X/ENS Physique B PC 2016

Thème de l'épreuve Histoires d'eau ou quelques aspects de la physique des gouttes
Principaux outils utilisés mécanique des fluides
Mots clefs goutte, tension de surface, bilan mécanique, loi de Marshall-Palmer, onde

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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201604231100 ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES FILIÈRE PC CONCOURS D'ADMISSION 2016 COMPOSITION DE PHYSIQUE ­ B ­ (XEULC) (Durée : 4 heures) 5 L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. Les résultats des applications numériques seront donnés avec un chiffre significatif. Histoires d'eau ou quelques aspects de la physique des gouttes Introduction. 10 Nous nous proposons d'étudier deux aspects de la physique des gouttes d'eau. L'un concerne l'effet mécanique de la pluie sur un pare-brise d'avion et fait l'objet de la première partie. L'autre se rapporte à la déstabilisation d'un filet d'eau conduisant à la formation d'un chapelet de gouttelettes et constitue la seconde partie. Ces deux parties sont indépendantes. Notation et données. Accélération de la pesanteur : g Masse volumique de l'air : a Masse volumique de l'eau : e Viscosité dynamique de l'air : a Tension superficielle eau/air : = = = = = 9, 81 m · s-2 1, 20 kg · m-3 998 kg · m-3 1, 85 × 10-5 Pa · s 72, 8 × 10-3 J · m-2 (1) Le signe "" est une égalité introduisant et définissant une grandeur. Intégrale généralisée : Jn Z + xn exp(-x) dx = n! (n N) (2) 0 Élément de longueur d'une courbe définie par une fonction y = y(x) : ds 15 I q (dx)2 + (dy)2 = q 1 + y (x)2 dx (3) Impact mécanique de la pluie. Nous nous proposons d'étudier l'effet mécanique de la pluie sur un pare-brise. Une goutte est assimilée à une sphère de rayon r. Sa vitesse, par rapport au référentiel terrestre R0 ( ~ex , ~ey , ~ez ) considéré comme galiléen, est notée ~v = v ~ex où ~ex = ~g /g. 20 Le coefficient de traînée d'un objet sphérique, dans un écoulement en régime inertiel, est sensiblement constant. Nous adoptons la valeur Cx = 0, 4. ­ Page 1/7 ­ 201604231100 I.A 1. Chute d'une goutte d'eau. a) Sur la base de sa propre expérience, proposer un ordre de grandeur du rayon d'une goutte d'eau de pluie et celui de sa vitesse de chute. b) Calculer le nombre de Reynolds correspondant. En déduire la nature du régime de l'écoulement de l'air autour de la goutte. Nous considérerons que l'écoulement demeure dans ce régime durant toute la chute d'une goutte. 25 c) Établir le bilan des forces qui s'exercent sur une goutte, lors de sa chute. Préciser leur expression. d) Établir que la vitesse de chute de la goutte est régie par l'équation différentielle : v =1- g 2 v u (4) , où u est une constante que l'on exprimera en fonction de e /a , g, r et Cx , et dont on donnera une interprétation physique. 30 2. a) Déterminer la solution de l'équation différentielle (4) en considérant que la goutte quitte le nuage avec une vitesse négligeable devant u. b) Esquisser l'allure de l'évolution v/u = f (t/t ) où t représente un temps caractéristique que l'on précisera. Commenter brièvement cette évolution. 35 c) À partir du tracé précédent, définir une distance caractéristique H au delà de laquelle on peut considérer que la goutte a atteint une vitesse limite. d) Calculer les valeurs numériques de u et H . Commenter brièvement ce dernier résultat. I.B 40 Effort mécanique. Nous souhaitons estimer la force qu'exerce la pluie sur le pare-brise d'un avion. Le pare-brise est modélisé par une surface S rectangulaire de hauteur h = 0, 5 m et de largeur = 1 m, inclinée d'un angle = 45 sur la direction horizontale (figure (1)). Nous considérerons que, lorsque qu'une goutte heurte le pare-brise, sa quantité de mouvement, relativement à un repère lié à l'avion, s'annule. y h x W ~ = W ~ey . Le Figure 1 ­ Schéma de profil du nez d'un avion progressant, sous la pluie, à la vitesse W pare-brise apparaît en trait plein épais. 45 L'intensité I caractérisant une précipitation est mesurée par la hauteur d'eau recueillie au sol, par unité de temps. Pour les applications numériques, nous adopterons I = 300 mm · h-1 (pluie extrême, sur une courte durée). Dans un premier temps, nous supposons que les gouttes de pluie ont le même rayon r0 = 0, 5 mm. Nous notons N0 leur nombre par unité de volume (d'atmosphère). ­ Page 2/7 ­ 201604231100 3. a) Exprimer N0 en fonction de u, r0 et de l'intensité I. b) Calculer la valeur numérique de N0 . 50 c) En déduire la distance moyenne d0 entre les gouttes de pluie. 4. Nous considérons d'abord le cas d'un avion immobile sur l'aérodrome. a) Représenter, sur un schéma, le domaine de précipitation (atmosphère et gouttes) intercepté par le pare-brise entre les instants t et t + dt. b) Exprimer la force F~0 exercée par la pluie sur le pare-brise. Vérifier que son module s'écrit sous la forme : F0 = (k cos )Se u2 . (5) Expliciter la dépendance du facteur k avec N0 et r0 . Préciser sa dimension. 55 c) Calculer l'intensité de cette force. ~ = W ~ey . 5. Nous considérons maintenant un avion volant à la vitesse W a) Donner un ordre de grandeur de W pour un avion de ligne. b) En se plaçant dans un repère lié à l'avion, représenter, sur un schéma, le domaine de précipitation (atmosphère et gouttes) intercepté par le pare-brise, entre les instants t et t + dt. On considérera les ordres de grandeur en jeu. c) En déduire l'expression de la force F~ exercée par la pluie sur le pare-brise. 60 d) Donner l'ordre de grandeur de la force correspondante. I.C Distribution du rayon des gouttes. En réalité, les gouttes de pluie n'ont pas toutes la même taille. Le nombre dN de gouttes, par unité de volume (atmosphérique), dont le rayon est compris entre r et r + dr suit sensiblement la loi de Marshall-Palmer : dN = n(r) dr = n0 exp(-r/) dr , 65 (6) où n0 et sont les paramètres (constants) de la distribution. La différentielle dP (r) dN/N0 , où N0 représente le nombre total de gouttes par unité de volume, s'interprète comme la probabilité élémentaire que le rayon d'une goutte appartienne à l'intervalle [r, r + dr]. 6. Quelques propriétés de la distribution de rayon. 70 a) Exprimer N0 en fonction de n0 et . b) Comparer les probabilités P(r ) et P(r > ) que le rayon d'une goutte choisie aléatoirement soit, respectivement, inférieur ou supérieur à . Interpréter ce résultat. c) Exprimer le rayon moyen hri des gouttes. Mettre ce résultat en perspective du précédent. 7. Nous définissons la grandeur différentielle suivante : dM (r) = e 4 3 r n(r) dr . 3 (7) a) Donner sa signification physique. 75 b) Esquisser l'allure graphique de la grandeur µ(r) dM/ dr. c) Préciser le rayon des gouttes dont la contribution à la masse totale (par unité de volume) est la plus importante. d) Exprimer la masse moyenne hmi des gouttes. ­ Page 3/7 ­ 201604231100 e) Commenter la comparaison de hmi à la masse d'une goutte de rayon hri. 8. L'expression de la force obtenue à la question (5c) s'écrit sous la forme : F~ = -Q N0 r03 ~ey , (8) où le facteur Q est indépendant de N0 et r0 . a) Exprimer la force F~D exercée par la pluie sur le pare-brise, pour la distribution (6). b) Exprimer le rapport F~D / F~ pour un nombre total N0 de gouttes par unité de volume fixé et pour hri = r0 . c) Conclure sur l'effet mécanique de la pluie. Le comparer à celui correspondant au maintien en pression de l'habitacle de l'avion. 9. La figure (2) présente des relevés météorologiques de la distribution du rayon des gouttes. 80 85 Figure 2 ­ Relevés météorologiques de la distribution du rayon des gouttes de pluie, pour cinq régimes de précipitation. On remarquera l'échelle logarithmique en ordonnée. a) Comparer ces données à leur modélisation par la loi de Marshall-Palmer (6). b) Pour le plus faible régime de précipitation, que l'on désignera en justifiant sa sélection, déduire de la figure (2) les valeurs (approximatives) de n0 et de . c) Dans ce même régime, donner la valeur numérique du rayon moyen hri et celle du nombre total N0 de gouttes par unité de volume. Commenter ce dernier résultat. d) Parmi les relations exprimant le nombre total de gouttes N0 par unité de volume, leur rayon moyen hri et la force F~ exercée sur le pare-brise, obtenues en s'appuyant sur la loi de Marshall-Palmer (6), quelle est celle qui souffre le moins de l'écart de cette loi aux relevés météorologiques ? Cette réponse doit être argumentée. 90 95 II Formation des gouttes - Instabilité de Rayleigh-Plateau. Dans cette partie, nous allons étudier la déstabilisation d'un filet d'eau. Initialement cylindrique, on observe qu'il se fragmente en un chapelet de gouttes 1 . Le moteur de cette instabilité, dite de Rayleigh-Plateau, est la tension superficielle (énergie de surface). On rappelle que la variation de l'aire S d'une interface eau/air entraîne une variation d'énergie E de cette interface telle que : E = S . (9) Nous choisissons d'associer une énergie nulle à une aire nulle. 1. On observe un phénomène analogue de fragmentation lorsqu'un filet d'eau s'écoule sur une vitre ou lorsque la rosée forme des perles sur une toile d'araignée. ­ Page 4/7 ­ 201604231100 II.A Approche statique. Dans un premier temps, nous négligeons l'effet de la gravité. L 2R0 2a 2 2r Figure 3 ­ Schémas du filet d'eau cylindrique initial (R0 L), puis de la perturbation sinusoïdale et enfin de l'état final en chapelet de gouttes sphériques. 100 10. a) Considérons une portion de longueur L d'un cylindre d'eau, de rayon R0 (R0 L), dans l'air (voir figure (3)). Exprimer l'énergie de surface E0 du cylindre en fonction de , R0 et L. b) Après sa déstabilisation, le cylindre a formé N gouttes sphériques de rayon r (figure (3)). Exprimer l'énergie de surface EN de l'ensemble de ces gouttes, en fonction de , N et r. 105 c) À quelle condition, portant sur r, la situation en chapelet est-elle énergétiquement la plus favorable ? Analyser ce résultat. 11. Si l'approche précédente permet de justifier qu'une instabilité est susceptible d'apparaître, elle ne décrit toutefois pas l'évolution continue conduisant du filet d'eau (R0 , L) au chapelet de gouttelettes (N, r). Nous considérons alors que le rayon R du filet d'eau est modulé harmoniquement autour de sa valeur moyenne hRi (voir figure (3)) : R(x) = hRi + a sin(kx) , (10) où x est l'abscisse le long de l'axe de symétrie, a l'amplitude et k = 2/ le nombre d'onde de la pertubation (kL 1). Nous supposons de plus que cette perturbation est faible, soit a R0 et ka 1. 110 a) Établir la relation liant a, hRi et R0 . Exprimer hRi en fonction de R0 , à l'ordre le plus bas en a/R0 . b) À l'ordre le plus bas en a/R0 et en ka, établir que l'aire latérale du filet déformé, relative à une longueur d'onde, s'exprime : " # a2 2 2 k R - 1 . S (a) = S (0) 1 + 0 4R02 c) Analyser ce résultat. ­ Page 5/7 ­ (11) 201604231100 II.B Approche dynamique. Afin de rendre compte de l'aspect dynamique de l'instabilité, nous allons maintenant étudier l'évolution temporelle d'une perturbation sinusoïdale, de longueur d'onde fixée. L'équation décrivant la déformation du filet devient alors : h i R(x, t) = hRi + a exp j(t - kx) , (12) où est une grandeur, a priori complexe, et k le nombre d'onde, réel positif. La relation de dispersion correspondante, établie dans la limite du régime non visqueux, s'écrit : h 2 = 20 (kR0 )2 (kR0 )2 - 1 115 12. i où 20 = . 2e R03 (13) a) Indiquer les plages de longueur d'onde sur quelles la pulsation est réelle, ou imaginaire. b) Dans chacune de ces situations, décrire l'évolution temporelle d'une pertubation. 13. La figure (4) représente les fonctions f± (K) = ±K 1 - K 2 et g± (K) = ±K K 2 - 1. 1.5 1 f± , g± 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 K Figure 4 ­ Représentation graphique des fonctions f± et g± . a) Reproduire (approximativement) cette figure et y indiquer les deux domaines correspondant aux régimes décrits à la question précédente. 120 b) Situer, sur la figure reproduite, en le justifiant, l'abscisse Kc pour laquelle l'instabilité se développe le plus rapidement. Exprimer la constante de temps c qui lui est associée. c) Identifier les phénomènes moteur et frein en concurrence et à l'origine de ce temps caractéritique. 125 d) Calculer les valeurs numériques de c et de c pour un rayon R0 = 1 mm (on pourra lire les valeurs approchées sur le graphique). e) Dans le cas d'une onde progressive, indiquer comment lire sur le graphique la vitesse de phase. Exprimer cette vitesse dans la limite K 2 1. ­ Page 6/7 ­ 201604231100 Figure 5 ­ Photographies d'un filet d'eau de débit Q = 2 g · s-1 , à la sortie d'un tube de rayon R0 = 1 mm. a) Apparition de gouttes ; b) et c) Chute sur un obstacle. II.C 130 135 140 145 150 155 Instabilité d'un filet d'eau en chute libre. Nous souhaitons étudier les comportements décrits précédemment sur un filet d'eau en chute libre (figure (5)). À la sortie d'un tube (de rayon R0 = 1 mm), le filet d'eau est d'apparence cylindrique mais il présente toutefois de faibles perturbations de son rayon (non visibles sur les images). Afin de simplifier cette étude, nous considérons, qu'en l'absence de perturbation, le champ de vitesse au sein du filet d'eau est uniforme, tant radialement que longitudinalement. Cette vitesse est notée U0 . Cela revient à négliger les effets visqueux ainsi que l'amincissement du filet dû à l'accélération de la pesanteur. 14. a) Estimer la valeur de la vitesse U0 . b) En s'appuyant sur la photographie (5-a), remonter à un ordre de grandeur de l'amplitude a de la pertubation qui initie la déstabilisation du filet d'eau. On supposera qu'elle apparaît immédiatement en sortie du tube. 15. La photographie (5-b) illustre une situation différente où il apparaît une ondulation de la surface du filet (visible sur sa partie inférieure). Cette ondulation est causée par l'impact du filet sur un obstacle (une bille) qui perturbe son écoulement. Pour ce régime particulier, l'onde paraît figée (dans le référentiel du laboratoire). a) Préciser dans quel régime, réelle ou imaginaire, l'expérience se situe. Réponse à justifier. b) Quelle information, sur la vitesse de phase, l'apparence figée de l'onde donne-t-elle ? c) Mesurer, sur la photographie (5-b), la longueur d'onde sélectionnée et calculer le produit kR0 . d) Calculer alors la vitesse de phase correspondante et la comparer à celle qui a été, par ailleurs, déjà calculée. e) La photographie (5-c) montre l'onde de surface pour une autre position de l'obstacle. En révisant les hypothèses adoptées, expliquer pourquoi la longueur d'onde observée diffère de la précédente. f ) On constate que les ondes s'atténuent en s'éloignant de l'obstacle. Quelle pourrait en être l'origine physique ? ­ Page 7/7 ­

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 X/ENS Physique B PC 2016 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Louis Salkin (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Tom Morel (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Consacré aux gouttes d'eau, ce sujet est composé de deux parties : · La première s'intéresse aux efforts mécaniques exercés par la pluie sur un parebrise d'avion. Après avoir étudié la dynamique de chute d'une goutte d'eau dans l'air, on cherche à exprimer la force exercée par la pluie, modélisée par une assemblée de gouttes de même taille, sur le pare-brise. La prise en compte d'un modèle de distribution de taille des gouttes, comparé à des données météorologiques, permet ensuite d'affiner le raisonnement. · La seconde partie porte sur la déstabilisation d'un filet d'eau cylindrique en gouttelettes. Plusieurs approches, de difficulté croissante, sont développées afin de comprendre les mécanismes sous-jacents à ce processus. L'établissement d'un critère, portant notamment sur le rayon du cylindre, permet de différencier les régimes d'instabilité et de propagation. On termine en confrontant ces prédictions à des observations expérimentales. Cette épreuve, entièrement dédiée à la mécanique des fluides, illustre avec élégance la variété des approches d'une démarche scientifique : rechercher des ordres de grandeur, prendre l'initiative de poser un raisonnement de façon rigoureuse à l'aide de graphiques ou de schémas, formuler des hypothèses, comparer des données ou observations expérimentales à des prédictions théoriques... Ce sujet constitue de fait un excellent entraînement à ce type d'épreuve avant les concours. Signalons que de nombreuses applications numériques sont demandées, notamment dans la première partie. Si l'estimation d'ordres de grandeur est un élément essentiel du raisonnement scientifique, l'absence de calculatrice rend certains calculs relativement pénibles. Indications Partie I 1.c En régime inertiel, la force de traînée s'écrit - 1 ex F = - r2 Cx a v 2 - 2 2.a Poser V = v/u puis exploiter la décomposition en éléments simples 1 1 1 1 = + 1 - V2 2 1+V 1-V 2.c Approximer la vitesse aux temps courts, puis l'intégrer pour estimer H . 3.a En raisonnant entre les instants t et t + dt, calculer le nombre de gouttes venant impacter un disque de surface S au niveau du sol. En déduire la hauteur d'eau recueillie pendant dt, puis l'exprimer différemment à partir de l'intensité I. 3.c Pour simplifier, on peut supposer les gouttes périodiquement espacées de d0 . 4.b Montrer que le domaine de précipitations a pour volume V = Su dt cos . En déduire le nombre de gouttes impactant le pare-brise entre les instants t et t+dt. Leur variation de quantité de mouvement divisée par dt permet d'exprimer la force exercée par le pare-brise sur la pluie. 6.a Comme pour une distribution discrète, la somme des probabilités vaut 1. 6.c En exploitant à nouveau le passage du discret au continu, Z hri = r dP(r) 8.a La force infinitésimale exercée par les dN gouttes s'obtient en remplaçant N0 par dN et r0 par r. Intégrer ensuite sur l'ensemble de la distribution. 9.a Prendre le logarithme népérien de la loi de Marshall-Palmer pour pouvoir la comparer aux relevés météorologiques. Partie II 10.c Exploiter la conservation du volume d'eau afin d'obtenir un critère portant uniquement sur r et R0 . 11.a La conservation du volume d'eau s'écrit Z L 2 R0 L = R2 (x) dx 0 Compte tenu des hypothèses du problème, intégrer revient à déterminer la valeur moyenne de fonctions simples. 11.b À l'aide du formulaire, montrer que Z L p S (a) = 2 1 + R (x)2 R(x) dx 0 Calculer soigneusement l'intégrande à l'ordre 2 en a, connaissant la forme de R(x), et en remplaçant hRi par son expression. 12.b Examiner la forme de R(x, t) après avoir injecté : l'exponentielle temporelle est réelle dans un cas, complexe dans l'autre. 13.c Étudier l'influence des différents paramètres sur c . 15.b Si l'onde est figée, cela signifie que la vitesse de phase de l'onde est exactement opposée à celle du filet d'eau. Histoires d'eau ou quelques aspects de la physique des gouttes I. Impact mécanique de la pluie 1.a En observant par exemple la chute d'une goutte de pluie sur une vitre, son rayon est de l'ordre de r = 1 mm ; sa vitesse de chute vaut typiquement quelques dizaines de kilomètres par heure, soit v = 10 m·s -1 . 1.b En prenant respectivement pour taille et vitesse typiques de l'écoulement le diamètre 2r et la vitesse v de la goutte considérée précédemment, le nombre de Reynolds dans l'air s'exprime Re = 2r a v 2 × 10-3 × 1 × 10 = = 1 · 103 a 2 × 10-5 Comme Re 1, l'écoulement d'air est plutôt inertiel. 1.c Lors de sa chute, la goutte de pluie est soumise à trois forces : · son poids - 4 3 P = m- g = r e g - ex 3 après avoir exprimé la masse m de la goutte, supposée sphérique, en fonction de son rayon r ; · la poussée d'Archimède due au volume d'air déplacé - 4 3 =- r a g - ex 3 · La force de traînée, s'exprimant en régime inertiel - 1 F = - S Cx a v 2 - ex 2 où S = r2 correspond à la section droite de la goutte, perpendiculaire à sa direction de chute. 1.d Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la goutte de masse m, dans le référentiel R0 supposé galiléen, s'écrit - - - d- v m = P++ F dt La masse m est supposée constante. La condition a e permet de négliger la poussée d'Archimède devant le poids de la goutte. Après projection sur - ex , m v = mg - 1 2 r Cx a v 2 2 Après simplification par m, il vient v = g - 3Cx a 2 v 8e r v 3Cx a 2 = 1- v g 8e gr v = g - d'où 1 r2 Cx a v 2 2m 4 r3 e avec m = 3 Finalement, la vitesse v de la goutte est solution de l'équation différentielle r v 2 v 8g r e =1- avec u= g u 3Cx a En supposant la goutte immobile initialement, l'équation différentielle montre que v croît jusqu'à atteindre la valeur limite v = u lorsque v = 0. La vitesse u correspond à la vitesse de chute de la goutte en régime permanent. 2.a Soit la variable adimensionnée V = v/u. L'équation différentielle se réécrit uV = 1 - V2 g Pour la résoudre, utilisons la méthode de séparation des variables : Z V Z t 1 g dV = dt 2 v0 /u 1 - V 0 u L'énoncé précisant que la vitesse initiale v0 de la goutte est négligeable devant u, posons v0 /u = 0 dans la suite. Une décomposition en éléments simples permet de calculer l'intégrale de gauche : Z V Z V 1 1 1 1 dV = + dV 2 1-V 0 2 1+V 0 1-V V 1 = ln(1 + V) - ln(1 - V) 0 2 Z V 1 1 1+V dV = ln 2 2 1-V 0 1-V Z t gt g Or, dt = u u 0 1+V = e 2gt/u 1-V En réunissant les termes, Isolons V : Avec v = uV, V(e 2gt/u + 1) = e 2gt/u - 1 v=u e 2gt/u - 1 e 2gt/u + 1 Il est également possible d'écrire v à l'aide des fonctions trigonométriques hyperboliques. En posant la variable adimensionnée T = gt/u, il vient sh T = u th T ch T où th désigne la fonction tangente hyperbolique. v=u 2.b La solution précédemment déterminée peut se mettre sous la forme v e t/t - 1 = t/t u e +1 avec t = u 2g