X Physique 2 PC 2005

Thème de l'épreuve Générateurs et pompes électromagnétiques à métal liquide
Principaux outils utilisés induction, mécanique des fluides

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2005 FILIÈRE PC DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. *** Générateurs et pompes électromagnétiques à métal liquide Ce problème se propose d'étudier le mouvement d'un fluide homogène, incompressible et conducteur, soumis a un champ électrique et champ magnétique croisés, et d'en tirer des conclu- sions quant a d'éventuelles applications industrielles, tout particulièrement pour la circulation de métaux liquides. Toute l'étude est effectuée dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen. On désigne par e la charge élémentaire. Formule du double produit vectoriel : ä' /\ (Ë /\ 6) = (5 - ê)5 -- (ä' - Ë)E . Permittivité du vide : ...) : 47r >< 10"7 H - m_1. I. Étude préliminaire Dans un plan horizontal, un circuit électrique rectangulaire est constitué de deux rails conduc-- teurs, fixes, parallèles, distants de D et de résistance électrique négligeable; les extrémités A et B sont reliées par une résistance R. Il est fermé par une barre métallique, conductrice, mobile A' B' , de résistance R' , glissant sur ces rails. L'ensemble est plongé dans un champ magnétique vertical, constant et uniforme, avec Ë = Bë} avec B > 0 (figure 1). F figure 1 Le conducteur A' B' , se déplace en translation a la vitesse 17 = vé}. Cette vitesse est constante du fait d'actions mécaniques extérieures avec lvl << 6. 1. Montrer que ce système est un générateur électrique; calculer la f.é.m correspondante et l'intensité qui traverse le circuit orienté. En déduire la d.d.p. V A ---- VB entre les deux rails et le champ électrique Ê supposé uniforme a l'intérieur du barreau mobile. 2. Le courant est dû a un mouvement d' électrons ,préciser l' origine de la force qui les met en mouvement et en donner l'expression à l'aide de v et B. Donner l' expression de la force totale f qui s'exerce sur un électron dans la barre mobile a l'aide de B et B. 3. Soit 0 la conductivité du métal de la barre. Quelle est la relation entre la densité volumique de courant J, et les champs E, B, 17 et 0. Pourquoi peut--on l'appeler << loi d'Ohm >> locale ? 4. Application numérique. On donne R- -- 109, R'-- ---- 10Q, D-- -- 0,1 m, i) -- --2 m s 1 et B-- -- 0,2 T. Calculer l'intensité 1, puis É et 17 /\ B en précisant leur sens par rapport a A'B'. II. Ecoulement d'un fluide conducteur On étudie dorénavant l'écoulement d'un fluide conducteur et incompressibIe, de masse volu-- mique p. Cet écoulement s'effectue dans la direction 051: et la vitesse locale est fonction de la coordonnée z: v-- - v(z, t)eoe. Soit P (a: y, z ,t) le champ de pression du fluide. Le milieu est soumis a un champ magnétique B= BeZ et a un champ électrique Ë= Eey, constants et uniformes (figure 2). Les forces de pesanteur sont négligées. 2d y 33 B E ?) F igure 2 1. Equation du mouvement &) Donner l'expression de la densité volumique des forces de pression fp. b) Soit 77 la,-viscosité dynamique du fluide. Montrer que la densité volumique des forces de _ _ _. .. Ô2'U Viscos1té f,, est donnée par f,, = 77--eoe. Ôz2 c) Le fluide est localement neutre. Soit J le vecteur densité de courant. Donner l'expression de la densité volumique de force magnétique fB. En utilisant la loi d'Ohm locale, exprimer fB en fonction de B, B, 17 et a ,expliciter ses composantes. d) Écrire l'équation du mouvement du fluide. En déduire que la pression est indépendante de y et z. 2. Ecoulement entre deux plans parallèles Le fluide est canalisé par deux plans horizontaux d'équations z = id (d > 0). Au niveau de ces plans, la vitesse du fluide s'annule : v(id) = 0. On suppose de plus toutes les grandeurs indépendantes de la coordonnée y, les perturbations dues aux limites du conduit selon Oy étant ignorées (figure 2). On considère un écoulement stationnaire. a) Écrire l'équation différentielle reliant P et ?? pour cette situation. En déduire que dP -- --K est indépendant de w. doe b) Résoudre l'équation différentielle à laquelle satisfait v(z). On introduira le nombre de Hartmann Ha = Bd(a/n)l/2. c) Déterminer la vitesse moyenne du fluide vmoy en fonction de E, B, K, a et Ha. (21) Que devient, pour Ha << 1, la solution v(z) obtenue ? Représenter l'allure de son graphe. e) Pour Ha >> 1, montrer que v(z) prend la forme approchée U(z) oe vO[1--exp(--(d--|zl)/5)]. Donner les expressions de 5 et de vo ; comparer @@ et vmoy. Quelle conclusion en tirez--vous ? f) Application numérique. Le fluide est du sodium liquide avec les propriétés suivantes : Viscosité dynamique 77 = 27 >< 10_5 kg . m"1 - s"1 Conductivité 0 = 23 >< 106 Q"1 - m--1 Oalculer Ha et 5 pour d = 1 cm et B = 0,5 T. Tracer l'allure du graphe de v(z). III. Exemple d'application On étudie le système schématisé figure 3; le sodium liquide se déplace dans un conduit cylindrique de longueur Aa: = L, de section rectangulaire Ay = l,Az = D. Les deux côtés perpendiculaires à Oy sont des électrodes ayant pour aire Aa: Az; on négligera les modifications de vitesse a leur voisinage; la vitesse du fluide est alors supposée uniforme. F igure 3 dP La) Exprimer ? = K en fonction de E,B,vo et a. Quelle application peut--on imaginer ' cc pour un tel système dans le cas où E > 'UQB ? b) Application numérique. On donne : Débit volumique Q = 3 >< 10"3 rn"3 - s--1, D = 2 cm, l = 10 cm, L = 40 cm, B = 0,5 T, a = 23 >< 106 Q_1-m_1. La différence de potentiel VA -- VB entre les électrodes vaut VA -- V3 = O, 1 V. Calculer la différence de pression AP entre la sortie et l'entrée du système. (:) Expliciter la relation entre la ddp VA -- V3 et l'intensité ] qui traverse le fluide. Montrer que le schéma de la figure 4a est équivalent au dispositif de la figure 3, et en préciser les éléments Rf et 60. 1 60 _, Figure 4a (1) L'ensemble est alimenté par un générateur de courant I 5. Une partie de ce courant ne traverse pas le fluide, mais le court-circuits en cheminant dans les parois du tube conductrices, de résistance R2. De plus les parois d'amenée et de sortie du courant ont une résistance Rp; on pose R1 = R f + Rp, cette situation est schématisée figure 4b. Exprimer AP en fonction de I 5 et de Q, à l'aide des paramètres du dispositif. e) Montrer qu'à débit Q et intensité fournie IS fixés, AP présente un maximum pour une valeur du champ magnétique Bmax dont on donnera l'expression. Quelle est la valeur de la différence de pression correspondante APmax ? f) Application numérique. On donne Q =3 >< 10"3 m3 - s"1, 15 = 1 >< 104 A, D = 2 cm, R1 = 2 >< 10_6 Q et R2 = 2 >< 10_5 Q. Calculer Bmax et APmax. 2. Conservant la même installation on supprime la source de courant externe. Les électrodes sont reliées par une résistance externe Rext. Pour simplifier, on ignorera la résistance de fuite R2 décrite en Le. La vitesse du fluide vo est maintenue constante (figure 5). . Figure 5 &) Déterminer l'intensité I du circuit en fonction de vo, B , l , R1 et Rext. b) Calculer la différence de pression entre l'entrée et la sortie; préciser son signe. Quel rôle joue ce dispositif? Exprimer la puissance mécanique reçue par le fluide en fonction de vo, B , l , R1 et Rext. c) On définit le rendement p de l'installation comme le rapport entre la puissance utilisée (par effet Joule) dans la résistance externe Rext et la puissance mécanique reçue. L'exprimer en fonction de R1 et Rext. lnterpréter le résultat simple obtenu. (1) Calculer [ et p avec Q = 3 >< 10"3 m3-s_l, B =0,5 T, D = 2 cm, R1 = 2 >< 10--69 et Rext = 4 >< 10-6 n. e) Dans certains réacteurs nucléaires on doit faire fonctionner un circuit primaire contenant un fluide caloporteur, par exemple le sodium liquide qui se trouve être dans ce cas irradié au coeur du réacteur, et un circuit secondaire comportant toujours du sodium mais cette fois non irradié. Le flux dans le circuit primaire est causé par l'énergie thermique venant du réacteur. À partir des propriétés des dispositifs étudiés en 1) et 2), expliquer comment, en couplant ces dispositifs, on peut assurer la circulation dans le circuit secondaire. Quel est l'intérêt d'un tel système du point de vue mécanique ? IV. Pompe à induction On envisage un écoulement de fluide conducteur analogue aux précédents, dans un conduit identique, mais soumis cette fois à un champ magnétique B0 variant sinusoïdalement en fonction du temps et en outre << glissant >>. Sa composante verticale, en notation complexe est de la forme : BS : BOEURj(wt--kOE) Ce champ est produit par des bobines plates réparties de part et d'autre du tube (figure 6) alimentées par des courants convenablement déphasés les uns par rapport aux autres. La com-- posante inévitable Boe selon Occ joue un rôle parasite; on supposera qu'elle reste faible et que son rôle est négligeable. De même les perturbations dues aux extrémités ainsi que celles liées a « l'effet de peau», limitant la pénétration du champ électromagnétique dans un milieu conduc-- teur, ne seront pas prises en compte. Toutes les grandeurs sont indépendantes des variables yet z. glissement .AOAOAOAOÀOÆÀOÀOÀODÀODA.À.À.@ÀODÀO BZO +llll +lll+ x "__--W .'O'O'O'O*.'âv0'0'0'0'0'.'.*O'O'®'OÜ"Û Figure 6 L'étude est effectuée dans l'approximation des régimes quasistationnaires et en régime per-- manent. 1. Dans le fluide en mouvement, il apparaît un courant induit de la forme : ----» J = Jyê'y avec Jy = JO expj(wt -- koe) Montrer que le champ magnétique Ë' créé par ce courant est donné par BË = (pg/jk)Jy. 2. Soit Ë' = ËO + Ë' le champ magnétique total. Déterminer le champ électrique Ë = Eyëy associé à ce champ. On posera par la suite ...; = w/k. 3. Écrire la loi d'Ohm reliant f a É et a Ë', le fluide, de conductivité 0, étant en mouvement à la vitesse 27 = ve}. On pose G = v/uB et R... = ,u00uB/k. Exprimer J,, en fonction de BS a l'aide des paramètres a, 7143, R... et G. 4. Exprimer de même Ey en fonction de BE. 5. Calculer Pelec; densité de puissance électrique moyenne reçue par les porteurs de charge mobiles du fluide. 6. Calculer fm, densité de la force moyenne qui s'exerce sur le fluide. En déduire l'expression de la densité de puissance correspondante P...eca reçue par le fluide. 7. On suppose G < 1. lnterpréter les signes de Pelec et de P...ecä en précisant le rôle du dispositif. On définit le rendement du système par 7° = P...eca /Pe1ec- Justifier ce choix et donner son expression. 8. Application numérique. On considère l'écoulement, dans un conduit de section rectangu-- laire, d'un mélange eutectique Na--K de conductivité a = 26 >< 106 Q'1 - m_1 ; sa vitesse est de 45 m--s--1. L'amplitude du champ magnétique est lBol = O, 5 T; sa fréquence est de 100 Hz et la vitesse de glissement vaut u B = 50 m -- s--1 Oalculer R... et le rendement 7". La longueur utile du conduit est L = 1 m ; calculer la différence de pression entre entrée et sortie en l'absence de frottements. 9. Quel rôle joue le dispositif si ...; < 1), soit G > 1 ?

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 X Physique 2 PC 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Fourmond (ENS Ulm) ; il a été relu par Marc Jungers (ENS Cachan) et Brahim Lamine (Enseignant-chercheur à l'Université). Ce sujet traite de pompes à induction. De telles pompes fonctionnent avec des des fluides conducteurs et sont utilisées, entre autres, dans les centrales nucléaires : du sodium fondu sert en effet de fluide caloporteur à la fois dans le circuit primaire (irradié au contact du coeur du réacteur) et dans le circuit secondaire (non radioactif). Elles sont particulièrement adaptées car elles permettent d'assurer l'écoulement sans contact entre les deux circuits (donc en limitant les risques de contamination) et sans utilisation de pièces mécaniques, sensibles à l'usure. Autour d'une étude d'écoulement classique de type Poiseuille, le problème aborde donc des problèmes spécifiques aux fluides conducteurs. Il se présente sous la forme de quatre parties qui s'articulent en trois temps : · La première partie est, paradoxalement, la plus délicate, car elle suppose de bien maîtriser l'induction par un champ magnétique fixe dans un circuit mobile. On pourra y tester ses connaissances et asseoir sa compréhension du phénomène. · Les deuxième et troisième parties traitent d'une pompe à champ fixe ; on en étudie les aspects théoriques dans la deuxième partie pour les appliquer à la circulation des fluides caloporteurs de centrales nucléaires dans la troisième partie. · La quatrième partie, enfin, s'attache à un autre type de pompe, dans lequel d'une part le champ magnétique est variable, d'autre part aucun champ électrique externe n'est utile. Dans cette partie, on montre également, à la fin, que ces pompes électromagnétiques peuvent être utilisées en générateur. L'ensemble constitue une épreuve plutôt facile pour ce concours, si l'on excepte la première partie. La principale difficulté est que l'on ne peut pas résoudre les parties II, III et IV sans avoir résolu la question I.3. On peut regretter de plus quelques imprécisions de l'énoncé. Ce sujet constitue une excellente révision de tous les aspects de l'induction. Il n'est pas excessivement long : c'est un bon sujet pour un entraînement en temps limité. Indications Première partie I.1 Utiliser directement VA - VB pour calculer le champ électrique dans la barre mobile. - I.3 Calculer J à partir de I. Deuxième partie - II.1.c Utiliser le résultat de la question I.3 pour relier J aux champs. II.2.a Remarquer que l'on peut séparer l'équation en deux termes, dont l'un ne dépend que de x et l'autre que de z. II.2.d Développer l'expression de v(z) obtenue à la question II.2.b au second ordre en Ha (le premier est nul). Troisième partie III.1.b Puisque l'énoncé ne précise pas où sont les points A et B, prendre - VA - VB - E = ey III.1.c Utiliser la relation trouvée à la question I.3. III.1.d Exprimer d'abord P en fonction de I, puis I en fonction de Is . III.2.b La « puissance reçue » par le fluide est en fait la puissance que doit fournir un opérateur extérieur pour maintenir le débit. Quatrième partie IV.3 Utiliser les résultats des deux questions précédentes. IV.5 Pour calculer la moyenne d'un produit de deux termes en notation complexe, utiliser la relation 1 ha(t) b(t)i temporelle = Re (a b ) 2 IV.8 Pour calculer la différence de pression, la relier à la puissance mécanique totale développée dans le système. I. Étude préliminaire La principale difficulté de cette partie consiste à bien appréhender tous les champs en présence et leurs interactions. Comme l'énoncé stipule que l'étude se fait dans le référentiel du laboratoire, il n'est pas possible d'utiliser - - la formule E = - v B , qui est pourtant la manière la plus simple de traiter ce type de problèmes. La méthode employée en revanche permet de mieux comprendre les champs réellement en présence dans le référentiel du laboratoire. On commence par déduire qu'une force électromotrice est présente, due à la variation - du flux de B . On en déduit les courants, donc les potentiels électriques, à l'aide de la loi d'Ohm appliquée à la partie fixe. Une fois ces potentiels connus, on peut en déduire le champ électrique dans la partie mobile : on voit alors que la loi d'Ohm comporte un terme supplémentaire dans la partie mobile. - I.1 Calculons le flux du champ B à travers le circuit AA B BA. Comme le champ est uniforme, il vaut ZZ - - - - B · dS = B · S = AA B BA - où S est le vecteur surface du circuit, que l'on choisit d'orienter dans le même sens - que B . On a donc = B × D × AA Ce flux varie au cours du temps à cause du mouvement du barreau A B . La variation du flux engendre une force électromotrice e0 , selon la formule suivante : d dAA e0 = - = -B × D dt dt soit e0 = -B D v e0 engendre à son tour un courant ; l'ensemble se comporte comme un générateur. Cette expression de e0 n'est valable que dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires ; ici, c'est le cas car v c. - Notons que e0 est orienté dans le sens positif de la surface S . De plus, on a négligé le champ créé par le courant I qui apparaît dans le circuit. Le circuit se résume donc à la figure cicontre. Le courant est orienté de façon à ce que le vecteur surface ait le même sens que le champ magnétique. On a donc I= R B VA - VB R e0 I e0 -B D v = R + R R + R A On obtient VA - VB en appliquant la loi d'Ohm à la résistance R : VA - VB = -RI = B D v R R + R Il est préférable d'appliquer la loi d'Ohm à la résistance R plutôt qu'à R . En effet, la situation est plus complexe dans le barreau mobile, car c'est dans ce dernier qu'est localisée la f.é.m., comme nous allons le montrer dans la question suivante. Remarquons de plus que I est négatif ; il crée donc un champ magnétique - qui à tendance à s'opposer à B . Ceci est une conséquence directe de la loi de Lenz. Comme les parties AA et BB sont supposées parfaitement conductrices, VA - VB = VA - VB Par ailleurs, puisque le champ est uniforme dans le barreau, on a la relation suivante : -- - VA - VB = A B · E Comme le champ est dans la même direction que la barre, on en déduit - E = Bv R - ey R + R I.2 La force motrice de ce phénomène est la force magnétique qui s'exerce sur les électrons de la barre mobile. Puisque la barre se meut avec une vélocité - v , les électrons subissent une force due à la vitesse d'entraînement : - - f mag = q - v B où q = -e est la charge d'un électron. En réalité, il y a d'autres composantes à cette force magnétique, puisque les électrons ont aussi un mouvement parallèle à la barre ; c'est cette force qui donne lieu à l'effet Hall. Cependant, en régime permanent, elle est compensée par le champ électrique Hall qui se crée ; elle n'a donc pas d'influence en pratique. - Les électrons sont de plus soumis au champ électrique E ; la force totale s'exerçant sur un électron est donc : - - - f =q E +- v B - I.3 En supposant que la barre est homogène, de section S, on peut calculer J : - I J = - ey S Par ailleurs, la résistance R de la barre vaut R = D S On en déduit - R Bv (R + R) B v RBv -D B v - - - J = ey = - ey = - - ey S (R + R ) R + R R + R R + R