X/ENS Physique B PC 2019

Thème de l'épreuve Détection de l'oscillation des neutrinos
Principaux outils utilisés mécanique quantique, propagation d'ondes
Mots clefs neutrino, effet Tcherenkov, molécule d'ammoniac

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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X/ENS Physique B PC 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tom Morel (professeur en CPGE) ; il a été relu par
Émilie Fremont (professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE).

Ce problème porte sur la détection de l'oscillation des neutrinos. Les questions
sont réparties en deux parties indépendantes.
· La première partie est consacrée à une analogie avec la molécule d'ammoniac :
l'état d'un neutrino oscille entre deux états différents, appelés saveurs, tout
comme la molécule d'ammoniac dont l'atome d'azote peut se situer d'un côté
ou de l'autre du plan formé par les atomes d'hydrogène. On détermine d'abord
la probabilité de trouver l'atome d'azote à gauche de ce plan, l'autre état 
quantique étant la position à droite de ce même plan. On calcule ensuite la 
différence
d'énergie entre les deux saveurs du neutrino puis on étudie des résultats 
expérimentaux liés à la détection des oscillations des neutrinos. Cette partie 
repose
essentiellement sur des notions de mécanique quantique vues en seconde année.
· La seconde partie traite de l'effet Tcherenkov, c'est-à-dire du rayonnement 
engendré par une particule chargée qui se déplace plus vite que la lumière dans 
un
milieu d'indice n. On caractérise d'abord le rayonnement émis puis son spectre.
Cette partie fait surtout appel à la compréhension du phénomène étudié.
De longueur raisonnable pour une épreuve X/ENS, ce sujet est difficile : 
l'interprétation des résultats expérimentaux est loin d'être triviale et il n'y 
a aucun résultat
intermédiaire auquel se raccrocher.

Indications
Partie I
2 L'atome d'azote est forcément soit à gauche soit à droite du plan formé par 
les
trois atomes d'hydrogène.
4 À t = 0, (x, 0) = G (x, 0). Utiliser la décomposition de l'énoncé pour 
exprimer
G en fonction de + et - .
6 Faire un développement limité de l'énergie à l'ordre le plus bas non nul en 
mc/p.
9 Déterminer le rapport L/E en s'aidant de la figure de l'énoncé.
10 Calculer la valeur de  telle que Pe () = 0,9. Faire alors un développement 
limité
du cosinus à l'ordre le plus bas non nul.
11 Comparer L pour un neutrino d'énergie E = 4 MeV aux différentes valeurs 
expérimentales de .
12 Évaluer le nombre de périodes spatiales entre le coeur du Soleil et le 
détecteur.
Partie II
14 L'onde émise à un instant t > t a un retard temporel de x/v par rapport à 
l'onde
émise à l'instant t. Considérer également le déphasage dû à la propagation de
l'onde.
18 Faire un développement limité de cos c à l'ordre 2 en c où c est l'angle 
mesuré
lorsque la quantité de mouvement tend vers l'infini.
19 P est homogène à une énergie.
20 La relation entre la puissance par unité de fréquence P et celle par unité de
e s'écrit
longueur d'onde P
e
P()
|d| = P() d

21 Calculer le nombre de photons émis pendant une durée dt pour un rayonnement
de longueur d'onde comprise entre  et  + d.
-

26 Introduire l'angle entre le vecteur d'onde k et le vecteur vitesse -
v.

Détection de l'oscillation des neutrinos
I. Oscillation de neutrinos
1 Les deux positions de l'azote représentent des positions d'équilibre. 
L'énergie
potentielle en fonction de sa position x a l'allure suivante :
Ep

V0

x

0

L'atome d'azote oscille entre ces deux positions si son énergie d'agitation 
thermique est suffisante pour vaincre la barrière de potentiel V0 . Sinon, elle
peut visiter les deux positions d'équilibre grâce à l'effet tunnel, qui lui 
permet de
franchir la barrière de potentiel même si son énergie est plus petite que V0 .
2 La quantité |Ci |2 (i = G, D) correspond à la probabilité de trouver l'atome
d'azote à la position i par rapport au plan formé par les trois atomes 
d'hydrogène.
L'atome d'azote est forcément soit à gauche soit à droite de ce plan. La somme
des deux probabilités précédentes est donc égale à 1 :
|CG |2 + |CD |2 = 1
+ l'énergie associée à l'état stationnaire + . La fonction d'onde + (x, t)
3 Notons E-
-
-
peut s'écrire

+ (x, t) = e
-

-iE+ t/~
-

+ (x, 0)
-

2
+ (x, t)|
On vérifie bien que |-
est indépendant du temps.
+ donnée dans l'énoncé,
4 D'après l'expression de -
1
(x, 0) = G (x, 0) =  [+ (x, 0) + - (x, 0)]
2
+ sont des états stationnaires. Ces fonctions d'ondes évoluent au cours du temps
-
par un terme de phase globale. On peut alors écrire
1
(x, t) =  [+ (x, t) + - (x, t)]
2
Avec le résultat de la question précédente,
i
1 h
(x, t) =  e -iE+ t/~ + (x) + e -iE- t/~ - (x)
2
+ en fonction de G et D :
Réutilisons les expressions de -
h

i
1
(x, t) =
e -iE+ t/~ + e -iE- t/~ G (x) + e -iE+ t/~ - e -iE- t/~ D (x)
2
On en déduit l'expression de CG (t) :

1  -iE+ t/~
CG (t) =
e
+ e -iE- t/~
2

5 Par définition,
PG (t) = |CG (t)|2
1 -iE+ t/~
2
e
+ e -iE- t/~
4
2
1 -i(E+ +E- )t/2~ -i(E+ -E- )t/2~
e
e
+ e i(E+ -E- )t/2~
=
4

2
1
E- - E+
=
2 cos
t
4
2~

E
-
E
-
+
2
= cos
t
2~

1
E
PG (t) =
1 + cos
t
avec E = E- - E+
2
~
=

L'énoncé ne précise pas la relation d'ordre entre E+ et E- . Il faudrait 
résoudre
l'équation de Schrödinger et obtenir les expressions de ces niveaux d'énergie.
Après calculs, on peut montrer que E- > E+ .
L'allure de la fonction est la suivante :
PG
T
1

0

t

D'après l'expression obtenue, la période T est
T=

2~
E

6 Avec l'expression de E donnée,
p
E = (pc)2 + (mc2 )2 = pc

s

1+

mc
p

2

Faisons un développement limité à l'ordre le plus bas non nul en mc/p :

m2 c2
E  pc 1 +
2p2
7 Pour deux neutrinos de même quantité de mouvement p,
E =

c3
m2
2p

8 Reprenons l'analogie avec la molécule d'ammoniac. La probabilité de trouver le
neutrino dans l'état  e correspond à la probabilité de trouver l'atome d'azote 
à gauche
du plan formé par les trois atomes d'hydrogène, c'est-à-dire PG (t). Avec t = 
/c,

1
E
Pe () = PG
=
1 + cos

c
2
~c