X Physique 2 PC 2007

Thème de l'épreuve Équilibres thermodynamiques en situations inhomogènes
Principaux outils utilisés thermodynamique, électrostatique, diffusion
Mots clefs macromolécules, constante d'Avogadro, relation d'Einstein, facteur de Boltzmann, relation de Fick, poussée d'Archimède, Structure MOS, dopage, trou, équation de Poisson, diode Varicap, transistor, mobilité

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                    

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2007 FILIÈRE PC DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. *** Équilibres thermodynamiques en situations inhomogènes Dans les systèmes infinis et en l'absence de forces extérieures, l'équilibre thermodynamique correspond, aux fluctuations près, a des phases uniformes. Il n'en va pas de même pour des systèmes présentant des frontières ou pour des systèmes soumis a des forces extérieures. Dans de tels systèmes, l'équilibre thermodynamique résulte de la compensation exacte de divers courants antagonistes de particules. Cette situation est examinée dans la partie I où l'on étudie l'équilibre de macromolécules en solution dans un champ de pesanteur. La partie II est consacrée a une étude simplifiée d'une structure Métal--Oxyde-Semiconducteur et, plus particulièrement, a la distribution d'équilibre des électrons et des trous en présence d'un champ électrostatique, au voisinage de l'interface oxyde-semiconducteur. Charge élémentaire : e = 1,6 >< 10_19 C Constante de Planck : h = 6, 6 >< 10_34 J - s Constante de Boltzmann : kB : 1, 38 >< 10_23 J - K_1 Constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J.K_1 -rnol_1 Permittivité du vide : 50 = (..., 02)_1 = 8, 85 >< 10-12 F - m--1 I. Équilibre thermodynamique et diffusion Cette partie vise a montrer que la diffusion des particules est une composante essentielle de l'équilibre thermodynamique. I.1. On considère un fluide gazeux dans un champ de pesanteur uniforme ÿ' : --gê'z où 52 est le vecteur unitaire de l'axe z orienté suivant la verticale ascendante. À l'équilibre thermodynamique, sa température T est uniforme et sa masse volumique p ne dépend que de l'altitude z. Il sera considéré comme parfait. @) Écrire l'équilibre mécanique d'une tranche d'épaisseur dz et de surface S comprise entre les altitudes z et z + dz. P M -- b) En déduire que la pression du gaz P(z) vérifie la loi : P ((£)) : exp (--%) où M est la masse molaire du fluide et R la constante des gaz parfaits. c) Le fluide est constitué de particules indépendantes de masse m. Déduire de la relation précédente que la densité volumique (nombre par unité de volume) de particules du fluide n(z) a l'altitude z vérifie : mgz) kgT où kB : R/NA est la constante de Boltzmann, N A étant le nombre d'Avogadr0. n(z) : n(0) exp (-- d) En utilisant l'expression du potentiel chimique u(P, T) d'un gaz parfait, montrer que la relation caractérisant l'équilibre dans le champ de pesanteur, a la température T, se traduit par le fait que la quantité u(P, T) + M gz possède la même valeur en tout point du fluide. 1.2. Soit une solution diluée de macromolécules dans un solvant, solution considérée comme idéale. Les macromolécules sont supposées de forme sphérique, de rayon &, de masse m; soit n(z) leur densité volumique supposée ne dépendre que de l'altitude z. Au cours de son mouvement dans le solvant une macromolécule est soumise a divers t es de forces : son oids et les forces 7 d'interaction avec les molécules du solvant (les macromolécules sont suffisamment diluées pour que l'on puisse négliger leurs interactions mutuelles). On admettra que les innombrables chocs entre une macromolécule en mouvement et les molécules du solvant donnent lieu, outre la poussée d'Archimède, a une force de frottement visqueux s'exerçant sur la macromolécule : F : --cmî. On désignera par m' la masse de fluide possédant le même volume qu'une macromolécule. @) Montrer qu'il en résulte pour les macromolécules une vitesse de chute limite @. b) En déduire la densité de courant de macromolécules jg associé aux forces de pesanteur et au frottement visqueux (courant dit << de dérive >>). 1.3. À l'inhomogénéité spatiale de la concentration n(z) de macromolécules est associé un courant de diffusion, soit D le coefficient correspondant. À l'équilibre thermodynamique, il est nécessaire qu'il n'y ait globalement aucun courant de macromolécules. Écrire l'équation différentielle que doit vérifier n(z) et la résoudre. I.4.a) Comment faut--il modifier le résultat de la question Le pour prendre en compte la poussée d'Archimède ? b) Par identification avec la loi n(z) déterminée en 3, obtenir la relation entre les coefficients D et a. 1.5. Pour une sphère de rayon 0. se déplaçant dans un liquide de viscosité 77, le coefficient de frottement visqueux & est donné par : a : 67r77a. Les figures ci--dessous présentent en échelle log--log le résultat des mesures du coefficient de diffusion D pour diverses macromolécules, porté en fonction de leur rayon d'une part et de leur poids moléculaire d'autre part. La modélisation précédente rend--elle bien compte des résultats expérimentaux ? On adoptera la même masse volumique pour toutes les macromolécules organiques. D(mz.s") 10" 10"9 l0--10 ...... H20 urée ribonucléasc hémoglobinc 10 glucose (T = 298 °K) . inuline B--lactoglobulinc 100 a(À) D(ml.s") 10f l0 catalase BSV . Virus 10ÿ ... bactériophage virus mosaïque tabac . 10-- ... . ADN 10' 10° 107 108 M (a) ox 8Si \\\\\ Si02 Si dopé \\\\\\\\\\\ \\\\\ Nv [ l 0 F igure 2. Structure Métal-Oæyde-Semicauducteur Soient e...; et 881 les permittivités diélectriques respectives de l'oxyde et du silicium. Pour les applications numériques7 on prendra : saw/50 : 4 et eSi/eO : 12. Le silicium est dopé uniformément : des atomes << accepteurs >> introduits lors de son élabo-- ration, de densité volumique N... piègent les électrons) constituant alors des charges (--e) flæes de même densité Na et créant autant de trous mobiles (+e). II.1. Distribution de charges dans le silicium loin de l'oxyde. II.1.1 On suppose Na : 1, 0 >< 1023 m_3. Écrire la neutralité électrique au voisinage du point B. En déduire que p(B) : Na. II.1.2 En déduire la densité d'électrons n(B) ; la comparer a Na. Quelle conclusion en tirez-- vous? II.2. Distribution de charges dans le silicium pour VGB < 0. Accumulation. On se place a l'équilibre thermodynamique et électrostatique, et l'on suppose que l'on a polarisé la grille négativement par rapport au silicium a l'aide d'un circuit extérieur. II.2.1 Expliquer pourquoi des charges mobiles +e (les trous) sont attirées au voisinage de l'interface Sl--Sl02. II.2.2 On suppose le champ électrique uniforme dans l'oxyde Sl02 sous la grille en négligeant les effets de bord. Donner l'expression C...; de la capacité par unité de surface de la couche d'oxyde en fonction de d et e..., II.2.3 Une modélisation simple consiste a considérer que les charges déplacées forment une couche surfacique a l'interface z = 0 et que le silicium reste neutre pour z > 0. Quelle est alors la charge électrique QG portée par la grille en fonction de V...; puis de VGB ? On abandonne cette modélisation pour effectuer une étude plus fine. Soit p(z) la densité volumique de trous et çb(z) le potentiel électrostatique dans le silicium. II.2.4 Exprimer la densité volumique de charges p(z) en fonction de p(z), Na et e. II.2.5 La densité de trous est donnée par : p(z) = p(B) exp (fg?) : N, exp (--%)) avec VT = "'BÎT . À la lumière de l'étude effectuée en partie I, commenter cette expression. Préciser le signe algé-- brique de çb(z). Dans un milieu matériel, l'équation de Poisson a 1 dimension, reliant potentiel et densité de charges, s'écrit : @"(Z) = --p(Z)/EUR où &" désigne la permittivité diélectrique du matériau. II.2.6 Écrire l'équation différentielle satisfaite par çb(z). B étant suffisamment loin de l'inter-- face, on admettra que çb' (B) = O. Compte--tenu des conditions aux limites, montrer que @" = --"Ï;VT lexp ("%> + % _ 1l ' II.2.7 Relier la charge totale par unité de surface 625, accumulée dans le silicium au voisinage O iV de l'interface, a çb'(0)- On pose u : _Çb'(/ ) et L2 : ÎNT T a VT, L et u. Quelle est la charge totale QG sur l'électrode G ? ; exprimer alors QS en fonction de 551, II.2.8 On suppose lçb(0)l << VT ; préciser alors le lien entre QG et çb(0) , en déduire la capacité apparente CSi, par unité de surface, de la partie silicium de la structure MOS. Quelle est alors la capacité équivalente de l'ensemble de la structure MOS. II.2.9 Application numérique. On donne VT : 26 mV,Na : 1,0 >< 1023 m_3, d = 40 nm. Calculer C...,, L et C51. Calculer VGB pour u = 1, puis 3 et 5. 11.3. Distribution de charges dans le silicium pour VGB > O. Déplétion. La grille est maintenant polarisée positivement, les charges mobiles (trous) sont alors repous-- sées par le champ et éloignées de l'interface. Dans ce qui suit on suppose qu'au voisinage de l'interface, il n'y a plus aucune charge mobile jusqu'à la cote z : zD , il n'y reste que les charges négatives fixes (--e) (celles qui ont donné naissance aux trous mobiles). Au--delà, pour z > zD, le silicium est neutre. II.3.1 Montrer que le potentiel électrostatique çb(z) dans le silicium est donné par : @(z) -- eN" _2EURS_(z--zp)2 si O 0. Régime d'inversion. II.4.1 On admet que la densité électronique est donnée par : n(z) : n(B) exp (îÏ?) : ÏÎ--'2 exp (%) avec VT : kîT . Commenter cette expression. En quelle valeur de z se situe son maximum ? II.4.2 Pour des valeurs suffisantes de VGB, la densité d'électrons dans le creux de potentiel devient notable; ce sont des électrons mobiles (et non des trous, d'où le nom d'inversion donné a cette situation) et le silicium y devient conducteur. On adopte comme critère d'inversion que la densité électronique a l'interface, n(0+), soit égale a la densité d'accepteurs Na. @) On suppose que cette densité électronique influe peu sur l'allure du potentiel et on continue d'adopter pour çb(z) l'expression obtenue en 3.1. Déterminer alors la valeur çb5 de çb(0) qui correspond a ce seuil, en fonction de VT, Na et n,. (9) Déterminer la valeur correspondante zS de la largeur zD de la zone de déplétion. 0) Calculer numériquement çbg et zS pour Na : 1,0 >< 1023 m_3. On donne VT : 26 mV a T = 300 K. d) Calculer la valeur V5 de VGB correspondante (tension << seuil >>). II.4.3 Pour VGB > V5, l'expérience montre que la zone de déplétion n'augmente que très peu. On adopte le modèle suivant : çb(0) et zD gardent respectivement leurs valeurs çb5 et @, la couche d'électrons est considérée comme surfacique en z = 0 avec la densité de charge --qS avec qS > 0. a.) Exprimer (18 en fonction de 0033, VGB et V5. 19) Quelle est alors la valeur de CMOS ? II.5 Courant transversal dans une structure MOS. La structure MOS est complétée par deux électrodes semblables implantées sur deux zones dopées où, par construction, les porteurs de charge mobiles sont des électrons. L'une S est appelée << source >>, l'autre D est appelée << drain >>. Elles effectuent le contact électrique avec la couche électronique apparaissant a l'interface lorsque VGB > VS (figure 3). Si02 Source (11) Drain (11) Si dop é(p) Figure 3. Structure finale Une ddp VSD est appliquée entre ces deux électrodes créant un champ électrique transverse ÊSD : Eoeë'æ. On limite l'étude au cas lV5pl << VGB , dans ces conditions le champ régnant dans l'oxyde, en particulier au voisinage de l'interface, demeure sensiblement uniforme et on adoptera les résultats de l'étude précédente. II.5.1 Soit ,umOb la mobilité des électrons de la couche reliant leur vitesse de déplacement au champ, soit ua, : --umobEoe avec Nmob > 0. On désigne par W la largeur (en y) de la couche. Donner l'expression du courant total la; circulant entre la source et le drain en fonction de QS) Umob; W et Eau- II.5.2 Si L est la distance entre les électrodes, EOE : VSD / L. En utilisant l'expression de qS établie en 5.1, exprimer la conductance GC : V--oe. Comment évolue--t--elle en fonction de VGB ? DS Quel rôle peut jouer ce composant dans des circuits électroniques ?

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 X Physique 2 PC 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bourgeois (ENS Lyon) ; il a été relu par Vincent Langlois (ENS Lyon) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE). Ce sujet se propose d'étudier différentes situations d'équilibre thermodynamique de systèmes soumis à des forces extérieures. · Dans une première partie, on étudie la distribution de particules dans le champ de pesanteur. Cette partie permet d'introduire de façon assez intuitive des concepts importants, en particulier le facteur de Boltzmann, ainsi que de démontrer la relation d'Einstein pour le coefficient de diffusion. · Dans la seconde partie, on s'intéresse à la modélisation d'une jonction métaloxyde-semiconducteur pour différentes tensions appliquées. Pour cela on utilise la notion de trous, qui assurent la conduction dans le semiconducteur. Il faut prendre le temps de lire les introductions de chaque sous-partie pour bien appréhender les différentes questions de cette partie délicate. De façon générale, ce sujet ne présente pas de difficultés calculatoires ; il est centré sur la diffusion de particules et l'électrostatique. Le sens physique et la capacité à appréhender des situations originales sont largement mis à contribution. Ce problème permet donc de vérifier que l'on a bien compris les chapitres abordés. Indications Partie I I.1.b Utiliser l'équation d'état des gaz parfaits sous la forme = M P/(R T) où M est la masse molaire du gaz et sa masse volumique. I.2.b Un courant est le produit d'une densité par une vitesse. Ici, le courant considéré est un courant associé au nombre de particules. I.3 Utiliser la loi de Fick -- - d = -D grad n pour déterminer le courant de diffusion, qui s'oppose au courant de dérive. I.4.a Quelle est l'énergie potentielle d'une macromolécule soumise à son poids et à la poussée d'Archimède ? Partie II II.1.1 Distinguer les trous présents initialement dans le silicium (intrinsèques) de ceux apportés par le dopage. Quel est le lien entre le nombre total de trous et ni ? II.2.3 Considérer QS comme une charge surfacique. II.2.5 Quelle est l'énergie potentielle d'un porteur de charge dans le potentiel électrostatique ? II.2.6 Multiplier les deux membres de l'équation de Poisson par puis intégrer le résultat entre le point z(B) et z. II.2.7 La charge surfacique totale est l'intégrale de la densité volumique le long du silicium. Utiliser l'équation de Poisson. II.2.9 Pour les applications numériques, l'hypothèse u 1 n'est pas vérifiée. Il faut utiliser l'expression exacte de la capacité. II.3.2 Procéder comme à la question II.2.7. II.3.5 La capacité dépend de la tension appliquée. Dans quels dispositifs électroniques courants trouve-t-on des condensateurs ? À quoi servent-ils ? II.4.3.b Utiliser la définition généralisée de la capacité proposée à la question II.3.4. La charge surfacique q S correspond à QS introduite auparavant. II.5.2 Distinguer le cas VGB > VS du cas opposé. Que vaut la conductance dans le deuxième cas ? Le courant passe-t-il alors ? Équilibres thermodynamiques en situations inhomogènes I. Équilibre thermodynamique et diffusion - g I.1.a Soit un parallélépipède de fluide de P(z + dz) dx dy volume S dz = dx dy dz étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen qui est z + dz P(x + dx) soumis à son poids et aux forces de pression dy dz z s'exerçant à sa surface. P(x) L'équilibre mécanique de ce système dy dz P(z) dx dy s'écrit, par projection sur les trois axes des coordonnées cartésiennes, x x + dx 0 = P(x) dy dz - P(x + dx) dy dz 0 = P(y) dx dz - P(y + dy) dx dz 0 = P(z) dx dy - P(z + dz) dx dy - (z) g z dx dy dz La pression ne dépend donc que de l'altitude et vérifie dP = - g dz La formule précédente est un cas particulier de la relation fondamentale de la statique des fluides. Pour démontrer cette relation dans le cas général, considérons une portion de fluide au repos, de volume V délimité par la surface S. Elle est soumise aux seules forces de pression et de pesanteur. La condition d'équilibre mécanique s'écrit alors ZZZ ZZ - - 0 = - g d - P dS V S Soit, en utilisant la formule du gradient, ZZZ ZZZ -- - - 0 = g d - grad P d V On en déduit la relation locale V -- - grad P = g I.1.b Le gaz étant supposé parfait, il vérifie l'équation d'état P(z) V(z) = nmol (z) R T On note nmol la quantité de matière pour ne pas avoir d'ambiguïté avec la densité volumique de particules n(z) introduite dans la suite. Soit, sachant que V(z) = m(z) (z) et (z) = nmol (z) = m(z) M M P(z) RT D'après la question précédente, la pression est solution de l'équation différentielle Mg dP =- P(z) dz RT Intégrons cette équation entre z0 et z, la température T étant supposée uniforme. P(z) Mg = exp - (z - z0 ) P(z0 ) RT P(z)/P(0) 1 0 z I.1.c La densité volumique de particules s'écrit, le fluide étant constitué de particules indépendantes de masse m, (z) m M = P(z) mRT n(z) = d'après l'équation d'état M Mg P(0) exp - z d'après la question I.1.b mRT RT Mgz M n(z) = P(0) exp - m NA k B T NA k B T = En remarquant que m = M/NA , il vient mgz n(z) = n(0) exp - kB T avec n(0) = P(0) kB T Cette expression se met sous la forme EP (z) n(z) = Cte exp - kB T où EP est l'énergie potentielle d'une particule. Elle peut être généralisée à tout ensemble de particules dans un champ de forces dérivant d'un potentiel en contact avec un thermostat de température T. Le facteur EP exp - kB T est le facteur de Boltzmann. Il décrit la probabilité pour le système classique en interaction avec un thermostat à la température T d'avoir l'énergie Ep . En utilisant des colloïdes et en mesurant expérimentalement la loi n(z), Jean Perrin a pu mesurer pour la première fois la constante de Boltzmann et donc le nombre d'Avogadro via la relation NA k B = R I.1.d Le potentiel chimique d'un gaz parfait s'écrit P µ(P, T) = µ (T) + R T ln P où P = 1 bar est la pression standard et µ (T) le potentiel du gaz à la pression