal recherch.
II.C.3 Les points donns sont aligns, faire un dessin au brouillon.
Partie III
III.A Pour gnrer une liste alatoire d'entiers, le plus simple est d'utiliser 
la fonction de permutation donne en fin d'nonc, sur la liste complte.
III.B Pour trier les chemins, la mthode sort fonctionne immdiatement et il 
n'est
pas utile de la coder  la main. Attention, il faut supprimer directement
des lments de la liste p, il est interdit d'crire p = p[0 :len(p)//2] par
exemple.
III.C.1 La fonction random.sample permet d'obtenir plusieurs valeurs distinctes
prises alatoirement au sein d'une liste.
III.C.2 Penser  utiliser les fonctions muter_chemin et longueur_chemin 
ralises
aux questions prcdentes.
III.D.1 On peut concatner deux listes avec l'oprateur +.
III.E.1 Attention  la syntaxe des fonctions prcdentes, notamment de celles 
qui ne
renvoient pas de valeur.
III.E.2 O est le meilleur chemin dans une gnration ? Est-il modifi ?
III.E.3 Classiquement, une srie converge si sa valeur n'volue plus beaucoup.

I. Cration d'une exploration et
gestion des points d'intrt
La syntaxe des dfinitions de fonctions choisie pour cet nonc est une 
possibilit offerte par Python pour rendre le code plus explicite (les  
annotations ).
Bien que peu d'lves l'aient dj vu, son emploi n'a pas d tre un problme.
I.A.1.a Dans la fonction gnrer_PI, on peut choisir de manipuler une liste et
d'utiliser la mthode append pour ajouter chaque point avant une transformation
finale en tableau numpy, puisque celle-ci est impose par l'nonc :
def gnrer_PI(n:int, cmax:int) -> np.ndarray:
PI = []
while len(PI) < n:
x = random.randrange(0,cmax+1)
y = random.randrange(0,cmax+1)
if [x,y] not in PI:
PI.append([x,y])
return np.array(PI)
La difficult de cette question rside en grande partie dans le besoin
de ne garder que des points distincts. La rflexion pour obtenir une liste
de n points alatoire est trs courte, mais celle pour liminer les doublons
l'est beaucoup moins, notamment parce qu'un grand nombre de possibilits
existent. Si l'on ajoute  cela le retour sous forme de tableau numpy exig,
difficult supplmentaire pour beaucoup de candidats, alors que la liste de
listes est suffisante, cette question est plutt difficile pour un dbut 
d'preuve.
Il est aussi possible d'utiliser un tableau numpy depuis le dbut de 
l'algorithme, en l'initialisant  un tableau de n zros puis en le remplissant 
ligne
par ligne, en vrifiant que chaque couple tir au sort n'est pas dj prsent :
def gnrer_PI(n:int, cmax:int) -> np.ndarray:
PI = np.zeros((n,2),int) # n lignes, 2 colonnes
i = 0
while i < n:
x = random.randrange(0,cmax+1)
y = random.randrange(0,cmax+1)
if [x,y] not in PI[0:i]:
PI[i] = [x,y]; i = i+1
return PI
Malheureusement, malgr ce qu'indique l'annexe de l'nonc, la construction
en [x,y] in PI[0:i] ne donne pas le rsultat prvu avec un tableau numpy :
>>> PI = np.array([[1,2],[3,4]])
>>> [1,2] in PI # Normal
True
>>> [1,5] in PI # Pas normal !
True
ce qui n'est pas vraiment le rsultat escompt...  n'en pas douter, la fonction
propose plus haut devrait tre accepte par les correcteurs, mais ce code ne
fonctionne pas en pratique. Une des possibilits pour rsoudre ce problme,
trs au-del de ce que l'on peut attendre d'un candidat, est
any(np.equal([x,y],PI[0 :i]).all(1))

qui rpond correctement sur notre exemple :
>>> any(np.equal([1,2],PI).all(1))
True
>>> any(np.equal([1,5],PI).all(1))
False
I.A.1.b Les deux nombres doivent tre positifs et aussi permettre d'obtenir n
points distincts sur les cmax+1, c'est--dire
n 6 (cmax+1)2
Les coordonnes ainsi que cmax tant notes en millimtres, il est peu probable 
que n s'approche de cette valeur limite. On peut nanmoins noter dans
ce cas que l'algorithme donn  la question prcdente devient trs inefficace.
Il convient alors de le remplacer par un algorithme procdant par limination
d'un nombre complmentaire de points, choisis alatoirement.
I.A.2 La fonction demande doit calculer pour chaque couple de points (i,j) la
distance,  l'aide du thorme de Pythagore. Le rsultat est donc symtrique et 
il
faut recopier chaque valeur du triangle infrieur gauche vers le triangle 
suprieur
droit. On n'oublie pas d'ajouter la position actuelle en fin de ligne et de 
colonne.
def calculer_distances(PI:np.ndarray) -> np.ndarray:
n = len(PI)
pos = position_robot()
distances = np.zeros((n+1,n+1))
for i in range(n):
for j in range(i):
distances[i,j] = math.sqrt((PI[i,0]-PI[j,0])**2 \
+ (PI[i,1]-PI[j,1])**2)
distances[j,i] = distances[i,j]
distances[i,n] = math.sqrt((PI[i,0]-pos[0])**2 \
+ (PI[i,1]-pos[1])**2)
distances[n,i] = distances[i,n]
return distances
On peut viter une des racines en ajoutant la position actuelle directement  
la liste des points d'intrt avant calcul, mais il faut pour cela tre un
peu familier de la fonction np.concatenate, qui ncessite des listes ou des
tableaux numpy en argument. Les crochets ici sont essentiels, ce qui n'est pas
du tout vident...
def calculer_distances(PI:np.ndarray) -> np.ndarray:
points = np.concatenate((PI,[position_robot()]))
n = len(points)
distances = np.zeros((n,n))
for i in range(n):
for j in range(i):
distances[i,j] = math.sqrt(
\
(points[i,0]-points[j,0])**2 \
+ (points[i,1]-points[j,1])**2)
distances[j,i] = distances[i,j]
return distances