X Physique 2 PC 2012

Thème de l'épreuve Étude de quelques phénomènes non linéaires dans les milieux diélectriques
Principaux outils utilisés oscillateurs mécaniques, ondes, diffraction, réflexion totale
Mots clefs diélectrique, non linéaire, doublement de fréquence, effet Kerr, susceptibilité

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                    

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
              

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2012 FILIÈRE PC COMPOSITION DE PHYSIQUE ­ B ­ (XELC) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. Pour les applications numériques, on se contentera de donner un unique chiffre significatif. Étude de quelques phénomènes non linéaires dans les milieux diélectriques Nous nous proposons d'étudier quelques comportements de milieux diélectriques soumis à un champ électrique intense. Dans ce contexte, un champ électrique est considéré comme intense lorsque son module atteint une certaine proportion du champ impliqué dans la cohésion du milieu. En première partie, nous établirons un modèle de polarisabilité électronique pour un milieu diélectrique homogène et isotrope (DHI), dans le cadre de la réponse linéaire. Une deuxième partie sera dédiée à l'étude du phénomène de doublement de fréquence (relativement à la fréquence de l'onde électromagnétique excitatrice). Dans une dernière partie, nous étudierons l'effet Kerr optique. Ces trois parties sont indépendantes mais il est conseillé, au moins, de lire attentivement la première partie. Nous considérerons un milieu diélectrique comme un isolant idéal et donc ne comprenant aucune charge susceptible de se déplacer bien au delà d'une distance atomique. Lorsque les barycentres respectifs des charges positives et négatives d'une entité polarisable élémentaire (atome, molécules ou groupe d'atomes) du matériau diélectrique ne coïncident pas, il apparaît un dipole électrique p~. Nous ne considérerons que la polarisation induite par un champ électrique. Données numériques, formulaire et notations. Charge électrique élémentaire : Masse de l'électron : Vitesse de la lumière dans le vide : Perméabilité magnétique du vide : Permittivité diélectrique du vide : 2(cos x)2 = 1 + cos(2x) 2 cos x sin(2x) = sin x + sin(3x) 4(cos x)3 = 3 cos x + cos(3x) Z x du = Argth(x) 1 - u2 0 e me c µ0 0 2 e 40 1 = 1, 60 × 10-19 = 9, 11 × 10-31 = 3, 00 × 108 = 4 × 10-7 = 8, 85 × 10-12 C kg m·s-1 kg·m·C-2 F·m-1 = 2, 31 × 10-28 N·m2 Nous désignons par P~ le vecteur polarisation. Si l'élément de volume contient Np entités Np pi N p~i (N désignera toujours ~ polarisables, de moment dipolaire individuel p~i , alors P~ = un nombre d'objets par unité de volume) . Partie I : Un modèle de susceptibilité électronique en réponse linéaire. Nous nous intéressons ici à la polarisation qui résulte de la déformation du nuage électronique d'un atome par une onde électromagnétique. Nous considérons un milieu DHI contenant N électrons par unité de volume. Ce milieu est soumis à une onde électromagnétique, plane progressive harmonique, de pulsation et de nombre d'onde k, caractérisée par les champs : ( ~ = E0 cos(t - kx) ~uy E ~ = B0 cos(t - kx) ~uz B ; . (1) Les vecteurs unitaires ~ux , ~uy et ~uz forment un trièdre direct. Sur le domaine de fréquence considéré, le milieu est supposé non absorbant. Nous notons ~r le vecteur déplacement du barycentre du nuage électronique, par rapport à celui du noyau (supposé fixe). En supposant un unique électron concerné, ce vecteur vérifie l'équation de la dynamique : me d2~r ~ +F ~EM =F dt2 (2) . ~ et F~EM représentent les forces que le nuage électronique subit de la part du noyau et de celle F de l'onde électromagnétique. Tout effet dissipatif est négligé. ~. 1. Caractérisation de la force d'interaction noyau­nuage F Modélisons le nuage électronique, associé à l'électron (me , -e) dans son mouvement orbital, par une boule de rayon a et de densité volumique de charge uniforme. Pour k~rk a, nous considérons que le nuage ne se déforme pas lors de son déplacement relatif. ~ . L'écrire sous la forme F ~ = -me 2 ~r. a) Exprimer alors la force F 0 b) Exprimer de 0 . 02 en fonction de e, 0 , a et me . Proposer un ordre de grandeur de a puis c) Exprimer le potentiel W2 (r) duquel dérive F~ . d) Interpréter 0 dans le cadre de ce modèle. 2. Caractérisation de la force d'interaction onde­nuage F~EM . a) Rappeler les hypothèses qui président au calcul de cette force d'interaction, dans le cadre classique, et que nous adopterons. b) Exprimer la force électromagnétique subie par le nuage. 3. Susceptibilité linéaire. a) Exprimer le déplacement ~r, solution de l'équation (2) pour le régime sinusoïdal forcé. b) Exprimer le vecteur polarisation P~ correspondant. 2 c) La susceptibilité L (linéaire) est, ici, définie par la relation algébrique : ~ P~ = 0 L E Exprimer L en fonction des grandeurs p2 . (3) p2 N e2 et 0 2 . Esquisser et analyser me 0 0 son évolution en fonction de . d) Estimer l'ordre de grandeur de 0 (on pourra, d'abord, l'exprimer en fonction de N et a). Pour les matériaux entrant dans le cadre de cette modélisation, la permittivité relative statique est de l'ordre de quelques unités. Ceci corrobore-t-il le résultat obtenu ? Définition du cadre d'étude pour les deuxième et troisième parties. Dans les cristaux, il peut apparaître d'autres entités polarisables que celle formée simplement par un nuage électronique et son noyau. Pour ces entités, les distance, masse et charge caractéristiques peuvent s'écarter sensiblement de a, me et e. Nous les notons L, m et q. Nous supposons que ce sont ces entités qui sont à la base des phénomènes nous intéressant. Nous notons N leur N q2 . nombre par unité de volume et redéfinissons p2 selon l'égalité p2 m0 Le déplacement de la particule effective de charge q et de masse m, d'une entité, est noté ~r. ~ = E(x, t) ~uy , où E(x, t) = E0 cos(t - kx). Nous limitons notre étude au cas tel que ~r = r ~uy et E Ce champ est considéré comme uniforme à l'échelle de |r| et à celle de l'élément de volume . Enfin, nous notons W (r) le potentiel d'interaction entre les deux éléments interactifs d'une entité polarisable. Partie II : Effet non linéaire d'ordre deux ­ Doublement de fréquence. L'optique classique repose sur la linéarité de la réponse du milieu au champ électrique. Lorsque ~ kEk atteint une certaine proportion du champ électrique intra­entité polarisable, propre au milieu, celui-ci ne répond plus linéairement. Le vecteur polarisation n'est alors plus une fonction linéaire du champ électrique. Nous aborderons cet effet en apportant des corrections au modèle de polarisation linéaire décrit précédemment et construit sur le potentiel d'interaction, harmonique, 1 W2 (r) m02 r 2 . 2 II.A Ordres de grandeur. 4. Proposer un ordre de grandeur du champ électrique intra-atomique (noté E ). 5. Il apparaît que les effets non linéaires deviennent observables pour des champs électriques avoisinant 10-3 E . Un laser (pulsé), de puissance 10 kW, focalisé sur une surface de 100 µm2 permettrait-il d'oberver de tels effets ? 3 II.B Composantes de la polarisation. Écrivons le développement W3 (r) du potentiel W (r), limité à l'ordre trois, sous la forme : r 1 W3 (r) = W2 (r)(1 + ) où W2 (r) = m02 r 2 L 2 (soit W (r) = W3 (r)+o(r 3 )) . (4) Le paramètre est positif et inférieur à l'unité. 6. Un tel potentiel permettrait-il de modéliser l'interaction noyau­nuage pour le modèle adopté à la question (1), mais hors du domaine linéaire ? 7. Écrire le principe fondamental de la dynamique (PFD) appliqué à la particule effective (m, q), soumise à la force d'interaction et à l'action de l'onde électromagnétique (on la supposera placée en x = 0). 8. Nous recherchons une solution r(t) de l'équation précédente sous la forme d'un développement en puissances de , limité au premier ordre : r(t) = a1 cos(t) + {a0 + a2 cos(2t)} (5) . a) Écrire le PFD développé jusqu'au premier ordre par rapport à (soit, 1 ). b) En considérant successivement les termes d'ordre 0 et 1 , exprimer a1 puis a0 et a2 . c) Au vu de la forme du potentiel, justifier le signe de a0 . d) Exprimer la polarisation et l'écrire sous la forme : P (t) = 0 L E0 cos(t) - 3 (0 L E0 )2 {1 + H cos(2t)} 4P . (6) Expliciter L (fonction de ), qui définit la susceptibilité linéaire du milieu, le coefficient P en fonction de N , L et q, et enfin H en fonction de et 0 . e) Esquisser l'allure de l'évolution de l'amplitude (P2 ) de la composante relative à la pulsation 2, de la polarisation P , en fonction de . Commenter ce tracé. f) Miller (1963) écrivit P2 sous la forme : ¶ © P2 = 2L () L (2) (0 E0 )2 , (7) et il établit que le coefficient variait assez peu d'un matériau à l'autre (utilisé dans ce domaine). Préciser l'intérêt pratique de cette propriété. Sans calcul, indiquer comment accéder à forme de la dépendance de avec les données du problème. Proposer une relation plausible. g) Le milieu est traversé par le faisceau d'un laser (Nd-YAG) de longueur d'onde = 1064 nm (proche infrarouge). Qu'attendons-nous à observer à sa sortie ? II.C Intensité de l'onde de fréquence double. Nous nous proposons de déterminer l'intensité de l'onde, de pulsation 2, à la sortie d'un cristal d'épaisseur b (selon la direction de propagation ~ux ). L'apparition de cette onde n'est 4 sensible que si les vitesses de phase des ondes de pulsations et 2 sont identiques (condition dite d'accord de phase). En pratique, cette condition peut être satisfaite en utilisant un cristal anisotrope. Nous supposerons ici simplement L () = L (2) (ce qui n'est pas en accord avec le résultat de la question (3)). Considérant maintenant l'ensemble des points du milieu, nous devons restituer la dépendance spatiale, omise à l'échelle de . La polarisation s'écrira alors P (x, t) = P (t - kx). Pour un milieu polarisable et dans le contexte de notre étude, l'équation de propagation du champ électrique s'écrit : 1 2E 2P 2E - = µ 0 x2 c2 t2 t2 . (8) Une solution de l'équation (8), restreinte aux composantes harmoniques et 2, est recherchée sous la forme : E(x, t) = E1 (x) cos(t - kx) + E2 (x) sin{2(t - kx)} , (9) avec une polarisation s'écrivant : P (x, t) = 0 L E(x, t) + 20 DE 2 (x, t) . Sous l'hypothèse (10) d2 Ei k2 |Ei |, les amplitudes E1 et E2 vérifient le système d'équations dx2 différentielles : dE1 = -K E1 E2 dx dE 2 = +K E12 dx avec k = , (11) , D r et où K = et r = 1 + L . c c r 9. Exprimer les composantes R1 (x) et R2 (x) des vecteurs de Poynting, moyennées sur la période du fondamental, pour chacune des deux ondes de pulsations et 2. 10. Établir que le système d'équations (11) est compatible avec la conservation de l'énergie électromagnétique. Interpréter ce résultat dans le contexte de notre étude. 11. Déterminer l'équation différentielle dont la fonction E2 est solution. 12. Exprimer E2 (b) en fonction de E1 (0) E0 . 13. Exprimer le rapport R2 (b)/R1 (0) et représenter son évolution en fonction de KbE0 . Analyser ce résultat. 14. Calculer l'ordre de grandeur du rapport R2 (b)/R1 (0) pour un cristal d'épaisseur b = 0, 5 cm, éclairé par un laser (pulsé) de puissance 1 MW, de longueur d'onde de 1064 nm dans le vide, et de section de faisceau de 2 mm2 . Données : r 2, 3 et D 5, 0 × 10-13 m·V-1 . 15. En construisant une longueur caractéristique de variation de la fonction E2 , vérifier que l'hypothèse associée au système d'équations (11) est satisfaite (pour les données précédentes). 5 Partie III : Effet non linéaire d'ordre trois ­ Effet Kerr optique. Nous rappelons que le cadre de cette étude à été défini en préambule des parties II et III. III.A Effet Kerr. Les milieux susceptibles de présenter des effets non-linéaires d'ordre trois sont constitués d'entités polarisables centrosymétriques. Leur potentiel d'interaction W (r) est donc pair. Écrivons le développement W4 (r) du potentiel W (r), limité à l'ordre quatre, sous la forme : ® W4 (r) = W2 (r) 1 - Å ã2 ´ r L où W2 (r) = 1 m02 r 2 2 (soit W (r) = W4 (r)+o(r 4 )) . (12) Le paramètre est positif et inférieur à l'unité. 16. Écrire le principe fondamental de la dynamique (PFD) appliqué à la particule effective (m, q), soumise à la force d'interaction et à l'action de l'onde électromagnétique (la particule est supposé placée en x = 0). 17. Recherchons des solutions r(t) de l'équation précédente sous la forme d'un développement en puissances du paramètre , limité au premier ordre : r(t) = a1 cos(t) + {b1 cos(t) + b3 cos(3t)} (13) . En s'inspirant de la démarche adoptée à la partie II, déterminer les expressions de a1 puis de b1 et b3 . 18. Limitons-nous dès à présent au terme de pulsation de la réponse du milieu. Établir que la composante, de pulsation , de la polarisation s'exprime : P (x, t) = 0 L (1 + ) E(x, t) où = 3 02 2 02 - 2 ß 0 L E0 N qL TM2 . (14) Cette relation définit la susceptibilité L (1 + ) correspondante du milieu, ainsi que sa susceptibilité linéaire L que l'on explicitera. La dépendance = (E02 ) caractérise l'effet Kerr. 19. L'indice optique n est défini par l'égalité n2 = 1 + . En supposant, a priori, || 1, n - nL exprimer l'écart relatif d'indice , où nL représente l'indice du milieu en réponse nL linéaire. ~ = E0 cos(t - kx) ~uy , traverse ce mi20. Une onde plane, décrite par le champ électrique E lieu. Justifier que est proportionnel à l'intensité de cette onde, moyennée sur sa période temporelle ( = I). 21. Pour l'arséniure de gallium, dans l'infra-rouge, 2 × 10-20 m2 · W-1 . Vérifier que, même pour un laser (pulsé) de très forte puissance dont l'intensité lumineuse I peut atteindre 109 W · mm-2 , l'hypothèse adoptée à la question (19) reste satisfaite. 6 III.B Autofocalisation d'un faisceau lumineux. Nous souhaitons rendre compte, par une approche très simplifiée, du phénomène d'autofocalisation d'un faisceau laser dans un milieu diélectrique. Un laser émet une onde monochromatique, de longueur d'onde dans le vide 0, 7 µm, qui traverse le diélectrique selon ~ux . L'amplitude du champ électrique décroît du centre du faisceau vers l'extérieur. Pour modéliser grossièrement cette dépendance du champ selon une direction orthogonale à la direction de propagation ~ux , ~ = E(z) cos(t - kx) ~uy , d'amplitude E(z) nous adoptons un champ électrique de la forme : E s'écrivant : ( E(z) = E0 E(z) = 0 pour pour (où z0 10 µm et E0 109 V·m-1 ) ; . |z| z0 |z| > z0 (15) En accord avec la partie précédente, nous écrivons l'indice du milieu sous la forme : n(z) = nL Ç E(z)2 1+ 2n2L å , où 10-22 m2 ·V-2 et nL 1, 5 . (16) 22. En considérant que l'on peut faire l'analogie avec la diffraction par une fente, exprimer alors la divergence angulaire d du faisceau, en fonction de , z0 et accessoirement nL (se reporter à la figure (1)). Estimer d . z d y 2z0 x d Fig. 1: Diffraction du faisceau. 23. Déterminer l'angle limite au dessous duquel la réflexion des rayons, formant le faisceau, est totale (se reporter à la figure (2)). nL n z y x Fig. 2: Autofocalisation du faisceau ­ Rayon(s) réfléchi et/ou réfracté. 24. Déterminer la valeur critique Ec du champ pour laquelle la divergence du faisceau est contrebalancée par l'effet Kerr. Donner un ordre de grandeur de Ec . 25. Décrire les situations pour E0 > Ec et E0 < Ec . 7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 X Physique B PC 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Rémy Hervé (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Clélia De Mulatier (ENS Cachan) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet en trois parties aborde la réponse diélectrique des matériaux au passage d'une onde électromagnétique dans les domaines linéaire et non linéaire, ainsi que les applications associées. · La première partie est consacrée à la réponse linéaire. Elle s'appuie sur la réponse mécanique du nuage électronique au passage d'une onde électromagnétique harmonique, en faisant appel à la construction du vecteur polarisation à partir du moment dipolaire induit. Restant relativement proche des grandes notions vues en cours sur les milieux, la difficulté de cette partie repose essentiellement sur sa concision. En particulier, dès la première question, il est demandé de reconstruire le modèle de la réponse élastique du nuage électronique à un champ électrique, sans autre hypothèse qu'une description sommaire de la forme de la distribution de charge. · La partie centrale constitue véritablement le coeur du sujet. Elle s'appuie sur le modèle de la première partie pour y introduire une non linéarité de deuxième ordre et met en place les outils et la démarche à réutiliser dans la dernière partie. Parfois un peu technique dans les calculs, l'énoncé choisit toutefois de faire l'impasse sur les plus grosses difficultés pour se concentrer sur l'interprétation physique des résultats. C'est donc avant tout d'une bonne compréhension de la dynamique de l'interaction matière-rayonnement qu'il faut faire preuve. À noter que la dernière sous-partie aborde l'intéressante question de la production d'un faisceau de fréquence double dans certains cristaux non linéaires. · La dernière partie s'intéresse à la première non linéarité observable dans les cristaux centro-symétriques. Elle est très semblable à la précédente, en moins détaillé ; l'application à l'étude de l'autofocalisation requiert une bonne compréhension des phénomènes de diffraction et de réflexion totale. Relativement court, ce sujet exige de ne pas se laisser perturber par des calculs souvent lourds, à défaut d'être vraiment compliqués, pour ne pas perdre de vue la physique mise en jeu. C'est d'ailleurs une des raisons de sa difficulté. Les calculs restent rares et ne sont pas mis en avant ; en revanche, la maîtrise des concepts physiques et la capacité à utiliser des raisonnements abordés dans d'autres situations sont très développés. Seuls ceux qui ont du recul sur le programme peuvent espérer tirer leur épingle du jeu sur une telle épreuve. Il faut également noter que la connaissance des propriétés énergétiques des ondes électromagnétiques est indispensable pour répondre à de nombreuses questions. Indications Partie I 1.a Commencer par déterminer l'action du nuage électronique sur le noyau. 1.d La force obtenue est une force de rappel élastique (identique à celle d'un ressort). 2.a Il faut une hypothèse « non relativiste » et une hypothèse permettant de supposer que le champ incident est uniforme à l'échelle de l'atome. 2.b À l'aide des hypothèses précédentes, il faut réduire l'action du champ électromagnétique à la seule force du champ électrique au centre de l'atome. 3.d Dans un milieu condensé (liquide, solide), N a-3 . Partie II 5 La puissance surfacique transportée par une onde plane harmonique monochromatique est de l'ordre de 0 c E0 2 . 8.b Pour être vraie à tout instant, l'équation de l'ordre un en conduit à deux nouvelles équations. 8.c Il faut exploiter l'asymétrie du potentiel. 8.f Faire une analyse dimensionnelle. 10 Montrer que E1 2 + E2 2 est constant. 11 Utiliser la grandeur conservée précédente pour obtenir une équation différentielle non linéaire sur E2 . 12 Faire apparaître la forme intégrale donnée en introduction. Partie III 18 Raisonner en x = 0. Exprimer d'abord en fonction de a1 et b1 . 21 On peut considérer que l'indice d'un milieu condensé est au moins de 1,1. 22 La diffraction d'une onde plane par une fente de largeur d conduit à un faisceau conique d'ouverture = nd Étude de quelques phénomènes non linéaires dans les milieux diélectriques I. Un modèle de susceptibilité électronique en réponse linéaire 1.a Soit O le barycentre du noyau et G celui du nuage électronique. Plutôt que la force exercée par le noyau sur le nuage électronique, cherchons dans un premier temps - la force - F exercée par le nuage électronique sur le noyau. Le nuage électronique étant supposé être une boule de rayon a uniformément chargée de charge totale -e, sa charge volumique est 3e =- 4 a3 - Cette distribution est à géométrie sphérique. Le champ Ee créé par le nuage électronique est donc radial et ne dépend que de r, la distance à G : -- - GM Ee (M) = E(r) - er = E(GM) GM Soit une surface de Gauss sphérique de rayon r < a et concentrique avec le nuage. Le flux du champ électrique au travers de cette surface est - [Ee ] = 4 r2 Ee (r) Tandis que la charge enfermée par la surface de Gauss est 4 Qint = r3 3 Par conséquent, d'après le théorème de Gauss, le nuage électronique crée, en un point M voisin de G, le champ -- - -- e Ee (M) = GM = - GM 3 3 0 4 0 a Le nuage électronique portant la charge -e, le noyau doit porter la charge +e pour que l'atome soit neutre. Il en résulte l'action du nuage électronique sur le noyau - - -- - -- - F = e E (GO) = e E (-- r) avec - r = OG e et donc e - F =- e2 - r 4 0 a3 Si on veut déterminer directement la force exercée par le noyau sur le nuage électronique, il faut écrire l'intégrale des forces élémentaires exercées sur chaque point du nuage. On obtient alors une intégrale complexe impossible à intégrer sans faire appel au théorème de Green-Ostrogradsky, ce qui revient à déterminer le champ électrique créé par le nuage électronique. 1.b En comparant l'expression proposée à celle obtenue, il vient 0 2 = e2 4 0 a3 me On peut prendre a de l'ordre de la taille d'un atome, soit un angström : 0 1016 rad.s-1 - 1.c F est une force de rappel élastique de constante de raideur me 0 2 . Elle dérive donc du potentiel W2 (r) = 1 me 0 2 r 2 2 On peut noter que ce résultat est donné en introduction de la partie II. 1.d La force d'interaction étant une force de rappel élastique, 0 est la pulsation d'oscillation libre du dipôle : si le barycentre du nuage électronique est initialement écarté de celui du noyau et qu'on laisse ensuite le système évoluer librement, le point G oscille autour de O à la pulsation 0 . 2.a On suppose que la vitesse de déplacement de l'électron est faible devant la vitesse de la lumière (mouvement non relativiste). On suppose également que la longueur d'onde de l'onde incidente est grande devant la taille de l'atome, donc grande devant a. Cette seconde hypothèse, très pratique puisqu'elle permet de considérer que le nuage électronique voit un champ incident uniforme, revient à supposer l'absence de comportement corpusculaire de la lumière. C'est une hypothèse « non quantique ». 2.b Comme la longueur d'onde de l'onde électromagnétique est grande devant la taille de l'atome, soit a, l'électron perçoit un champ extérieur uniforme égal à celui au centre de l'atome (soit en O). Par conséquent, le nuage subit la force de Lorentz - - - F EM = -e E (O, t) - e - v B (O, t) où - v est le vecteur vitesse de l'électron. Toutefois, sachant que dans une onde électromagnétique le champ magnétique a une amplitude de l'ordre de E0 /c, le second terme est de l'ordre de v car, par hypothèse, v c. e E0 e E0 c On peut ainsi négliger le second terme et écrire (en prenant xO = 0) : - - F EM = -e E (O, t) = -e E0 cos(t) - u y 3.a L'équation (2) conduit à e - d2 - r + 0 2 - r =- E dt2 me Recherchons une solution harmonique en régime sinusoïdal forcé à la pulsation , soit une solution vérifiant d2 - r = - 2 - r dt2 Il vient immédiatement - r =- 0 2 1 e - E 2 - me