X/ENS Physique B PC 2017

Thème de l'épreuve Transparence électromagnétiquement induite dans un plasma froid magnétisé
Principaux outils utilisés mécanique, électromagnétisme, propagation d'ondes
Mots clefs plasma, fluide, propagation, dispersion, pulsation plasma

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES FILIÈRE PC CONCOURS D'ADMISSION 2017 COMPOSITION DE PHYSIQUE ­ B ­ (XEULC) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. Les résultats des applications numériques seront donnés avec un chiffre significatif. Transparence électromagnétiquement induite dans un plasma froid magnétisé Ce problème est consacré à l'étude de la propagation d'ondes électromagnétiques dans un plasma froid magnétisé. Il s'intéresse plus spécifiquement au phénomène de transparence électromagnétiquement induite selon lequel la présence d'une onde intense, dite pompe, rend possible la propagation au sein du plasma d'une autre onde de faible amplitude, dite sonde, dont la pulsation appartient pourtant à une bande interdite. Dans tout ce problème, on utilise le signe " " (plutôt que " = ") pour définir une grandeur. On note ~a ~b le produit vectoriel des vecteurs ~a et ~b et ~a ·~b leur produit scalaire. Les symboles et désignent respectivement les parties réelle et imaginaire d'une grandeur complexe et l'on définit l'imaginaire pur i par (i) = 0 et (i) = 1. On rappelle que : ~ agit sur une fonction scalaire f des coordonnées cartésiennes (x, y, z) selon -- l'opérateur gradient, noté grad, ~ f = f ~ex + f ~ey + f ~ez , où (~ex ,~ey ,~ez ) désignent les vecteurs unitaires du repère orthonormé (Oxyz) grad x y z considéré ; -- l'opérateur divergence, noté div, agit sur une fonction vectorielle ~f des coordonnées cartésiennes (x, y, z) se fx fy fz + + , où ( fx , fy , fz ) désignent les composantes respectives de la fonction vectorielle lon div~f = x y z ~f suivant les axes (Ox), (Oy) et (Oz) du repère orthonormé considéré, soit fx ~f = fx ~ex + fy ~ey + fz ~ez = fy ; fz ~ ~ -- l'opérateur rotationnel, noté rot,agit sur unefonction vectorielle f des coordonnées cartésiennes (x, y, z) f f f f f f y y z x z x ~ ~f = ~ex + ~ey + ~ez ; - - - selon rot y z z x x y -- l'opérateur Laplacien, noté , agit sur une fonction f (scalaire ou vectorielle) des coordonnées cartésiennes 2 f 2 f 2 f (x, y, z) selon f = 2 + 2 + 2 . x y z ~ ~ ~f = grad ~ rot div~f - ~f . On rappelle en outre la formule suivante, valable pour une fonction vectorielle ~f : rot On rappelle également que, dans un gaz parfait r à la température T , de coefficient adiabatique , composé de kB T . particules de masse m, la vitesse du son est cs = m Pour les applications numériques, on prendra : 1 -- -- -- -- -- -- charge élémentaire e 2 × 10-19 C masse de l'électron m 9 × 10-31 kg constante de B OLTZMANN : kB 10-23 J.K-1 constante de P LANCK : h 7 × 10-34 J.s constante diélectrique 0 9 × 10-12 F.m-1 vitesse de la lumière dans le vide c 3 × 108 m.s-1 -- coefficient adiabatique d'un gaz parfait monoatomique CP 1 CV -- masse d'un atome d'argon M 7 × 10-26 kg e2 1 -1 On utilisera en outre : 2 × 10-28 J.m, 0, 6, 10 3 et 10 /3 0, 5. 40 3 1 Propagation d'une onde électromagnétique dans un plasma froid magnétisé Dans cette partie, on étudie la propagation d'une onde électromagnétique plane dans un plasma à l'équilibre thermique à la température T , constitué d'électrons et d'ions positifs Ar+ . Ce plasma est préparé au laboratoire en imposant une décharge à un gaz neutre d'argon contenu dans une cellule cylindrique d'axe (Oz). En l'absence de champ appliqué, le plasma est localement neutre, les densités volumiques électronique et ionique sont toutes deux égales à n0 en tout point. Pour les applications numériques, vous prendrez T = 104 K et n0 1016 m-3 . On suppose en outre que le gaz est totalement ionisé, c'est-à-dire qu'il ne reste aucun atome d'argon non ionisé dans la cellule. 1.1 Hypothèses du modèle Dans les questions 1 à 6, on commence par introduire et justifier les hypothèses simplificatrices du modèle de plasma utilisé. 1) Justifiez que l'on puisse a priori négliger le mouvement des ions devant celui des électrons au sein du plasma. 2) Établissez l'expression de la longueur de L ANDAU, notée rL , définie comme la distance entre deux particules chargées du plasma pour laquelle leur énergie d'interaction électrostatique devient comparable à leur énergie cinétique moyenne d'agitation thermique. Calculez l'ordre de grandeur de rL . 3) En comparant rL à la distance moyenne l entre charges au sein du plasma dont vous donnerez un ordre de grandeur, expliquez qualitativement pourquoi l'on peut négliger l'effet des collisions entre particules chargées au sein du plasma. 4) Calculez l'ordre de grandeur de la vitesse quadratique moyenne des électrons au sein du plasma, notée u. En l'absence de champ appliqué, l'hypothèse non relativiste vous paraît-elle justifiée pour le mouvement électronique ? 5) Calculez un ordre de grandeur de la longueur d'onde de D E B ROGLIE des électrons. Justifiez l'utilisation du cadre classique (plutôt que quantique) pour décrire leur mouvement. Dans la suite du problème, on étudie la propagation d'ondes électromagnétiques en supposant le plasma « froid ». Cette hypothèse consiste à supposer que la vitesse de phase v des ondes est bien supérieure à la vitesse quadratique moyenne des électrons, de sorte que le mouvement d'agitation thermique des électrons peut être négligé à l'échelle de temps des phénomènes étudiés. Un champ électromagnétique variable peut a priori engendrer une perturbation de la densité électronique au sein du plasma, et donc une perturbation locale de pression qui peut elle-même donner naissance à des ondes sonores au sein du gaz d'électrons. 6) Calculez l'ordre de grandeur de la vitesse du son cs dans le gaz d'électrons que vous comparerez à la vitesse quadratique moyenne u. Expliquez qualitativement pourquoi, dans l'hypothèse de plasma froid, il est légitime de négliger les ondes acoustiques engendrées au sein du plasma. 2 1.2 Réponse d'un plasma froid magnétisé à une onde électromagnétique Dans les questions 7 à 16, on étudie le mouvement des électrons au sein du plasma décrit ci-dessus que l'on soumet à une onde électromagnétique plane progressive monochromatique se propageant selon l'axe (Oz), dont le champ électrique s'écrit dans le repère (Oxyz) 1 ~E (z,t) = E0 -i exp [i (t - kz)] (1) 0 Vous supposerez E0 > 0. Pour les applications numériques, vous considérerez que l'onde modélise un faisceau LASER de section 1 cm2 , de pulsation de l'ordre de 1011 rad · s-1 et de puissance 3 kW. 7) Exprimez le champ magnétique ~B (z,t) de l'onde, associé au champ électrique (1). 8) Quelle est la polarisation de l'onde (1) ? Vous justifierez soigneusement votre réponse en vous aidant d'un schéma, sur lequel vous indiquerez clairement les axes du repère (Oxyz). 9) A priori, la propagation d'une onde de type (1) au sein du plasma serait-elle différente (en termes d'absorption et de dispersion) si la composante (-iE0 ) de son amplitude complexe suivant (Oy) était changée en iE0 ? (La réponse à cette question ne nécessite aucun calcul.) À partir de maintenant, on suppose en outre que le plasma est « magnétisé » par l'application d'un champ magnétique supplémentaire, constant et uniforme, noté ~B1 = B1~ez , dirigé suivant l'axe de propagation de l'onde (avec B1 > 0). Pour les applications numériques, vous prendrez B1 = 1 T. 10) La réponse à la question précédente est-elle différente dans ces nouvelles conditions ? Si oui, pourquoi ? 11) En vous plaçant dans le cadre des hypothèses explicitées aux questions précédentes, montrez que le mouvement, supposé non relativiste, des électrons est correctement décrit par l'équation i e h~ ~v ~ (2) E +~v ~B + ~B1 + ~v · grad ~v = - t m où ~v (~r,t) désigne la vitesse du fluide électronique au point M de vecteur position ~r et à la date t. Vous justifierez notamment que l'on puisse décrire les électrons comme un fluide et expliquerez l'absence de terme de pression dans l'équation (2). Dans toute la suite, on suppose que la vitesse ~v et la densité volumique d'électrons, notée n, ne dépendent que de la coordonnée spatiale z et du temps t. On rappelle que n0 désigne la valeur (constante) de n (z,t) en l'absence de champ LASER appliqué. On s'intéresse au mouvement forcé du fluide n o électronique en présence de l'onde électromagnétique (1), décrit par la vitesse ~v (z,t) = ~V exp [i (t - kz)] . ~ ~v et 12) À quelle condition sur ~V et la vitesse de phase v de l'onde peut-on négliger les termes ~v · grad e ~ - ~v B dans l'équation (2) ? Vous supposerez cette condition vérifiée dans la suite de cette partie. m 13) En projetant l'équation (2) simplifiée sur les axes (Ox) et (Oy), déterminez les amplitudes Vx et Vy . Dans eB1 les expressions trouvées, vous ferez apparaître la pulsation cyclotron électronique, définie par - < 0 ainsi m eE0 que le paramètre a . m 14) Calculez les ordres de grandeur de et a. 15) Les électrons sont-ils animés d'un mouvement longitudinal, c'est-à-dire suivant l'axe (Oz) ? Montrez que la densité n reste constante, égale à n0 . 16) Qu'observe-t-on lorsque s'approche de || ? Pourquoi le mouvement électronique n'est-il plus correctement décrit par l'équation (2) si la pulsation est trop proche de || ? Déterminez un ordre de grandeur de la plus petite valeur admissible de | + | pour que le traitement précédent reste valable. 3 1.3 Relation de dispersion et bande interdite Dans les questions 17 à 22, on étudie l'effet du plasma sur la propagation de l'onde électromagnétique (1). 17) Montrez que le champ électrique dans le plasma vérifie la relation ~v 1 2 ~E ~E = -n0 eµ0 + 2 2 t c t 18) Déduisez la relation de dispersion k ( ) entre le vecteur d'onde k et la pulsation de l'onde (1) que vous mettrez sous la forme adimensionnée suivante k2 = 2 - . - 2 Vous exprimerez la pulsation réduite en fonction de la pulsation et de la « pulsation plasma électronique » s 2 n0 e pe . Vous expliciterez de même la relation entre le vecteur d'onde réduit k et le vecteur d'onde k, et m0 préciserez l'expression du paramètre . 19) Calculez un ordre de grandeur de pe que vous comparerez à ||, puis de . 2000 1000 31,8 32 32,2 32,4 -1000 F IGURE 1 ­ Fonction g (x) = x2 - x représentée pour = 16. x - 2 20) En vous aidant de la figure 1, justifiez l'existence d'une bande de pulsations « interdites » dans laquelle la propagation de l'onde (1) est impossible. Calculez analytiquement les bornes inférieure et supérieure de cette bande, dont vous donnerez les formes réduites notées respectivement inf et sup . Quel résultat connu de la physique des plasmas retrouve-t-on à la limite B1 0 ? On revient au cas B1 6= 0. 21) Sans faire aucun calcul, précisez les phénomènes observés de part et d'autre de l'interface vide/plasma lorsque l'on envoie sur la cellule contenant le plasma une onde de type (1) de pulsation interdite. Vous introduirez notamment une longueur caractéristique du processus physique à l'intérieur du plasma dont vous donnerez l'expression. Quel autre système présente le même type de comportement ? 22) Déterminez la valeur de la vitesse de phase de l'onde v lorsque tend vers inf par valeurs inférieures. Quelle(s) hypothèse(s) de notre modèle devien(nen)t alors incorrecte(s) ? 2 Transparence électromagnétiquement induite Le but de cette partie est l'étude du phénomène de transparence électromagnétiquement induite selon lequel une onde de faible amplitude et de pulsation « interdite » (au sens de la première partie) peut se propager au sein 4 du plasma froid magnétisé (par le champ ~B1 , introduit dans la première partie) en présence d'une onde intense de pulsation permise. Pour étudier ce processus, on considérera : -- l'onde intense dite pompe dont le champ électrique s'écrit sous la forme 1 ~EP (z,t) = EP -i exp [i (Pt - kP z)] (3) 0 où EP > 0, P = - ( + pe ) (on rappelle que < 0) et kP désigne le vecteur d'onde pompe ; -- l'onde dite sonde dont le champ électrique s'écrit sous la forme 1 ~ES (z,t) = ES -i exp [i (St - kS z)] 0 (4) où ES > 0 est supposé faible devant EP , S est proche de || et kS désigne le vecteur d'onde sonde. On introduit les notations suivantes S - P k kS - kP S + = S - || Vous supposerez que l'onde pompe se propage dans le plasma magnétisé comme si elle était seule, c'est-à-dire qu'elle n'est nullement perturbée par la présence de l'onde sonde. Pour les applications numériques, vous supposerez que les ondes pompe et sonde modélisent des faisceaux LASER de même section 1 cm2 et de puissances respectives 3 kW et 0, 3 W. Comme dans la partie précédente, on commence par étudier la réponse du plasma à l'excitation électromagnétique pour ensuite déterminer l'effet du plasma sur la propagation de l'onde sonde. 2.1 Réponse du plasma Dans la suite, on décompose n et ~v en deux contributions : une contribution, notée nP pour la densité et ~vP (z,t) pour la vitesse, engendrée par l'onde pompe seule (toujours en présence du champ magnétique ~B1 ), et une petite composante, notée nS (z,t) pour la densité et ~vS (z,t) pour la vitesse, causée par l'ajout de l'onde sonde, soit n = nP + nS ~v =~vP +~vS avec |nS | nP et k~vS k k~vP k. On s'intéresse tout d'abord au mouvement électronique « d'ordre 0 », engendré par l'onde pompe seule. 23) En vous servant de la partie précédente, montrez que nP = n0 et que sin (Pt - kP z) aP - cos (Pt - kP z) ~vP = pe 0 où l'on a introduit le paramètre aP eEP . On rappelle que + P = - pe . m On passe maintenant à la description des effets « d'ordre 1 », engendrés par l'ajout de l'onde sonde. 5 24) En linéarisant l'équation locale de conservation du nombre d'électrons, montrez qu'un petit mouvement longitudinal ­ c'est-à-dire suivant (Oz) ­ des électrons (créé par exemple ici parl'ajout de l'onde sonde) engendre vS,z nS à la dérivée spatiale de nécessairement un petit excédent de densité électronique nS (z,t) et reliez t z la vitesse de ce mouvement. 25) Montrez qu'un (petit) excédent local de densité électronique nS (z,t) engendre un champ longitudinal addi EL tionnel EL (z,t)~ez et reliez la dérivée spatiale de ce champ à nS . z 26) En vous servant des deux questions précédentes, montrez que EL n0 e = vS,z t 0 On donne l'équation d'E ULER, écrite au « premier ordre » en champ sonde e e e ~ ~vS ~vP ES + EL~ez + vS,z = - ~vS ~B1 + ~BP - ~vP ~BS - t z m m m (5) où ~BP et ~BS désignent les champs magnétiques respectifs des ondes pompe et sonde et où l'on a introduit le champ longitudinal additionnel EL , conformément aux conclusions de la question 25, pour tenir compte de l'existence éventuelle d'un excédent local de densité électronique créé par l'ajout de l'onde sonde. En dérivant par rapport au temps la projection de l'équation (5) sur l'axe (Oz) on obtient alors l'équation du mouvement longitudinal 2 vS,z kS aP aS 1 kP aP 2 {v+ exp [-i (Pt - kP z)] + v- exp [i (Pt - kP z)]} (6) vS,z = + pe cos (t - kz) - t 2 S pe 2 P t où l'on a introduit les variables v+ vS,x + ivS,y v- vS,x - ivS,y = v+ eES . ainsi que le paramètre aS m 27) De quel système modèle pouvez-vous rapprocher l'équation (6) à laquelle satisfait vS,z ? Quel rôle joue la pulsation pe dans ce modèle ? 28) En utilisant les résultats des questions 24 à 26, expliquez qualitativement le processus physique à l'origine 2 v . du terme de rappel pe S,z 29) Identifiez, dans le membre de droite de l'équation (6), un terme de forçage, induit par le battement entre ondes pompe et sonde, et un terme de couplage avec le mouvement transverse. Calculez l'ordre de grandeur de aS . En projetant l'équation (5) sur les axes (Ox) et (Oy) on obtient l'équation du mouvement transverse (que vous ne chercherez pas à démontrer) kP aP v+ + iv+ = -aS exp [i (St - kS z)] - exp [i (Pt - kP z)] vS,z t P pe 30) En vous inspirant de la question 29, discutez les deux termes du membre de droite de l'équation (7). 6 (7) a) 120 100 80 60 40 20 31,90 b) 31,95 32 32,05 32,10 120 100 80 60 40 31,99 32 32,01 32,02 32,03 32,04 F IGURE 2 ­ a) En trait gras : relation de dispersion (8) représentée à l'aide des variables S et kS adimensionnées analogues aux variables et k introduites à la première partie, dans l'intervalle S inf , sup , pour = 16 et de représentation sont matérialisées par les lignes verticales S = inf aP = 10-2 pe c. Les bornes de l'intervalle r S pour = 16 . En trait tireté : fonction kS = S . b) Relation et S = sup . En trait fin : fonction S2 - S - 2 de dispersion (8) représentée à l'aide des variables adimensionnées S et kS dans l'intervalle S inf , sup pour aP = 16 et pour différentes valeurs de = 10-2 ; 1, 2 × 10-2 ; 1, 4 × 10-2 ; 1, 6 × 10-2 ; 1, 8 × 10-2 (les valeurs pe c sont placées à droite des courbes correspondantes). 7 2.2 Relation de dispersion et transparence électromagnétiquement induite P kS 1, on établit, par une étude analogue à S kP pe celle de la partie 1.3, la relation de dispersion suivante pour l'onde sonde ( ) + 0 (kS ) 2 2 2 2 (8) kS c = S - S pe ( )2 - 2R En se plaçant dans les hypothèses | | pe , || et s 22R P kS 1 aP kP || . où l'on a introduit 0 (kS ) et R - pe || kP 2 2P pe 31) Vérifiez que l'équation (8) permet de retrouver la relation de dispersion obtenue à la question 18, dans le cas limite où l'intensité de l'onde pompe est nulle. La figure 2 représente la relation de dispersion (8), exprimée à l'aide des variables adimensionnées S (pulsation sonde réduite) et kS (vecteur d'onde sonde réduit) analogues aux variables et k introduites à la première partie. 32) En vous appuyant sur la figure 2 a), montrez que la présence de l'onde pompe permet à une onde sonde de pulsation « interdite » (au sens de la première partie) de se propager au sein du plasma. On parle d'un phénomène de transparence électromagnétiquement induite. 33) Tracez l'allure des variations de la vitesse de phase v,S et de la vitesse de groupe vg,S de l'onde sonde en fonction de S sur l'intervalle inf , sup . 34) Décrivez qualitativement l'évolution de la forme d'un paquet d'onde sonde se propageant au sein du plasma, en supposant son spectre tout entier contenu dans la bande interdite. 35) En vous appuyant sur la figure 2 b), discutez l'effet d'une variation de l'intensité de l'onde pompe. 8

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 X/ENS Physique B PC 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tom Morel (professeur en CPGE) ; il a été relu par Amélie Gay (ENS Lyon) et Louis Salkin (professeur en CPGE). Ce problème porte sur la physique des plasmas. Les questions sont réparties en deux parties relativement indépendantes. · La première partie est consacrée à la propagation d'une onde électromagnétique dans un plasma soumis à un champ magnétique constant. On montre qu'il existe un domaine de pulsations interdites où la propagation ne peut se faire. Cette partie repose essentiellement sur des raisonnements similaires à ceux du cours sur la propagation d'une onde dans un plasma : relation de dispersion, vitesse de phase, atténuation et dispersion... · La seconde partie traite de la propagation de deux ondes électromagnétiques dont l'une a une fréquence dans le domaine interdit. Cette partie, moins calculatoire, fait surtout appel à la compréhension du phénomène étudié. Il s'agit dans un premier temps d'adapter les résultats de la première partie puis d'interpréter les phénomènes qui apparaissent. De longueur raisonnable pour une épreuve X/ENS, ce sujet ne présente pas de difficulté majeure. Il sera utile pour réviser et approfondir les idées et raisonnements du cours sur la propagation d'ondes dans un plasma. Il permet aussi de s'entraîner à faire des applications numériques en ordre de grandeur car les calculatrices étaient interdites pendant l'épreuve. Indications Partie 1 3 La longueur de Landau correspond à la distance à partir de laquelle les interactions électrostatiques sont ressenties par les particules. 5 Utiliser la formule de De Broglie. 6 Le milieu de propagation est constitué des ions d'argon. 8 Calculer la partie réelle du champ électrique. 13 Écrire les deux équations projetées en notation complexe. 14 La relation entre la puissance et l'amplitude du champ électrique est P= 1 S 0 c E 0 2 2 18 Utiliser l'expression de la vitesse complexe obtenue à la question 13. 2 20 La propagation de l'onde est impossible si k < 0. 21 Déterminer l'expression complexe de k. Partie 2 - 24 Le vecteur n(z, t) vP ne dépend que de la variable z et n'a des composantes que selon - ex et - ey . Ainsi div n(z, t) - v P =0 25 Écrire l'équation de Maxwell-Gauss. 29 Le mouvement transverse est caractérisé par v+ et v- . 33 Regarder l'évolution de la tangente à la courbe pour avoir des informations sur la vitesse de groupe. Transparence électromagnétiquement induite dans un plasma froid magnétisé 1. Propagation d'une onde électromagnétique dans un plasma froid magnétisé 1 Les électrons ont une masse négligeable devant celle des ions d'argon. On peut donc négliger le mouvement des ions devant celui des électrons. 2 L'énergie d'agitation thermique vaut kB T. La définition de la longueur de Landau rL impose la relation kB T = |q1 q2 | 4 0 rL L'énergie du système est celle de l'interaction entre un électron de charge -e et un ion argon de charge +e. Il vient rL = e2 = 2 · 10-9 m 4 0 kB T 3 La distance moyenne entre deux particules est directement liée à la densité volumique n0 par = 1 = 5 · 10-6 m n0 1/3 D'après sa définition, la longueur de Landau correspond à la distance caractéristique en dessous de laquelle les particules ressentent l'interaction électrostatique. D'après la question 2, rL : les électrons sont donc suffisamment éloignés les uns des autres. Par conséquent, Les collisions peuvent être négligées. Donnons quelques ordres de grandeur de la densité volumique des plasmas courants : · Vent solaire : 107 m-3 ; · Couronne solaire : 1014 m-3 ; · Plasma de fusion (Tokamak) : 1021 m-3 ; · Intérieur du Soleil : 1032 m-3 . 4 Par définition, d'où Comme u c, kB T = u= r 1 m u2 2 2 kB T = 5 · 105 m.s-1 m L'hypothèse non relativiste est justifiée. 5 L'énergie cinétique Ec peut s'écrire avec la quantité de mouvement p = mv : p2 2m Notons la longueur d'onde de De Broglie. Avec la formule de De Broglie p = h/, Ec = Ec = h2 2m 2 h = = 2 · 10-9 m 2m kB T Puisque Ec = kB T, Comparons cette valeur à la distance moyenne calculée à la question 3. On a : les particules apparaissent alors localisées les unes par rapport aux autres. Le problème peut être traité classiquement. 6 Le son se propage par l'intermédiaire des ions d'argon qui sont plus massifs que les électrons. D'après l'énoncé, la vitesse du son cs vaut r kB T cs = = 103 m.s-1 M En utilisant la question 4, cs u Cette inégalité est cohérente avec le résultat de la question 1 où les ions sont supposés immobiles donc Les ondes acoustiques peuvent être négligées. Il y a une ambiguïté de l'énoncé. En effet, il ne s'agit pas de la propagation du son dans le gaz d'électrons mais dans le plasma. 7 Utilisons l'équation de Maxwell-Faraday : - - B - rot E = - t La notation complexe permet d'écrire cette relation sous la forme - - - -i k E = -i B - La notation B désigne le champ magnétique en représentation complexe. On a alors - k - ez E B = - k E0 i(t-kz) - e ez - ex - i - ey - k E0 i(t-kz) - B = e ey + i - ex ( ) i - k E0 i(t-kz) 1 e B =R 0 = d'où 8 Calculons la partie réelle du champ électrique :