X Physique 2 PC 2013

Thème de l'épreuve Phénomène de caléfaction d'une goutte
Principaux outils utilisés thermodynamique, mécanique des fluides, mécanique du point, diffraction, électromagnétisme
Mots clefs évaporation, diffusion thermique, tension superficielle, longueur capillaire, interfrange, écoulement stationnaire, Navier Stokes, temps de vie, paramagnétisme, énergie potentielle effective, trajectoire, paramètre d'impact

Corrigé

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ECOLE POLYTECHNIQUE -- ECOLES NORMALES SUPÉRIEURES ECOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2013 FILIÈRE PC COMPOSITION DE PHYSIQUE -- B -- (XELC) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. Pour les applications numériques, on se contentera de donner un unique chiffre significatif. *** Une goutte d'eau posée sur une plaque chaude s'évapore en une fraction de seconde, émettant parfois un "pshitt" caractéristique. Toutefois, si la température de la plaque est très supérieure a la température d'ébullition du liquide, on observe que le temps de vie de la goutte augmente fortement, pour atteindre jusqu'à plusieurs minutes. La goutte est alors isolée thermiquement de la plaque par un film de sa propre vapeur : c'est le phénomène de caléfaction, ou de Leidenfrost, du nom du médecin hollandais qui a le premier décrit en détail cet état particulier. Dans cet état, on observe également que les gouttes sont très mobiles et glissent sur le film de vapeur qui les protège. Dans ce problème, nous proposons d'expliquer l'épaisseur du film de vapeur, d'étudier les écoulements en son sein, et de comprendre les trajectoires remarquables de gouttes d'oxygène liquide caléfiées sous l'influence d'un champ magnétique. Remarque importante : À plusieurs reprises au cours de ce problème, on demande au candidat de raisonner par analyse dimensionnelle ou d'évaluer un ordre de grandeur. Dans ce cas, le candidat n'essaiera pas d'évaluer les coefficients multiplicatifs sans dimension, qui seront omis. De l'ordre de l'unité, ils n'influencent pas l'ordre de grandeur du résultat. Formulaire Equation de Navier--Stokes pour un fluide newtonien visqueux incompressible, de masse vo-- lumique p et viscosité dynamique 77 : p(Ê--î+ (@ grad) 17) : pÿ'-- grédp + 77AÎÏ (1) Divergence d'un champ de vecteurs en coordonnées cylindriques : 1 3 1 @@ Ôvz d 2 ...:) ,,,--m w>--+,--,+, <> Laplacien d'une fonction en coordonnées cylindriques : af 132f a2f Af: %aî< 106 J.kg_1 Viscosité de la vapeur d'eau a 100°C : 77 = 1, 3 >< 10_5 Pas Conductivité thermique de la vapeur d'eau : À : 25 >< 10_3 VV.m_1.K_1 Masse volumique de la vapeur d'eau a 100°C : pv : O, 60 kg.m_3 Masse volumique de l'eau liquide a 100°C : pl : 958 kg.m_3 Tension superficielle de l'eau a 100°C : v = 59 mN.m_1 1 Quelques résultats préliminaires 1.1 Forme de la goutte Nous nous intéressons tout d'abord a la forme d'une goutte en caléfaction. Nous admettrons que la goutte prend la forme d'un palet d'épaisseur h et de rayon R, comme indiqué sur la figure 1. Nous supposerons ici que la goutte est très aplatie : h << R. Le volume de la goutte est alors (2 : 7TR2h. 2R 3 {\A hi + +60 FIGURE 1: Une grosse goutte en caléfaction prend la forme d'un palet de rayon R et d'épaisseur h << R. Elle est séparée du substrat chaud par un film de sa propre vapeur d'épaisseur (30. La) La tension superficielle d'un liquide est une grandeur caractéristique qui mesure le coût énergétique de création d'interface liquide/ air. Cette grandeur est toujours positive et nous la noterons v. L'énergie de surface associée a la forme d'une goutte liquide de volume (2 donné s'exprime de la manière suivante : ES : vî3 où v est la tension superficielle de l'eau et E l'aire de l'interface liquide / gaz de la goutte. Quelle est la dimension de la tension superficielle v ? Proposer une expression de ES en fonction de % Q et h. 1.b) La forme de la goutte est dictée par une compétition entre la tension superficielle, qui tend a minimiser l'aire de l'interface eau/ air de la goutte, et la gravité) qui tend a aplatir la goutte. Quelle est l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur Eg de la goutte ? 1.c) Montrer que dans la limite où h << R l'énergie potentielle totale s'écrit sous la forme : h Q Ep : 10995 + 21% (4) En déduire l'épaisseur d'équilibre he de la goutte caléfiée en fonction de la longueur capillaire du liquide ÆC : (v/pg)1/2. Donner une estimation numérique de & et de he. 1.2 Mesure optique de l'épaisseur du film de vapeur 1.d) On dirige sous la goutte un faisceau laser parallèle au substrat (voir figure 2a). On observe sur un écran situé a une distance X = 50 cm de la goutte le motif de la figure 2b. Expliquer ce phénomène. (E) AZ . 2R . h LASER $ ( î )! \.-Q _ _ _ 60 ' X ' 10 mm (21) (b) FIGURE 2: Mesure optique de l'épaisseur du film de vapeur sous une goutte en caléfaction. (a) Un faisceau laser est envoyé horizontalement entre la goutte et la plaque chaude. On observe l'intensité lumineuse sur un écran (E) situé a une distance X de la goutte. (b) Motif lumineux observé sur l'écran. Le segment noir représente 10 mm. Le) En assimilant le film de vapeur a une ouverture de largeur 60 et de longueur infinie, déterminer l'intensité lumineuse observée sur l'écran. On notera ÀL = 632,8 nm la longueur d'onde du laser. 1.f ) Déduire de la figure 2b un ordre de grandeur de l'épaisseur 60 du film de vapeur d'eau sous la goutte. On utilisera cet ordre de grandeur dans la suite du problème. 1.g) Proposer d'autres moyens expérimentaux permettant d'évaluer (30. 2 Temps de vie Nous cherchons dans cette partie du problème a déterminer la durée de vie d'une goutte en caléfaction, c'est--à--dire le temps nécessaire a son évaporation complète. 2. 1 Transfert thermique Nous faisons ici l'hypothèse que les températures du substrat et de la goutte sont uniformes. Nous supposons également que l'épaisseur du film de vapeur est homogène, égale a (30. Par ailleurs, l'expérience montre que 60 << he et 60 << R. Pour les questions relatives aux transferts de chaleur, on se place en régime stationnaire. 2.a) Expliquer pourquoi on peut considérer que le profil de température dans le film de vapeur ne dépend que de la coordonnée z. 2.b) Faire un bilan d'énergie sur une tranche d'épaisseur dz du film de vapeur. En déduire l'équation régissant l'évolution de la température de la vapeur d'eau constituant le film. 2.c) En régime stationnaire, quelle est la température de la goutte d'eau en caléfaction? Déterminer alors le profil de température dans le film de vapeur. 2.d) Déterminer le flux de chaleur reçu par la goutte en fonction de À, R, co et AT où AT : Tp -- TEUR est la différence entre la température T}) de la plaque chaude et la température de la goutte TEUR : 100°C. 2.e) Montrer que la masse d'eau évaporée par unité de temps est : À AT : ÎË où À est la conductivité thermique de la vapeur d'eau, L est la chaleur latente d'évaporation de l'eau. Donner une estimation de m pour une goutte de rayon R = 10 mm sur une plaque a température T p = 300 °C. En déduire une estimation du temps de vie 7' d'une telle goutte. 7TR2 (5) m 2.2 Ecoulement de la vapeur Nous allons maintenant décrire l'écoulement de fuite de la vapeur d'eau dans le film qui sou-- tient la goutte. Pour une goutte maintenue immobile, la vapeur produite s'échappe radialement, du centre vers la périphérie de la goutte, sous l'effet de la pression induite par le poids de la goutte. Nous allons supposer ici que le film de vapeur est d'épaisseur homogène eo (voir figure 3). Par ailleurs, nous considérerons que les parois supérieure et inférieure du film sont planes et solides. L'écoulement se fait sous l'influence de la différence de pression Ap entre le centre (r = O) et la périphérie (r = R) du film de vapeur. R , pîpa WC 3_ __3,' + T 60 ' p=pa+Ap (a) (b) FIGURE 3: (a) Dans le film, la vapeur d'eau s'écoule du centre vers la périphérie de la goutte, sous l'effet de la pression exercée par la goutte sur le film. L'épaisseur eo du film est supposée ho-- mogène. (lo) Nous décrivons l'écoulement dans un système de coordonnées cylindriques. L'origine est située a la surface de la plaque chaude, a la verticale du centre de la goutte. 2.f ) Donner le sens physique de tous les termes de l'équation de Navier--Stokes donnée au début de ce problème. 2.g) Expliquer pourquoi il est naturel de supposer que la composante orthoradiale @@ de la vitesse d'écoulement de la vapeur dans le film est nulle. 2.h) En écrivant la condition d'incompressibilité du fluide sous forme dimensionnelle, montrer que la vitesse d'écoulement horizontale est très supérieure a la vitesse verticale : U7« >> UZ. L'écoulement de la va eur est donc essentiellement radial : 27 = U 7" 9 z u"'. 'Ï' ? ? 'Ï' 2.i) L'épaisseur du film de vapeur sous la goutte est typiquement 100 am. Le temps de vie d'une goutte centimétrique est de l'ordre de quelques minutes. En déduire un ordre de grandeur de la vitesse d'écoulement V de la vapeur d'eau sous la goutte. 2.j) Montrer que le terme inertiel de l'équation de Navier--Stokes est de l'ordre de va2/R où pv est la masse volumique de la vapeur, V est la vitesse typique de l'écoulement. 2.k) Expliquer pourquoi le terme visqueux de l'équation de Navier--Stokes est de l'ordre de 77W6Ë- 2.1) Rappeler la signification physique du nombre de Reynolds associé a un écoulement. Exprimer le nombre de Reynolds relatif a cet écoulement, et en donner la valeur typique. Montrer qu'en régime stationnaire, l'équation de Navier--Stokes se réduit a l'équation de Stokes : grädp : nAÜ' (6) Nous admettons dans toute la suite de cette partie que l'écoulement est régi par cette équa-- tion. 2.m) Pourquoi le champ de vitesse ne dépend--il pas de la coordonnée 9 ? 2.n) Montrer que l'équation 6 se réduit a : Ôp 32:07: 2.0) On admet que la pression p dans le film ne dépend pas de z. Intégrer l'équation 7 et donner l'expression de U,: en fonction de 77, Ôp/Ôr, co et z. 2.p) On note Q le débit volumique de vapeur a une distance 7" du centre du film. Montrer que : 7rr Ôp 3 677 37460 (8) Q : 2.q) L'évaporation de la goutte nourrit le film de vapeur. Il en résulte que Q dépend de 7". Nous notons jv le volume de vapeur produit sous la goutte par unité de surface et par unité de temps. Nous admettons que jv est homogène sous la goutte. Quel est le lien entre ju et la variation de masse de la goutte par unité de temps m ? Montrer par un bilan adéquat que : ô_@_2 m Ôr_ pvR2 r (9) En déduire, en utilisant le résultat de la question 2.p une équation différentielle vérifiée par la pression p dans le film de vapeur. 2.r) Montrer que la pression dans le film s'exprime de la manière suivante : p =p. + 3""ï, (1 -- R--) (10) 7TPU EUR0 où pa est la pression atmosphérique. 2.5) En utilisant le résultat de la question 1.c7 déterminer la pression dans le film en r = 0 en fonction de pl, g et la longueur capillaire & de l'eau. 2.t) En déduire que l'épaisseur du film de vapeur s'exprime, a un coefficient numérique près, comme : 1/4 ÀATn ) (11) e = R1/2 ( 0 plg£chv Estimer la valeur numérique de co et comparer avec le résultat de la question 1.f. 2.3 Évolution du rayon de la goutte On s'intéresse maintenant a l'évolution du rayon de la goutte induit par l'évaporation. 2.u) Exprimer la variation de masse de la goutte en fonction de pl, EC, R et R =dR/dt. 2.V) En utilisant les équations 5 et 117 montrer que R(t) est solution d'une équation diffé-- rentielle de la forme suivante : R où 04 est une constante que l'on déterminera. 2.W) Montrer alors que le rayon d'une goutte caléfiée évolue selon la loi suivante : t 2 R(t) = R0 (1 -- _) (13) 7' et donner l'expression du temps de vie 7' de la goutte en fonction des paramètres adaptés. Evaluer le temps de vie d'une goutte de rayon initial R0 = 10 mm. Comparer ce résultat a l'estimation faite a la question 2.e. 2.x) Comparer les résultats de la question précédente a la figure 4 qui montre l'évolution temporelle du rayon d'une goutte d'eau en caléfaction. Expliquer qualitativement le désaccord entre le modèle et les résultats expérimentaux a la fin de la vie de la goutte. 3 Goutte d'oxygène en caléfaction On s'intéresse dans cette partie aux trajectoires de gouttes d'oxygène liquide en caléfaction sur une plaque a température ambiante. L'oxygëne est paramagnétique, si bien qu'une goutte 0 ' 100 ' 2ù0 300 4ÛÛ 500 I (s) FIGURE 4: Évolution en fonction du temps du rayon R d'une goutte d'eau en caléfaction sur une plaque a 300 0O (D) et sur une plaque a 380 0O (A). Les courbes en traits plein et pointillé vérifient l'équation 13. soumise a un champ magnétique acquiert un moment dipolaire et peut subir une force d'origine magnétique. On suppose ici que les gouttes sont quasi--sphériques, de rayon R et de petite taille (R << lc). Par ailleurs, on admettra que la durée des expériences est suffisamment courte pour que la taille d'une goutte ne change pas au cours d'une expérience. 3.a) L'énergie d'interaction par unité de volume de l'oxygène liquide avec un champ magné-- tique s'écrit : X 2 e : ----B 14 où x > 0 est la susceptibilité magnétique de l'oxygène liquide. En considérant que le champ est presque homogène sur le volume de la goutte, quelle est l'énergie magnétique d'une goutte de volume (2 placée dans un champ magnétique B ? 3.b) Comment est orientée la force magnétique subie par une goutte d'oxygène liquide au voisinage d'un aimant ? 3.c) On s'intéresse maintenant a l'expérience décrite sur la figure 5. Une goutte d'oxygène liquide en caléfaction est lancée sur un support horizontal. On place sous ce support, au centre de la plaque, un aimant, dont l'axe Nord--Sud est orienté selon la verticale. La goutte est lâchée a grande distance avec une vitesse VO et un paramètre d'impact b. L'aimant produit en première approximation un champ dipolaire. Le champ magnétique a la surface de la plaque est orienté selon la verticale, et son expression est : Ë=&@@=------ë @@ où M > 0 est le moment dipolaire magnétique de l'aimant. Commenter cette expression. _, ,i le. / \\ / / \ \ / _ \ / \ ,/ /,/ :_\\\\ ///': _" \ \ \ r V / / \\ :/_. \ \ d--\, d_'( / 'TZ M \ \; \ bÎ__ÏÎO_ ___________ @ .\ \ \\ /.T,\\ / ,/ / A7 \ \\ // \\--'/ / / \ \ '\--«-- / \ _____ / \\\\ __ / / (a) (b) FIGURE 5: Une petite goutte d'oxygène liquide est lancée sur une plaque de verre horizontale. Sous la plaque, on place un petit aimant (moment magnétique ]Ü ), qui crée un champ dipolaire d'axe vertical. Les lignes de champ magnétique sont représentées en trait pointillé. La goutte est libérée a grande distance avec une vitesse initiale VO et un paramètre d'impact (9. L'expérience est vue de côté (a) et du dessus (b). 3.d) Quelle est l'expression de l'énergie magnétique d'interaction entre l'aimant et la goutte ? 3.e) Cette énergie est en réalité bien approximée par la formule suivante : EO _ 1 + (L)6 ro Expliquer l'origine de cette différence. Dans toute la suite, nous utiliserons cette expres-- sion pour l'énergie magnétique. Emag(7°) : (16) 3.f ) Ecrire l'énergie mécanique E... du système a un instant donné. À l'instant initial, la goutte est lancée a grande distance de l'aimant, avec une vitesse VO et un paramètre d'impact () (défini sur la figure 5). 3.g) Expliquer qualitativement pourquoi on peut considérer que E... est conservée au cours du mouvement. 3.h) Justifier que le moment cinétique du système est conservé au cours du mouvement. Exprimer le moment cinétique de la goutte au début de l'expérience. Comment s'écrit la conser-- vation du moment cinétique de la goutte ? 3.i) Montrer que l'étude du mouvement peut alors se ramener a l'étude d'un point matériel dans un potentiel effectif qui est fonction de la distance 7" entre la goutte et l'aimant. Montrer que l'énergie potentielle effective s'écrit : mb2V2 Epeff(7") = Y20 + EmagÜ") (17) 3. j) Sur la figure 6 nous avons tracé des courbes représentatives de Epefl.(r) pour différentes valeurs du paramètre d'impact () et une vitesse a l'infini VO fixée. Expliquer qualitativement l'allure de ces courbes. Nous discutons maintenant certaines caractéristiques des trajectoires possibles pour ces gouttes magnétiques. E \*OE >r FIGURE 6: Énergie potentielle effective Epefl.(r) pour différentes valeurs du paramètre d'impact () et une vitesse a l'infini VO fixée. 3.k) Avec les conditions initiales décrites a la question 3.c (vitesse VO a l'infini7 paramètre d'impact b), existe--t--il des états liés, c'est--à--dire des trajectoires bornées? Qu'en est--il avec d'autres conditions initiales ? 3.1) En général, des trajectoires circulaires sont--elles possibles? Si oui, discuter graphique-- ment le rayon de ces trajectoires. Dans le cas contraire, expliquer pourquoi de telles trajectoires sont impossibles. 3.m) On observe parfois que la goutte s'approche de l'aimant et fait plusieurs tours avant de repartir. Expliquer graphiquement a quelle distance de l'aimant la goutte tend a tourner.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 X Physique B PC 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tom Morel (Professeur agrégé) ; il a été relu par Olivier Frantz (Professeur agrégé en école d'ingénieur) et Vincent Freulon (ENS Ulm). Ce sujet est consacré au phénomène de caléfaction : lorsqu'une goutte de liquide est déposée sur une surface dont la température est supérieure à la température de vaporisation, elle ne se vaporise pas tout de suite. Il se forme entre la goutte et la surface une couche de vapeur qui isole thermiquement la goutte. · La première partie est consacrée à la forme de la goutte et à la détermination de la couche de vapeur existante sous cette dernière. Tout d'abord, on détermine l'épaisseur d'équilibre de la goutte en utilisant simplement des considérations énergétiques. On introduit par ailleurs la longueur capillaire. On finit en étudiant une expérience de diffraction qui permet de remonter à l'épaisseur de la couche de vapeur sous la goutte. · L'étude de la durée de vie d'une goutte en caléfaction est réalisée dans la deuxième partie. En partant d'un bilan d'énergie, on détermine le profil de température entre la goutte et le substrat pour arriver à la masse d'eau évaporée par unité de temps. Puis l'étude de l'écoulement de la vapeur sous la goutte d'eau permet de trouver une expression de la durée de vie de la goutte et de l'estimer. On utilise des notions de thermodynamique (diffusion thermique en régime stationnaire, conditions aux limites, résolution) mais aussi de mécanique des fluides (équation de Navier-Stokes, écoulement de Poiseuille). · Pour finir, dans une troisième partie, on s'intéresse aux trajectoires d'une goutte d'oxygène en caléfaction sous un champ magnétique. Malgré l'intitulé de cette partie, peu de notions d'électromagnétisme sont exigées ; par contre, on fait usage de nombreuses notions en mécanique du point, notamment tout ce qui tourne autour des énergies potentielles effectives et des mouvements en coordonnées polaires. De longueur raisonnable pour une épreuve X/ENS, ce sujet ne présente pas de difficultés majeures car l'énoncé met surtout en avant les concepts physiques. Il faut noter que de solides connaissances en mécanique des fluides, mécanique du point et thermodynamique sont nécessaires pour le traiter. Indications Partie 1 1.c Ne pas oublier de compter les deux interfaces de la goutte. Partie 2 2.e La masse d'eau évaporée par unité de temps est liée à la chaleur latente par L= m où est la puissance apportée à la goutte. 2.h Utiliser l'équation de conservation de la masse pour un fluide incompressible : div - v =0 2.i En ordre de grandeur, m m où m est la masse de la vapeur et un temps caractéristique lié par = R V 2.p Par définition du débit volumique Q ZZ - v · dS Q= - 2.q Faire un bilan sur une tranche entre r et r + dr en raisonnant sur le débit volumique. 2.u Attention à la question qui demande la variation de masse alors qu'il aurait fallu dire variation de masse par rapport au temps. Partie 3 3.e Regarder comment se comporte l'énergie d'interaction quand r tend vers zéro. 3.g La taille de la goutte permet de négliger les frottements dynamiques. 3.m Chercher une position d'équilibre instable. Phénomène de caléfaction d'une goutte 1. Quelques résultats préliminaires 1.1 Forme de la goutte 1.a étant homogène à une longueur au carré et [Es ] = M.L2 .T-2 on a M.L2 .T-2 = [] L2 d'où est homogène à M.T-2 . Il convient de distinguer homogénéité et unités d'une grandeur. Ici, a pour unités des kg.s-2 dans le système international, ce qui est bien homogène à des M.T-2 . Dans les tables, est surtout donné en J.m-2 qui est aussi homogène à M.T-2 . La goutte d'eau possède trois interfaces : une latérale et deux bases. La surface totale de la goutte s'écrit alors = lat + 2 × R2 Comme h R, la goutte est très aplatie et donc lat 2R2 . Par conséquent, 2R2 Or = h , d'où Es = 2 h 1.b Comme h R, la goutte est à symétrie cylindrique, et donc l'énergie potentielle de pesanteur peut être prise au centre du cylindre c'est-à-dire en h/2, d'où Eg = mg h h = g 2 2 1.c D'après ce qui précède, il apparaît que Ep = Eg + Es = g h 2 + 2 h La position d'équilibre est déterminée par la dérivée de l'énergie potentielle par rapport à h, c'est-à-dire dEp g 2 = - =0 dh 2 he 2 car on cherche un extremum de Ep qui correspond à une dérivée nulle. Finalement, r he = 2 = 2 c 10-3 m g La longueur capillaire traduit la compétition entre la gravité et la tension de surface. Si la taille d'une goutte est plus grande que la longueur capillaire, la gravité domine et la goutte est aplatie. Par contre, dans le cas inverse, la gravité est négligée et la goutte est arrondie. R c 1.2 R c R c Mesure optique de l'épaisseur du film de vapeur 1.d Si la lumière issue du laser suivait les lois de l'optique géométrique, on obtiendrait une tache de la taille du faisceau laser. Or on constate que l'image obtenue sur l'écran est étalée et présente des zones éteintes. C'est la diffraction qui explique l'image obtenue par la couche d'air sous la bulle qui joue le rôle de fente fine. 1.e Les rayons du faisceau laser arrivent parallèles entre eux. Après avoir traversé sous la goutte, les rayons sont déviés mais toujours parallèles entre eux. La différence de marche entre les rayons parallèles diffractés en O et en M est z x e0 M H O = OH = x sin X L'approximation des petits angles permet d'obtenir une autre expression de , xz x X Ainsi, le déphasage entre ces deux rayons vaut donc 2 = L En partant du principe de Huygens-Fresnel, 2 exp j dx L 0 Z e0 2 x z =K exp j dx L X 0 2 e z i L X h 0 =K exp j -1 2j z L X e z sin(e z/ X) 0 L 0 A = Ke0 exp j L X e0 z/L X A=K Par conséquent, Z e0 I(z) = |A|2 = I0 sin2 (e0 z/L X) (e0 z/L X)2 car = xz X