Centrale Informatique MP-PC-PSI 2015

Thème de l'épreuve Autour de la dynamique gravitationnelle
Principaux outils utilisés listes, boucles, schémas d'intégration, méthode d'Euler, bases de données
Mots clefs méthode de Verlet, problème à N-corps

Corrigé

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Q, % Informatique l-D % . "' _/ MP,PC,PSI,TSI @ EUNE[IHHS EENTHHLE-SUPËLEE 3 heures Calculatrices autorisées N Autour de la dynamique gravitationnelle Modéliser les interactions physiques entre un grand nombre de constituants mène à l'écriture de systèmes diffé-- rentiels pour lesquels, en dehors de quelques situations particulières, il n'existe aucune solution analytique. Les problèmes de dynamique gravitationnelle et de dynamique moléculaire en sont deux exemples. Afin d'analyser le comportement temporel de tels systèmes, l'informatique peut apporter une aide substantielle en permettant leur simulation numérique. L'objet de ce sujet, composé de quatre parties, est l'étude de solutions algorithmiques en vue de simuler une dynamique gravitationnelle afin, par exemple, de prédire une éclipse ou le passage d'une comète. Les programmes doivent être écrits en langage python et les requêtes de base de données en langage SQL. Les candidats sont libres de définir et de programmer toute fonction auxiliaire dont ils estiment avoir besoin pour répondre aux questions posées. Ils ueilleront dans ce cas à définir précisément, le rôle de chaque fonction introduite, ses paramètres et son résultat. Ils peuvent également utiliser librement les fonctions de la bibliothèque standard Python, en particulier celles du module math. Lorsque le sujet demande l'écriture d'une fonction python, la réponse doit commencer par l'entête de la fonction (instruction def). D'autre part, si le sujet précise que la fonction prend un paramètre d'un certain type ou qui répond à une certaine condition, la fonction n'a pas à vérifier la conformité de l'argument reçu. La lisibilité des codes produits, tant en python qu'en SQL, est un élément important d'appréciation. I Quelques fonctions utilitaires I .A -- Donner la valeur des expressions python suivantes : I.A.1) [1, 2, s] + [4, 5, 6] I.A.2) 2 * [1, 2, 3] I .B -- Écrire une fonction python smul a deux paramètres, un nombre et une liste de nombres, qui multiple chaque élément de la liste par le nombre et renvoie une nouvelle liste : smul (2, [1 , 2, 3]) --> [2, 4, 6]. LG -- Arithmétique de listes I.C.1) Écrire une fonction python vsom qui prend en paramètre deux listes de nombres de même longueur et qui renvoie une nouvelle liste constituée de la somme terme à terme de ces deux listes : Vsom([1, 2, 3], i:4, 5, 6]) _) [5' 72 9] I.C.2) Écrire une fonction python vdif qui prend en paramètre deux listes de nombres de même longueur et qui renvoie une nouvelle liste constituée de la différence terme a terme de ces deux listes (la première moins la deuxième) : Vdif([1, 2, 3] , [4, 5, 6]) --> [--3, --3, --3]. II Étude de schémas numériques min et tmax deux réels tels que tmin < tmax. On s'intéresse a une équation différentielle du second ordre de la forme : Vt EUR I y"(t) = f (W)) (II-1) où f est une fonction donnée, continue sur [R. De nombreux systèmes physiques peuvent être décrits par une équation de ce type. Soient y une fonction de classe C'2 sur [R et t On note I l'intervalle [tmin7 tmaxi ' On suppose connues les valeurs y() : y(tmin) et z0 = y'(tmin). On suppose également que le système physique étudié est conservatif. Ce qui entraîne l'existence d'une quantité indépendante du temps (énergie, quantité de mouvement, .), notée E, qui vérifie l'équation (11.2) où g' = -- f . 1 w e 1 5y'2 +g [R définie par Vt EUR I, z(t) : y'(t). 2015-03-09 14:08:31 Page 1/4 [_ II.A.1) Montrer que l'équation (11.1) peut se mettre sous la forme d'un système différentiel du premier ordre en z(t) et y(t), noté (S). t --t . II.A.2) Soit n un entier strictement supérieur à 1 et Jn : l[0,n -- 1]]. On pose h = % et Vi E J... t,-- : tmin + ih. Montrer que, pour tout entier i EUR |[0,n -- 2]], ti+1 ti+1 y = z 2 étant un entier positif donné. Le mouvement de ces points est étudié dans un référentiel galiléen muni d'une base orthonormée. L'interaction entre deux corps j et k est modélisée par la force gravitationnelle. L'action exercée m m _] k 3 rjk corps j et k (rjk = ||Pijll) et G = 6,67 >< 10_11 N-m2-kg_2 la constante de gravitation universelle. par le corps k sur le le corps j est décrite par la force Î . = G PP où 7". est la distance séparant les k/J ] k Jk A tout instant t,-- avec i E [[O,n]], chaque corps de masse mj est repéré par ses coordonnées cartésiennes (as,--j, y,,, 2,1) et les composantes de son vecteur v1tesse (v...--j, vyij, UZ,--j) dans le referent1el de reference. Trois listes sont utilisées pour représenter ce système en python -- masse conserve les masses de chaque corps : masse [j] = mj ; -- position contient les positions successives de chaque corps : position [i] [j] = [as,--j,y,--j, z,--j] ; -- vitesse mémorise les vitesses successives de chaque corps : vitesse [i] [j] = [vmj,vyij,vz,--j]. L'objet de la suite du problème est de construire ces listes en mettant en oeuvre l'algorithme de Verlet. III.A -- Position du problème III.A.1) Exprimer la force Î'j exercée sur le corps Pj par l'ensemble des autres corps Pk, avec k % j. III.A.2) Écrire une fonction python force2 (m1, pi, m2, p2) qui prend en paramètre les masses (m1 et m2 en kilogrammes) et les positions (pl et p2, sous forme de listes de trois coordonnées cartésiennes en mètres) de deux corps 1 et 2 et qui renvoie la valeur de la force exercée par le corps 2 sur le corps 1, sous la forme d'une liste a trois éléments représentant les composantes de la force dans la base de référence, en newtons. III.A.3) Écrire une fonction forceN( j , m, pos) qui prend en paramètre l'indice j d'un corps, la liste des masses des N corps du système étudié ainsi que la liste de leurs positions et qui renvoie Fj, la force exercée par tous les autres corps sur le corps j, sous la forme d'une liste de ses trois composantes cartésiennes. III.B -- Approche numérique III.B.1) Expliciter la structure et la signification de position [i] et vitesse [i]. III.B.2) Écrire une fonction pos_suiv (m, pos, vit, h) qui prend en paramètres la liste des masses des N corps du système étudié (en kilogrammes), la liste de leurs positions (en mètres) à l'instant t,, la liste de leurs vitesses (en mètres par seconde) au même instant et le pas d'intégration h (en secondes) et qui renvoie la liste des positions des N corps à l'instant t,-- +1 calculées en utilisant le schéma de Verlet. III.B.3) Écrire une fonction etat_suiv(m, pos, vit, h) qui prend les mêmes paramètres que la fonction pos_suiv et qui renvoie la liste des positions (en mètres) et la liste des vitesses (en m/s) des N corps à l'instant t,-- +1 calculées en utilisant le schéma de Verlet. III.B.4) En notant TN la durée des calculs pour un ln(TN) nombre N de corps, la mise en oeuvre de la fonction 8' etat_suiv a donné le résultat graphique de la figure 2 + ++ où on a porté ln(N ) en abscisse et ln(TN) en ordonnée. 7 +++ a ) Quelle relation simple peut--on établir entre ln(TN) +++ et ln(N ) a partir de la figure 2 ? 6 + + b) Quelle hypothèse peut-on émettre quant à la com-- + + plexité de l'algorithme étudié ? 5 + III.B.5) + 4 + a) Estimer la complexité temporelle de la fonction etat_suiv sous la forme O(N°'). 3 + b) Comparer avec le résultat obtenu àla question III.B/l. 2 + Figure 2 2015-03-09 14:08:31 Page 3/4 [_ IV Exploitation d'une base de données À partir de mesures régulièrement effectuées par différents observatoires, une base de données des caractéristiques et des états des corps célestes de notre Système solaire est maintenue à jour. L'objectif de cette partie est d'extraire de cette base de données les informations nécessaires à la mise en oeuvre des fonctions développées dans les parties précédentes, puis de les utiliser pour prévoir les positions futures des différentes planètes. Les données à extraire sont les masses des corps étudiés et leurs états (position et vitesse) a l'instant tmin du début de la simulation. Une version simplifiée, réduite à deux tables, de la base de données du Système solaire est donnée figure 3. Les masses sont exprimées en kilogrammes, les distances en unités astronomiques (1 au : 1,5 >< 1011 m) et les vitesses en kilomètres par seconde. Le référentiel utilisé pour exprimer les composantes des positions et des vitesses est galiléen, orthonormé et son centre est situé a proximité du Soleil. CORPS ETAT id_corps-- masse id_corps ... Figure 3 Schéma de la base de données La table CORPS répertorie les corps étudiés, elle contient les colonnes -- id_corps (clé primaire) entier identifiant chaque corps ; -- nom, chaine de caractères, désigne le nom usuel du corps ; -- masse de type flottant, contient la masse du corps. La table ETAT rassemble l'historique des états successifs (positions et vitesses) des corps étudiés. Elle est consti- tuée de huit colonnes : -- id_corps de type entier, identifie le corps concerné ; -- datem est la date de la mesure, sous forme d'un entier donnant le nombre de secondes écoulées depuis un instant d'origine ; -- trois colonnes de type flottant pour les composantes de la position x, y, z ; -- trois colonnes de type flottant pour les composantes de la vitesse vx, vy, vz. I V.A -- Écrire une requête SQL qui renvoie la liste des masses de tous les corps étudiés. I V.B -- Les états des différents corps ne sont pas forcément tous déterminés exactement au même instant. Nous allons assimiler l'état initial (à la date tmin) de chaque corps à son dernier état connu antérieur à tmin. Dans toute la suite, on supposera que la valeur de tmin7 sous le format utilisé dans la table ETAT, est accessible à toute requête SQL via l'expression tmin(). IV.B.1) On souhaite d'abord vérifier que tous les corps étudiés disposent d'un état connu antérieur à tmin(). Le nombre de corps présents dans la base est obtenu grâce à la requête SELECT count(*) FROM corps. Écrire une requête SQL qui renvoie le nombre de corps qui ont au moins un état connu antérieur à tmin(). IV.B.2) Écrire une requête SQL qui renvoie, pour chaque corps, son identifiant et la date de son dernier état antérieur à tmin(). IV.B.3) Le résultat de la requête précédente est stocké dans une nouvelle table date_mesure a deux colonnes : -- id_corps de type entier, contient l'identifiant du corps considéré; -- date_der de type entier, correspond à la date du dernier état connu du corps considéré, antérieur à tmin(). Pour simplifier la simulation, on décide de négliger l'influence des corps ayant une masse strictement inférieure à une valeur fixée masse_min() et de ne s'intéresser qu'aux corps situés dans un cube, centré sur l'origine du référentiel de référence et d'arête arete() donnée. Les faces de ce cube sont parallèles aux plans formés par les axes du référentiel de référence. Ecrire une requête SQL qui renvoie la masse et l'état initial (sous la forme masse, x, y, z, vx, vy, vz) de chaque corps retenu pour participer à la simulation. Classez les corps dans l'ordre croissant par rapport a leur distance a l'origine du référentiel. I V.C -- On dispose des variables python tO, p0, VO et masse initialisées a partir du résultat de la requête précédente. 130 est un entier qui donne la date des conditions initiales : il correspond à tmin et à tmin(). p0 est une liste de longueur N, chaque élément de 130 est une liste a 3 éléments de la forme [x, y, 2] représentant la position initiale d'un corps, en unité astronomique. VO a une structure identique mais indique les vitesses initiales des corps considérés, en km/s. masse est décrite en partie III. Écrire la fonction python simulation_verlet (deltat, 11) qui prend en paramètre un incrément de temps en secondes (deltat > O) et un nombre d'itérations (n > O) et qui renvoie la liste des positions des corps considérés pour chaque instant t0, t0 + deltat, ..., 130 + n*deltat (cf variable position définie en partie III). Les calculs seront menés en utilisant le schéma d'intégration de Verlet, le résultat sera fourni en unité astronomique. oooFlNooo 2015-03-09 14:08:31 Page 4/4 [_

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 Centrale Informatique PSI 2015 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Julien Dumont (Professeur en CPGE) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE). Ce sujet s'intéresse à une application en astronomie (effectivement utilisée par les astronomes) d'un algorithme d'intégration numérique, appelé schéma d'intégration de Verlet. La première partie part du constat qu'en Python les listes ne sont pas directement adaptées pour faire du calcul vectoriel puisque leur addition à l'aide du symbole + conduit à la concaténation des deux listes (qui du coup peuvent être de tailles quelconques) plutôt qu'à l'addition terme à terme comme on pourrait s'y attendre si l'on représente des vecteurs par des listes. On construit donc quelques fonctions qui permettent de pallier cet inconvénient, comme l'addition ou la soustraction terme à terme ou encore la multiplication par un scalaire. Ces questions servent essentiellement à vérifier que le candidat maîtrise les boucles sur les listes. La deuxième partie est une étude plutôt théorique des avantages comparés des schémas d'intégration d'Euler et de Verlet pour résoudre numériquement une équation différentielle1 . L'accent est mis sur l'aspect mathématique, mais on fait aussi des liens avec le cours de mécanique sur les oscillateurs à un degré de liberté puisque l'on étudie principalement l'effet du schéma d'intégration sur un oscillateur harmonique et sa représentation graphique en terme de portrait de phase. Les implémentations du schéma d'Euler (prolongement naturel et direct du cours) et du schéma de Verlet (variation sur le thème d'Euler) constituent les applications informatiques de cette partie. La troisième partie se concentre sur l'implémentation du schéma de Verlet dans le cadre classique du problème gravitationnel à N corps. Il s'agit dans un premier temps de coder le calcul de la force gravitationnelle d'un objet sur un autre, puis de tous les autres objets sur l'objet d'étude pour finalement intégrer les équations du mouvement à l'aide du schéma de Verlet. On termine sur une estimation expérimentale et théorique de la complexité de l'algorithme proposé. La quatrième partie aborde des questions sur les bases de données dans l'idée de collecter une série de corps issus du système solaire pour démarrer une simulation à grande échelle. Cela commence par des requêtes SQL très simples, puis la difficulté augmente progressivement. Le problème se termine par l'écriture de la fonction simulant le système solaire, en partant des conditions initiales collectées via la base de données. Elle utilise les fonctions de la partie III. L'épreuve est progressive, même si elle démarre avec des questions légèrement hors programme. Elle construit presque complètement un intégrateur à N corps qui pourra servir de base, par exemple, à de futurs TIPE sur ce thème. La longueur est raisonnable et le sujet semble parfaitement correspondre à ce qu'on est en droit d'attendre sur le programme d'informatique commune. 1 Sans surprise, c'est Verlet qui va gagner. Indications Partie I I.A.1 Attention, les listes Python ne se comportent pas naturellement comme des vecteurs en mathématiques. Dans le doute, tester le code dans une session interactive de Python. Partie II II.A.1 Par définition, on a y = z, il reste donc à trouver à quoi relier z . Z ti+1 II.A.2 Il suffit de partir de la constatation que y (t) dt = y(ti+1 ) - y(ti ). ti II.B.2 Utiliser la fonction f définissant l'équation différentielle, les conditions initiales y0 et z0 ainsi que le pas de temps h et le nombre n de points. II.B.3.a Penser au cours de physique : multiplier par la vitesse y pour faire apparaître des dérivées de fonctions composées connues. II.B.3.b Ne pas oublier qu'on se restreint ici au cas de l'oscillateur harmonique. II.B.3.c Un schéma satisfait la conservation de l'énergie si... l'énergie se conserve. II.B.3.d et e Là encore, il faut s'inspirer du portrait de phase de l'oscillateur harmonique vu dans le cours de physique. II.C.2.a C'est la question la plus calculatoire du problème. Commencer par exprimer yi+1 et zi+1 en fonction uniquement de yi et zi sans oublier qu'on s'intéresse toujours uniquement à l'oscillateur harmonique. Par la suite, utiliser l'identité remarquable a2 - b2 = (a - b)(a + b) et faire un développement en O(h3 ) pour ne pas s'encombrer de termes inutiles. Partie III III.A.2 Définir une fonction auxiliaire norme(vecteur) pour simplifier l'implémentation. III.B.2 Utiliser la méthode de Verlet pour chaque coordonnée en position de chaque corps après avoir fait apparaître l'équation différentielle par application de la relation fondamentale de la dynamique. Attention, la fonction f dépend de la position de tous les corps et pas seulement de la coordonnée considérée. III.B.3 Il reste les vitesses à faire évoluer. Utiliser à nouveau la méthode de Verlet sur chaque composante de chaque vitesse à l'aide des positions présentes et à venir. Noter qu'il n'est pas nécessaire de calculer les positions suivantes pour chaque étape de la boucle sur j. Un seul calcul en dehors de la boucle est suffisant. III.B.5.a Il est possible de trouver une complexité cubique dans le cas où vous n'avez pas tenu compte de l'indication précédente. Partie IV IV.B.1 Le mot-clé DISTINCT utilisé en conjonction avec COUNT permet d'éviter les doublons. IV.B.2 Pour un corps donné, la date du dernier état antérieur à tmin() est le MAX de toutes les dates des états antérieurs à tmin(). IV.B.3 Il y a des informations à prendre sur trois tables donc deux jointures à effectuer. La distance attendue pour l'ordonnancement est euclidienne. I. Quelques fonctions utilitaires I.A.1 Le + appliqué sur deux listes a pour action de les concaténer l'une à l'autre en créant une troisième liste. Il ne faut donc pas confondre avec l'addition terme à terme comme on peut l'imaginer lors de la sommation de deux vecteurs. >>> [1,2,3] + [4,5,6] [1, 2, 3, 4, 5, 6] L'idée de cette partie est de montrer que les listes Python ne se comportent pas naturellement comme des vecteurs mathématiques, c'est-à-dire que la « somme » de deux listes ne donne pas une somme composante par composante des deux listes (ici on attendrait [5, 7, 9]) mais les concatène. Il existe bien sûr des objets Python qui permettent de faire exactement cela, ce sont les numpy.array qui se comportent « comme attendu » vis-à-vis de l'addition : >>> import numpy >>> a = numpy.array([1,2,3]) >>> b = numpy.array([4,5,6]) >>> a+b array([5, 7, 9]) Attention, il ne faut jamais utiliser la concaténation pour construire une liste élément par élément car celle-ci, en Python, renvoie une copie des deux listes. Par conséquent, la construction suivante d'une liste contenant les n premiers entiers pairs est de complexité quadratique en n. L= [] for i in range(n): L= L + [2*i] # Ne JAMAIS faire cela, préférer L.append(2*i) En effet, chaque concaténation est linéaire en i, le nombre d'éléments de la liste L à l'étape i, de sorte que le nombre total d'opérations est de l'ordre de N P N2 i . Alors certes, cela ne sera pas trop handicapant quand on fabrique 2 i=1 une liste d'une dizaine d'éléments, mais déjà pour mille, cela se sentira et ce sera encore bien pire pour un million ! I.A.2 Pour les entiers naturels, n × x vaut x + · · · + x où x apparaît n fois. Suivant la même sémantique, la multiplication d'un entier avec une liste revient à concaténer la liste avec elle-même autant de fois que demandé. >>> 2*[1,2,3] [1, 2, 3, 1, 2, 3] Le résultat « naturel » attendu (soit [2, 4, 6]) serait donné par l'usage d'un tableau Numpy (essayez 2*numpy.array([1,2,3])). Ni la concaténation de deux listes, ni la multiplication d'une liste par un entier ne sont à proprement parler au programme d'informatique pour tous, mais il est probable que vous croisiez cette syntaxe pour définir une liste initialisée à zéro sous la forme L = [0]*n. Attention, il ne faut pas utiliser cette construction pour initialiser une matrice de zéros car Python ne fait pas une « copie profonde » des objets concernés. Observez plutôt : >>> a = [[0]*3]*2 # Création de la "matrice" >>> a[0][1] = 1 # Modification de la première ligne >>> a # Hein ?!? [[0, 1, 0], [0, 1, 0]] I.B Présentons trois versions possibles, l'une en créant une liste remplie de zéros, l'autre en itérant sur les éléments et en construisant la liste au fur et à mesure par ajouts successifs, la dernière en utilisant la Pythonnerie de construction de liste en compréhension. def smul(nombre,liste): """ Multiplication terme à terme d'une liste par un nombre.""" L = [0]*len(liste) # Initialisation à une liste de 0 for i in range(len(liste)): # Autant de fois que d'éléments L[i] = nombre * liste[i] # On remplit avec la valeur idoine return L # On n'oublie pas de renvoyer L def smul(nombre,liste): L = [] for element in liste: L.append(nombre*element) return L # # # # Initialisation à une liste vide On itère sur les éléments On rajoute la valeur idoine On n'oublie pas de renvoyer L def smul(nombre,liste): return [nombre*element for element in liste] # One-liner ! Bien sûr, le jour du concours, une seule version est nécessaire (et suffisante !), mais il est intéressant de comparer les diverses manières permettant d'arriver au résultat. La version la plus proche de ce que tout le monde doit pouvoir faire au vu du programme officiel est la seconde. Néanmoins, les correcteurs comprendront les différents dialectes. Le rapport de concours précise même que « De nombreux candidats résolvent cette partie à l'aide de liste en compréhension, qui produisent du code concis et lisible. » I.C.1 L'addition terme à terme sur les listes se définit par def vsom(L1,L2): """ Fait l'addition vectorielle L1+L2 de deux listes. Les deux listes doivent avoir la même taille. """ L = [0] * len(L1) # Inialisation à une liste de 0 for i in range(len(L1)): # On regarde toutes les positions L[i] = L1[i] + L2[i] # Addition à la position i return L # Renvoi du résultat À noter qu'ici on ne peut pas itérer sur les éléments car on a besoin de ceux de chaque liste, ce qui impose de passer par les indices des positions, communes aux deux listes. I.C.2 On définit de même la différence.