X Physique 2 PC 2011

Thème de l'épreuve Activité optique
Principaux outils utilisés polarisation, électromagnétisme, mécanique du point, optique
Mots clefs biréfringence circulaire, effet Faraday, activité optique, ondes polarisées

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2011 FILIÈRE PC COMPOSITION DE PHYSIQUE ­ B ­ (XELC) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. Activité Optique Lorsqu'une lumière polarisée rectilignement pénètre dans une substance isotrope optiquement active, la lumière émergente a, dans tous les cas, quelle que soit la direction de polarisation initiale et l'épaisseur traversée, une polarisation rectiligne. Cependant, la direction de polarisation a tourné, c'est la raison pour laquelle on parle de pouvoir rotatoire. On se propose dans ce problème d'étudier quelques propriétés et modèles de substances ou matériaux présentant ce genre d'activité optique appelée aussi pouvoir rotatoire. Constantes usuelles Célérité de la lumière dans le vide : Permittivité du vide : Perméabilité du vide : Masse de l'électron : Charge élémentaire : c = 0 = µ0 = m = e = 3, 00 × 108 m · s-1 8, 82 × 10-12 F · m-1 4 × 10-7 H · m-1 9, 11 × 10-31 kg 1, 60 × 10-19 C I. Introduction Une lumière monochromatique polarisée rectilignement selon l'axe Ox pénètre en z = 0 dans une substance optiquement active. Elle émerge en z = avec une polarisation qui fait un angle avec l'axe Ox (voir figure 1). L'algébrisation de l'angle est telle que (~ex , ~ey ) = + . 2 I.1 Quelle(s) source(s) permet(tent) d'obtenir une lumière quasi-monochromatique ? Comment réaliser une source de lumière monochromatique polarisée rectilignement ? I.2 Proposer, en quelques lignes, un protocole expérimental permettant de vérifier que le plan de polarisation d'une lumière polarisée rectilignement et ayant traversé un milieu optiquement actif, a tourné. 1 x ~ E y ~k vide z= 0 substance optiquement active z z= vide Figure 1. II. Théorie de FRESNEL : notion de biréfringence circulaire La théorie phénoménologique de Fresnel permet de rendre compte du pouvoir rotatoire en postulant que le milieu optiquement actif transmet, avec des indices optiques différents, des ondes polarisées circulairement gauche et droite. Lorsqu'une onde polarisée circulairement gauche (respectivement droite) se propage, le milieu se comporte comme un milieu d'indice optique ng (respectivement nd ). Cette hypothèse d'existence de deux indices optiques pour des ondes circulaires explique le terme biréfringence circulaire. ~ (~r, t) d'une onde plane progressive On considère, dans cette partie, le champ électrique E harmonique (O.P.P.H.) de pulsation se propageant selon l'axe Oz dans un milieu d'indice optique n. On note : ~ (~r, t) = R(E ~ (~r, t)) = R(E ~ 0 exp i ~k · ~r - t ) E î Ä äó où : ~ 0 est un vecteur constant dont les composantes sont éventuellement complexes. On le · E ~ (~r, t) ; nomme amplitude complexe du champ E 2 · ~k est le vecteur d'onde : ~k = n~ez = n~ez (0 désigne la longueur d'onde dans le vide c 0 et ~ez le vecteur unitaire de l'axe z dirigé dans le sens des z croissants). ~ 0 = E0x~ex + E0y ~ey + E0z ~ez ou Dans la base cartésienne (~ex , ~ey , ~ez ), on note indifféremment E ~ 0 E0x , E0y , E0z . E Ä ä II.1 Quelle est la polarisation du champ électrique : ~ 0 (E0x , E0y , 0) où E0x et E0y sont réels ? ­ si E ~ 0 E0x , E0y , 0 où E0x et E0y sont des complexes quelconques ? ­ si E Ä ä 2 ~ 0 (E0 , iE0 , 0) où E0 est réel positif ? ­ si E ~ 0 (E0 , -iE0 , 0) où E0 est réel positif ? ­ si E II.2 Décomposer l'O.P.P.H. (E0 , 0, 0) avec E0 réel en somme de deux O.P.P.H. polarisées circulairement gauche et droite. L'O.P.P.H. d'amplitude (E0 , 0, 0) pénètre dans un milieu optiquement actif situé entre z = 0 et z = . On note : nd - ng ng + nd et n = n0 = 2 2 II.3 Exprimer ng et nd en fonction de n0 et n puis montrer que le plan de polarisation de l'onde a tourné d'un angle : = (nd - ng ) [] 2c II.4 On se place, dans cette question, dans le cas où ng et nd sont indépendants de la direction de propagation (biréfringence dite naturelle). Lorsqu'on place un miroir parfait en z = , et que l'on s'intéresse à l'onde réfléchie en z = 0, l'angle de rotation du plan de polarisation est-il doublé (cas de la figure 2.b) ou est-il compensé (cas de la figure 2.a) ? Justifiez votre réponse. x x 2 ~ E ~ E y z= 0 substance optiquement actve z= y ~k z= 0 ~k substance optiquement active z= z z Figure 2. III. Biréfringence circulaire induite ou effet FARADAY ~0 Michaël Faraday a découvert en 1845 que, sous l'action d'un champ magnétostatique B appliqué parallèlement à la direction de propagation de la lumière, les substances optiquement inactives acquièrent la propriété de biréfringence circulaire étudiée dans la partie précédente. Cette propriété constitue l'effet Faraday. On se propose, dans cette partie, de développer un modèle microscopique rendant compte de cette biréfringence circulaire induite par le champ magnétostatique. III.1 Modèle de l'électron élastiquement lié On s'intéresse à un atome ou une molécule de la substance placé dans un champ magnéto~ 0 . L'onde électromagnétique interagit avec les charges des atomes mais les statique uniforme B 3 noyaux étant beaucoup plus lourds que les électrons, on les suppose immobiles et on ne considère que les mouvements des électrons. Ceux-ci seront représentés par le nuage qu'ils forment. On néglige toute interaction entre les électrons. Chaque nuage électronique est soumis à : -- ­ une force de rappel élastique -m12 OM où O désigne la position du noyau, M celle du barycentre du nuage électronique, m la masse de l'électron et 1 une pulsation caractéristique ; ~ (M, t) traduisant l'interaction entre la lumière et l'électron (-e désigne la ­ la force -eE charge de l'électron) ; -- ~ 0 où ~v = dOM . ­ la force -e~v B dt R Le référentiel d'étude R(O, x, y, z) centré sur le noyau O est supposé galiléen. La lumière est modélisée par une O.P.P.H. se propageant selon l'axe Oz. Le champ électrique s'écrit : ~ (M, t) = E0 cos (kg z - t) ~ex - E0 sin (kg z - t) ~ey où kg = ng E c On négligera : ­ l'interaction de l'électron avec le champ magnétique de l'O.P.P.H. ­ la variation spatiale du champ électrique à l'échelle du déplacement de l'électron c'est-à-dire que kg z = où est une constante. - ~ 0 = B0~ez et - III.1.1 On note B OM = x~ex + y~ey + z~ez . Déterminer les trois équations liant x, y, z et leurs dérivées par rapport au temps. III.1.2 On ne s'intéresse désormais qu'au régime forcé. Vérifier que x(t) = a cos ( - t) et y(t) = -a sin ( - t) sont solutions du mouvement et exprimer a en fonction de e, m, 1 , , E0 et B0 . III.1.3 On note N la densité volumique d'électrons. Donner l'expression du vecteur densité volumique de courant ~j (M, t) en fonction des vecteurs de base ainsi que de a, N, e, , cos ( - t) et sin ( - t). ~ (M, t) est solution de l'équation : III.1.4 Montrer que le champ électrique E ~- E ~ 1 2E ~j = µ0 2 2 c t t III.1.5 Montrer que : n2g = 1 + p2 12 + c - 2 où l'on donnera l'expression de p2 en fonction de N, e, m et 0 et celle de c en fonction de e, m et B0 . 4 III.1.6 Déterminer de même, en la démontrant, l'expression de nd en fonction de , 1 , c et p . III.2 Constante de VERDET Le physicien français Émile Verdet (1824-1866) a mis en évidence expérimentalement que l'angle de rotation (défini comme sur la figure 1) du plan de polarisation de la lumière est proportionnel à l'épaisseur du matériau traversé et à la mesure algébrique B0 : = Ve B0 Le facteur de proportionnalité Ve est nommé constante de Verdet. III.2.1 En utilisant, entre autres, le résultat de la question II.3 et en admettant que pour les p2 substances considérées, les ordres de grandeur sont tels que 2 1, |c | 1 et 1 ± c - 2 2c 1 , donner une expression de la constante de Verdet en fonction de e, p , = , 1 = 2c , m et c. 1 III.2.2 Lorsqu'on place un miroir parfait en z = , et que l'on s'intéresse à l'onde réfléchie en z = 0, on constate expérimentalement que l'angle de rotation du plan de polarisation est doublé (comme dans le cas de la figure 2.b). Le modèle microscopique précédent rend-il compte de cette observation ? III.2.3 Application numérique Pour la plupart des liquides illuminés par une lumière de longueur d'onde = 632 nm et à la température usuelle, l'ordre de grandeur de la constante de Verdet est de 102 deg · T-1 · m-1 . Considérons un liquide placé dans un solénoïde comportant n = 105 spires/m et traversé, sur une épaisseur = 30 cm, par une onde plane polarisée rectilignement. En supposant que le solénoïde crée le champ magnétostatique qui serait créé par un solénoïde "infini", calculer l'ordre de grandeur du courant I dans le solénoïde pour que la rotation du plan de polarisation soit de 10 deg. IV. Biréfringence circulaire naturelle : du microscopique au macroscopique On développe, dans cette partie, un modèle simplifié qui rend compte du pouvoir rotatoire naturel (en l'absence de champ magnétique extérieur) d'une substance traversée sur une très faible épaisseur par une onde lumineuse polarisée rectilignement. IV.1 Dipôles induits dans une molécule hélicoïdale Le pouvoir rotatoire n'existe que pour des molécules possédant une certaine dissymétrie. Sur un modèle de molécules ayant une géométrie hélicoïdale, on se propose de mettre en évidence l'apparition de dipôles électrique et magnétique induits. Les composés organiques de la famille des hélicènes possèdent une telle forme : à titre d'information on a représenté sur la partie droite de la figure 3, l'hexahélicène. On travaille dans le référentiel R(O, ~eX , ~eY , ~eZ ) supposé galiléen. 5 Dipôle électrique induit On modélise une molécule par une structure hélicoïdale qui porte globalement la charge +e. Le barycentre M1 du nuage électronique, de charge globale -e, de masse m, est supposé se déplacer sans dissipation le long de l'hélice (H1 ) dont l'équation en coordonnées cartésiennes a été portée sur la figure 3. Les principales notations classiques sont rappelées sur cette même figure. L'interaction entre le noyau et le nuage électronique est décrite par l'unique force de rappel -m12 Z~eZ . X = R cos Y = R sin Z=P Z R i 0 P 6= 0 R O A X M1 Y ~e ~er Hexahélicène Figure 3. IV.1.1 Exprimer l'énergie potentielle U de laquelle dérive la force de rappel. On suppose que la molécule est placée dans une région de l'espace où le champ magnétique ~ = B(t)~eZ où B(t) = B0 cos(t). Il apparaît un champ électrique dont est uniforme et s'écrit B ~ (M, t) = E (r, t) ~e . on admettra que l'expression locale, en coordonnées cylindriques, est E IV.1.2 Établir l'expression de E(r, t) en fonction de B0 , , r et t. IV.1.3 Établir l'expression de l'énergie cinétique K du nuage électronique en fonction de m, R, P et Z. Montrer que l'équation différentielle vérifiée par Z est Z + 02 Z = - eB0 P R2 sin(t) 2m (R2 + P 2 ) où l'on exprimera 02 en fonction de 1 , R et P . -- IV.1.4 On nomme pZ la composante selon ~eZ du moment dipolaire électrique ~ p(t) = -eOM 1 de la molécule. 6 dB Toujours en régime harmonique forcé, montrer que pZ = 1 1 B(t) où l'on exprimera dt 1 en fonction de , 0 , e, m, R et P . Le moment dipolaire est-il cependant parallèle à ~eZ ? La molécule est maintenant modélisée par une structure en double hélice portant globalement la charge +2e. On considère deux nuages électroniques, chacun de charge globale -e et de masse m, dont les barycentres M1 et M2 se déplacent sans dissipation le long des hélices (H1 ) et (H2 ), dont les équations en coordonnées cartésiennes sont fournies sur la figure 4. Z X = R cos H1 Y = R sin Z=P X = -R cos H2 Y = -R sin Z=P M2 A2 Ri0 P 6= 0 R M1 A1 Y X ~e ~er Figure 4. Molécule en double hélice IV.1.5 Exprimer le moment dipolaire p~(t) de la molécule. - Justifier que p~(t) = 21 B (t). ~ et l'axe de l'hélice vaut IV.1.6 De manière plus générale, lorsque l'angle entre le champ B - , la relation devient p~(t) = 21 B (t) cos2 . En considérant un échantillon mésoscopique de molécules orientées aléatoirement et dans toutes les directions, justifier que la moyenne statistique notée h~ p(t)i des moments dipolaires s'exprime : - h~ p(t)i = e B (t) avec e = 7 e2 P R2 1 2 2 2 3m (R + P ) ( - 02 ) Dipôle magnétique induit La molécule en double hélice précédente est désormais placée dans une région de l'espace où règne un champ électrique uniforme : ~ (M, t) = E (t) ~eZ E avec E (t) = E0 cos (t) IV.1.7 Montrer que la composante Z du vecteur position de chaque nuage électronique est solution de l'équation e P2 E0 cos(t) Z + 02 Z = - m (R2 + P 2 ) ~ est défini par : IV.1.8 Le moment magnétique induit M - ~ = -e- M OM 1 ~v1 - 2 e -- OM 2 ~v2 2 où ~v1 = -- dOM 1 dt et ~v2 = R -- dOM 2 dt R Montrer que ~ = -2 - M E où l'on exprimera 2 en fonction de 0 , , e, m, P et R. À nouveau, lorsque l'on considère un échantillon mésoscopique de molécules orientées aléatoirement et ¨dans toutes les directions, on admettra que la moyenne statistique des moments ~ magnétiques M(t) est - ~ M(t) = -m E (t) avec ¨ m = e2 P R2 1 2 2 2 3m (R + P ) ( - 02 ) IV.2 Application à la théorie de Lord Rayleigh Lord Rayleigh développa le modèle suivant pour rendre compte de l'interaction entre des molécules polarisables et un champ électromagnétique. Les molécules en double hélice étudiées précédemment sont situées dans une couche d'épaisseur h orthogonale à l'axe z située entre les plans z = 0 et z = h avec la densité volumique uniforme N . Elles sont illuminées par une O.P.P.H. dont la composante électrique s'écrit : ~ i (z, t) = E0 cos (k0 z - t) ~ex E Sous l'effet de cette onde, les molécules acquièrent des moments dipolaires électrique et magnétique selon les mécanismes décrits aux questions IV.1.6. et IV.1.8. Lord Rayleigh démontre alors les résultats suivants que nous admettons : ­ le champ électrique rayonné par les dipôles électriques induits a pour expression : 2 e k0 (e) ~ ray E (z, t) = E0 hN cos(k0 z - t)~ey 0 2 ­ le champ électrique rayonné par les dipôles magnétiques induits a pour expression : 2 m k0 (m) ~ ray E (z, t) = E0 hN cos(k0 z - t)~ey 0 2 8 Ces expressions des champs rayonnés sont valables loin de la couche de molécules (k0 z 1) et pour une couche mince (k0 h 1). ~ (z, t) dans le cadre des hypothèses énoncées IV.2.1 Déterminer le champ électrique total E précédemment. En déduire que l'expression de l'angle (très faible) de rotation du plan de polarisation à la traversée de la mince couche de milieu actif est : e + m 2 = k0 N h (1) 20 IV.2.2 On considère l'image de la molécule en double hélice par un miroir parallèle à l'axe Oz (la molécule et son image sont dites chirales car elles ne sont pas superposables). Comment sont modifiées les équations cartésiennes des hélices (H1 ) et (H2 ) pour obtenir celles décrivant la molécule image ? En déduire comment est modifié l'angle lorsqu'on travaille avec les molécules images. V. Mise en évidence et mesure de rotations faibles On développe dans cette partie des exemples permettant : ­ de mettre en évidence expérimentalement la biréfringence circulaire naturelle ; ­ de mesurer des caractéristiques liées à l'effet Faraday. V.1 Mise en évidence d'une rotation faible par décalage On considère un milieu présentant une activité optique naturelle et placé dans une cellule : il s'agit du limonène. Un rayon lumineux venant de l'air (d'indice optique nair = 1, 0003) et polarisé rectilignement, arrive sur cette cellule avec une incidence = 30 deg (cf. figure 5.a.). On rappelle qu'une O.P.P.H. polarisée rectilignement est la superposition d'une O.P.P.H. polarisée circulairement droite et d'une O.P.P.H. polarisée circulairement gauche. Comme dans la partie II, on note nd (resp. ng ) l'indice associé à l'onde circulaire droite (resp. gauche). On donne ng + nd n0 = = 1, 4740 et = 7, 5 deg · cm-1 pour la longueur d'onde considérée 0 = 632 nm. 2 V.1.1 Écrire la loi de la réfraction pour chaque onde séparément et estimer numériquement le décalage angulaire entre les deux rayons lumineux émergeant dans le limonène. Commenter. On considère maintenant deux cellules accolées, représentées sur la figure 5.b, remplies de liquides d'activités optiques opposées. Les indices optiques de chaque cellule sont portés sur la figure. V.1.2 Reproduire les figures 5.b et tracer qualitativement les rayons lumineux réfractés correspondant aux deux situations. Quel intérêt voyez-vous à utiliser une série de tels prismes alternés ? V.2 Mesure d'effet Faraday en utilisant une cavité optique Une cavité optique est constituée de deux miroirs de grande réflectivité mis en vis-à-vis dans l'air. Pour simplifier les calculs, on considèrera ces miroirs plans, parallèles entre eux et séparés 9 ng,2 = n0 + n Onde circulaire gauche ng,1 = n0 - n Activité optique ng,1 = n0 - n nd,2 = n0 - n Onde circulaire droite nd,1 = n0 + n nd,1 = n0 + n Figure 5. d'une distance d. On étudiera la propagation de la lumière parallèlement à la normale à leurs surfaces, notée ~ez . On note r et t respectivement le coefficient de réflexion et de transmission du champ électrique par les miroirs supposés identiques. On admettra que R + T = 1 avec r 2 = R et t2 = T . On considère l'amplitude complexe notée E de la composante selon une direction quelconque du champ électrique incident assimilé à une O.P.P.H. La variation de phase de cette composante de l'onde lorsqu'elle a parcouru la distance d dans la cavité est . Ainsi, par exemple, la composante du champ électrique qui émerge (en z = d) en ayant traversé une seule fois la cavité a pour amplitude complexe E 0 (z = d+ ) = t2 exp(i)E(z = 0- ). E 0 (z = d+ ) E 1 (z = d+ ) E0 (z = 0- ) = E i z p tours E p (z = d+ ) d z=0 z=d Figure 6. V.2.1 Déterminer l'expression de l'amplitude complexe E p (z = d+ ) de la composante du champ électrique qui a traversé une fois la cavité puis fait p aller(s) et retour(s) avant d'émerger en z = d en fonction de E(z = 0- ), exp(i), T , R et p. 10 En déduire que l'amplitude complexe du champ émergeant de la cavité notée E s s'écrit : Es = T ei E 1 - Rei 2 i (2) où E i = E(z = 0- ) désigne l'amplitude complexe du champ électrique pénétrant en z = 0 dans la cavité. V.2.2 On cherche, dans cette question, à déterminer un ordre de grandeur du nombre f effectif d'ondes interférentes contribuant au champ émergeant de la cavité. On se fixe le critère suivant : f est tel que la norme de l'écart entre le champ émergeant de la cavité et la somme partielle f P p=0 E p ne dépasse pas 1%. On supposera que R est proche de 1. Proposer une expression de f en fonction de R. Donner un ordre de grandeur de f si R = 0, 999. V.2.3 On place dans la cavité un échantillon de longueur soumis au champ magnétique uniforme ~ 0 = B0~ez . La composante électrique de l'O.P.P.H. pénétrant dans la cavité est et constant B polarisée rectilignement selon l'axe Ox (perpendiculaire à l'axe Oz) et d'amplitude réelle E0 ~ = 0- ) = E0~ex . Il est possible d'ajuster la valeur de telle que 0 [2]. Dans telle que E(z ces conditions, nous admettrons que l'amplitude réelle du champ électrique qui a traversé une fois la cavité puis fait p aller(s) et retour(s) avant d'émerger en z = d peut s'écrire ~ p = E0 (1 - R)Rp~up où ~up = cos [(2p + 1) ] ~ex + sin [(2p + 1) ] ~ey E L'angle est défini comme aux paragraphes II et III. Par une simple représentation graphique, expliquez l'intérêt de la cavité pour la mise en évidence de l'effet Faraday. L'utilisation d'une telle cavité présenterait-elle un intérêt pour la mise en évidence de l'activité optique naturelle ? Argumentez votre réponse en vous appuyant sur un calcul d'ordre de grandeur de l'angle de rotation du plan de polarisation à la sortie de la cavité. 11

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 X Physique B PC 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Rémy Hervé (Professeur agrégé à l'université) ; il a été relu par Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) et Sébastien Dusuel (Professeur en CPGE). Ce sujet porte sur la biréfringence circulaire, également appelée phénomène de polarisation rotatoire. Il se compose de cinq parties essentiellement indépendantes. · La première est une introduction rapide, qui teste en deux questions les connaissances théoriques et expérimentales sur la lumière polarisée. · La deuxième partie est consacrée à une théorie effective de la biréfringence circulaire : la théorie de Fresnel. On y étudie l'évolution d'une onde polarisée rectilignement à partir de propriétés portant sur les ondes polarisées circulairement. Particulièrement dans l'esprit des épreuves de Polytechnique, cette partie s'appuie sur une bonne connaissance des notions et outils fondamentaux du cours sur la polarisation, pour construire les principaux résultats sur la biréfringence circulaire naturelle. Il faut noter que cette partie constitue le point d'entrée du sujet : si les différentes parties sont assez indépendantes du point de vue des résultats, ne pas parvenir à traiter celle-ci rend le reste du sujet difficile, car c'est là que les notions et raisonnements fondamentaux sont introduits. · Dans un troisième temps, on s'intéresse à une description microscopique d'un phénomène de biréfringence induit : l'effet Faraday. On y étudie la réponse mécanique des électrons élastiquement liés aux noyaux au passage d'une onde électromagnétique en présence d'un champ magnétique permanent. La démarche suivie, qui nécessite une bonne maîtrise de la mécanique du point et de l'électromagnétisme, est très proche de celle permettant d'obtenir l'expression de l'indice optique d'un milieu diélectrique en fonction de ses caractéristiques microscopiques. Une fois les principaux résultats obtenus, ils sont utilisés pour construire une théorie effective similaire à celle de la deuxième partie. · Cousine de la troisième, la quatrième partie propose un modèle microscopique pour étudier cette fois une forme de biréfringence naturelle due à des molécules chirales. Bien que similaires, les raisonnements sont nettement plus fins et on sent poindre l'influence des ENS dans la subtilité que certaines démarches requièrent. Toutefois, l'essentiel des résultats intermédiaires sont donnés, ce qui permet d'avancer malgré tout. · Enfin, les principaux aspects théoriques sur la biréfringence ayant été étudiés dans les parties précédentes, la dernière discute la mise en évidence expérimentale de ce phénomène, d'abord dans le cas naturel, puis dans celui de la biréfringence induite. Cette partie tranche sensiblement dans son contenu avec les précédentes puisque ce sont essentiellement des notions d'optique géométrique et d'optique interférentielle qu'il faut mobiliser. Par ailleurs, très ouverte dans la formulation de ses principales questions, cette dernière partie cherchait à évaluer le sens physique. Très riche, ce sujet s'efforce de faire la synthèse des attentes de l'X et des ENS. Il était ainsi peu probable qu'un candidat parvienne à le traiter entièrement sans jamais être mis en difficulté. Indications Partie II II.1 Pour distinguer les ondes circulaires gauche et droite, on peut s'aider de la section III.1 qui décrit une onde circulaire gauche (l'indice est ng ). Attention toutefois au changement de signe entre i et 1/i. II.2 Comparer la somme des deux ondes circulaires de la question précédente à l'onde rectiligne proposée. II.4 Quel est l'effet de la réflexion sur les polarisations circulaires droite et gauche ? Partie III III.1.3 Attention au signe devant la charge dans l'expression du courant. III.1.4 Il faut utiliser les quatre équations de Maxwell pour une distribution de cou rant - baignant dans le vide et un champ électrique transverse. III.1.6 Comment l'expression de l'onde circulaire droite diffère-t-elle de celle circulaire gauche ? En déduire rapidement la façon dont les différents calculs avec l'onde circulaire gauche sont affectés. III.2.2 Du point de vue de l'onde, comment est altéré le champ magnétique lors de la réflexion ? Comment en tenir compte dans la théorie ? Quelle est la conséquence sur l'angle ? III.2.3 Le champ magnétique créé par un solénoïde infini a pour amplitude B0 = µ0 nI Partie IV IV.1.2 Intégrer l'équation de Maxwell-Faraday sur un disque orienté de rayon r et de normale +- ez , situé à l'altitude z. IV.1.3 Utiliser le théorème de la puissance mécanique. IV.1.5 Comment changer l'équation de la première hélice en celle de la seconde ? IV.1.6 Il faut faire une moyenne sur l'ensemble des orientations possibles de l'hélice, la direction du champ magnétique étant fixée. Or, la direction de l'hélice se caractérise par deux angles, dont un est celui défini par l'énoncé. IV.1.7 Reprendre rapidement la démarche précédente en adaptant l'expression du travail du champ électrique. IV.1.8 Réduire au maximum le problème par symétrie entre les deux hélices avant de calculer le moment. Partie V V.1.1 Avant de pouvoir faire l'application numérique, il faut linéariser les relations de Descartes en faisant apparaître le décalage angulaire. V.2.2 On donne ln 10 2. Activité Optique I. Introduction I.1 Pour obtenir une lumière quasi monochromatique, on peut utiliser une source laser ou une lampe spectrale dont on isole une raie d'émission à l'aide de filtres. Pour polariser rectilignement la lumière issue de la source choisie, on interpose sur son trajet un film dichroïque (également appelé « polariseur »). Signalons que certains lasers sont naturellement polarisés rectilignement. Un film dichroïque est un matériau qui est conducteur dans une seule direction. Lorsqu'une une onde électromagnétique dont le champ électrique est aligné avec cette direction arrive sur le film, ce dernier se comporte comme un conducteur réel produisant deux effets sur l'onde : une partie de l'onde est réfléchie tandis que l'autre partie est absorbée (plus précisément, elle engendre un courant qui est dissipé par effet Joule). Si le film dichroïque est suffisamment épais (plus épais que l'épaisseur de peau), il n'y a pas d'onde transmise. En revanche, si le champ électrique est orthogonal au dichroïque, le film se comporte comme un milieu diélectrique : une partie de l'onde est transmise et l'autre est réfléchie. Cette anisotropie de la conduction est à rapprocher de l'anisotropie de la réponse diélectrique responsable de la biréfringence linéaire (à distinguer de la biréfringence circulaire étudiée ici). I.2 En l'absence du milieu optiquement actif, on interpose sur le trajet de la lumière polarisée un film dichroïque ­ l'analyseur ­ que l'on dispose orthogonalement à la direction de propagation, ainsi qu'un écran sur lequel on récupère la lumière issue de l'analyseur. On oriente alors l'analyseur jusqu'à éteindre complètement l'onde : l'écran ne reçoit aucune lumière. Entre la source polarisée et l'analyseur, on interpose le milieu optiquement actif. Si la polarisation a été affectée, l'écran est de nouveau éclairé. On tourne l'analyseur en essayant d'éteindre de nouveau l'onde. Si l'on y parvient alors la polarisation de l'onde a tourné d'un angle égal à celui dont il a fallu tourner l'analyseur pour retrouver l'extinction. Si on ne parvient pas à retrouver l'extinction, c'est que la polarisation n'est plus rectiligne. Cela suggère un phénomène de biréfringence linéaire qui transforme une polarisation rectiligne en une polarisation elliptique. II. Théorie de Fresnel : notion de biréfringence circulaire II.1 Considérons les différents cas proposés : - · E 0 (E0x , E0y , 0) : les deux composantes sont en phase donc l'onde est polarisée rectilignement ; - · E 0 (E0x , E0y , 0) : c'est l'écriture la plus générale d'une polarisation donc l'onde est polarisée elliptiquement ; - · E 0 (E0 , iE0 , 0) : les deux composantes ont même amplitude et la composante suivant y est en retard de /2 donc l'onde est circulaire gauche ; - · E 0 (E0 , -iE0 , 0) : les deux composantes ont même amplitude et la composante suivant y est en avance de /2 donc l'onde est circulaire droite. Identifier qu'une polarisation est circulaire est simple : les deux composantes ont même amplitude et elles sont déphasées de /2. En revanche, distinguer la polarisation gauche de la polarisation droite est problématique car soumis à plusieurs conventions. En premier lieu, il y a le sens du vecteur d'onde par rapport au plan (xOy). Les réponses données ici correspondent au cas où le vecteur d'onde est suivant +- ez . S'il était suivant -- ez , les polarisations seraient échangées. Cela intervient dans les questions II.4 et III.2.2. En second lieu, il y a le signe de l'exponentielle portant l'information temporelle. Ici, un facteur i correspond à un retard de /2 parce que le préfacteur est en exp(-it). Si c'était exp(+it), le facteur i correspondrait à une avance de /2 et, à nouveau, les deux polarisations circulaires seraient échangées. La définition donne que, lorsqu'une onde polarisée circulaire gauche se déplace vers l'observateur, celui-ci voit le champ électrique tourner dans le - sens trigonométrique (lorsque E passe par la verticale haute, elle part vers la gauche). Ici, on peut vérifier par le calcul que cela correspond aux résultats annoncés. Par ailleurs, on peut noter que cela est en accord avec l'expression de la polarisation circulaire gauche donnée au début de la partie III.1. II.2 Pour décomposer l'O.P.P.H polarisée rectilignement (E0 , 0, 0) avec E0 réel, il suffit d'écrire - E0 E0 - - E0 E0 E 0 (E0 , 0, 0) = E g ,i ,0 + Ed , -i , 0 2 2 2 2 II.3 On a directement ng = n0 - n et nd = n0 + n Du fait de la propagation dans le milieu entre z = 0 et z = , l'onde circulaire gauche acquiert la phase g = k g = ng c tandis que l'onde circulaire droite acquiert d = k d = nd c