X Physique 2 PC 2002

Thème de l'épreuve Étude et application d'une cavité laser
Principaux outils utilisés ondes électromagnétiques dans les milieux matériels
Mots clefs diélectrique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2002 FILIÈRE PC DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. .. *** Mesure de distances et de vitesses à l'aide d'une diode laser De nombreuses situations expérimentales, en particulier en robotique, requièrent une mesure de distances et de vitesses d'une manière relativement simple et aussi peu coûteuse que possible. Le but de ce problème est de montrer comment cet objectif peut être atteint à l'aide d'une diode laser, source de lumière que l'on supposera monochromatique et dont la fréquence peut être légèrement modifiée par un courant de commande. I - Diode laser Dans tout le problème, la diode est consti-- tuée par un milieu homogène, transparent, d'in-- dice n, limité par des faces planes et parallèles distantes de L; elle est placée dans le vide (fi-- gure 1). Entre ces faces formant cavité, l'onde optique est constituée de deux ondes progres-- sives, supposées planes, se propageant en sens inverse, perpendiculairement aux faces; la di-- rection commune de propagation sera choisie comme axe Oz. Polarisée linéairement, chaque onde sera représentée par l'amplitude complexe E(z) du champ électrique dont la dépendance temporelle est de la forme exp(--iwt). F figure 1 1. En utilisant les relations de continuité du champ électromagnétique, déterminer le coeffi-- cient de réflexion 7° en amplitude sur une face de la cavité (milieu ----> vide) en fonction de n ainsi que le coefficient de transmission t correspondant. 2. Soit EO l'amplitude complexe, au niveau de la face 2 (figure 1), de l'onde qui arrive sur cette face. On désigne par le le module du vecteur d'onde [@ dans le vide. Exprimer l'amplitude de l'onde après un aller et retour complet dans la cavité en fonction de E0, 7", k, L et n. 3. En fait, au cours de son trajet dans la cavité, l'onde est amplifiée par le phénomène appelé émission induite. Une manière d'exprimer cette propriété est d'utiliser un indice complexe nc tel quem=n--7Çgavecg>0. ' &) Justifier la forme de cette expression. b) Trouver la relation qui doit exister entre 7", nc, k et L pour qu'il y ait un régime perma-- nent d'amplitude constante. Oette relation sera dans la suite dénommée << condition laser >>. 4. On suppose 9 << n, ce qui permet d'utiliser pour 7° l'expression obtenue en 1. En régime permanent, la diode laser n'émet que pour des fréquences particulières % situées dans une certaine plage. &) Déterminer l'écart AV entre deux fréquences consécutives possibles up et Vp+1 de l'onde. b) On appelle << coefficient d'amplification >> le facteur 04 : kg. Déterminer en fonction de L et 7° la valeur @@ que doit avoir oz en régime permanent ? 5. Application numérique. On donne n = 3, 40 et L = 0,5 mm. &) Calculer AV, 7" et 010. b) La longueur d'onde de l'oscillation laser est voisine de 845 nm; calculer la valeur go de g correspondante; justifier l'approximation faite sur la valeur de 7° à la question 4. 6. L'amplification dans un milieu laser nécessite une << inversion de populations >>, c'est-à--dire que le niveau supérieur de la transition optique soit plus peuplé que le niveau inférieur. L'émission induite tend à diminuer cette inversion, ce qui entraîne que le coefficient d'amplification & décroît lorsque l'intensité ] de l'onde optique croît; l'intensité I est définie ici comme la puissance de chaque onde progressive a l'intérieur de la cavité. On admettra que la relation entre oz et I est oz de la forme : oz(l ) -- ------m---- où oz... et IO sont deux constantes. On donne oz... : 2 >< 103 m_1, _ 1+I/IO Ï0= 10 mW. Calculer [ en régime permanent et la puissance de sortie 18 du faisceau laser par l'une des faces. II - Principe des mesures de position et de vitesse d'un obstacle Dans cette partie, on étudie qualitativement l'effet sur le fonctionnement d'une diode laser de l'onde émise puis réfléchie (ou rétrodiffusée) par un obstacle extérieur et revenant dans la cavité, puis le principe de son utilisation aux mesures de position et de vitesse d'un obstacle. Le dispositif est modélisé selon le schéma de la figure 2; soit ,a réel positif le coefficient de réflexion en amplitude sur l'obstacle, qui avec la face 2 forme une cavité de longueur D. On supposera p << 1. On désigne par 1/p la fréquence d'oscillation de la diode laser en l'absence d'obstacle. F igure 2 1. Justifier sans calcul que, lorsque l'onde, sortant de la face 2, y revient en phase après un aller et retour, le coefficient d'amplification du milieu est diminué, et que la puissance du faisceau laser est alors maximale. Justifier de même que la puissance du faisceau est minimale si l'onde revient en opposition de phase. L'indice n du milieu dépend du courant d'alimentation de la diode; en faisant varier ce courant, on modifie la fréquence de fonctionnement up; on supposera dans toute cette partie II. que cette fréquence est imposée par le contrôle du courant d'alimentation. 2. Par une rampe de courant, on réalise une croissance monotone de V,, a yp + AV,, ; l'obstacle est fixe. On observe que la puissance émise passe par une succession de maximums. a) Quelle est la différence de fréquence 5V entre deux maximums consécutifs ? b) Déterminer la relation entre le nombre N D de maximums détectés, Ayp,c et la distance D. c) Pour Ayp = 50 GHz, exprimer D en fonction de N D; quelle incertitude sur la mesure de D a--t--on par ce comptage ? 3. On suppose maintenant la fréquence yp fixe et l'obstacle mobile avec la vitesse @ telle que D(t) : D0 + vt. Durant l'intervalle de temps At, on détecte NU maximums de puissance laser. En utilisant les résultats précédents (2.a)), déterminer la relation entre @, At, Up, (: et N,, en supposant la vitesse constante durant At. Pour At = 20 ms, quelle est la résolution de la détermination de la vitesse à partir de N,, ? 4. L'obstacle étant animé de la vitesse @, on impose au courant de commande de la diode une loi de variation << triangulaire >> de durée totale T; la variation de la fréquence laser suit la même loi : croissance de AVP durant T / 2, puis décroissance jusqu'à la valeur de départ yp durant T/ 2. On observe Nl maximums durant la première phase et Ng durant la seconde. Dans cette question, on suppose la vitesse ?) suffisamment grande et positive; d'autre part, pour simplifier, on traitera N1 et Ng comme des variables continues. Déduire la distance et la vitesse de l'obstacle en fonction de Aup,T , Nl, Ng et la longueur - d'onde AP du rayonnement. III - Diode laser avec cavité extérieure Dans cette partie, on analyse quantitativement l'effet de l'onde réfléchie par l'obstacle (cf. partie II) sur l'intensité émise par la diode. 1. Soient 7°' et t' les coefficients de réflexion et de transmission pour les amplitudes dans le sens vide --+ milieu; calculer 7"' et t' en fonction de n; montrer que 7° + 7" = 0 et que T2 + tt' : 1. 2.a) En appliquant les relations de continuité aux ondes arrivant sur la face 2 ou en repartant (cf. figure 2), montrer que l'on peut assimiler l'ensemble à une cavité laser, de longueur L identique à l'initiale, mais avec un coefficient de réflexion Z sur la face 2 donné, avec 9 : 2kD, par : Z __ 7" + pexp(i9) _ 1 + rpexp(i9) ' b) Simplifier l'expression de Z en ne gardant que les termes du premier ordre en p. 1 Dans la suite, on posera a = p <-- -- 7") avec & << 1. 7° 3.a) Donner dans cette situation la nouvelle expression de la << condition laser >>. b) En déduire le coefficient d'amplification oz qui maintient l'oscillation en fonction de 7°, L, a et 9. c) Soit 504 l'excursi0n maximale de oz lorsque le déphasage de l'onde retour varie; exprimer (Sd/dg en fonction de a et 7", dg étant la valeur de a pour p = 0 (cf. I.4.b)). En donner la valeur numérique pour p = 1 >< 10--3. ' 4.a) Montrer que l'intensité du faisceau laser émis varie en fonction du déphasage de l'onde à son retour. Pour quelles valeurs de 9 est-elle maximale ? Quelle est alors la fréquence d'émission ? b) Calculer, avec les données numériques précédentes, la variation relative de l'intensité du faisceau laser (Imax -- I......) / I , ] étant l'intensité moyenne. IV - Analyse de la forme du signal L'expérience montre que, lors du déplacement de l'obstacle ou lors d'un balayage de fréquence par modification du courant de commande (cf. partie II), on observe bien des variations presque périodiques de la puissance émise mais souvent avec des discontinuités associées à des sauts de ' fréquence. C'est cet effet qui est analysé dans cette dernière partie. 1. À partir de la << condition laser >> obtenue en III.3.a), montrer, pour & << 1, que la fréquence d'oscillation est déterminée par la relation approchée : L 7159 + asin9 = p 27r avec p entier. 2. Pour un courant de commande fixé et en l'absence d'obstacle (a = 0), on note no et go les valeurs de l'indice n et du coefficient 9 du milieu, et kg le module du vecteur d'onde. En présence de l'obstacle, a la modification 59 = g -- 90 est associée en fait une modification 571 = n ---- no de l'indice, avec 671 = fl5g, où 5 est un coefficient positif de l'ordre de quelques unités; cela entraîne une modification de [EUR : ôk = k -- kg. CL a) En linéarisant le résultat obtenu en III.3., montrer que : go 51EUR + ko 5g = ----îË cos 9. CL b) Montrer de même que la << condition laser >> s'écrit : no 516 + kg 671 = --Ë sin «9. c) Justifier l'hypothèse 5 go << no, et exprimer no 51EUR en fonction de a, L, 3 et 9. 3. Montrer que la relation déterminant k se met sous la forme : A -- BH = sin(9 ---- (p)" avec 3 = tan go, et donner les expressions de A et B en fonction de p, a, T..., L, D et B. Calculer g0 avec B = 6. Évaluer A et B pour p = 1 >< 10_3 et D = 0,5 m. 4. En vue d'effectuer une analyse graphique de cette équation, préciser la valeur 90 de 9 qui annule A -- BO et tracer le graphe de sin(9 -- go) au voisinage de (90. Porter sur ce graphe les points M correspondant aux maximums d'intensité du laser et les points m correspondant aux minimums. 5.a) À courant de commande fixé, donc no fixé, on augmente D. En traçant localement le graphe de A -- BH au voisinage de 90 et en suivant son déplacement (on notera que A _>> 1), montrer graphiquement que, pour B > 1, 6 augmente de façon continue mais irrégulière, et, pour B < 1, par parties continues séparées par des sauts. b) Lorsqu'ils existent, ces sauts de 9 sont accompagnés de sauts d'amplitude du faisceau laser; quel est le sens de cette variation ? C Dans les IHÔIÏIEURS COHdlthHS OIl diminue D ' llEURl EURSt &lOI'S le 86118 de V8l'l&thfl des sauts 7 7 d'lfitEURl"lSlté .' 6. À D fixé, on augmente de façon régulière le courant de commande de la diode, ce qui augmente de même no; quel est le sens de variation de 9? Quel est celui des discontinuités d'intensité dans les conditions où elles apparaissent ? 7. Quel est l'intérêt de ces sauts d'intensité pour la détection?

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 X Physique 2 PC -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (professeur en CPGE) ; il a été relu par Stéphane Ravier (ENS Lyon) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm). Ce sujet traite d'une méthode de mesure de distances et de vitesses à l'aide d'une diode laser. Il s'agit d'un problème d'une longueur raisonnable portant exclusivement sur la propagation des ondes électromagnétiques. · Les deux premières parties étudient la diode laser en tant que cavité résonante, puis envisagent, de manière qualitative, l'influence d'un obstacle sur cette cavité. Il en découle alors un principe de mesure de la distance et de la vitesse de cet obstacle. · Dans la troisième partie, on reprend, quantitativement cette fois-ci, l'influence de l'obstacle sur la cavité laser et les résultats des deux premières parties sont revus et corrigés. · Enfin, la quatrième partie permet de préciser le principe de mesure déjà envisagé. Les deux premières parties sont proches du cours et accessibles à tous. Les deux dernières, plus calculatoires, font peut-être insuffisamment appel au sens physique attendu des étudiants de la filière PC. Indications Première partie I.1 Utiliser les hypothèses pour exprimer les trois champs électriques mis en jeu, puis montrer que les champs électrique et magnétique sont continus à la traversée de l'interface. I.3.a Donner l'expression réelle d'une onde se propageant selon les z croissants en tenant compte de l'expression proposée pour l'indice nc . I.3.b L'amplitude complexe doit être inchangée après un aller et retour. I.4.a Le facteur complexe de la condition laser doit nécessairement être réel. I.6 Pour calculer Is , exprimer, en fonction de l'indice n, le coefficient T de transmission en puissance à une interface (milieu vide). Deuxième partie II.1 Utiliser les notions d'interférences constructives ou destructives et le phénomène d'émission induite. II.2.a À l'aide de la question II.1, exprimer une condition sur la fréquence aux maximums d'intensité. II.3 À l'aide de la question II.1, exprimer une condition sur la distance D aux maximums d'intensité. II.4 À l'aide de la question II.1, exprimer une condition sur le produit D aux maximums d'intensité. Troisième partie III.2.a Considérer qu'une onde quittant la cavité laser par la face 2 peut y revenir après un nombre quelconque d'allers et retours dans la cavité extérieure. Calculer alors l'amplitude résultante dans la cavité laser en prenant en compte tous les allers et retours possibles. III.3.b Utiliser le développement de Taylor, 1 + u = exp u, puis travailler comme aux questions I.4.a et I.4.b. Quatrième partie IV.3 Trouver la valeur de p à l'aide de la condition laser en l'absence d'obstacle. IV.5.a Dans cette question et les suivantes, il faut considérer que la variation de la pente de la droite A - B n'est pas sensible et faire simplement glisser la droite pour déterminer l'évolution du point de fonctionnement de la cavité. I. Diode laser I.1 On commence par écrire l'expression générale de chacune des trois ondes planes progressives harmoniques (OPPH) mises en jeu à l'interface (milieu vide) que constitue la paroi 2 de la cavité x vide milieu n vide - - - E i (M, t) = E 0i exp i( k i · - r - t) - Ei - - - - E r (M, t) = E 0r exp i( k r · r - t) O - z - Er Et - - - - E t (M, t) = E 0t exp i( k t · r - t) Les ondes incidente et réfléchie se propagent dans le milieu d'indice n. Nous supposons que le milieu de la cavité est diélectrique, linéaire, homogène et isotrope (d.l.h.i.), sans propriétés magnétiques et parfait, c'est-à-dire isolant, sans charges ni courants libres. Le milieu est transparent donc son indice n est réel. Les OPPH incidente et transmise se propagent dans ce milieu respectivement selon les z croissants et décroissants ; nous avons donc - - ki = + n - ez et kr = - n - ez c c Enfin, pour l'OPPH transmise qui se propage dans le vide selon les z croissants - kt = + - ez c Dans la suite, nous notons k = /c, le module du vecteur d'onde dans le vide. Par ailleurs, nous savons que toute OPPH se propageant dans un milieu d.l.h.i. parfait est transverse électrique et magnétique : les champs électrique et magnétique associés à cette onde sont en tout point perpendiculaires à la direction de propagation donnée par le vecteur d'onde. Dans le cas présent, les champs électriques des trois OPPH considérées sont donc contenus dans le plan (- ex , - ey ). Or, ces champs électriques sont supposés polarisés rectilignement, ce qui suppose, par définition, qu'ils ont une direction constante. Cette direction est nécessairement dans le plan (- ex , - ey ) : nous choisissons de la noter en toute généralité - ex . En rassemblant les petits morceaux, il vient - Ei (z, t) = E0i exp i(n kz - t) - ex - Er (z, t) = E0r exp i(-n kz - t) - ex - E (z, t) = E exp i(kz - t) - e t 0t x Afin de calculer le champ magnétique associé à chacune des trois OPPH, nous utilisons une relation, valable dans tout milieu d.l.h.i. entre les champs électrique et magnétique et le vecteur d'onde d'une OPPH - - - KE B = - - En remplaçant dans cette relation les expressions de K et E pour chacune des trois ondes, nous trouvons - n - Bi (z, t) = E0i exp i(n kz - t) ey c - n Br (z, t) = - E0r exp i(-n kz - t) - ey c 1 - ey Bt (z, t) = E0t exp i(kz - t) - c Considérons les relations de passage sur la face 2 à l'interface entre le milieu d'indice n et le vide. Comme les champs électrique et magnétique sont tangents, nous écrivons en z = 0 - - - E vide (0, t) - E milieu(0, t) = 0 - H vide (0, t) - - H milieu(0, t) = - s, libre - ez Or, les deux milieux considérés sont sans propriétés magnétiques et parfaits, donc - - B = µ0 H - s, libre et - = 0 - - E vide (0, t) = E milieu(0, t) - - Bvide (0, t) = Bmilieu(0, t) En prenant en compte l'existence des trois OPPH, il en découle - - - Ei (0, t) + Er (0, t) = Et (0, t) - - - Bi (0, t) + Br (0, t) = Bt (0, t) Il suffit maintenant de remplacer dans ces deux dernières relations les expressions des différents champs prises en z = 0 pour aboutir aux relations ( E0i + E0r = E0t n E0i - n E0r = E0t Définissons les coefficients r et t de réflexion et de transmission en amplitude du champ électrique de l'OPPH incidente à l'interface (milieu vide) E0r r = E0i d'où et r = E0t t = E0i n-1 n+1 alors et t = ( 1+r = t n - nr = t 2n n+1