X Physique 2 PC 2009

Thème de l'épreuve Deux phénomènes d'hystérésis
Principaux outils utilisés oscillateur amorti, réflexion/transmission à une interface
Mots clefs hystérésis, non linéaire, microscope à force atomique, coefficient de transmission, coefficient de réflexion, laser

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2009 FILIÈRE PC DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. Deux phénomènes d'hystérésis Soient une grandeur cause notée C et une grandeur effet notée E. Il y a hystérésis lorsque la courbe E = f(C) obtenue à la croissance de C ne se superpose pas avec la courbe E = f(C) obtenue à la décroissance de C. Ce problème propose d'étudier deux exemples de systèmes physiques présentant un phénomène d'hystérésis. Formulaire : Sous des hypothèses de régularité appropriées, une fonction périodique f (x), de période 2, peut être développée en série de Fourier : X X 1 f (x) = a0 + bn sin(nx) avec an cos(nx) + 2 n=1 n=1 1 a0 = Z + - f (x)dx, 1 an = Z + f (x) cos(nx)dx, - 1 bn = Z + f (x) sin(nx)dx - I. Courbes approche-retrait en microscopie à force atomique Le Microscope à Force Atomique est un palpeur local et ultra-sensible de force. Son principe est le suivant : une pointe fine, métallique ou isolante, se trouve à l'extrémité d'un bras de levier souple qui fait office de ressort. L'autre extrémité de ce bras est fixe. L'extrémité du bras portant la pointe est approchée de la surface, à étudier et interagit avec cette dernière. La force qui s'exerce entre la pointe et la surface provoque, en chaque point, une déflexion du bras, que l'on détermine à partir de la réflexion d'un faisceau laser. Dans le fonctionnement dit en mode résonant, la pointe est excitée par une force périodique de fréquence proche de la fréquence de résonance du système bras-pointe. L'interaction pointesurface perturbe le système, ce qui entraîne une variation de l'amplitude de vibration. L'ordre de grandeur de l'amplitude vibratoire peut varier dans de grandes proportions, de quelques dixièmes à quelques dizaines de nanomètres. La mesure de cette amplitude vibratoire lorsque la pointe balaye la surface donne accès à la topographie de la surface étudiée. À l'aide de céramiques piézoélectriques, le déplacement de la sonde au-dessus de la surface s'effectue avec une précision de l'ordre du nanomètre dans les trois directions de l'espace. 1 Figure 1. Schéma d'une sonde ; à gauche au repos, à droite en flexion À titre d'information, les dimensions caractéristiques d'un levier sont : longueur de 100 à 200 µm, largeur de 20 à 30 µm et épaisseur de 1 à 5 µm. La pointe est conique, d'une hauteur de 5 à 20 µm ; l'angle d'ouverture du cône est de 20 degrés et le rayon de courbure de l'extrémité de l'ordre de 20 nm ; l'aire en regard de la surface à étudier est ainsi d'une centaine de nm2 . On suppose que le mouvement de la pointe s'effectue selon la direction verticale. Sa position est repérée par son altitude z(z > 0) à partir de la surface ; on note d la distance séparant la pointe de la surface lorsque la sonde est à l'équilibre en l'absence de forces externes. I.1 Mouvement de la sonde loin de la surface Loin de la surface, la sonde est modélisée par un oscillateur mécanique constitué d'une masse ponctuelle m soumise : ­ à une force de rappel élastique -k(z - d) avec k > 0, ­ à un amortissement représenté par une force de frottement visqueux -z, avec > 0, ­ à une force d'excitation selon Oz, sinusoïdale, fz = f0 cos t. I.1.1 Écrire l'équation du mouvement régissant le mouvement de cet oscillateur. Dans la suite, on pose 02 = k , m Q= m0 , am = Qf0 . et u = 2 0 m0 I.I.2 Déterminer les dimensions de Q, am et u. I.1.3 En régime sinusoïdal permanent, la solution est de la forme z(t) = d + a cos(t + ), avec a réel positif. Déterminer l'amplitude a() ; l'exprimer en fonction de am , Q et u. Comment évolue le graphe de a() en fonction de Q ? I.1.4 Calculer la fréquence propre 0 = 0 /2 pour m = 5 × 10-11 kg et k = 20 N · m-1 . Les valeurs typiques de Q sont de quelques centaines. On prendra Q = 400. Toute l'étude qui suit s'effectuant au voisinage de la résonance, on utilisera dans ce cas l'approximation : am a() » . 1 + Q2 (1 - u2 )2 I.2 Réponse près de la surface Lorsque la sonde est rapprochée de la surface, elle est soumise à une force additionnelle verticale. Essentiellement due aux interactions de Van der Waals, elle est attractive et donnée 2 K par F (z) = - 2 où Kest une constante positive qui dépend de la taille de la pointe et des z matériaux en présence. En effectuant l'hypothèse d'oscillations de faible amplitude, on adopte pour F (z) la forme approchée suivante : F (z) = A + B(z - d) + C(z - d)2 + D(z - d)3 (1) I.2.1 Expliciter les quatre coefficients du développement à l'aide de F (z) et de ses dérivées. On étudie tout d'abord l'effet des deux premiers termes de l'expression (1) et l'on effectue le changement de variable Z = z - d. I.2.2 Écrire l'équation différentielle régissant le mouvement de la pointe. I.2.3 Quel est l'effet du terme A sur les oscillations forcées de la sonde ? Calculer l'amplitude de cet effet en fonction de K, k et d. L'évaluer numériquement pour d = 15 nm et K = 5 × 10-28 N · m2 . I.2.4 Sur quelle caractéristique de l'oscillateur influe le terme B ? Évaluer numériquement cet effet avec les données précédentes. I.2.5 Pour des amplitudes d'oscillation plus importantes, les termes non linéaires C(z -d)2 et D(z -d)3 de l'expression (1) ne sont plus négligeables. Mais, étant donné les valeurs élevées de Q, au voisinage de la résonance, l'oscillation forcée reste pratiquement sinusoïdale à la pulsation de la force excitatrice, soit Z(t) = a cos(t + ). Montrer que ces termes non linéaires entrainent l'apparition d'harmoniques à des fréquences différentes de ; préciser ces fréquences. I.3 Réponse non linéaire (fortes amplitudes) On effectue maintenant une expérience d'approche-retrait : la pointe en vibration est rapprochée, puis éloignée de la surface. Les déplacements sont supposés être verticaux. On observe ainsi l'influence croissante, puis décroissante, des forces de surface d'un échantillon et l'on utilise ces données pour discerner les diverses contributions des forces en présence, selon leur dépendance avec la distance. Dans ces expériences, l'amplitude d'oscillation est importante et la pointe s'approche très près de la surface. La forme approchée (1) n'est plus utilisable et il est nécessaire de prendre en K compte l'expression "exacte" de la force d'interaction pointe-surface, soit F (z) = - 2 . z I.3.1 Écrire l'équation du mouvement de la pointe avec cette expression. I.3.2 À d fixé, l'expérience montre que le mouvement de l'oscillateur demeure pratiquement harmonique, soit Z(t) a cos(t + ). Avec z = d + Z(t), la force F (z) est périodique en = (t + ) et décomposable en série de Fourier. On admettra que le terme fondamental en joue un rôle prédominant. Expliciter ce terme à l'aide de K, d et a. On donne : Pour 0 b < 1, 1 2 Z + - cos b . d = - 2 (1 + b cos ) (1 - b2 )3/2 3 m0 Qf0 k ,Q= , am = , et u = 2 m 0 m0 montrer que l'amplitude a et la distance d sont reliées, pour u fixé, par : I.3.3 En utilisant comme en I.1.1 les notations 02 = 2 a ® i2 1 2K + u2 Q 1-u - k (d2 - a2 )3/2 2 h 2 I.3.4 On introduit les variables adimensionnées : a = Montrer que d~ s'exprime en fonction de a selon : d~2 = a2 + Dans toute la suite, on remplacera Q(1 - » ± 2/3 » 1/a2 - u2 1/a2 - u2 par I.3.5 Calculer numériquement Q K = 5 × 10-28 N · m2 , k = 20 N · m-1 , = a2m . a d 2K avec a 1, d~ = et = 3 . am am kam Q u2 ) ´ » (2) 1/a2 - 1. avec les valeurs données précédemment Q = 400 et en prenant am = 13, 5 nm. soit Dans toute la suite, on prendra (Q)2/3 = 0, 04. Figure 2. Courbes expérimentales d'approche-retrait pour = 0 . Elles sont pratiquement confondues La figure 2 montre une courbe d'approche-retrait, la pointe étant excitée à sa pulsation de résonance libre = 0 , soit u = 1. L'expression (2) se met alors sous la forme : d~2 = a2 + 0, 04 (1/a2 - 1)1/3 (3) I.3.6 Montrer que d~ est une fonction croissante de a. Préciser les valeurs limites de a pour ~ d 0 et d~ . I.3.7 Calculer la valeur de d~ pour a = 0, 95 ainsi que l'écart (d~ - a). I.3.8 Le calcul numérique montre que (d~ - a) reste inférieur à 0,04 pour 0,2 < d~ < 0, 99. ~ à l'aide de deux Déduire de ces résultats que l'on peut modéliser simplement le graphe de a(d) portions de droites et en donner le tracé. Comment se compare-t-il au résultat expérimental de la figure 2 ? 4 Figure 3. Courbes expérimentales d'approche-retrait pour < 0 . Approche : d décroissant régulièrement ; Retrait : d croissant régulièrement Comme le montre la figure 3, dans certaines conditions expérimentales, les courbes approcheretrait présentent de l'hystérésis. Des sauts brusques de l'amplitude se produisent à des distances d différentes lors de l'approche et lors du retrait. L'excitation s'effectue alors à une fréquence très légèrement inférieure à celle de résonance libre, < 0 soit u < 1. I.3.9 On choisit u pour avoir Q(1 - u2 ) = 0, 9 ; calculer la valeur de u. ~ comme celui de d(a), ~ I.3.10 Le graphe de a(d), comporte deux branches, les branches et associées respectivement aux signes + et - du dénominateur du crochet de (2). Pour quelle valeur de a ces deux branches se rejoignent-elles ? Quelle est la valeur de d~ correspondante ? ~ I.3.11 Montrer que la branche correspond à une fonction d(a) monotone croissante. La ~ peut être modélisé situation est analogue à celle analysée en question I.3.8 ; le graphe de a(d) simplement par un segment de droite que l'on précisera. ~ I.3.12 Pour la branche , calculer la valeur de a correspondant aux grandes distances d. ~ ~ Calculer la valeur d1 de d correspondant à a = 0, 75. En déduire l'allure du graphe de cette branche pour d~ > d~1 . I.3.13 Pour a > 0, 75, le graphe de la branche est donné en figure 4. Rassembler sur un même dessin les graphes des deux branches. À l'aide de ce dessin, comment interprétez-vous le résultat expérimental de la figure 3 et l'hystérésis qui s'y manifeste ? Figure 4. Branche ; graphe pour a > 0, 75 5 II. Réflexion à la surface d'un dioptre plan Deux milieux diélectriques transparents, d'indices n1 et n2 , sont séparés par le dioptre plan xOy, le milieu d'indice n1 correspondant à z < 0 (figure 5). Une onde électromagnétique plane monochromatique de pulsation , de champ électrique ~ Ei = Ei0 cos(t - ~ki · ~r)~ey , arrive sous l'angle d'incidence 1 , (0 < 1 < /2) sur le dioptre, xOz étant le plan d'incidence. Elle donne lieu à une onde réfléchie, se propageant dans le ~ r = E 0 cos(t - ~kr · ~r)~ey et à une onde transmilieu d'indice n1 , de champ électrique E r ~ t = Et0 cos(t - ~kt · ~r)~ey , avec les mise dans le milieu d'indice n2 , de champ électrique E angles respectivement de réflexion 1 et de réfraction 2 (0 < 1 < /2 et 0 < 2 < /2). Figure 5. Les coefficients de réflexion r et de transmission t pour les amplitudes sont donnés par : r= Er0 sin(2 - 1 ) ; = 0 Ei sin(2 + 1 ) t= Et0 2 cos 1 sin 2 . = 0 Ei sin(2 + 1 ) L'intensité énergétique moyenne d'une onde électromagnétique monochromatique de champ ~ = E 0 cos(t - ~kt · ~r)~ey , se propageant dans un milieu non absorbant d'indice n, est électrique E 1 donnée par I = 0 cn(E 0 )2 . 2 II.1 Réflexion ­ transmission en incidence rasante Dans toute la partie II , l'indice n2 reste très proche de l'indice n1 . De plus l'incidence est quasi rasante et on pose 1 = - 1 avec 0 < 1 /2. On pose de même 2 = - 2 2 2 avec 0 < 2 /2 lorsqu'il y a transmission. II.1.1 Montrer que dans ces conditions r = avec t = 1 + r. II.1.2 Exprimer de même le rapport Et0 1 - 2 21 Er0 et t = 0 0 1 + 2 1 + 2 Ei Ei It en fonction de 1 et 2 , en tenant compte de n2 n1 . Ii II.2 Réflexion­transmission en régime non linéaire On considère dorénavant que le milieu 2 est optiquement non linéaire : l'indice n2 y dépend de l'intensité. On pose n2 (It ) = n2 (0) + It = n1 - + It, ce qui définit les constantes positives et . On suppose , It n1 , de sorte que n2 reste toujours peu différent de n1 . 6 II.2.1 On suppose d'abord l'intensité It faible, n2 n2 (0) = n1 - . Déterminer en fonction de n1 et l'angle d'incidence limite c tel qu'il existe une onde transmise pour 1 c . II.2.2 On suppose maintenant 0 < 1 < c mais avec l'intensité It suffisamment forte pour avoir n2 > n1 . Pour une incidence 1 donnée, quelle est la valeur minimale de Ii / pour qu'il y ait transmission d'une onde dans le milieu d'indice n2 ? Expliciter cette valeur en fonction de 1 et c . Calculer cette valeur minimale pour 1 1 1 1 1 1 = , = et = . c 4 c 2 2 2 c II.2.3 Exprimer n2 en fonction de n1 , , 1 , 2 , et Ii . II.2.4 Toujours pour n2 > n1 , déduire de la loi de Descartes pour la réfraction la relation liant 1 et 2 et montrer qu'à l'ordre le plus bas en 1 et 2 , cette relation prend la forme : h Ii 4r 1 2 i 1 1 - . = (1 + r)2 (1 + r)2 c I i pour 0 r 1 et dans chacun des cas II.2.5 Tracer l'allure de la courbe r = f 1 1 1 1 1 1 suivants : = , = et = . c 4 c c 2 2 2 Ii et de n2 lorsque r = 0 ? Que se passe-t-il alors physiII.2.6 Quelles sont les valeurs de quement ? II.3 Onde évanescente en régime non linéaire On suppose maintenant que l'inégalité n1 > n2 est satisfaite, et on se place dans la situation où 0 < 1 c (angle d'incidence supérieur à l'angle limite). C'est la situation de réflexion totale en optique géométrique. La conservation des champs électrique et magnétique au passage du dioptre implique cependant qu'il existe une onde électromagnétique dans le milieu d'indice n2 . ~ t = Et0 e-z cos(t - x + )~ey avec : Le champ électrique est donné par : E = » 2 2 n1 sin 1 - n22 c et E 0 2 t Ei0 = 4n21 cos2 1 . n21 - n22 II.3.1 On considère l'interface verre/CS2 . L'indice du verre est n1 = 1, 63 ; celui du CS2 est n2 = n1 - , avec = 1, 0 × 10-3 . Calculer la valeur numérique de la profondeur de pénétration -1 de l'onde électromagnétique transmise pour un angle d'incidence 1 = 88, 6 et pour une longueur d'onde de 694 nm (laser à rubis). II.3.2 On tient compte à présent des effets optiques non linéaires dans CS2 . On se place toujours en incidence quasi-rasante : 1 = - 1 et 0 < 1 /2, mais avec It suffisamment 2 faible pour avoir n2 < n1 donc réflexion totale. On pose toujours n2 (It ) = n1 - + It , où It correspond au champ près du dioptre, soit Et0 . 7 Montrer que It vérifie l'équation du second degré : It2 - 2n1 21 It + Ii = 0 . II.3.3 Que se passe-t-il physiquement lorsque Ii > Iic , où Iic = 1 c 2 ? 16 1 1 1 Ii = . Tracer le graphe r = f ( ) lorsque Ii croît de 0 à Iic . c 4 En reprenant les résultats des questions II.2.5 et II.2.6, tracer sur le même dessin la courbe Ii r = f ( ) lorsque Ii décroît de Iic à 0. 1 1 1 1 = et = ? Comment ces courbes sont-elles modifiées pour c c 2 2 2 II.3.4 On fixe la valeur II.3.5 Le coefficient pour CS2 vaut 3×10-14 W-1 ·cm2 . Calculer Iic pour 1 1 = . Comment c 4 peut-on obtenir une telle intensité ? II.3.6 La figure 6 représente la variation du coefficient de réflexion en intensité R = |r|2 de l'interface verre-CS2 en fonction de l'intensité incidente, exprimée en unités arbitraires. Les points noirs sont obtenus en augmentant l'intensité incidente, les cercles ouverts en la diminuant. Commenter cette courbe. Quelle application de ce phénomène peut-on envisager ? Figure 6. Coefficient de réflexion fonction de l'intensité 8

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 X Physique 2 PC 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (ENS Ulm) ; il a été relu par Julien Dumont (Professeur en CPGE) et Rémy Hervé (Professeur agrégé en école d'ingénieur). Composé de deux parties entièrement indépendantes, ce sujet traite de phénomènes d'hystérésis observés d'une part dans un microscope à force atomique, d'autre part à l'interface entre deux lames transparentes éclairées par un faisceau laser de forte puissance. · La première partie débute par l'étude de la pointe du microscope, modélisée par un oscillateur amorti. Cette pointe est alors soumise à des forces de Van der Waals, dont on étudie l'effet sur les grandeurs caractéristiques de l'oscillateur en se limitant, tout d'abord, à un développement de Taylor de la force au voisinage de la position d'équilibre. Revenant à l'expression de la force sous sa forme générale, on aboutit à l'étude de deux courbes expérimentales obtenues en approchant ou en éloignant le résonateur de la surface. Ces courbes diffèrent par la présence d'un cycle hystérésis sur la seconde, que l'on s'efforce d'expliquer théoriquement. Cette partie peut être abordée dès la première année, comme application du chapitre sur l'oscillateur amorti. · Dans la seconde partie, on commence par linéariser les expressions des coefficients de transmission et de réflexion pour une incidence rasante sur la lame. L'indice optique de la lame dépend de l'intensité du faisceau laser, ce qui conduit à l'étude de la transmission de l'onde dans ce cas. On montre que pour une intensité suffisamment élevée, le milieu, qui devrait être complètement opaque si l'indice optique était indépendant de l'intensité, peut en réalité laisser passer une partie de la lumière incidente et on observe le phénomène d'hystérésis. Nécessitant peu de connaissances issues du cours, cette épreuve mêle des applications numériques faciles à des calculs qui, bien que courts ou peu techniques, sont souvent subtils et testent efficacement les capacités d'analyse du candidat. Elle requiert également un bon sens physique pour comparer courbes expérimentales et résultats théoriques. Ce sujet peut être traité par les élèves de toutes les filières et contribuera à nourrir leur culture scientifique. Indications Partie I I.1.3 Utiliser la notation complexe. I.2.3 Montrer que la position d'équilibre du système est modifiée. I.2.4 Montrer que la raideur effective de la tige est modifiée. I.2.5 Utiliser cos 2a = 1 - 2 cos2 a pour réécrire cos2 (t + ) et cos3 (t + ). I.3.3 Procéder comme à la question I.1.3. I.3.6 Dériver de2 par rapport à e a. Seul le second terme de l'expression de de2 peut tendre vers l'infini. I.3.10 Traduire le fait que de donnée par la branche est égale à de donnée par la branche . I.3.11 Procéder comme à la question I.3.6, puis évaluer |de - e a| pour vérifier que |de - e a| < 0,04. I.3.12 Seul le second terme de l'expression de de2 peut tendre vers l'infini. I.3.13 Raisonner graphiquement en faisant croître puis décroître de; lorsqu'une branche ne permet plus à de d'augmenter (ou diminuer), le système bascule sur l'autre branche. Partie II II.1.1 Remplacer 1 et 2 par 1 et 2 , puis linéariser. II.1.2 Utiliser l'expression fournie pour exprimer les intensités en fonction des indices optiques et des amplitudes des champs. Utiliser ensuite t. II.2.1 Utiliser la loi de Descartes pour la réfraction. II.2.2 Utiliser la loi de Descartes. Se placer dans le cas de l'incidence rasante (2 = 0). Justifier que l'on a alors It = 4 Ii . II.2.3 Relier It et Ii . Utiliser la loi fournie reliant n1 et n2 . II.2.4 Développer la loi de Descartes à l'ordre 2 et tenir compte de 1 , 2 1 et /n1 , It /n1 1 Exprimer 4 r/t2 en fonction des i . II.2.5 Utiliser la symétrie par rapport à la première bissectrice. II.3.2 Utiliser la formule fournie dans cette sous-partie reliant les amplitudes des champs incidents et transmis et faire apparaître les intensités. II.3.3 Dans cette sous-partie, prendre garde que It n'est pas l'intensité transmise. I. Courbes approche-retrait en microscopie à force atomique I.1.1 Appliquons le théorème de la résultante dynamique à l'oscillateur dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen, en projection sur l'axe - ez ; il vient m z = -k (z - d) - z + f0 cos t Ainsi, z + Ce qui se réécrit z + k f0 z + (z - d) = cos t m m m 0 am 0 2 z + 0 2 (z - d) = cos t Q Q I.1.2 Puisqu'il est le rapport de deux pulsations, u est sans dimension. De plus, - dz/dt a la dimension d'une force donc [] = [F] T/L = M/T ; ainsi [0 /] = M-1 et Q est sans dimension. Enfin, f0 M L T-2 = =L 2 m 0 M T-2 Par conséquent, am est homogène à une longueur. I.1.3 Puisque l'on se place en régime sinusoïdal forcé, utilisons la notation complexe et posons z = d + a ei(t+) et remplaçons cos t par eit ; l'équation obtenue à la question I.1.1 devient alors 0 i am 0 2 - 2 a ei + i a e + 0 2 a ei = Q Q Puis, a ei = dont le module est 0 2 am 0 2 /Q am = - 2 + i 0 /Q Q (1 - u2 ) + i u am a() = p 2 Q (1 - u2 )2 + u2 (car a > 0) On peut être surpris de l'approximation faite par l'énoncé puisque, si l'on pose u = 1 + , le premier terme d'ordre non nul est d'ordre 1 pour u2 (u2 1 + 2 ) et le premier terme d'ordre non nul est d'ordre 2 pour (1 - u2 )2 ((1-u2 )2 4 2 ). Mais l'énoncé précise que Q est grand. Ainsi, si l'on suppose que Q est d'ordre inférieur ou égal à -1 en , le terme Q2 (1-u2 )2 est d'ordre inférieur ou égal à 0 et alors on peut prendre u2 1. On sait que Plus Q est grand, plus le pic autour de la résonance est fin et plus la pulsation de résonance est proche de 0 . Rappelons que la pulsation de résonance de l'oscillateur amorti et la largeur du pic de résonance vérifient r 1 1 p = 0 1 - et = 2 1 - 4 Q2 2 2Q Q Ainsi, se rapproche de 0 et de zéro lorsque Q croît. I.1.4 La fréquence propre est alors 1 0 = 2 r k = 100 kHz m I.2.1 Écrivons un développement de Taylor de F, à l'ordre 3, autour de z = d : F(z) = F(d + (z - d)) (z - d)2 (z - d)3 + F (d) 2 6 L'expression fournie permet de calculer les dérivées de F : K 2K 3K 4K F(z) = - 2 + 3 (z - d) - 4 (z - d)2 + 5 (z - d)3 d d d d = F(d) + F (d) (z - d) + F (d) d'où A=- K d2 , B= 2K d3 , C=- 3K d4 et D = 4K d5 I.2.2 En se limitant à l'ordre 1 en z - d, F s'écrit F(z) = A + B (z - d) Ajoutons cette force dans l'expression établie à la question I.1.1 : z + 0 A B am 0 2 z + 0 2 (z - d) = + (z - d) + cos t Q m m Q Injectons Z = z - d ; puisque Z = z et Z = z, on obtient Z + Donc Z + A B am 0 2 0 Z + 0 2 Z = + Z+ cos t Q m m Q 0 B A am 0 2 Z + 0 2 - Z= + cos t Q m m Q I.2.3 Éteignons l'excitation (f0 = 0) ; à l'équilibre Z = Z = 0 d'où Zeq = donc Or, Ainsi, A m 0 2 - B A introduit un décalage de la position d'équilibre. A m 0 2 - B Zeq = - =- K/d2 k - 2 K/d3 K/d2 = -1,1.10-4 nm k - 2 K/d3 La position d'équilibre est alors en z = d + A/(m 0 2 - B) < d, ce qui est en accord avec le caractère attractif des forces de Van der Waals. Ce déplacement est toutefois extrêmement faible. Ce déplacement est mesuré à l'aide d'un faisceau laser qui se réfléchit sur un miroir situé à l'extrémité de la tige où la pointe est fixée. Un capteur permet de mesurer le déplacement du spot, dont on déduit celui de la tige.