X Physique 2 PC 2008

Thème de l'épreuve Quelques problèmes de microfluidique pour la réalisation de laboratoires sur puce
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, diffusion de particules, électricité
Mots clefs écoulement de Hagen-Poiseuille, analogie hydraulique-électrique, tension superficielle, nombre de Peclet, microfluidique, pression capillaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 2008

FILIÈRE

PC

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Quelques problèmes de microfluidique pour la réalisation
de « laboratoires sur puce »
Les circuits intégrés ont révolutionné la conception des ordinateurs en 
réduisant considérablement l'espace occupé et le temps de calcul. De la même 
façon, la miniaturisation de
systèmes permettant le contrôle d'écoulements de fluides devrait conduire à une 
automatisation
parallèle et rapide d'une grande variété de réactions chimiques ou de 
manipulations biologiques.
L'objectif de ce que l'on appelle la microfluidique est la réalisation de 
véritables « laboratoires
sur puce ». Mais la mise en mouvement et la manipulation de très petits volumes 
de fluide peut
faire apparaître des phénomènes physiques peu courants à une échelle 
macroscopique.
Le but de ce problème est d'étudier quelques aspects de ces phénomènes. Dans la
partie I, nous nous intéresserons à l'hydrodynamique de l'écoulement d'un ou de 
plusieurs
liquides dans des micro-canaux. La partie II visera à mettre en évidence une 
analogie électrique des canaux ou réseaux de micro-canaux et envisagera deux 
applications pratiques. Dans la
partie III, nous étudierons l'influence de l'écoulement de liquide en 
micro-canal sur la diffusion
d'espèces moléculaires.
Formulaire : Équation de Navier-Stokes d'un fluide newtonien visqueux 
incompressible :
~v
--
--
+ (~v · grad)~v = ~g - grad P + ~v

t
Å

ã

Données numériques :
Masse volumique de l'eau :
Coefficient de viscosité de l'eau :
Coefficient de viscosité de l'huile :
Coefficient de tension superficielle de l'eau :
Pression atmosphérique :
Permittivité du vide :
1

 = 1 × 103 kg · m-3
e = 1 × 10-3 Pa · s
h = 1 × 10-1 Pa · s
 = 7 × 10-2 N · m-1
P0 = 1 × 105 Pa
0 = 8, 85 × 10-12 F · m-1

I. Ecoulement de fluide en micro-canal
I.1 Écoulement sous un gradient de pression constant
Un canal horizontal de section rectangulaire à grand rapport de forme (hauteur 
h 
largeur w) et de longueur L (L  w)) est rempli d'un fluide newtonien. Un 
gradient de pression dans la direction x est généré à l'aide d'un dispositif de 
vases communicants imposant la
différence de pression P entre les extrémités O et x = L du canal (figure 1) .
x
h

z
H
z

h
O

L

x
y

L

o
w

Figure 1 : (gauche) vue en coupe du canal microfluidique avec le système de 
vases
communicants ; (droite) vue en perspective du canal.
I.1.1 Donner la signification physique du terme de gauche et des trois termes 
de droite de
l'équation de Navier-Stokes ?
I.1.2 Donner la définition générale et le sens physique du nombre de Reynolds, 
Re. Préciser, en
justifiant votre réponse, la longueur caractéristique qui intervient ici.
On donne : h = 10 µm, w = 100 µm, L = 1 mm. Estimer Re pour un écoulement d'eau 
à la vitesse
caractéristique V0 = 100 µm · s-1 . Qu'en concluez-vous ?
I.1.3 On considère un écoulement laminaire selon Ox entre deux plaques 
parallèles distantes
de h. Comme w  h, on considère que le champ de vitesses ne dépend pas de y. 
Justifier que
~v = vx (z, t)~ex pour un fluide incompressible.
P
est indépendant de x et l'exprimer
x
à l'aide de P et L. Ecrire l'équation différentielle qui donne vx (z).
I.1.4 On s'intéresse au régime stationnaire. Montrer que

I.1.5 En faisant l'hypothèse de non-glissement aux parois, déterminer le champ 
de vitesse. Exprimer la vitesse maximale Vmax au centre de l'écoulement et la 
vitesse moyenne V0 en fonction
de P .
I.1.6 Montrer que le débit volumique Q dans la section du canal est directement 
relié à P par :
h3 w P
(relation de Hagen-Poiseuille).
Q=
12  L

2

I.1.7 Calculer numériquement P et la différence de niveaux d'eau H à ajuster 
dans le dispositif de vases communicants pour obtenir un écoulement d'eau avec 
un débit Q de 1×10-12 m3 ·s-1
dans un canal de dimensions h = 10 µm, w = 100 µm, L = 1 mm. Qu'en est-il si h 
= 100 µm (en
supposant que la relation de Hagen-Poiseuille reste valable) ? Commenter.
I.2. Ecoulement biphasique
Deux fluides 1 et 2 de viscosités 1 et 2 sont mis en écoulement avec des débits 
Q1 et Q2
dans un canal microfluidique ayant la forme d'une jonction Y (figure 2).
z
1

2
O
y

L
h

x

w

Figure 2 : Vue en perspective du canal en forme de jonction Y. On s'intéresse à 
l'écoulement
dans le canal central, entre les deux zones grisées. L'origine des axes du 
repère cartésien est
prise au centre de la section de raccordement.

On suppose qu'un écoulement stationnaire est établi dans le bras central du 
canal. L'interface
entre les deux fluides est supposée plane et localisée dans le plan d'équation 
y = w/2 (avec
-1 <  < 1). On note P le gradient de pression longitudinal constant appliqué sur la longueur L du canal principal. Comme h  w, on admet que l'écoulement dans chaque fluide satisfait l'équation différentielle obtenue en I.1.4. On néglige donc les effets de bord aux parois et à l'interface entre les deux fluides. On note v1 et v2 les champs de vitesse dans les fluides 1 et 2. I.2.1 Calculer la position  de l'interface en fonction de 1 , 2 , Q1 et Q2 . I.2.2 Le fluide 1 est de l'eau, le fluide 2 est de l'huile. Calculer numériquement  pour Q1 = 50 Q2 . 3 II. Analogie électrique des canaux microfluidiques On considère le micro-canal de la figure 1, empli d'un fluide incompressible. Sa circulation dans le canal présente des analogies avec la circulation du courant électrique dans un conducteur. En particulier la viscosité oppose une résistance à l'écoulement qui est analogue à la résistance d'un conducteur ohmique. II.1. Analogues hydrauliques du courant et de la tension électrique II.1.1 Expliquer pourquoi l'analogue de l'intensité du courant électrique est le flux volumique R - Q = ~v · dS = V0 A, où V0 est la vitesse moyenne de l'écoulement et A la section du canal. II.1.2 Exprimer la puissance mécanique Pm reçue par le fluide en fonction de Q et de la différence de pression appliquée entre l'entrée et la sortie du canal P . En déduire que l'analogue hydrodynamique de la différence de potentiel électrique est la différence de pression P . II.2. Résistance hydraulique. Application au tri de gouttelettes II.2.1 En utilisant la loi de Hagen-Poiseuille (question I.1.6), donner l'expression de la résistance hydraulique Rhd pour un canal rectangulaire de section A = h × w (h  w) en fonction des paramètres du canal et de ceux du fluide. Dans un canal de longueur L et de section h × w, le fluide en écoulement est formé de gouttelettes d'huile dispersées dans l'eau avec une fréquence d'émission régulière. On admet que les gouttelettes d'huile (viscosité h ) et l'eau (viscosité e ) se déplacent dans le canal principal avec la même vitesse moyenne, dans un écoulement laminaire et stationnaire de débit volumique total Q0 . Les gouttes d'huile confinées dans le canal sont assimilables à des parallélépipèdes rectangles de section h × w et de longueur Lg (on néglige les effets de bord dus à la géométrie rectangulaire du canal). Soit  - Lg la distance qu'occupe l'eau entre deux gouttes d'huile (figure 3). Q0 huile eau Lg Figure 3 : Vue en coupe (horizontale) d'un canal microfluidique contenant des gouttelettes d'huile (grises) dispersées dans de l'eau. 12 e II.2.2 On définit le paramètre re = 3 . Que représente physiquement re ? h w II.2.3 Exprimer la chute de pression P sur une longueur L = n de canal contenant n gouttes d'huile en fonction de Q0 , de re et des paramètres des fluides. Simplifier cette expression pour e  h . II.2.4 Le micro-canal précédent est terminé par une bifurcation qui scinde le canal principal en deux bras secondaires de même section et de longueurs respectives L1 et L2 . On note Q0 , Q1 et Q2 les débits volumiques dans les canaux principal et secondaires (figure 4). Quel est l'équivalent électrique de la loi de conservation du débit à la jonction ? Justifier. 4 P0 Q1 w Q0 L1 P0 + P Q2 L2 w P0 Figure 4 : Vue en coupe (horizontale) d'un micro-canal présentant une bifurcation du bras principal en deux bras secondaires. II.2.5 Au temps initial, les canaux 1 et 2 ne sont remplis que d'eau. On admet que les gouttes d'huile suivent systématiquement les lignes de plus grand flux volumique. Si L2 > L1 , vers quel
bras secondaire seront orientées préférentiellement les gouttes d'huile ?
II.2.6 Expliquer qualitativement ce qui se passe lorsqu'un nombre croissant de 
gouttes pénètre
dans un des deux bras secondaires. Montrer qu'une condition pour qu'un tri de 
gouttes sans
faute soit réalisé en régime stationnaire (c'est-à-dire pour que toutes les 
gouttes soient toujours
Lg
e L2 - L1
orientées vers un seul des deux canaux secondaires) est :
6
.

h L1
II.3. Inertance hydraulique
II.3.1 A t = 0, on applique une différence de pression Pi sur un fluide 
incompressible de masse
volumique , au repos à t < 0, confiné dans un micro-canal de section A = h×w et de longueur L. On s'intéresse ici au régime transitoire lié à la mise en mouvement du fluide, avant établissement du régime permanent. On ne prend pas en compte dans cette question les effets dus à la viscosité. a. Exprimer la quantité de mouvement du fluide en fonction de , L et du flux volumique Q(t). dQ et donner l'expression du paramètre Ihd . b. Montrer que : Pi = Ihd dt c. Que représente physiquement Ihd ? Quel est son équivalent électrique ? II.3.2 A t = 0, on applique une différence de pression P = P1 - P2 à un fluide confiné dans un micro-canal de section A = h × w et de longueur L. On tient compte maintenant des effets de viscosité et on adoptera même en régime transitoire la résistance obtenue en II.2.1. a. En raisonnant sur l'analogue électrique, écrire l'équation différentielle qui permet de décrire la dynamique du système. b. Déterminer l'expression du temps caractéristique d'évolution L . c. Calculer numériquement L pour un écoulement d'eau, avec h = 10 µm. Pour des expériences d'une durée typique comprise entre la minute et l'heure, que peut-on en conclure des effets d'inertance ? 5 II.4. Compliance hydraulique Dans un micro-canal l'interface de séparation entre eau et air n'est pas plan. Sa courbure est liée à une chute de pression, dite capillaire, au passage de l'interface. On admet, dans le cas d'un canal de section h × w(h  w), que cette différence de pression capillaire est donnée par 2 Pair - Pliquide = Pcap , où  est appelé coefficient de tension superficielle de l'eau. h II.4.1 On considère le micro-canal de la figure 5. Une goutte d'eau est déposée à l'entrée, dans un réservoir suffisamment large pour que la hauteur du « réservoir » d'eau soit à peine supérieure à la hauteur du canal et que l'interface avec l'air soit quasiment plane. a. Calculer numériquement Pcap avec h = 10 µm. Comparer Pcap à la pression hydrostatique Phyd générée par le réservoir d'eau à l'entrée du canal. Expliquer qualitativement pourquoi l'eau imprègne spontanément le micro-canal. b. c. d. e. On note x(t) la longueur d'eau dans le canal à l'instant t. Entre la surface quasi-immobile du réservoir et l'entrée du micro-canal, on peut négliger les effets de viscosité et de pesanteur. En utilisant la relation de Bernoulli, exprimer la différence entre la pression P0 à la surface du réservoir et la pression PA à l'entrée du micro-canal à l'aide de x(t). On suppose que l'écoulement d'eau est laminaire et stationnaire dès son entrée dans le canal et suit la loi de Hagen-Poiseuille. Exprimer la différence de pression dans le micro-canal entre PA à l'entrée et la pression P0 de l'air après l'interface de droite (figure 5) à l'aide de x, x(t) et des constantes re , A = wh et /h. Déduire de ces deux expressions de PA - P0 , l'équation différentielle que doit satisfaire x(t). ... 2 et Y = x/b avec b = . Montrer que T et Y sont On pose T = t/ avec  = 2re A re A h adimensionnés. Montrer que Y (T ) vérifie l'équation différentielle dY 4 dT Å ã2 + 4Y dY -1=0. dT f. Calculer numériquement  et b. g. Déterminer Y en fonction de T dans la limite Y  1 puis dans la limite Y  1. Dans chacun des cas, on négligera un des termes de l'équation différentielle et on vérifiera la validité de l'approximation effectuée. h. Tracer l'allure du graphe de Y (T ). Pour quelle valeur de T les deux approximations se raccordent-elles ? Quel est le temps caractéristique correspondant. P0 z A Pair = P0 Pliquide x(t) h x L Figure 5 : Vue en coupe (verticale) d'un dispositif microfluidique où une goutte d'eau est déposée dans le réservoir à gauche. 6 II.4.2 Le micro-canal précédent, dont les parois sont imperméables à l'air, est maintenant bouché à son extrémité. Le volume initial d'air dans le canal est V0 = L×w ×h et sa pression P0 . Comme à la question précédente, l'eau commence par imprégner le canal par capillarité. On traite l'air comme un gaz parfait et on suppose son évolution isotherme. dPair et exprimer a. À l'instant t, montrer que le flux volumique Q(t) s'écrit Q(t) = C(Pair ) dt le coefficient C(Pair ) en fonction de la pression Pair de l'air enclos et des données. b. À l'équilibre, quelle sera la pression Peq dans la poche d'air ? Exprimer et calculer numériquement la position relative xeq /L de l'interface moyenne eau-air. c. Quel est l'équivalent électrique de C(Pair ) qu'on appelle plus généralement compliance hydraulique ? Dessiner le circuit électrique équivalent au micro-canal. II.5. Actuateur de fluides diélectriques Les parois du canal précédent, d'épaisseur e, sont recouvertes de deux électrodes (figure 6). En présence d'une différence de potentiel U aux bornes des électrodes, on repère la position de l'interface eau/air, qu'on considère plane, par la distance  par rapport à xeq . Par souci de simplicité, on considère l'épaisseur e comme négligeable. On appelle e et a les permittivités relatives (constantes diélectriques) de l'eau et de l'air. O e eau e xeq air (t) h x U L Figure 6 : Vue en coupe (verticale) d'un canal microfluidique bouché à l'extrémité droite et dont les parois supérieures et inférieures, métallisées sont soumises à une différence de potentiel U . II.5.1 Donner l'expression de la capacité équivalente C du condensateur plan que constitue le micro-canal rempli d'air et de liquide, en négligeant la courbure de l'interface eau/air, en fonction des différentes longueurs du problème et des permittivités relatives. II.5.2 Donner l'expression de l'énergie électrostatique emmagasinée W () en fonction de U et de C. II.5.3 Soit F~el la force électrostatique totale qui agit sur le liquide. A potentiel U fixé, elle est -- donnée par F~el = grad W (). Calculer F~el et préciser sa direction. En déduire la modification de pression Pel qui s'exerce sur l'air du micro-canal. II.5.4 Déterminer eq la nouvelle position d'équilibre de l'interface eau-air en présence de la différence de potentiel U en fonction de L, P0 , Pcap et Pel . Dans l'hypothèse où xeq et eq sont Pel L. petits devant L, montrer que : eq P0 II.5.5 Calculer numériquement eq avec h = 10 µm, L = 1 mm, U = 10 V, e = 80, a = 1. Est-ce un dispositif de déplacement de fluides efficace ? Quelles sont les limitations techniques à l'application d'une tension plus élevée ? 7 III. Microfluidique et diffusion moléculaire III.1. Diffusion de traceurs dans un fluide au repos On considère un micro-canal de section rectangulaire h × w(h  w) et de longueur L  w, contenant un fluide au repos. Le canal est divisé en deux, dans le sens de la longueur dans le plan y = 0 (cf. figure 1) par une paroi imperméable qui sépare d'un côté de l'eau et de l'autre une concentration aqueuse de traceurs moléculaires à la concentration c0 . A t = 0, la paroi est supprimée. III.1.1 Soit D le coefficient de diffusion des traceurs dans l'eau. Écrire l'équation de diffusion donnant la concentration de traceurs c(y, t). Vers quel profil final évolue la concentration ? III.1.2 Par une analyse dimensionnelle, exprimer le temps caractéristique Tw de diffusion des traceurs correspondant à la distance y . Calculer Tw pour y = w/2 avec D = 10-11 m2 · s-1 , w = 100 µm. III.2. Diffusion de traceurs dans un écoulement biphasique En pratique, les deux fluides (de même viscosité) sont injectés dans un micro-canal en Y (figure 2). Comme évoqué dans la partie I, il n'y a pas de mélange par convection, et on admet qu'une interface plane s'établit instantanément à l'entrée du canal rectiligne dans le plan y = 0. Par souci de simplification, on suppose ici que le champ de vitesse dans chaque fluide est identique et uniforme : ~v = v0~ex . III.2.1 En supposant tout d'abord D = 0 (diffusion négligeable), exprimer la densité de courant de convection des traceurs en fonction de c et v0 . III.2.2 stationnaire s'établit. Montrer que l'équation de la diffusion devient : Ç 2 Un 2régime å c c c + 2 = v0 . D 2 x y x III.2.3 On définit le paramètre P e (nombre de Péclet) comme le rapport du temps caractéristique diffusif au temps caractéristique convectif sur une longueur h. Exprimer P e en fonction de v0 , h et D. Calculer numériquement P e avec h = 10 µm, D = 10-11 m2 · s-1 et v0 = 100 µm · s-1 . Quel terme de l'équation de la diffusion peut être négligé ? III.2.4 Par un argument dimensionnel, exprimer la longueur caractéristique y (x) sur laquelle se fait la diffusion des traceurs en fonction de D, v0 et x. III.2.5 La solution de traceurs est colorée. On dispose d'un microscope optique. Expliquer comment on peut utiliser le dispositif précédent pour mesurer le coefficient de diffusion des traceurs. Quels sont les avantages de cette méthode par rapport à une mesure de D dans un fluide au repos comme exposé en III.1. 8

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique 2 PC 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bourgeois (ENS Lyon) ; il a été relu par
Rémy Hervé (Professeur agrégé) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).

Ce sujet présente différents aspects de la microfluidique, qui est une 
thématique de
recherche prometteuse développée ces dernières années. Il s'articule en trois 
parties.
· Tout d'abord, on étudie le champ de vitesse dans un canal rectangulaire de
section micrométrique. On démontre la loi de Hagen-Poiseuille qui est ensuite
utilisée tout au long du sujet. Puis on discute les propriétés d'une jonction
entre deux canaux. Cette partie est largement abordable car les questions sont
directives.
· Dans la deuxième partie, on discute l'analogie entre les canaux 
microfluidiques
et un circuit électrique. On présente successivement un analogue de la 
résistance, de l'inductance et de la capacité, ainsi que quelques applications 
comme
le tri de gouttes ou le contrôle du déplacement d'un fluide. Cette partie est
relativement longue et présente quelques questions difficiles qui nécessitent 
une
bonne compréhension de l'analogie électrique proposée. Elle introduit également 
la notion de pression capillaire.
· Enfin, dans la dernière partie, on traite des effets de diffusion dans des 
microcanaux, en utilisant essentiellement des raisonnements d'ordre de grandeur.
Cette partie, moins difficile que la précédente, est indépendante du reste du
sujet. Il est toujours important de parcourir en entier un énoncé pour pouvoir
traiter en priorité les domaines que l'on maîtrise le mieux.
Ce problème ne présente pas de difficultés calculatoires majeures. En revanche, 
il
faut avoir les idées bien claires sur les cours de mécanique des fluides et de 
diffusion,
pour pouvoir les appliquer dans des situations originales.

Indications
Partie I
I.1.4 Projeter l'équation de Navier-Stokes sur l'axe Ox pour montrer que P/x
est une fonction de z uniquement.
I.1.6 Exprimer le débit volumique en fonction de la vitesse moyenne du fluide
calculée à la question I.1.5.
I.1.7 La surface des réservoirs étant beaucoup plus grande que la section du
canal, la conservation du débit permet de remarquer que leur variation de
hauteur est négligeable. On peut alors appliquer la relation fondamentale
de la statique des fluides.
I.2.1 Appliquer la relation de Hagen-Poiseuille pour chaque fluide.
Partie II
II.1.1 Faire l'analogie entre la vitesse du fluide et le vecteur densité de 
courant
électrique.
II.1.2 Quelles sont les forces que doit exercer un opérateur extérieur pour 
mettre
le fluide en mouvement ?
II.2.3 Quel est l'analogue électrique du système considéré ? En déduire 
l'expression de sa résistance hydraulique.
II.2.6 Comparer l'évolution du débit dans chaque bras quand le nombre de gouttes
dans le bras 1 augmente. Pour obtenir la condition demandée dans l'énoncé,
il faut travailler sur la distance  séparant les gouttes dans le bras 1.
II.3.1.b Effectuer un bilan de quantité de mouvement sur le volume de contrôle
constitué par le canal.
II.3.2.a Penser à la modélisation d'une bobine réelle.
II.4.1.b L'interface avance à la vitesse x. Justifier qu'à l'entrée du canal le 
champ
de vitesse peut être supposé uniforme. Utiliser l'incompressibilité du fluide
pour relier x à la vitesse du point A.
II.4.2.a Montrer que le débit Q s'exprime en fonction du volume d'air par la 
relation
dVair
dt
II.4.1.g Remplacer la condition Y  1 par la condition Y  dY/dT, en vérifiant a
posteriori que la seconde implique la première.
II.5.1 Le système est une association en parallèle de deux condensateurs plans.
II.5.3 Dans quelle direction évolue le fluide ?
Q(t) = -

Partie III
III.2.2 Écrire l'équation de conservation des traceurs pour le courant total, 
et remarquer qu'il est égal à la somme des courants de diffusion et de 
convection.
III.2.3 Dans quelle direction la diffusion et la convection sont-elles en 
compétition ?
III.2.5 Que penser de la durée caractéristique d'une expérience de mesure de D
avec un fluide au repos ?

I. Écoulement de fluide en micro-canal
I.1

Écoulement sous un gradient de pression constant

I.1.1 L'équation de Navier-Stokes

 -
v

-- 
--

-

+ (-
v · grad )-
v = 
g - grad P + -
v

t
est l'expression du principe fondamental de la dynamique pour un fluide 
newtonien
incompressible. Elle contient différents termes :
· à gauche, l'accélération de la particule fluide multipliée par sa densité ;
· à droite, les forces volumiques qui s'exercent sur cette particule fluide, à 
savoir
de gauche à droite respectivement la gravité, la force de pression et le terme 
de
viscosité (force de frottement entre les particules fluides).
L'écriture proposée par l'énoncé est eulérienne : on décrit le mouvement
du fluide par les lignes de champ de vitesse. L'accélération d'une particule
fluide se décompose en deux termes : la dérivée partielle par rapport au temps
en un point donné de l'espace traduit la manière dont varie la vitesse au cours
du temps, le second terme dit terme convectif représente l'accélération que
peut subir une particule fluide du fait de son déplacement dans un champ de
vitesses non uniforme.
On peut également suivre une particule fluide au cours de son mouvement : c'est 
l'approche lagrangienne, basée sur l'étude de la trajectoire.
Les deux approches sont équivalentes et sont liées par l'identité

-- 
D-
v
-
v

=
+ (-
v · grad )-
v
Dt
t

I.1.2 Le nombre de Reynolds est défini comme l'ordre de grandeur du rapport 
entre
le terme convectif et le terme de viscosité
-- 

 k(-
v · grad )-
vk
 U2 2
Re =
=

 U
k-
vk
en introduisant la longueur caractéristique  sur laquelle varie la vitesse 
caractéristique U de l'écoulement. On conclut
Re =

U

Il permet de quantifier l'effet de la viscosité sur l'écoulement : à haut 
nombre de
Reynolds, le terme visqueux est négligeable devant le terme convectif, et 
inversement
à bas Re. On peut alors simplifier l'équation de Navier-Stokes en conséquence.
Pour déterminer la longueur caractéristique à utiliser, on remarque que lorsque 
le
fluide entre dans le canal, une couche limite se développe proches des parois. 
Si ces
dernières sont trop écartées, les couches limites ne se rejoignent pas et 
l'écoulement est

convectif. En revanche, lorsque le canal est étroit, elles se rejoignent et 
l'écoulement
est dominé par la viscosité. Il faut donc utiliser comme longueur 
caractéristique la
hauteur h du canal, qui est la plus petite des différentes longueurs décrivant 
le canal.
Pour l'écoulement considéré, le nombre de Reynolds vérifie finalement
Re =

 V0 h
= 1.10-3  1

On peut donc négliger le terme convectif dans l'équation de Navier-Stokes : 
l'écoulement est laminaire.
I.1.3 D'après l'énoncé, l'écoulement est dirigé suivant Ox et ne dépend pas de 
y.
Le champ de vitesse s'écrit alors

-

v = v (x, z, t)-
e
x

x

On suppose l'écoulement incompressible. L'équation de conservation de la matière
pour le fluide s'écrit alors
vx
vy
vz

div -
v =
+
+
=0
x
y
z
vx
=0
x
Le champ de vitesse ne dépend donc pas de la position x, soit

Il en résulte

-

v = vx (z, t) -
ex
I.1.4 En régime stationnaire, l'équation de Navier-Stokes pour l'écoulement 
laminaire se simplifie en
--

-

0 = -
g - grad P +  -
v
L'énoncé suggère de simplifier le terme de convection dans l'équation de
Navier-Stokes. Pour cette géométrie, on remarque qu'il est en fait toujours nul 
: un écoulement à bas nombre de Reynolds est toujours laminaire,
mais la réciproque est fausse.
Par projection sur l'axe Ox, on obtient, en utilisant le résultat de la 
question I.1.3,
P
 2 vx
+
x
z 2
La vitesse vx ne dépendant que de z, on en déduit que
0=-

P
d2 vx
=
= Cte (z)
x
dz 2
La dérivée partielle de la pression par rapport à x ne dépend pas de x. Par 
intégration
entre les deux extrémités du canal, en notant P = P(0) - P(L), on trouve
P
P
=-
x
L
L'équation différentielle régissant le champ de vitesse vx s'exprime finalement 
par
d2 vx
1 P
=-
2
dz
 L