X Physique 2 PC 2001

Thème de l'épreuve Production de notes par les instruments à vent
Principaux outils utilisés ondes sonores, réflexion-transmission, relation de dispersion

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2001 FILIÈRE PC DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. *** Les instruments à vent Un instrument à vent est un tuyau sonore Constitué d'un long tube de petit diamètre de section carrée ou cir-- culaire. Dans la famille des cuivres le tuyau sonore est souvent enroulé sur lui même et se termine généralement par un pavillon. Le but de ce problème est l'étude des principales propriétés sonores résultant de cette géomé-- trie. Dans la première partie on s'intéresse au principe de la propagation des sons dans un tuyau dans le cadre d'un modèle théorique simple. La seconde partie étudie le rôle de la longueur de l'instrument pour les notes émises. La troisième partie est dédiée à l'influence du diamètre de l'instrument et la quatrième a celle du pavillon. F igure ] Première partie Propagation d'une onde sonore dans un tuyau On s'intéresse à la propagation d'une onde acoustique sinusoïdale de pulsation w et de lon-- gueur d'onde A à l'intérieur d'un tuyau de section S, carrée ou circulaire, dont la dimension caractéristique transversale D ... \/Ë est petite devant la longueur L du tuyau. On se limite dans cette partie aux cas où la longueur d'onde A est grande devant D et on suppose que l'onde sonore peut être assimilée à une onde plane se propageant selon l'axe Ox du tuyau. 1. Au repos, l'état du fluide est caractérisé par la masse volumique po et la pression PO qui sont uniformes ; le champ de vitesse 17 est nul. Au passage de l'onde acoustique, l'état du fluide est alors décrit localement, dans une section droite d'abscisse a:, par la masse volumique p(a:, t), la pression P (oe, t) et la vitesse axiale voe : v(oe, t). Le fluide est supposé non visqueux et la perturbation due à l'onde acoustique reste faible en valeur relative. En notant p(oe, t) = P(:c, t) -- PO la pression acoustique et 5p(oe, t) : p(æ, t) -- po la variation de masse volumique induites par le passage de l'onde, montrer que l'équation régissant le mouvement du fluide se réduit à : 2. Au repos, l'état du tuyau est caractérisé par l'aire SO (32) de sa section droite et on suppose dD da: alors décrit localement par l'aire S (a:, t) de la section droite d'abscisse a:. On posera 6S(æ, t) : S(oe, t) ---- So(æ). << 1. Sous l'action de la surpression p due au passage de l'onde, l'état du tuyau est &) Montrer que l'équation de conservation de la masse s'écrit : 6< 10--10m2N"1 l @ Air 9 >< 10--6m2N_1 1 d 1dS Les valeurs du coefficient Ëd_P correspondent a des tubes de dimensions analogues à p=0 celles d'un instrument à vent. Dans le cadre de cette modélisation, que peut--on en conclure sur l'influence des parois de l'instrument de musique sur le son qu'il émet ? Deuxième partie Notes émises par un instrument à vent 1. Conditions aux limites Un tuyau sonore peut être le siège d'ondes acoustiques stationnaires qui vont dépendre fortement des conditions aux limites imposées à ses deux extré- mités. Afin de préciser ces dernières, considérons un tuyau composé de deux parties cylindriques de diamètres res- Figure 2 pectifs 1 et (132 raccordés par une dis-- continuité brutale de section située à l'origine du référentiel. On désigne par po la masse volumique du fluide au repos et par c la vitesse de propagation. Soit p; l'amplitude de la surpression créée par une onde se propageant le long du tuyau dans le sens des m positifs; la discontinuité génère deux ondes supposées planes : une onde réfléchie d'amplitude de surpression p R et une onde transmise d'amplitude de surpres-- sion pT. &) Déterminer les expressions des coefficients de réflexion 7° et de transmission t relatifs aux @ amplitudes de pression en fonction du rapport X : 3%. En déduire les coefficients de réflexion 1 R et de transmission T relatifs aux puissances acoustiques des ondes réfléchie et transmise. b) Tracer l'allure de la fonction R(X) et préciser la signification physique de son minimum. c) A quelles conditions physiques correspondent les limites X --> 0 a 1 donné et X --+ 00 a 2 donné ? En déduire les conditions d'extrémité en termes de pression et de vitesse dans les deux cas. 2. Fréquences émises Un instrument à vent peut être considéré comme un tuyau sonore de longueur L vérifiant a ses extrémités l'une ou l'autre des deux conditions aux limites : tuyau ouvert ou tuyau fermé. Il se comporte donc pour certaines fréquences comme un résonateur siège d'un système d'ondes stationnaires de longueur d'onde À. Ces fréquences sont les modes propres de l'instrument et correspondent aux notes qu'il est capable de générer. Un jeu de conditions aux limites sera dit pair si les conditions aux deux extrémités sont de même nature (ouvert--ouvert ou fermé--fermé) et impair si les conditions aux deux extrémités sont de nature différente (ouvert--fermé). &) Montrer par un raisonnement physique simple que la note fondamentale, la note la plus basse générée par l'instrument, ne dépend que de la longueur L du tuyau, de la vitesse de propagation du son c et de la parité : donner l'expression de la fréquence correspondante. b) Pour les applications numériques suivantes, la vitesse du son dans l'air sera prise égale à 340 m 8--1. La flûte est un instrument considéré comme ouvert a ses deux extrémités. Déterminer la longueur de l'instrument pour que son fondamental soit la note mi de fréquence 330 Hz. L'anche d'une clarinette est assimilée à une extrémité fermée. À longueurs égales, la clarinette joue--t--elle plus haut ou plus bas que la flûte ? Le plus long tuyau d'un grand orgue mesure 10,6 m et émet une note fondamentale à 16 Hz. Déterminer la parité de son jeu de conditions aux limites. c) Montrer que les notes harmoniques, de fréquence supérieure au fondamental, sont régu-- lièrement espacées en fréquence et que l'écart entre deux harmoniques successifs est indépendant des conditions aux limites. Etablir l'expression de cet écart. Troisième partie Influence du diamètre du tuyau 1. Lorsque l'instrumentiste joue des notes montant vers les aigus, donc des harmoniques , . À , . de frequence cr01ssante, le rapport 5 decr01t; des ondes non--planes peuvent se propager: le tuyau joue le rôle d'un guide d'onde et les ondes doivent maintenant satisfaire à l'équation de propagation d'onde tridimensionnelle : a) On s'intéresse au guidage sonore d'une onde monochroma-- tique dans un tuyau d'orgue de section carrée de coté D. Justifier la forme : p(âæ % Z» 75) = Y(y)Z(Z) exp{i(ka -- wt)} sous laquelle on va rechercher la solution de l'équation d'onde. F figure 3 b) Quelle est la condition imposée à la vitesse du fluide aux parois ? En déduire les condi-- tions imposées aux fonctions Y et Z. c) Démontrer que la pulsation w et le nombre d'onde k: de l'onde sont liés à la dimension transversale D du tuyau par : 7T262 D2 (a2 + b2) & et 1) étant des nombres entiers . w2 = k2c2 + Les répartitions de Y(y)Z (z) de l'amplitude de la surpression dans la section droite sont appelées modes transverses du tuyau et caractérisées par les couples {a, b}. A quel couple correspond la propagation d'une onde plane ? d) Exprimer la relation précédente sous la forme d'une 1/ fonction -- : f({a,b},kD) dans 3 Ve 0 laquelle % = --. Pourquoi 0 2D 2 appelle--t--on VC fréquence de cou-- pure? Le tracé ci--contre repré-- sente les courbes des premiers modes {0,0}, {0, 1}, {1,0}, {1, 1}, 1 : {0,2} et {2,0}. Associer a cha-- ' cune de ces courbes le mode cor-- kD respondant. 0 | 2. Un instrument à vent est Figure 4 dit harmonieuoe lorsque les notes correspondant aux divers harmoniques de son fondamental s'étagent régulièrement en fréquence. La richesse sonore de l'instrument se définit comme le nombre N de notes harmonieuses qu'il peut générer. du &) Démontrer que la condition d'harmonie est -- = Cte. Quels sont les modes transverses dk: autorisés pour un instrument harmonieuæ ? Etablir la relation entre la fréquence 1/M de la note harmonieuse la plus élevée que peut jouer un instrument à vent et la fréquence de coupure VC de son tuyau. b) Le diamètre D de la plupart des instruments à vent étant de l'ordre de 10 mm, calculer l'ordre de grandeur de la fréquence de la note harmonieuse la plus haute des instruments à vent. En déduire la justification du choix de D. L c) Exprimer la richesse N en fonction du rapport 5 et de la parité des conditions aux limites. La richesse dépend--elle beaucoup des conditions aux limites ? Calculer la richesse N d'un cor d'harmonie dont la longueur développée du tuyau est L = 4 m et la comparer à. celle d'une flûte dont le tuyau est long de 50 cm. Quatrième partie Rôle du pavillon 1. De nombreux instruments à vent, particulièrement dans la famille des cuivres, ont un tuyau de section circulaire de diamètre D qui se termine par un pavillon évasé dont le profil est proche d'une exponentielle. &) Montrer qu'il faut rajouter à l'équation de propagation du son dans un tuyau de section 1 dS Ô constante le terme -- --0 _p pour prendre en compte l'évolution de sa section. Ecrire cette SO doe 8512 équation dans le cas d'un pavillon de profil exponentiel défini par D(æ) = DO exp(floe). b) Etablir l'expression de la surpression p(æ, t) de l'onde plane progressant dans le pavillon et montrer que sa propagation dans le pavillon n'est possible que si sa fréquence I/ est supérieure à une fréquence 1/p que l'on déterminera. Justifier la loi de variation de l'amplitude de la surpression p le long du pavillon. Donner l'expression du nombre d'onde K et tracer l'allure de la courbe 1/ donnant l'évolution du rapport -- en fonction du rapport K / fl. VP c) Le pavillon d'un cor d'harmonie de longueur Lp = 1, 5 m présente un diamètre d'entrée go = 12 mm et un diamètre de sortie (1) = 310 mm. Calculer le paramètre fi de son pavillon et la valeur de sa fréquence Up. 2. Un cor d'harmonie se compose d'un tuyau, considéré comme fermé à l'embouchure, de diamètre g0 = 12 mm constant sur une longueur LC = 2, 4 m, et raccordé ensuite au pavillon. &) Pour prendre en compte la non idéalité des conditions d'extrémité qui traduit le détail de l'écoulement de raccordement entre la sortie du pavillon et l'air environnant, on admettra que le milieu extérieur se comporte vis--à--vis de l'instrument comme un tuyau équivalent prolongeant le pavillon et de diamètre ' tel que sa section droite admette une aire de 1 m2. Calculer le coefficient de transmission relatif aux puissances acoustiques T d'un cor d'harmonie sans son pavillon puis celui Tp d'un cor d'harmonie avec son pavillon. b) Etablir l'expression de l'intensité acoustique I d'une onde en fonction de l'amplitude de la surpression, de la masse volumique du fluide et de la célérité du son. c) Pour une intensité acoustique émise IEdB de 80 dB, l'intensité de référence étant de 1 >< 10"12 Wm'2, calculer l'amplitude de la surpression de l'onde incidente régnant dans le corps de l'instrument fonctionnant sans son pavillon. Est-elle compatible avec les hypothèses faites pour étudier les propriétés des instruments à vent ? On donne pg : 1, 20 kg m"3 . (1) Pour un instrument avec son pavillon, quelle est la partie de l'instrument << vue >> par les notes graves de fréquence 1/ nettement inférieure à 1/1) et celle << vue >> par les notes aiguës de fréquence !! nettement supérieure a Up ? Quel est le sens de variation du nombre de notes émises et de leur intensité pour une augmentation du diamètre de sortie (1) du pavillon, toutes choses égales par ailleurs ? Quel est donc le rôle principal du pavillon ?

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 X Physique 2 PC 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) ; il a été relu par Vincent Fourmond (ENS Ulm) et Nathanaël Schaeffer (ENS Lyon). Le sujet porte sur l'étude de l'émission de notes par les instruments à vents. La première partie établit l'équation de propagation d'une onde sonore dans un tuyau en prenant en compte l'influence du fluide dans lequel se propage l'onde et celle du solide constituant les parois du tuyau. La seconde partie s'intéresse plus particulièrement aux conditions aux limites imposant la valeur des fréquences que peut émettre un instrument à vent. La troisième partie fixe les limites de l'étude précédente et détermine la plage de fréquences où elle est valable. Enfin, la quatrième et dernière partie traite du rôle du pavillon dans l'émission sonore. Ce problème, facile de prime abord, recèle néanmoins des questions méritant une réflexion approfondie. Il utilise des notions d'hydrodynamique et des outils concernant les phénomènes ondulatoires. Indications Première partie I.1 Linéariser l'équation d'Euler au premier ordre en perturbation. I.2.a Faire un bilan. dD 1 lors de la linéarisation. dx I.3.a Utiliser le théorème de Schwarz. I.2.c Utiliser l'hypothèse Deuxième partie II.1.a Penser à la conservation des quantités globales (débit et énergie). II.1.c Il y a une erreur dans l'énoncé : il ne faut pas considérer à 2 donné, mais à 1 donné. II.2.a Trouver la longueur d'onde minimale qui satisfasse aux conditions aux limites. Troisième partie III.1.b Utiliser Euler pour les conditions aux limites : la vitesse normale est toujours nulle aux parois. III.1.c Faire apparaître la séparation des variables dans l'équation de propagation. III.1.d Regarder la valeur à l'origine. III.2.a Utiliser la convexité de la relation de dispersion. III.2.c Écrire l'expression littérale de la ne harmonique et prendre garde à la convention prise pour le fondamental dans l'expression de la richesse. Quatrième partie IV.1.a Revoir l'approximation faite à la question I.2.c afin de linéariser l'équation (2). IV.1.b Résoudre l'équation pour un vecteur d'onde complexe et ne pas confondre avec le nombre d'onde. IV.2.b Penser à la moyenne pour l'intensité. I IV.2.c Se rappeller que IEdB = 10 log et prendre garde que l'on veut la surIréf pression dans le corps de l'instrument. I. Propagation d'une onde sonore dans un tuyau I.1 Écrivons l'équation d'Euler projetée suivant l'axe (Ox) v v 1 P +v =- t x x Comme P0 est une constante, il ne reste plus que p dans la dérivation. Les termes en v et p étant des perturbations, on va linéariser cette équation pour ne garder que le premier ordre. p 1 p p 1 On développe = - +o 0 + x 0 x 20 x 0 v p et 2 sont donc supprimés comme étant du deuxième ordre x 0 x en perturbation (ils font intervenir un produit de termes d'ordre 1). Les termes en v On en déduit : 1 p v + =0 t 0 x (1) I.2.a Effectuons un bilan de conservation de la masse. Celui-ci montre que la variation de la masse comprise dans le volume Sdx entre les instants t et t+dt est égale à la masse rentrant en x moins celle sortant en x + dx. S(x) S(x + dx) [Sv](x)dt [Sv](x + dx)dt dx Ce qui donne : [S](x, t + dt)dx - [S](x, t)dx = [Sv](x, t)dt - [Sv](x + dx, t)dt Avec Taylor D'où (S) (Sv) dtdx = - dxdt t x (S) (Sv) + =0 t x (2) Une deuxième méthode consiste à utiliser une équation générale de conservation sous la forme - + div J = 0 t - En posant = S densité linéique de masse et J = S- v courant linéique de masse, on obtient bien (S) (Sv) + =0 t x I.2.b La variation de la section induit des vitesses non nulles suivant les axes (Oy) -- et (Oz). Ces vitesses n'interviennent que dans le terme en (- v . grad )- v . L'hypothèse dD 1 signifie que ces vitesses sont aussi du premier ordre en perturbation. On dx peut donc supprimer ces termes lors de la linéarisation pour retomber sur l'équation (1). I.2.c (Sv) v = (0 + )(S0 + S) + v x x On a S0 S + x x + Sv x v car tous les autres comportent des x produits d'au moins deux termes du premier ordre. L'équation (2) peut donc s'écrire où le seul terme du premier ordre est 0 S0 (S) v + 0 S0 =0 t x (3) S0 On utilise = 0 car le tuyau est à profil constant. On peut néanmoins x retenir la présence de ce terme qui nous servira pour la question IV.1.a. (S) S Il est à remarquer que se linéarise aussi en 0 +S0 , les termes t t t S et S étant du second ordre du fait que les parties non perturbées t t de S et ne dépendent pas du temps. I.3.a Pour trouver l'équation de propagation pour la pression, il faut faire apparaître des dérivées secondes de p par rapport à t et à x. Pour ce faire, dérivons l'équation (1) par rapport à x et l'équation (3) par rapport au temps. (1) donne (3) donne 2v 1 2p =- x t 0 x2 2v 1 = t x 0 S0 (4) 2S 2 0 2 + S0 2 t t (5) Développons (P) en terme de perturbation de pression : (P + p) = 0 + p De même D'où S(P + p) = S0 + p 2 2 p d = t2 t2 dP et p=0 d dP p=0 dS dP p=0 + o (p) + o (p) 2S 2 p dS = t2 t2 dP au premier ordre. p=0 On peut remplacer les présentes expressions dans l'équation (5). La combinaison des équations (4) et (5) donne alors ! 1 2p 1 d dS 2p - = S + 0 0 0 x2 0 S0 dP p=0 dP p=0 t2