X/ENS Physique B PC 2018

Thème de l'épreuve Dynamique de lignes de tourbillon dans les fluides parfaits
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, magnétostatique, physique des ondes
Mots clefs tourbillon, vorticité

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYTECHNIQUE ­ ECOLES NORMALES SUPERIEURES ECOLE SUPERIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2018 FILIERE PC COMPOSITION DE PHYSIQUE ­ B ­ (XEULC) (Duree : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisee pour cette epreuve. Dynamique de lignes de tourbillon dans les fluides parfaits On s'interesse a l'ecoulement d'un fluide parfait et incompressible. On note le champ de vitesse u(x, y, z, t), et on definit la vorticite de l'ecoulement : = rot u . (1) Les quantites ecrites en caracteres gras representent des vecteurs. On s'interesse a des lignes de vorticite, voir figure 1 : la vorticite est orientee le long de la ligne, et = 0 en dehors de ces lignes. Une telle ligne de vorticite est une approximation pour un tourbillon dont la vorticite est localisee dans un coeur de rayon tres faible. Une ligne de vorticite est caracterisee par sa "circulation" , dont l'unite S.I. est m2 s-1 : la circulation du champ de vitesse u sur un contour ferme entourant la ligne de vorticite dans le sens direct vaut , tandis que la circulation du champ de vitesse sur un contour qui n'englobe aucune ligne de vorticite est nulle. On souhaite determiner le champ de vitesse associe a une distribution de lignes de vorticite donnee. Pour ce faire, on remarque que le probleme est analogue a un probleme de magnetostatique. L'analogue de est µ0 j, ou j est le vecteur densite de courant et µ0 la permeabilite magnetique du vide. Une ligne de vorticite est l'equivalent d'un cable electrique, et sa circulation a pour analogue µ0 I, ou I est l'intensite du courant electrique parcourant le cable. 1 C1 C2 Figure 1: Une ligne de vorticite est caracterisee par sa "circulation" . La circulation du champ de vitesse sur le contour ferme C1 entourant la ligne dans le sens direct vaut . Le contour C2 n'entoure aucune ligne de vorticite : la circulation du champ de vitesse le long de ce contour est donc nulle. 1) L'equation (1) est alors l'analogue de l'equation de Maxwell-Ampere, dans sa version independante du temps (limite magnetostatique). Ecrivez cette equation. Quel est l'analogue en magnetostatique du champ de vitesse u decrit par l'equation (1) ? 2) Quelle est l'autre equation de Maxwell locale verifiee par le champ magnetique? Quel est son equivalent dans le probleme fluide considere ici ? Expliquez pourquoi cette equation est verifiee dans le probleme fluide. 3) Enoncez le theoreme d'Ampere pour la magnetostatique. En utilisant l'analogie decrite precedemment, en deduire un enonce similaire pour le probleme fluide. 4) Toujours dans le cadre de ce parallele, enoncez les proprietes de u(x) lorsque x appartient a un plan de symetrie ou d'antisymetrie de la distribution de vorticite. 5) On se place en coordonnees cylindriques (r, , z) et on considere une ligne de vorticite confondue avec l'axe (Oz). Cette ligne de vorticite a une circulation dans la direction de (0z). En explicitant les symetries et invariances du probleme, calculez le champ de vitesse associe a cette ligne de vorticite. 1 Mouvement de lignes de vorticite On admet que, dans un fluide parfait, la vorticite est "attachee" aux particules de fluide : elle est simplement advectee (c'est-a-dire transportee) par la vitesse locale du fluide au point considere. On considere le modele de Rankine d'un tube de vorticite. On se place en coordonnees cylin- 2 driques, et on considere le champ de vorticite suivant: ez pour r a = 0 pour r > a (2) La vorticite est uniforme et dirigee selon z dans un coeur de rayon a, tandis qu'elle est nulle en dehors de ce coeur. 6) Calculez l'expression du champ de vitesse en tout point de l'espace. 7) Expliquez pourquoi l'advection de la vorticite par ce champ de vitesse ne modifie pas la distribution de vorticite (2). En deduire que le tube de vorticite reste immobile et invariant dans le temps. Ce resultat reste vrai lorsque l'on considere la limite a 0: une ligne de vorticite rectiligne ne se deplace pas sous l'effet du champ de vitesse qu'elle engendre. Dans toute la suite du sujet on considere des lignes de vorticite. # " ! 0 e x -0 ex Figure 2: Deux lignes de vorticite paralleles, ayant des circulations opposees. On considere maintenant deux lignes de vorticite rectilignes, infinies et paralleles a l'axe (Ox). Ces lignes sont representees sur la figure (2). A l'instant initial t = 0, la ligne 1 occupe la position (Y1 = +/2, Z1 = 0) et a une circulation 0 dans la direction +ex , tandis que la ligne 2 occupe la position (Y2 = -/2, Z2 = 0) et a une circulation 0 dans la direction -ex . Dans tout ce qui suit, on admet que la circulation de chaque ligne de vorticite est conservee au cours du mouvement. 8) En utilisant la reponse a la question 5), determinez la vitesse induite par la ligne 1 au niveau de la ligne 2. Verifiez qu'elle est egale a la vitesse induite par la ligne 2 au niveau de la ligne 1. En deduire que les deux lignes de vorticite se deplacent en mouvement rectiligne uniforme. On considere maintenant la situation representee sur la figure 3 : une ligne de vorticite de circulation 0 , orientee positivement selon ex , est situee a une distance d d'une paroi rigide occupant le plan y = 0. 9) Pour ce fluide parfait, quelle condition aux limites doit verifier le champ de vitesse au niveau de la paroi ? 3 # $ $ " ! 0 Figure 3: Une ligne de vorticite de circulation 0 selon ex se trouve a une distance d d'une paroi rigide occupant le plan y = 0. La condition aux limites a la paroi peut etre prise en compte en imaginant a tout instant l'existence d'une ligne fictive de vorticite placee symetriquement par rapport a la paroi (ligne tiretee). Une facon simple de satisfaire cette condition aux limites est d'imaginer a tout instant l'existence d'une ligne de vorticite placee de facon symetrique a la ligne initiale par rapport au plan, voir figure 3. 10) En vous basant sur des arguments de symetrie issus de la magnetostatique, proposez une valeur de la circulation f de cette ligne fictive (norme et orientation) pour que la condition aux limites sur u soit bien verifiee. On admet que le champ de vitesse obtenu par cette approche en termes de lignes de vorticite symetriques est le bon en tout point du fluide. Deduisez alors des questions precedentes le mouvement ulterieur de la ligne de vorticite : vitesse, direction et sens du mouvement. 2 Anneau de vorticite # " R ! Figure 4: Un anneau de vorticite de rayon R, d'axe (Ox) et de circulation dans le sens direct autour de cet axe. On considere maintenant une ligne de vorticite fermee ayant la forme d'un anneau circulaire (voir figure 4). Cet anneau est initialement contenu dans le plan x = 0. Il a pour axe (Ox) et sa circulation est orientee dans le sens direct autour de ex , voir figure 4. On note R son rayon. 4 11) A l'aide d'arguments de symetrie issus de l'analogie magnetostatique, montrez que le vecteur vitesse u est le meme en tout point de l'anneau de vorticite et qu'il est dirige selon ex : u = V ex en tout point de l'anneau de vorticite. Quel est le mouvement de l'anneau de vorticite ? 12) On admet que la vitesse V est positive selon +ex lorsque > 0, et qu'elle ne depend que du rayon R de l'anneau et de sa circulation , sous la forme : V = CR , (3) ou C > 0 est un prefacteur numerique sans dimension. Par analyse dimensionnelle, determinez et . 2 !"#!$%&'()*+,-)#$ %+$,"./!0 1 Figure 5: Donnees experimentales: on represente la hauteur de l'anneau de vorticite par rapport au fond de la cuve, en fonction du rayon de l'anneau. Le temps ecoule entre deux symboles successifs est 0.21 s. On souhaite determiner la valeur de la constante C a l'aide de donnees experimentales. Pour ce faire, on realise l'experience suivante : on engendre dans un recipient un anneau de vorticite d'axe vertical (0z). L'anneau se deplace initialement vers les z decroissants, avant d'interagir avec le fond du recipient, situe en z = 0. L'anneau est forme de fluide colore, si bien que l'on peut suivre son deplacement en prenant des photographies successives. On utilise des coordonnees cylindriques et on represente sur la figure 5 le point d'intersection de l'anneau avec un plan = cste. On peut donc suivre sur ce graphe l'evolution de la hauteur de l'anneau Z(t) par rapport au fond de la cuve, mais aussi l'evolution du rayon R(t) de l'anneau au cours du temps. L'intervalle de temps separant deux symboles successifs est 0.21 s. 13) Les trois derniers points de la courbe correspondent a la situation ou l'anneau est proche du fond de la cuve : Z est petit devant R. Dans ce regime on admet que l'on peut negliger 5 la courbure de l'anneau. Ce dernier se comporte alors approximativement comme une ligne de vorticite rectiligne situee a une distance d d'une paroi solide. A l'aide du resultat de la question 10) et des donnees de la figure 5, donnez une estimation numerique de la circulation || (en valeur absolue) de l'anneau de vorticite. 14) Lors de la phase initiale du mouvement, l'anneau est situe loin du fond du recipient, si bien qu'il se comporte comme un anneau isole dans un domaine fluide infini. A l'aide de la relation (3), des donnees de la figure 5 et du resultat de la question precedente, proposez une estimation numerique de la valeur de la constante C. On considere de nouveau un anneau de vorticite dans un domaine fluide infini (voir figure 4). A grande distance de cet anneau de vorticite, le champ de vitesse qu'il engendre a une structure dipolaire, que l'on peut ecrire : u= kmk (2 cos er + sin e ) , 4r3 (4) ou m est le moment dipolaire associe a l'anneau de vorticite. r et sont des coordonnees spheriques, l'origine de r etant le centre de l'anneau, et l'angle etant compte par rapport a l'axe du dipole. 15) Dessiner schematiquement les lignes de champ dipolaires autour de l'anneau de vorticite. En utilisant vos connaissances sur la spire de courant (demonstration non demandee), determinez le moment dipolaire m equivalent a cet anneau de vorticite, en fonction de et R. 16) Exprimez le champ de vitesse engendre par l'anneau de vorticite en un point de l'axe (Ox) situe a grande distance L R de son centre. On exprimera ce champ en fonction de L, et R. On considere maintenant la situation representee sur la figure 6 : deux anneaux de vorticite d'axe (Ox) ont des circulations 1 et 2 toutes deux positives dans le sens direct autour de (Ox). Dans le systeme de coordonnees cartesiennes (x, y, z), leurs centres ont respectivement pour coordonnees (x1 (t), 0, 0) et (x2 (t), 0, 0), avec x2 > x1 . La distance entre les deux centres est donc (t) = x2 (t) - x1 (t). # " 1 R1 2 R2 $ ! x1 x2 (t) Figure 6: Deux anneaux de vorticite d'axe (Ox), de circulations 1 et 2 dans le sens direct autour de (Ox), de rayons R1 et R2 , et dont les centres sont aux abscisses x1 (t) et x2 (t) > x1 (t). 6 17) Les rayons R1 et R2 des anneaux 1 et 2 sont supposes tres faibles devant la distance entre les anneaux. Dans cette limite, le champ de vitesse u12 engendre par l'anneau 1 en tout point de l'anneau 2 est donne approximativement par le champ dipolaire (4), evalue sur l'axe (Ox), a une distance (t) du centre de l'anneau 1. Donnez l'expression de cette vitesse u12 . En utilisant la meme approximation, donnez l'expression du champ de vitesse u21 engendre par l'anneau 2 en tout point de l'anneau 1. 18) La vitesse totale de deplacement de l'anneau 1 est donnee par la contribution u21 calculee precedemment, a laquelle s'ajoute la vitesse d'auto-propulsion u11 de l'anneau, calculee aux questions 11) et 12). De meme, la vitesse totale de l'anneau 2 comprend la contribution u12 engendree par l'anneau 1, et la vitesse d'auto-propulsion u22 de l'anneau 2. Ecrire le systeme d'equations differentielles verifie par x1 (t) et x2 (t). Montrez que ces deux equations differentielles peuvent etre combinees en une unique equation pour (t). On introduit les parametres > 0 et > 0 definis par : 2 1 = (1 + ) R2 R1 2 R22 = (1 + ) 1 R12 , et (5) et on suppose > 0 et > 0. On note finalement 0 = (t = 0) la distance initiale entre les deux centres des anneaux. 19) Montrez que, selon la valeur initiale de 0 , les anneaux s'eloignent ou se rapprochent l'un de l'autre. Donnez la valeur c de 0 separant ces deux regimes, en fonction de C, R1 , et . 20) Dans le cas ou les anneaux se rapprochent, ce modele est-il apte a decrire la collision des deux anneaux ? 3 Auto-induction d'une ligne de vorticite On considere maintenant une ligne de vorticite de forme arbitraire et de circulation . Au cours du temps, cette ligne se deplace et se deforme du fait du champ de vitesse qu'elle engendre. Calculer ce champ de vitesse de maniere exacte est une tache tres compliquee dans le cas general. On utilise donc l'approximation suivante : en chaque point x0 de la ligne on trace un cercle tangent a la ligne de vorticite, dans le plan contenant localement la ligne en x0 . On suppose alors que le point x0 de la courbe se deplace comme se deplacerait ce cercle tangent (a la meme vitesse et dans la meme direction). La vitesse de deplacement du point x0 depend alors uniquement du rayon de courbure local de la ligne de vorticite en x0 , selon la relation: n . (6) R Dans cette expression, t est le vecteur unitaire localement tangent a la courbe dans la direction de la circulation , n est le vecteur unitaire perpendiculaire a t dans le plan local de la courbe, et dirige vers l'interieur de la courbure, R > 0 est le rayon de courbure local de la ligne de u = C t 7 vorticite, et C est la meme constante numerique que dans l'equation (3). On rappelle que C > 0. 21) On considere de nouveau l'anneau de vorticite des questions 11) et 12). Dessinez cet anneau. Choisir un point x0 arbitraire sur cet anneau, et dessinez les vecteurs t, n et u en x0 . Verifiez que l'equation (6) donne un vecteur vitesse qui correspond aux resultats de la partie 2. # " $ 0 ! Figure 7: Une ligne de vorticite de circulation deformee au voisinage de l'axe (Ox). En toute abscisse x, on note Y (x, t) et Z(x, t) les deformations transverses de la ligne par rapport a l'axe (Ox). On considere maintenant une ligne de vorticite faiblement deformee, si bien qu'elle coincide presque avec l'axe (Ox). Cette ligne est representee schematiquement sur la figure 7. Sa circulation 0 est dirigee vers les x positifs. Cette ligne peut etre decrite comme une courbe parametree en x, que l'on note X(x, t) = (x, Y (x, t), Z(x, t)). Les deplacements transverses Y (x, t) et Z(x, t) evoluent dans le temps du fait du champ de vitesse induit par la ligne de vorticite. On considere uniquement des petits deplacements transverses Y et Z, si bien que l'on peut lineariser les equations vis-a-vis de ces deux variables. On ecrira donc : t ex , 0 n 2 xY2 . R 2Z (7) (8) x2 22) Montrez que Y (x, t) et Z(x, t) verifient alors le systeme d'equations differentielles : Y t Z t 2Z , x2 2Y = C 0 2 . x = -C 0 On cherche des solutions de ce systeme d'equations sous la forme d'ondes : Y0 i(t-kx) Y (x, t) e , = Re Z0 Z(x, t) ou k R, R, (Y0 , Z0 ) C2 , et Re designe la partie reelle. 8 (9) (10) (11) 23) Calculez et tracez la relation de dispersion (k) des ondes obtenues, appelees ondes de Kelvin. Ces ondes sont-elles dispersives ? Justifiez votre reponse. 24) Comme les ondes electromagnetiques, les ondes de Kelvin sont des ondes transverses. On peut donc definir leur polarisation. Determinez la polarisation des ondes de Kelvin. Decrire la structure spatiale d'une de ces ondes a un instant donne : quelle est la forme de la ligne de vorticite ? 25) Nous avons linearise les equations pour calculer les ondes de Kelvin, en supposant les deplacements transverses |Y | et |Z| petits. Pour une onde donnee, devant quelle longueur caracteristique ces deplacements transverses doivent-ils etre petits pour que l'approximation soit valable ? 4 Sillage d'un avion Figure 8: Tourbillons de sillage derriere un avion. L'image du bas est un zoom de celle du haut. On souhaite decrire l'evolution des tourbillons de sillage d'un avion observes sur les photographies de la figure 8. Les deux tourbillons ont des axes approximativement paralleles et tournent en sens opposes. Au cours du temps, ces lignes de vorticite se deforment jusqu'a venir se toucher. On modelise l'etat initial de ce sillage par deux lignes de vorticite faiblement deformees au voisinage de deux axes paralleles a (Ox). Ces axes sont distants de dans la direction y. Les lignes 1 et 2 ont respectivement pour circulation 0 ex et -0 ex , avec 0 > 0. Pour simplifier, on considere que les deux lignes gardent a tout instant des deformations symetriques l'une de 9 l'autre par rapport au plan y = 0. On parametre donc ces deux lignes sous la forme : x x X1 (x, t) = /2 + Y (x, t) et X2 (x, t) = -/2 - Y (x, t) . Z(x, t) Z(x, t) (12) On peut alors se concentrer sur la ligne 1 uniquement, la forme de la ligne 2 etant obtenue a tout instant par reflexion par rapport au plan y = 0. Chacun des points de cette ligne se deplace en suivant le champ de vitesse local, qui comprend deux contributions : le champ de vitesse u11 (x, t) induit par la deformation de la ligne 1 elle-meme, et le champ de vitesse u21 (x, t) induit par la ligne 2 en tout point de la ligne 1. 26) Faites un schema dans un plan x = cste, en indiquant , Y (x, t), Z(x, t) et les points d'intersection des deux lignes de vorticite avec le plan. On note d(x, t) la distance separant ces deux points d'intersection dans le plan. Exprimez d(x, t) en fonction de et Y (x, t). 27) On souhaite d'abord determiner la contribution u21 (x, t). Pour ce faire, on considere que Y (x, t) et Z(x, t) varient suivant x sur une taille caracteristique grande devant . Pour toute valeur de x, on peut alors calculer la vitesse induite par la ligne 2 sur la ligne 1 en remplacant ces deux lignes par des lignes droites, paralleles a (Ox), et separees par une distance d(x, t). Exprimez alors la vitesse u21 (x, t) exercee par la ligne 2 sur la ligne 1 en fonction de 0 , et Y (x, t). 28) Dans la limite des faibles deformations Y (x, t) , developpez l'expression de u21 au premier ordre en Y (x, t)/. Pour des lignes faiblement deformees, la vitesse d'auto-induction u11 (x, t) est toujours donnee par les membres de droite des equations (9-10). Montrez que l'evolution de Y (x, t) et Z(x, t) est regie par le systeme d'equations linearisees : Y t Z t 2Z , x2 0 2Y 0 = C 0 2 - + 2Y . x 2 = -C 0 (13) (14) 0 t. Ecrivez le syteme d'equations 29) On introduit la nouvelle variable (x, t) = Z(x, t) + 2 couplees verifiees par Y (x, t) et (x, t). A quoi correspond physiquement ce changement de variables ? 30) On cherche de nouveau des solutions de ce systeme d'equations sous la forme d'ondes : Y (x, t) Y0 i(t-kx) = Re e , (15) (x, t) 0 avec k R, C, et (Y0 , 0 ) C2 . Calculez la relation de dispersion (k). Montrez que pour certaines valeurs de k, la pulsation devient imaginaire pure et le systeme admet des solutions exponentiellement croissantes dans le temps. 10 31) Pour quelle gamme de longueur d'ondes peut-on observer ces solutions exponentiellement croissantes ? Exprimez la longueur d'onde critique c qui separe ces solutions des solutions oscillantes. 32) On definit le taux de croissance = |Im()|. Calculez la longueur d'onde m pour laquelle ce taux est maximum. 33) Tracez le taux de croissance en fonction de la longueur d'onde . 34) En prenant la valeur de C calculee a la question 14), l'ordre de grandeur de l'expression de m obtenue a la question 32) est-il compatible avec les images de la figure 8 ? 35) Les deplacements Y (x, t) et (x, t) sont transverses par rapport au vecteur d'onde kex . Par analogie avec les ondes electromagnetiques, on s'interesse de nouveau a la polarisation des solutions (15) dans tous les cas de figure rencontres precedemment. Discutez l'evolution de la polarisation de la ligne 1 en fonction de . Comment sont reliees les polarisations des lignes 1 et 2 ? Dans quelle limite retrouve-t-on la polarisation decrite a la question 24) ? Expliquez physiquement pourquoi. 11

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 X/ENS Physique B PC 2018 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Louis Salkin (professeur en CPGE) ; il a été relu par Raphaël Galicher (maître de conférences à l'université) et Tom Morel (professeur en CPGE). Ce problème s'intéresse à la dynamique de lignes de tourbillon dans les fluides parfaits. L'analogie forte entre les écoulements tourbillonnaires et la magnétostatique en constitue le fil directeur. Profitons-en pour rappeler que la formulation locale de la dynamique des fluides s'est considérablement développée au cours du XIXe siècle, parallèlement à la théorie de l'électromagnétisme de Maxwell. · Le problème débute par quelques questions préliminaires permettant de mettre en lumière les analogies entre champ de vitesse et champ magnétostatique. · La première partie étudie le mouvement de lignes de vorticité induit par le champ de vitesse dans le fluide. Après avoir montré qu'une ligne droite ne se déplace pas sous l'effet du champ de vitesse qu'elle engendre, on traite le cas de deux lignes, puis d'une ligne située à proximité d'une paroi rigide. · La deuxième partie est consacrée à une distribution annulaire de vorticité. Le mouvement d'un anneau de vorticité est analysé puis comparé à l'expérience. Une approximation dipolaire de son champ de vitesse permet à nouveau d'établir un rapprochement avec la magnétostatique. On considère ensuite la situation plus complexe de deux anneaux en interaction. · Dans la troisième partie, on s'intéresse aux faibles déformations d'une ligne de vorticité. On établit les conditions de propagation d'une onde transverse au sein de la ligne, ainsi que ses caractéristiques : relation de dispersion, polarisation. · Enfin, la quatrième partie étudie les déformations couplées de deux lignes de vorticité, comme celles observées sur le sillage d'un avion. Contrairement au cas d'une ligne unique, les déformations peuvent, sous certaines conditions, s'amplifier dans le temps et faire émerger des motifs régulièrement espacés ; la longueur d'onde se développant le plus vite est calculée, puis comparée à des photographies. Les différentes parties, de difficulté croissante, ne sont pas totalement indépendantes et peu de résultats intermédiaires sont fournis. Néanmoins, ce sujet est bien construit et suffisamment guidé pour permettre de ne pas rester bloqué. Travailler ce sujet donne l'occasion de revoir en profondeur les outils du cours de magnétostatique. Indications 5 Invoquer l'invariance par translation selon (Oz) et la symétrie par rapport au plan (M, - er , - ez ), avec M le point où on recherche la vitesse - u. 6 En vertu du théorème de Stokes, I ZZ - - - - u · d = · dS C S Distinguer ensuite les cas r 6 a et r > a dans le calcul de la « vorticité enlacée ». 7 Exploiter le caractère orthoradial du champ de vitesse et l'invariance par rotation de la distribution de vorticité donnée. 9 Le fluide étant supposé parfait, seule la composante normale de sa vitesse est tenue de s'annuler au niveau de la paroi. 10 Pour un point M(x, y = 0, z), montrer que le plan (M, - e ,- e ) est un plan d'antix z symétrie de la distribution de vorticité. 11 Utiliser l'invariance par translation selon (Ox) et la symétrie par rapport au plan (M, - ex , - ey ), avec M un point appartenant à l'anneau. 12 Utiliser le résultat de la question 3 pour trouver la dimension de . 13 Dans ce régime, la vitesse s'identifie à R/t ; utiliser ensuite le résultat de la question 10. 14 Utiliser les résultats des questions 12 et 13. 19 Le signe de d/dt permet de prédire l'éloignement (signe positif) ou le rapprochement (signe négatif) des anneaux. 22 Injecter les expressions des équations (7) et (8) dans l'équation (6). 23 Passer le jeu d'équations différentielles en notation complexe et injecter les solutions proposées par l'énoncé. Les ondes sont dispersives si la vitesse de phase v = /k dépend de . 24 Déterminer la relation simple existant entre les amplitudes complexes des pertur bations selon - ey et - ez ; en déduire la polarisation de l'onde. 25 Utiliser le résultat de la question 23. 27 Utiliser le résultat de la question 8. 29 La question 8 peut s'avérer utile pour interpréter le sens physique du changement de variable Z(x, t) (x, t). 30 Si 2 < 0, la pulsation est un nombre imaginaire pur. 35 Interpréter, comme à la question 24, la relation entre les amplitudes complexes selon - ey et - ez . Il faut distinguer les cas < c et > c . Se rappeler également que le profil de la ligne 2 s'obtient par réflexion du profil de la ligne 1 par rapport au plan d'équation y = 0. Dynamique de lignes de tourbillon dans les fluides parfaits 1 Dans le cas statique, l'équation locale de Maxwell-Ampère s'écrit - - rot B = µ0 - Par identification avec l'équation (1) donnée dans l'énoncé, - - Le champ magnétostatique B joue un rôle analogue au champ de vitesse u. - 2 Le champ B satisfait également l'équation locale de Maxwell-Thomson - div B = 0 Le champ magnétique étant l'analogue du champ de vitesse, l'équation correspondante en dynamique des fluides s'écrit - div u =0 Cette équation locale est vérifiée pour un écoulement incompressible. Or, l'énoncé suppose le fluide incompressible. - Le champ de vitesse u vérifie effectivement cette équation locale. 3 Le théorème d'Ampère stipule que la circulation du champ magnétostatique sur un contour fermé C est égale à la perméabilité magnétique du vide multipliée par le courant enlacé par le contour C : - - B · d = µ0 I I C L'énoncé précise que µ0 I a pour analogue la circulation de la ligne de vorticité. De fait, le théorème d'Ampère transposé dans la situation étudiée s'écrit, pour un contour fermé C, I - - u · d = C 4 En magnétostatique, un plan de symétrie (resp. antisymétrie) de la distribution de courants est un plan d'antisymétrie (resp. symétrie) du champ magnétique : le - champ B est alors orthogonal à ce plan (resp. contenu dans ce plan). Ici, les sources ne sont pas les courants mais la vorticité. Par analogie, · Si - x appartient à un plan de symétrie de la distribution de vorticité, - u (- x ) est orthogonal à ce plan. - · Si x appartient à un plan d'antisymétrie de la distribution de vorticité, - u (- x ) est contenu dans ce plan. 5 Cherchons à déterminer le champ de vitesse - u au point M(r, , z). - - · Symétries : le plan (M, er , ez ) est un plan de symétrie de la distribution de vorticité. D'après la question précédente, - u est porté par le vecteur - e . On peut aussi noter que le plan (M, - er , - e ) est un plan d'antisymétrie de la distribution de vorticité, et en déduire que - u appartient à ce plan. Cette information est néanmoins insuffisante pour conclure sur la direction du champ de vitesse. · Invariances : la distribution de vorticité est invariante par rotation selon . En supposant la ligne de vorticité infinie selon (Oz), cette dernière est également invariante par translation selon z. Par conséquent, u ne dépend que de r. Le champ de vitesse est donc de la forme - u = u(r)- e . Prenons pour contour fermé un cercle de rayon r passant par M et orienté dans le sens direct, tout comme le contour C1 représenté sur la figure 1 de l'énoncé. Il vient alors I Z 2 - - u · d = u(r) r d = 2 r u(r) C 0 Puisque ce contour enlace la circulation comptée positivement, 2 r u(r) = - - e u = 2r soit finalement Ce problème est formellement analogue au calcul du champ magnétostatique créé par un fil infini parcouru par un courant d'intensité I. 6 La distribution de vorticité étudiée possède les mêmes symétries et invariances que celle de la question 5. Par voie de conséquence, le champ de vitesse en M(r, , z) est encore de la forme - u = u(r) - e . En choisissant à nouveau un contour circulaire de rayon r passant par M et orienté dans le sens direct, I - - u · d = 2 r u(r) C Utilisons alors le théorème de Stokes pour établir le lien entre circulation et vecteur vorticité : ZZ ZZ I - - - - - - - u · d = rot u · d S = · dS C S S avec S la surface s'appuyant sur le contour circulaire C. Deux cas se présentent alors : ZZ Z a Z 2 - - · Si r > a, · dS = dr r d = a2 S 0 0 · Si r 6 a, la borne radiale supérieure devient r : ZZ Z r Z 2 - - · dS = dr r d = r2 S En définitive, 0 - u = 0 r - 2 e 2 a - e 2r si r 6 a si r > a