X/ENS Physique B PC 2025

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI
ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2025

MERCREDI 16 AVRIL 2025
08h00 - 12h00
FILIERE PC

-

PHYSIQUE B

Epreuve n° 5
(XEULS)

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Production et caracterisation d'impulsions laser attosecondes
On se contentera de reponses courtes, sauf lorsqu'il est demande de justifier 
un resultat donne.
Les applications numeriques seront donnees avec un seul chiffre significatif.
Les parties I, II et III peuvent etre resolues de maniere independante pour 
l'essentiel.
Ce probleme traite de la production d'impulsions lumineuses durant une centaine 
d'attosecondes (1 as = 10-18 s). Ces recherches ont valu aux francais Anne 
L'Huillier et Pierre Agostini
de recevoir le prix Nobel de physique en 2023, avec le hongrois Ferenc Krausz. 
Dans tout ce
probleme, on notera q 2 = e2 /(40 ), ou e est la charge elementaire (e > 0) et 
0 la permittivite
dielectrique du vide.
1. Dans le cadre du modele de Bohr de l'atome d'hydrogene, determiner 
l'expression de la periode
de revolution de l'electron dans son niveau fondamental, qu'on notera Te , en 
fonction de q 2 , de
la constante reduite de Planck  et de la masse de l'electron m.
Te est la duree caracteristique du mouvement d'un electron dans un atome ou une 
molecule.
Sa valeur numerique, Te = 1,5×10-16 s, est inferieure a la femtoseconde (1 fs = 
10-15 s). L'etude
de ces mouvements est designee par "science attoseconde" par un leger abus de 
langage, puisque
l'ordre de grandeur est plutot la centaine d'attosecondes.
I ­ Production de l'impulsion lumineuse
L'idee generale de la science attoseconde est d'eclairer un echantillon pendant 
une duree de
l'ordre de Te . Pour construire cette impulsion lumineuse, la premiere etape 
consiste, a partir
d'un laser de frequence , a creer des harmoniques de frequences multiples de , 
dont la periode
soit inferieure a Te .
Focalisation d'une impulsion laser
2. On utilise un laser de longueur d'onde  = 800 nm. Dans quel domaine du 
spectre
electromagnetique se trouve-t-il ?
3. Calculer numeriquement la periode T de l'onde emise par le laser, et le rang 
minimum des
harmoniques de periode inferieure a Te .
Detaillons maintenant la methode permettant de fabriquer ces harmoniques, qui 
consiste a
focaliser une impulsion laser de tres haute intensite sur de l'argon. On 
modelise le champ du
laser comme un faisceau gaussien se propageant dans le vide suivant une 
direction z. On rappelle
les formules generales definissant le profil radial d'intensite d'un tel 
faisceau :

w0 2
2r2
I(r,z) = I0
exp -
w(z)2
sw(z) 
z 2
w(z) = w0 1 +
zR
w02
zR =
.
(1)

ou r designe la distance a l'axe de propagation, w0 le waist, zR la longueur de 
Rayleigh, et
I0 = I(0,0) le maximum d'intensite.
4. Le faisceau incident a un waist dont la valeur numerique est w0 = 4 mm. 
Determiner l'ordre
de grandeur de sa longueur de Rayleigh. Justifier que sur une longueur de 
l'ordre du metre au
voisinage de z = 0, le faisceau peut etre considere comme etant cylindrique.
5. On focalise ce faisceau cylindrique au moyen d'une lentille mince de focale 
f = 1 m, dont le
plan est perpendiculaire a la direction de propagation z. L'axe de la lentille 
et l'axe du faisceau
sont identiques. Verifier que les conditions de l'approximation de Gauss sont 
satisfaites.
1

6. On admet que le faisceau emergent est egalement un faisceau gaussien. 
Dessiner l'allure de ce
faisceau. Exprimer la largeur de son waist, qu'on notera w0 , en fonction de , 
f et w0 . Estimer
la valeur numerique de w0 .
7. Le laser delivre des impulsions d'energie EL = 1 mJ pendant une duree TL = 
40 fs. Determiner
l'ordre de grandeur litteral puis numerique de la puissance par unite de 
surface au foyer de la
lentille, qu'on notera PL .
8. Determiner l'ordre de grandeur litteral de l'amplitude maximale E0 du champ 
electrique de
l'onde electromagnetique, qu'on exprimera en fonction de PL , c et de la 
permeabilite magnetique
du vide µ0 .
9. Le flux energetique surfacique que la Terre recoit du Soleil au-dessus de 
l'atmosphere est celui
d'une onde plane dont l'amplitude du champ electrique vaut 700 V · m-1 . En 
deduire, par un
argument de proportionnalite, l'ordre de grandeur de E0 , defini a la question 
precedente.
10. On note IP l'energie d'ionisation de l'atome d'argon (IP > 0). On rappelle 
que les energies
d'ionisation des atomes sont de l'ordre de 10 eV. Rappeler l'ordre de grandeur 
de la taille d'un
atome. En deduire, par un argument dimensionnel, l'ordre de grandeur du champ 
electrique vu
par un electron peripherique. Comment se compare-t-il au champ E0 ?
Mouvement d'un electron dans le champ du laser et generation d'harmoniques
11. On assimile pour simplifier l'atome d'argon a un atome d'hydrogene, comme a 
la question 1.
Lorsque l'atome est eclaire par le laser, l'electron voit le champ electrique 
du noyau et celui du
laser. Pour etudier son mouvement dans la superposition de ces deux champs, 
nous considerons
un modele classique a une dimension, ou l'electron se deplace sur un axe Ox, O 
etant la position
 = -E0ex , ou l'amplitude E0 > 0
du noyau, et x la direction du champ electrique du laser, E
est supposee uniforme et constante. Exprimer l'energie potentielle de 
l'electron, de charge -e,
en fonction de q 2 , eE0 et x, et tracer l'allure de sa variation en fonction 
de x.
12. L'electron est dans un etat d'energie mecanique -IP . Montrer que si E0 
depasse une valeur
dite de "saturation" et notee Esat , l'electron echappe a l'attraction du noyau 
et part a l'infini.
Exprimer Esat en fonction de IP , q 2 et e.
13. Nommer l'effet quantique qui permet a l'electron de s'echapper, selon une 
certaine probabilite, meme si E0 < Esat . 14. On reprend le modele unidimensionnel de la question 11, mais avec un champ exterieur qui varie au cours du temps selon E(t) = -E0 sin t ex . Ecrire l'equation du mouvement de l'electron dans la superposition des deux champs, sous la forme d'une equation differentielle pour x(t). On ecrira separement deux equations differentielles suivant que x(t) > 0 ou x(t) < 0. 15. On s'interesse au mouvement force, defini comme une solution x(t) de cette equation qui soit periodique, et de meme periode T = 2/ que le champ electrique. Sans chercher a determiner x(t), justifier succinctement que cette solution verifie aussi x(t + T2 ) = -x(t). 16. Dans la decomposition de x(t) en serie de Fourier, quelles sont les harmoniques compatibles avec cette condition ? 17. On s'interesse aux trajectoires pour lesquelles l'electron s'echappe de l'atome. On reprend l'equation du mouvement determinee a la question 14, dans laquelle on neglige desormais le champ du noyau. Determiner la solution generale de cette equation. 18. Calculer l'energie cinetique moyenne de l'electron, notee UP , en regime sinusoidal force ou x(t) est periodique. On exprimera UP en fonction de eE0 , m et . 19. Integrer l'equation du mouvement de la question 17 pour un electron partant de l'origine sans vitesse initiale a un temps ti . 2 20. Tracer sur un meme graphique l'allure de la variation de x en fonction de t/T pour ti = 0, ti = T /4 et ti = T /2, pour t/T variant entre ti /T et 1,5. 21. La figure 1 donne l'allure de la variation de x(t) pour quatre autres valeurs de ti . On remarque que pour ces valeurs, l'electron revient en x = 0 a un temps de retour qu'on notera tr . Ecrire l'equation reliant tr a ti , sans chercher a la resoudre. x(t) ti=0,26 T ti=0,30 T ti=0,35 T ti=0,40 T 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 t/T 1 1.1 1.2 1.3 Figure 1 ­ 22. Lorsque l'electron revient au point de depart, il peut se recombiner avec le noyau. Ce modele est connu sous le nom de "modele en trois etapes" : l'electron est arrache de l'atome, puis fait une excursion dans le champ du laser, puis se recombine avec l'atome. L'energie liberee dans la recombinaison est la somme de l'energie d'ionisation, IP , et de l'energie cinetique Ec (tr ) de l'electron a t = tr . Cette energie est rayonnee sous forme d'un unique photon. Exprimer la pulsation de l'onde electromagnetique correspondant a ce photon. 23. Sur la figure 1, indiquer la courbe pour laquelle l'energie cinetique Ec (tr ) est maximale. Quelle est la courbe pour laquelle elle est minimale ? 24. Exprimer Ec (tr ) en fonction de UP , ti et tr . 25. La figure 2 represente la variation de Ec (tr ) en fonction de tr /T . Recopiez sommairement cette courbe sur votre copie et indiquez les valeurs de ti en differents points, en vous appuyant sur les resultats precedents. 3.0 Ec /Up 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 tr /T 1.0 1.1 1.2 Figure 2 ­ 26. La figure 3 represente, sur une echelle des ordonnees logarithmique, la variation de l'intensite de la lumiere rayonnee lors de la recombinaison electron-noyau en fonction de la frequence, cette derniere etant en unite de la frequence du laser. Comment interpretez-vous l'allure de cette variation ? La condition de la question 3 est-elle verifiee ? En utilisant le resultat de la question 3 22 et la figure 2, donner une expression approximative du rang maximal des harmoniques nmax en fonction de UP , IP ,  et . Figure 3 ­ II ­ Mesure de la duree de l'impulsion La figure 3 montre que le spectre de la lumiere emise par l'argon contient un grand nombre de pics d'intensite comparables, associes aux harmoniques du laser incident. Nous allons montrer qu'une telle superposition d'harmoniques peut engendrer une impulsion tres breve, puis decrire la methode experimentale qui permet de mesurer sa duree. Largeur du paquet d'ondes On modelise la lumiere emise comme une onde scalaire, qui est une superposition d'harmoniques de pulsations q, ou q est un entier strictement positif et  la pulsation du laser. On note Aq l'amplitude reelle et positive de l'harmonique q, et q sa phase. 27. Exprimer la puissance instantanee I(t) (a une constante multiplicative globale pres) en fonction des Aq et des q . Expliquer pourquoi elle ne depend des phases q qu'a travers leurs differences q - q . 28. On considere d'abord le cas ou l'onde est composee de N harmoniques successives de q = n a q = n + N - 1, d'amplitude et de phase identique. Montrer que dans le cas N 1, la puissance instantanee I(t) presente une serie de pics etroits identiques espaces de T = 2/. Determiner la demi-largeur des pics en fonction de T et N . 29. Montrer que la position temporelle des pics de puissance se decale si les N phases q sont en progression arithmetique, les amplitudes Aq restant identiques. Mesure des phases relatives En pratique, on ne mesure pas directement I(t). On mesure les amplitudes des harmoniques et leurs phases relatives, et on en deduit I(t) par calcul, en utilisant le resultat de la question 27. Nous allons decrire la mesure des phases relatives suivant la methode nommee RABITT, un acronyme anglais signifiant "reconstruction de battements attosecondes par interference de transitions a deux photons". Cette methode utilise une technique dite "pompe-sonde", dans laquelle le faisceau laser est separe en deux sous-faisceaux dits "pompe" et "sonde", qui suivent deux trajets differents. La pompe est utilisee pour produire les harmoniques, suivant le dispositif detaille dans la 4 premiere partie. Ces harmoniques se propagent dans la meme direction que celle de l'onde emise par le laser pompe, un filtre en aluminium ne laissant passer que celles de rang q suffisamment eleve. Nous appelons "faisceau d'harmoniques" le faisceau obtenu apres ce filtrage. 30. Rappeler l'expression de l'energie Eq d'un photon dans l'harmonique de rang q. Si le faisceau d'harmoniques est focalise sur un nouvel echantillon d'argon, et si l'energie Eq est superieure a l'energie d'ionisation IP , l'absorption du photon par un atome d'argon conduit, par effet photoelectrique, a l'ejection d'un electron dont l'energie cinetique vaut Eq - IP . Dans la methode RABITT, le faisceau d'harmoniques est melange avec le faisceau sonde avant d'etre focalise sur l'argon. L'action combinee des deux faisceaux peut aussi conduire a l'ejection d'un electron d'energie Eq+1 - IP , ce qu'on appelle une transition a deux photons. 31. D'apres la figure 3, le faisceau d'harmoniques ne comprend que les harmoniques impaires, et deux pics successifs q et q + 2 ont des amplitudes approximativement egales. En un point donne, l'amplitude du champ electrique associe a ces deux pics est proportionnelle a Ap (t) = cos(qt+q )+cos((q +2)t+q+2 ). L'amplitude du champ electrique du faisceau sonde est, elle, proportionnelle a As (t) = cos((t +  )), ou  est un retard ajustable. On admet que l'amplitude de probabilite du processus quantique de transition a deux photons est proportionnelle au produit de ces amplitudes, Ap (t)As (t). En utilisant une representation complexe, isoler dans ce produit les composantes proportionnelles a exp(i(q + 1)t), correspondant a l'ejection d'un electron d'energie Eq+1 - IP . 32. Exprimer la probabilite correspondante, et tracer sa variation en fonction de  . Pourquoi parle-t-on d'interference de transitions a deux photons ? Exprimer l'intervalle entre deux maximums de probabilite. Figure 4 ­ Nombre de photoelectrons d'energie Eq - IP en fonction du retard  et de q, les zones les plus claires correspondant aux plus grands nombres [extrait de l'article "Physics of attosecond pulses produced via high harmonic generation", par Katalin Varju, Per Johnsson, Johan Mauritsson, Anne L'Huillier, Rodrigo Lopez-Martens, Am. J. Phys. 77, 389­395 (2009)]. 33. La mesure de l'energie cinetique de l'electron donne acces a la valeur de q (voir la fin du probleme). La figure 4 represente le nombre d'electrons emis en fonction de  et q. Commenter cette figure a la lueur de la figure 3 et des deux dernieres questions, en distinguant les valeurs de q paires et impaires. Verifier que la valeur de T deduite de cette figure est compatible avec celle obtenue a la question 3. 34. Comment, sur la figure 4, peut-on verifier si q+2 - q est independant de q ? 35. Dans ce cas, donner une estimation de la duree de l'impulsion du faisceau d'harmoniques. 5 III ­ Spectrometre magnetique La mesure de l'energie cinetique des electrons est realisee par un spectrometre magnetique dont nous decrivons le principe. uniforme, 36. On considere d'abord le mouvement d'un electron dans un champ magnetique B la vitesse initiale de l'electron etant orthogonale a B. Determiner le rayon r de la trajectoire en fonction de e, m, B, et de la vitesse, notee v . 37. En deduire la valeur absolue du moment cinetique J de l'electron par rapport au centre de la trajectoire, qu'on exprimera en fonction de e, r et B. 38. On considere maintenant le cas d'une vitesse initiale v quelconque. On note l'angle entre Le mouvement dans un plan perpendiculaire au champ est toujours un cercle. Exprimer v et B. son rayon r en fonction de e, m, B, v et . Le spectrometre utilise un champ magnetique constant, non uniforme, mais possedant une symetrie de revolution. Le champ en un point M est contenu dans le plan contenant l'axe Oz et M . Cette configuration est representee sur la figure 5. Les electrons entrent par la gauche, puis parcourent une longue distance ou le champ est quasiment uniforme, et sont detectes a droite. Figure 5 ­ Lignes de champ et trajectoires des electrons (projetees sur le plan de la figure). 39. Indiquer comment varie la norme du champ magnetique de gauche a droite le long d'une ligne de champ. 40. Lorsque le champ vu par l'electron varie lentement le long de sa trajectoire, son mouvement dans le plan perpendiculaire reste approximativement circulaire, mais avec un rayon qui varie peu a peu. On admet que la variation de ce rayon est telle que le moment cinetique J determine a la question 37 reste constant. On considere pour simplifier que le champ est uniforme sur chacune des surfaces d'entree et de sortie du spectrometre, et on note Bi et Bf les normes correspondantes. Determiner la relation entre l'inclinaison initiale i et finale f de la trajectoire. 41. Les electrons produits par l'effet photoelectrique ont des directions aleatoires. Le but est de recueillir tous ceux qui entrent dans le spectrometre, et d'aligner rapidement leur trajectoires avec l'axe z. On choisit donc des valeurs de Bf et Bi telles que f soit petit, et on fabrique un spectrometre suffisamment long pour que la plus grande partie de la trajectoire se fasse dans un champ uniforme Bf . On mesure le temps separant l'impulsion laser, qui produit les electrons, et leur detection a la sortie du spectrometre. Connaissant la longueur L du spectrometre, on en deduit leur vitesse, et donc leur energie cinetique. Du fait de l'inclinaison f non nulle, la longueur parcourue par les electrons n'est pas exactement L. En deduire l'incertitude relative sur la vitesse en fonction du rapport Bf /Bi . 6