X/ENS Physique B PC 2019

Thème de l'épreuve Détection de l'oscillation des neutrinos
Principaux outils utilisés mécanique quantique, propagation d'ondes
Mots clefs neutrino, effet Tcherenkov, molécule d'ammoniac

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI - ECOLES NORMALES SUPERIEURES
CONCOURS D'ADMISSION 2019

MARDI 23 AVRIL 2019 - 8h00 - 12h00
FILIERE PC - Epreuve n° 5

COMPOSITION DE PHYSIQUE B
(XEULOC)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Détection de l'oscillation des neutrinos

Le neutrino est un type de particule élémentaire électriquement neutre dont il 
existe trois espèces
appelées "saveurs". En 1957, le physicien Bruno Pontecorvo a imaginé qu'un 
neutrino peut changer
de saveur au cours du temps. Ce phénomène, appelé 'oscillation des neutrinos", 
a été confirmé en
1998, et cette découverte a été récompensée par le prix Nobel de physique en 
2015. L'oscillation
a été observée grâce au détecteur Super-Kamiokande, immense cylindre rempli 
d'eau situé au
Japon. Les neutrinos sont détectés lorsqu'ils entrent en collision avec une 
molécule d'eau du
détecteur. Un électron est alors produit, et éjecté à une vitesse supérieure à 
celle de la lumière
dans l'eau. Il produit alors une lumière via un mécanisme nommé 'effet 
Tcherenkov", qui est
captée par des photomultiplicateurs disposés sur toute la surface du détecteur. 
Le but de ce
problème est d'étudier le phénomène quantique d'oscillation des neutrinos et 
l'effet Tcherenkov
qui permet leur observation.

Les parties [, II.T, II.2 et II.3 peuvent être résolues indépendamment pour 
l'essentiel.

I. Oscillation de neutrinos

Dans cette partie, nous nous intéressons à deux des trois saveurs de neutrinos, 
dites électronique
et muonique, notées respectivement 7. et v,. Lors du phénomène d'oscillation de 
neutrinos, le
neutrino électronique à une certaine probabilité de changer de saveur et de 
devenir un neutrino
muonique (et réciproquement). Pour étudier ce phénomène, nous allons exploiter 
une analogie
avec la molécule d'ammoniac (NH3), dans laquelle l'atome d'azote oscille de 
gauche à droite
du plan formé par les trois atomes d'hydrogène. On repère par la coordonnée 
cartésienne x la
position de l'atome d'azote sur l'axe perpendiculaire à ce plan.

1. Quelle est l'origine physique de l'oscillation de l'atome d'azote ?

2. On note wa(x) et wp(x) les fonctions d'onde correspondant aux deux positions 
possibles
de l'atome d'azote. D'après le principe de superposition, l'état physique de 
l'ammoniac s'écrit
comme combinaison linéaire de ces deux fonctions d'onde : &(x,t) = Ca(t)va(x) + 
Cp(t)yp(x).
Donnez l'interprétation des coefficients Ca et Cn et écrivez la relation qui 
les lie.

3. Les états wa(x) et wp(x) ne sont pas des états stationnaires de l'équation 
de Schrôdinger
qui décrit l'évolution de la molécule d'ammoniac. On désigne par (x) et w_(x) 
ces états
stationnaires donnés par w+(x) = (wa(x) + wp(x)) /V2. On place l'atome d'azote 
dans un de
ces états stationnaires. Comment sa fonction d'onde évolue-t-elle dans le temps 
?

4. À l'instant t -- 0, la molécule d'ammoniac est préparée dans l'état wa(x). 
Déterminez l'ex-
pression du coefficient Ca&(t).

5. Exprimez la probabilité P&(t) que l'atome d'azote soit détecté à gauche du 
plan formé par
les atomes d'hydrogène en fonction de la différence d'énergie ÂE des états 
stationnaires. Tracez
l'évolution temporelle de P&(t) et donnez sa période.

6. L'oscillation des neutrinos est analogue à celle de l'atome d'azote de la 
molécule d'ammoniac.
Au lieu d'être une oscillation spatiale, elle se produit dans l'espace abstrait 
des saveurs dans
lequel les états 7 et v, correspondent respectivement aux états wa(x) et wp(x). 
Dans cette
analogie, l'équivalent des états stationnaires sont des états dont les énergies 
de masse mic' et
mac < mic? sont beaucoup plus petites que les autres énergies mises en jeu. Les neutrinos voyagent alors à des vitesses très proches de celle de la lumière c dans le vide, situation dans laquelle les lois de la mécanique newtonienne ne s'appliquent plus. On admet alors que l'énergie totale E et la quantité de mouvement p sont liées par E? = (pc)? +(mc?)?. Écrivez E en fonction de p et m dans la limite où mc/p & 1. 7. En déduire l'expression donnant la différence d'énergie AE = F5 -- F2 pour deux neutrinos 2 2 de même quantité de mouvement p, en fonction de p et de la quantité Am' -- MT -- MS. 8. On s'intéresse aux neutrinos produits par les réacteurs des centrales nucléaires, qui sont des neutrinos électroniques. On note £ © ct la distance parcourue par un neutrino pendant la durée t. Montrez que la probabilité pour le neutrino d'être dans l'état 1 après la distance £, notée P. (4), est périodique. Exprimez sa période spatiale d'oscillation L en fonction de p et de Am". Mesures de KamLAND 0.8 0.6 0.4 Probabilité de détection 0.2 i pi | ir on À un nn li rs 20 30 40 50 60 70 80 90 100 {/E (km/MeV) © FIGURE 1 -- Probabilité de détection d'un neutrino électronique en fonction de {/E, où £ = 180 km est la distance moyenne entre les réacteurs nucléaires, sources de neutrinos, et le détecteur; Æ est l'énergie du neutrino. La courbe bleue constante par morceaux est l'ajustement aux données représentées par des points avec leurs barres d'erreur. 9. En 2002, la collaboration KamLAND, utilisant le détecteur Super-Kamiokande, a recueilli les neutrinos électroniques issus de tous les réacteurs nucléaires du Japon, ce qui revient à prendre une distance moyenne £ = 180 km. Le résultat de ce travail est présenté sur la figure 1. Estimez la valeur de Am'c* à partir de ces données. Donnée numérique : hc = 0,2eV : pm. 10. Le détecteur mesure le flux de neutrinos avec une précision de l'ordre de 10%. À quelle distance minimale {in placeriez-vous le détecteur pour observer l'amorce du phénomène d'oscil- lation des neutrinos ? 11. D'autres expériences de détection de neutrinos issus de centrales nucléaires ont été réalisées, notamment auprès du réacteur franco-belge de Chooz dans les Ardennes et du réacteur du Bugey dans l'Aïn. Leurs résultats sont indiqués sur la figure 2. Expliquez ces résultats en considérant des neutrinos d'énergie E = 4 MeV. 12. Les neutrinos issus des réactions se déroulant au coeur du Soleil se propagent sur une distance de 150 millions de kilomètres avant d'atteindre le détecteur et leur distribution en énergie est centrée autour de 4 MeV. À quelle valeur moyenne de P, doit-on s'attendre pour ceux-ci ? II. Effet Tcherenkov Lorsqu'une particule chargée se déplace dans un milieu transparent avec une vitesse supérieure à la vitesse de la lumière dans ce milieu, elle émet une lumière appelée "rayonnement Tcherenkov", du nom du physicien russe ayant étudié ce phénomène. Il est fréquemment utilisé pour la détection 1,2 E | 1,0 - à + "hi ssh 2l 2 08 L| T | EUR S5 GE on . Z = o Bugey 0,4 F  %x  Rovno ©  Goesgen 0O2E = Chooz @ KamLAND distance (mètres) 0 | | | | 10 102 103 104 10° FIGURE 2 -- Rapport entre les nombres de neutrinos électroniques détectés et attendus en l'ab- sence d'oscillations, en fonction de la distance £ au réacteur, pour différentes expériences. des particules chargées rapides. Il à joué un rôle crucial dans l'observation des oscillations de neutrinos. Cette partie étudie quelques caractéristiques du rayonnement 'Tcherenkov. IT.1. Répartition spatiale du rayonnement Tcherenkov 13. Soit une particule chargée en mouvement rectiligne uniforme à la vitesse v dans un milieu transparent. On admet qu'elle émet en chaque point de sa trajectoire une onde électromagnétique sphérique se propageant à la vitesse u, qu'on suppose indépendante de la longueur d'onde. On modélise dans un premier temps la propagation de cette onde dans l'approximation de l'optique géométrique. Montrez que si v > u, l'onde occupe l'intérieur d'un cône dont 
vous préciserez l'axe
et le demi-angle au sommet «, et que vous représenterez sur un schéma.

14. On considère maintenant le cas où la particule émet en chaque point de sa 
trajectoire un
signal de pulsation w. Un observateur immobile situé à l'infini, dans une 
direction faisant un
angle Y avec la vitesse de la particule chargée, reçoit ce signal de pulsation 
w. Déterminez à
quelle condition sur @ les signaux émis en deux points différents de la 
trajectoire arrivent en
phase au point d'observation.

15. Qu'en déduisez-vous sur la direction du rayonnement émis ? Quel est l'angle 
entre cette
direction et la surface du cône de la question 13 ? Quel résultat général 
retrouve-t-on ?

16. Le détecteur Super-Kamiokande est un observatoire de neutrinos situé au 
Japon. Il consiste
en un cylindre de révolution d'axe vertical, de 39 mèêtres de haut et 42 mètres 
de diamètre,
entièrement rempli d'eau. Les neutrinos sont détectés lorsqu'ils entrent en 
collision avec une
molécule d'eau du détecteur. Un électron est alors éjecté en ligne droite à une 
vitesse très voisine
de la vitesse de la lumière dans le vide, c. Il émet alors du rayonnement 
Tcherenkov sur une
certaine distance, avant d'être freiné par l'eau. L'indice de réfraction de 
l'eau vaut n = 1,33.
Estimez l'angle entre la direction de l'électron et la direction de la lumière 
Tcherenkov. La
calculatrice n'étant pas autorisée, vous vous contenterez de situer cet angle 
par rapport aux
angles de référence r/6, x/4, x/3, x/2.

17. La figure 3 représente l'intensité de la lumière Tcherenkov émise par un 
électron, ainsi que
l'instant où elle est reçue, en chaque point de la surface du détecteur. 
Expliquez sans calcul
comment ces données permettent de localiser le point du détecteur où le 
neutrino est entré en
collision avec une molécule d'eau, ainsi que la direction de l'électron éjecté. 
Vous préciserez en
Time(ns)

< 958 958- 963 9363- 968 968- 973 973- 978 978- 983 383- 988 988- 993 993- 998 998-1003 1003-1008 1008-1013 1013-1018 1018-1023 1023-1028 >1028

FIGURE 3 -- Rayonnement Tcherenkov produit par un électron, et détecté par 
Super-Kamiokande.
Les photomultiplicateurs sont répartis sur toute la surface du cylindre. Les 
deux disques corres-
pondent au couvercle et au fond du cylindre, et le rectangle allongé à sa 
surface latérale qui a été
dépliée pour permettre une représentation plane. Les points colorés sont ceux 
où la lumière est
observée, et on a choisi des couleurs différentes suivant les temps d'arrivée 
de la lumière, comptés
à partir d'une origine arbitraire.

particulier les rôles de la taille et de la forme de la tache lumineuse, ainsi 
que celui des temps
d'arrivée. Vous commenterez les écarts entre ces derniers.

18. L'effet Tcherenkov est également utilisé dans certaines expériences de 
physique des particules
élémentaires pour mesurer la vitesse des particules chargées rapides. La figure 
4 représente l'angle
entre la lumière Tcherenkov et la direction de la vitesse des particules, en 
fonction de la quantité
de mouvement de ces particules, pour des particules de différentes masses, 
repérées par les lettres
u, T, k, p. On admet que lorsque la quantité de mouvement tend vers l'infini, 
la vitesse tend
vers la vitesse de la lumière dans le vide c, pour chacune de ces particules. 
Évaluez, à partir
des données de la figure, la valeur numérique de l'indice optique du milieu, n, 
utilisé dans ce
détecteur. Vous évaluerez plus précisément la différence n -- 1, et vous 
comparerez avec sa valeur
dans l'eau et dans l'air. Quelle est la vitesse minimale que doit avoir une 
particule pour que son
passage produise l'effet Tcherenkov dans ce détecteur ?

II.2. Spectre du rayonnement Tcherenkov

19. On note P(w)dw la puissance du rayonnement Tcherenkov dans un petit 
intervalle de pulsa-
tion de largeur dw autour de w. P(w) est donc la puissance rayonnée par unité 
de pulsation. Dans

Angle d'émission (radians)

0.02

0.015 L L L L np _ù p | L L L L L nn ns |

10 10°
Quantité de mouvement (GeV/c)

FIGURE 4 -- Données issues du détecteur Tcherenkov de l'expérience LHCP, au 
laboratoire CERN
(Genève). On mesure, pour chaque particule arrivant dans le détecteur, sa 
quantité de mouvement
(au moyen d'un champ magnétique) et l'angle d'émission de la lumière 
Tcherenkov, déterminé à
la question 15. Chaque point est une mesure. Leur dispersion résulte de 
l'incertitude associée à
chacune d'elles. On ne tiendra pas compte de l'échelle des couleurs.

les questions 19 à 22, on se place dans la limite où la vitesse v de la 
particule chargée est proche
de la vitesse de la lumière dans le vide, c. On suppose que P(w) ne dépend 
alors que de q (charge
électrique de la particule), w, et des constantes fondamentales c et EUR 
(permittivité diélectrique
du vide). Déterminez par analyse dimensionnelle la forme de cette dépendance.

20. En déduire la forme de la puissance rayonnée par unité de longueur d'onde 
dans le vide
À. Tracez l'allure de sa variation en fonction de À. Pour donner un élément de 
comparaison, la
figure 5 représente la variation de la puissance rayonnée par unité de longueur 
d'onde pour le
rayonnement solaire. De quelle couleur le rayonnement Tcherenkov apparaît-il à 
nos yeux ?

21. Montrez comment on obtient, à partir de la puissance rayonnée par unité de 
longueur d'onde,
le nombre de photons rayonnés entre les longueurs d'onde À; et À2 lorsque la 
particule parcourt
une distance D.

22. L'analyse dimensionnelle faite à la question 19 ne permet de déterminer la 
puissance rayon-
née qu'à un facteur près, dont on sait juste qu'il est sans dimension. Nous 
faisons maintenant
l'hypothèse supplémentaire que ce facteur adimensionné est d'ordre 1, ce qui 
permet d'obtenir
un ordre de grandeur du résultat. Le détecteur Tcherenkov de l'expérience LHCP 
a une épaisseur
de 5 cm. Quel est l'ordre de grandeur du nombre de photons rayonnés dans le 
domaine visible
par un électron de charge --e traversant ce détecteur sous incidence normale ?

2
Donnée numérique : << = 1071. Eonc II.3. Polarisation du rayonnement Tcherenkov 23. La modélisation théorique complète du rayonnement Tcherenkov fait appel aux équations de Maxwell dans un milieu d'indice n réel. La source du rayonnement est la densité de courant ù 5 Corps noir parfait température 5900 K} Rayonnement solsure ecxctratenestre à 8 Intensité lumineuse El = Rayonnement sole terrestre 1000 - 50 : 1250 1500 1750 2000 2250 mm IR Longueur d'onde FIGURE 5 -- Puissance lumineuse reçue du Soleil sous incidence normale par unité de surface et de longueur d'onde. On s'intéresse au rayonnement solaire terrestre. Les deux autres courbes sont données à titre indicatif. j(F, t) associée au mouvement rectiligne uniforme de la particule chargée à la vitesse ü. De quelle combinaison de r, v et t dépend-elle ? 24. On s'intéresse à une composante de Fourier du champ électromagnétique proportionnelle à CHE qui sera créée par la composante de Fourier du courant elle-même proportionnelle à eik--iut, Déduisez du résultat de la question précédente une relation entre w, # et ü! 25. Quelle est par ailleurs, sans démonstration, la relation entre w et k pour l'onde rayonnée dans le milieu ? 26. À partir des résultats des questions 24 et 25. retrouvez l'expression de l'angle entre le rayonnement Tcherenkov et la direction de la particule chargée. 27. Soit une composante de Fourier du champ rayonné proportionnelle à e**"--{wt, Déterminez les directions du champ électrique et du champ magnétique de cette composante par un argument de symétrie. Que peut-on dire de la polarisation du rayonnement Tcherenkov ? 28. Quel est le phénomène analogue à l'effet Tcherenkov en acoustique ? Quelle différence, liée à la polarisation, voyez-vous entre eux lorsque v est proche de la vitesse de la lumière dans le milieu u ?

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Physique B PC 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tom Morel (professeur en CPGE) ; il a été relu par
Émilie Fremont (professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE).

Ce problème porte sur la détection de l'oscillation des neutrinos. Les questions
sont réparties en deux parties indépendantes.
· La première partie est consacrée à une analogie avec la molécule d'ammoniac :
l'état d'un neutrino oscille entre deux états différents, appelés saveurs, tout
comme la molécule d'ammoniac dont l'atome d'azote peut se situer d'un côté
ou de l'autre du plan formé par les atomes d'hydrogène. On détermine d'abord
la probabilité de trouver l'atome d'azote à gauche de ce plan, l'autre état 
quantique étant la position à droite de ce même plan. On calcule ensuite la 
différence
d'énergie entre les deux saveurs du neutrino puis on étudie des résultats 
expérimentaux liés à la détection des oscillations des neutrinos. Cette partie 
repose
essentiellement sur des notions de mécanique quantique vues en seconde année.
· La seconde partie traite de l'effet Tcherenkov, c'est-à-dire du rayonnement 
engendré par une particule chargée qui se déplace plus vite que la lumière dans 
un
milieu d'indice n. On caractérise d'abord le rayonnement émis puis son spectre.
Cette partie fait surtout appel à la compréhension du phénomène étudié.
De longueur raisonnable pour une épreuve X/ENS, ce sujet est difficile : 
l'interprétation des résultats expérimentaux est loin d'être triviale et il n'y 
a aucun résultat
intermédiaire auquel se raccrocher.

Indications
Partie I
2 L'atome d'azote est forcément soit à gauche soit à droite du plan formé par 
les
trois atomes d'hydrogène.
4 À t = 0, (x, 0) = G (x, 0). Utiliser la décomposition de l'énoncé pour 
exprimer
G en fonction de + et - .
6 Faire un développement limité de l'énergie à l'ordre le plus bas non nul en 
mc/p.
9 Déterminer le rapport L/E en s'aidant de la figure de l'énoncé.
10 Calculer la valeur de  telle que Pe () = 0,9. Faire alors un développement 
limité
du cosinus à l'ordre le plus bas non nul.
11 Comparer L pour un neutrino d'énergie E = 4 MeV aux différentes valeurs 
expérimentales de .
12 Évaluer le nombre de périodes spatiales entre le coeur du Soleil et le 
détecteur.
Partie II
14 L'onde émise à un instant t > t a un retard temporel de x/v par rapport à 
l'onde
émise à l'instant t. Considérer également le déphasage dû à la propagation de
l'onde.
18 Faire un développement limité de cos c à l'ordre 2 en c où c est l'angle 
mesuré
lorsque la quantité de mouvement tend vers l'infini.
19 P est homogène à une énergie.
20 La relation entre la puissance par unité de fréquence P et celle par unité de
e s'écrit
longueur d'onde P
e
P()
|d| = P() d

21 Calculer le nombre de photons émis pendant une durée dt pour un rayonnement
de longueur d'onde comprise entre  et  + d.
-

26 Introduire l'angle entre le vecteur d'onde k et le vecteur vitesse -
v.

Détection de l'oscillation des neutrinos
I. Oscillation de neutrinos
1 Les deux positions de l'azote représentent des positions d'équilibre. 
L'énergie
potentielle en fonction de sa position x a l'allure suivante :
Ep

V0

x

0

L'atome d'azote oscille entre ces deux positions si son énergie d'agitation 
thermique est suffisante pour vaincre la barrière de potentiel V0 . Sinon, elle
peut visiter les deux positions d'équilibre grâce à l'effet tunnel, qui lui 
permet de
franchir la barrière de potentiel même si son énergie est plus petite que V0 .
2 La quantité |Ci |2 (i = G, D) correspond à la probabilité de trouver l'atome
d'azote à la position i par rapport au plan formé par les trois atomes 
d'hydrogène.
L'atome d'azote est forcément soit à gauche soit à droite de ce plan. La somme
des deux probabilités précédentes est donc égale à 1 :
|CG |2 + |CD |2 = 1
+ l'énergie associée à l'état stationnaire + . La fonction d'onde + (x, t)
3 Notons E-
-
-
peut s'écrire

+ (x, t) = e
-

-iE+ t/~
-

+ (x, 0)
-

2
+ (x, t)|
On vérifie bien que |-
est indépendant du temps.
+ donnée dans l'énoncé,
4 D'après l'expression de -
1
(x, 0) = G (x, 0) =  [+ (x, 0) + - (x, 0)]
2
+ sont des états stationnaires. Ces fonctions d'ondes évoluent au cours du temps
-
par un terme de phase globale. On peut alors écrire
1
(x, t) =  [+ (x, t) + - (x, t)]
2
Avec le résultat de la question précédente,
i
1 h
(x, t) =  e -iE+ t/~ + (x) + e -iE- t/~ - (x)
2
+ en fonction de G et D :
Réutilisons les expressions de -
h

i
1
(x, t) =
e -iE+ t/~ + e -iE- t/~ G (x) + e -iE+ t/~ - e -iE- t/~ D (x)
2
On en déduit l'expression de CG (t) :

1  -iE+ t/~
CG (t) =
e
+ e -iE- t/~
2

5 Par définition,
PG (t) = |CG (t)|2
1 -iE+ t/~
2
e
+ e -iE- t/~
4
2
1 -i(E+ +E- )t/2~ -i(E+ -E- )t/2~
e
e
+ e i(E+ -E- )t/2~
=
4

2
1
E- - E+
=
2 cos
t
4
2~

E
-
E
-
+
2
= cos
t
2~

1
E
PG (t) =
1 + cos
t
avec E = E- - E+
2
~
=

L'énoncé ne précise pas la relation d'ordre entre E+ et E- . Il faudrait 
résoudre
l'équation de Schrödinger et obtenir les expressions de ces niveaux d'énergie.
Après calculs, on peut montrer que E- > E+ .
L'allure de la fonction est la suivante :
PG
T
1

0

t

D'après l'expression obtenue, la période T est
T=

2~
E

6 Avec l'expression de E donnée,
p
E = (pc)2 + (mc2 )2 = pc

s

1+

mc
p

2

Faisons un développement limité à l'ordre le plus bas non nul en mc/p :

m2 c2
E  pc 1 +
2p2
7 Pour deux neutrinos de même quantité de mouvement p,
E =

c3
m2
2p

8 Reprenons l'analogie avec la molécule d'ammoniac. La probabilité de trouver le
neutrino dans l'état  e correspond à la probabilité de trouver l'atome d'azote 
à gauche
du plan formé par les trois atomes d'hydrogène, c'est-à-dire PG (t). Avec t = 
/c,

1
E
Pe () = PG
=
1 + cos

c
2
~c