X/ENS Physique A PC 2025

ECOLE POLYTECHNIQUE
ESPCI

CONCOURS D'ADMISSION 2025

MARDI 15 AVRIL 2025
08h00 - 12h00
FILIERE PC

-

Epreuve n° 3

PHYSIQUE A

(XE)

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Miroirs à retournement temporel

Miroir à renversement du temps (illustration issue de [1])

Dans ce problème, on se propose d'étudier le concept de "miroirs à retournement 
temporel",
développés sous l'impulsion du physicien français Mathias Fink. Il s'agit de 
faire remonter le
temps et de faire vivre aux ondes leur propre passé. Ainsi, on peut créer un 
champ d'ondes qui
revient se focaliser spatialement et temporellement sur les sources qui l'ont 
initialement généré.
Cette propriété résulte de l'invariance par renversement du temps de la 
propagation.

Nous montrons analytiquement comment ces expériences sont d'autant plus 
performantes que
le milieu de propagation est complexe, c'est-à-dire présentant de multiples 
ondes secondaires
générées lors de réexions.

[1] Mathias Fink, et al., "Time-reversed acoustics," Rep. Prog. Phys., vol. 63, 
p. 1933 (2000).

1

Questions préliminaires de mécanique

1. On s'intéresse à une particule de masse m et de charge q soumise à un champ 
électrique
~ = E0 u~x . À t = 0, la particule située à l'origine a une vitesse initiale 
v~0 =v0 u~x .
uniforme E
Établir l'équation horaire ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) d'évolution de la 
particule.

2. Que devient cette équation si on inverse le sens du temps t  -t ainsi que le 
signe de

la condition initiale ? Si l'équation reste inchangée, on parle d'invariance 
par renversement du
temps du mouvement. Est-ce le cas ?

3. Cette même particule (avec la même condition initiale que précédemment) est 
cette fois-ci

soumise à un frottement uide (caractérisé par la constante K ) à la place du 
champ électrique.
Établir l'équation horaire de la particule dans ces conditions.

4. A-t-on invariance par renversement du temps dans cette conguration ?

5. Expliquer la diérence fondamentale entre la force électrique et la force de 
frottement uide

qui conduit à cette diérence de comportement vis-à-vis du renversement du 
temps. Mathématiquement, d'où vient cette diérence ?

Ondes et renversement du temps

On s'intéresse désormais au cas de l'équation d'ondes vériée par le champ 
d'ondes scalaire u(~r, t)
dans un milieu homogène de célérité c0 en l'absence d'excitation initiale :
u(~r, t) -

1 2
u(~r, t) = 0
c20 t2

(1)

Renversement du temps et causalité

Pour simplier le problème, on commence à une dimension avec le champ d'ondes 
u(x, t).

6. Supposons que u(x, t) est une solution de cette équation. Est-ce que u(x, 
-t) l'est aussi ?

Qu'est-ce que cela signie physiquement ?

7. On place en x = 0 une source qui émet un signal temporel s(t). Cette 
émission donne naissance

à une onde se propageant vers les x positifs et une onde se propageant vers les 
x négatifs, et
pour des raisons de symétrie ces deux ondes doivent avoir la même amplitude. 
Donner la solution
analytique u0 (x, t  0), dite solution causale, à ce problème en séparant les 
cas x > 0 et x < 0. Expliquer à quoi correspondent les diérents termes de cette solution. 8. On eectue l'opération de renversement du temps (t0 = -t). Comment s'écrit l'onde, dite non-causale, u0 (x, t0  0) ? Interpréter le résultat. Passage d'une interface 9. On considère une interface en x = 0 séparant 2 milieux de célérités respectives c1 pour x  0 et c2 pour x > 0. On suppose une onde incidente d'amplitude 1 sur cette interface 
depuis x = -.
Elle donne naissance à une onde transmise d'amplitude t12 et une onde rééchie 
d'amplitude r12

comme représenté sur le schéma suivant :

2

10. Faire le schéma de la situation précédente en supposant un renversement du 
temps (on pensera à bien préciser les diérentes amplitudes des ondes en jeu). 
Combien d'ondes sont incidentes
sur l'interface ? Et combien d'ondes en repartent ?
11. On note r21 et t21 les coecients de réexion et de transmission dans la 
situation duale de

la précédente où l'onde incidente d'amplitude 1 provient de x = +. En 
réécrivant la situation
renversée temporellement, qui a été analysée à la question précédente, comme 
une superposition
de deux situations usuelles de transmission/réexion évaluer t21 et r21 en 
fonction de r12 et t12 .
12. Ces relations sont-elles vériées dans le cas d'une onde optique se 
propageant vers une

interface entre un milieu d'indice n1 et un milieu d'indice n2 ?

Miroir à retournement temporel en milieu homogène

Plutôt que d'eectuer un renversement du temps intégral, on propose de fabriquer 
un "miroir à
renversement du temps". Celui-ci consiste à enregistrer le signal reçu dans une 
première phase
puis à réémettre en chronologie inverse ce signal.
Considérations temporelles
13. Dans la première phase, notre miroir M situé en x0 > 0 enregistre le signal 
R(t) reçu lorsque

la source S située en x = 0 émet un signal s(t). Donner l'expression de R(t).

14. Ce signal est enregistré pendant un temps T (choisi susamment long an que 
la totalité

du signal issu de la source soit arrivé). Puis, à l'instant t = T , M réémet le 
signal qu'il a reçu,
mais en le lisant avec une chronologie inverse (ce qui est arrivé juste avant t 
= T est émis quasiimmédiatement alors que ce qui avait été reçu proche de t = 0 
est maintenant émis proche de
l'instant t = 2T ).
Dessiner sur un axe temporel allant de 0 à 2T , le signal s(t) (choisir la 
forme), puis le signal
R(t), et enn le signal RRT (t) que va émettre le miroir à retournement temporel.
15. Donner l'expression de RRT (t) en fonction du signal s évalué à un instant 
t0 que l'on précisera

en fonction de t, T , x0 et c0 .

16. Suite à l'émission de RRT (t) par le point M , des ondes se propagent dans 
notre milieu
unidimensionnel, mais on ne va se concentrer que sur les ondes produites pour x 
 x0 (on oublie
les ondes partant dans la direction x  ).
Écrire le champ d'onde uRT (x, t) créé pour x  x0 suite à l'émission de RRT (t) 
à nouveau en
fonction du signal s évalué à un nouvel instant t0 que l'on précisera en 
fonction de t, T , x et c0 .
17. Que vaut le signal sRT (t) reçu en x = 0 ? Comment ce résultat est-il 
présenté sur la gure

en début d'énoncé ?

18. Dans la situation précédente, nous n'avons pas recréé l'intégralité de la 
solution souhaitée.

En eet, il nous faut également récupérer l'information partie en direction de x 
= -. Ainsi,
on place un deuxième miroir à renversement du temps en x = -x0 qui émet en même 
temps que
le miroir placé en x = x0 .
Calculer le nouveau champ global uRT 2 (x, t) résultant pour -x0  x  x0 .

19. On imagine que s(t) correspond à une impulsion brève (relativement à tous 
les autres temps
en jeu dans ce problème). Représenter le champ uRT 2 (x, t) à plusieurs 
instants autour du temps
caractéristique t = 2T . À un changement d'origine du temps près, identier les 
solutions causales
et anti-causales présentées précédemment.
20. Que faudrait-il faire au niveau de la source pour ne recréer que la 
solution anti-causale (à

savoir avoir un champ nul pour t  2T ).

3

Considérations spatiales

Pour mieux appréhender le problème spatialement suite à ces considérations de 
causalité, il est
utile de se placer dans un problème tridimensionnel.

21. Que devient l'équation d'ondes appliquée à u(~
r, t) pour un problème
à symétrie sphérique ?i
h
2
1  2 r
1  sin  /
1
On rappelle la relation en coordonnées sphériques :   r r2 + r2 sin 
+ sin12  2 .

22. Que devient cette équation en régime monochromatique u(r, t) = < u(r, )e-it . 23. Déduire des solutions de cette équation l'expression analytique des ondes acoustiques mono- chromatiques convergente uc (r, ) et divergente ud (r, ). On introduira respectivement Uc et Ud les amplitudes (complexes) de ces deux ondes. 24. On place une source monochromatique en ~ r = ~0 qui génère donc une onde divergente. Cette onde est enregistrée sur une sphère (centrée sur l'origine) qui constitue notre "miroir à retournement temporel". Puis, on suppose que cette sphère émet ce champ retourné temporellement comme précédemment. La sphère génère une onde convergente qui revient vers la source initiale, mais comme précédemment cette onde ne s'arrête pas et poursuit sa route donnant naissance à une onde divergente. Ainsi, après retournement temporel le champ total est la superposition d'une onde convergente et d'une divergente. An de garantir une solution nie en r = 0, montrer qu'il existe une relation simple entre Uc et Ud qu'on exprimera. Par la suite, on note Uc = U0 . 25. Tracer le module du champ total, superposition de ces 2 ondes, en fonction de r . On précisera une longueur caractéristique. 26. Ce calcul met en évidence que la refocalisation par retournement temporel ne permet pas de revenir parfaitement sur la source initiale. De quelle limite fondamentale de la physique ondulatoire s'agit-il ? Dans quelle application la retrouve-t-on ? Contraintes expérimentales 27. Expérimentalement, on ne peut pas non plus enregistrer le champ intégral sur la sphère englobant la source initiale mais on doit enregistrer sur un réseau de capteurs discrets. Pour avoir un échantillonnage susant du champ il faut que chaque capteur corresponde à un élément 2 de surface 4 . Combien faudrait-il de capteurs pour couvrir une sphère de rayon 10 ? Miroir à renversement du temps en milieu réverbérant Pour garder les performances de la sphère mais en utilisant un miroir à retournement temporel composé d'un unique élément, l'idée est de se placer dans un milieu réverbérant plutôt que de rester en espace libre homogène. De cette manière, un récepteur unique placé en M situé dans ce milieu réverbérant ne reçoit pas seulement un trajet direct mais une superposition de signaux correspondant à tous les échos sur les parois de cette cavité réverbérante. Cavité Fabry-Pérot Commençons par le cas uni-dimensionnel mais ajoutons un peu de complexité au milieu. Pour cela, nous nous plaçons dans la situation où l'on a 2 interfaces en x = ±L. Le milieu de célérité c2 occupe l'espace -L < x < L alors que la célérité vaut c1 partout ailleurs. On reprend ainsi les coecients de transmission et réexion t12 , t21 , r12 et r21 introduits précédemment. 28. On considère une source située en x = -x0 qui émet un signal s(t). Évaluer l'expression 4 mathématique du champ R(t) reçu en M situé en x = x0 (avec x0 > L) en 
considérant les
éventuelles multiples réexions aux diérentes interfaces.

t2
avec  un temps caractéristique plus court que les autres
2 2
temps en jeu. Tracer l'allure de R(t).

29. On suppose s(t) = exp

-

30. Comme en espace libre précédemment, le signal R(t) est lu en chronologie 
inverse puis réémis

après un temps T que l'on considèrera susamment long an de s'assurer que 
l'intégralité du
signal a été reçu.
Calculer le signal temporel, sRT (t), reçu en x = -x0 consécutif à cette 
émission en fonction
de T , des coecients de réexion et transmission et s(t). En se plaçant dans les 
hypothèses de
la question précédente, dessiner l'allure du signal. Retrouve-t-on le signal 
initialement émis ?

31. An de comprendre plus en détail ce qu'il s'est passé dans cette expérience 
impulsionnelle, il

peut-être utile de regarder ce qu'il
monochromatique. Imaginons que le signal
n se passe en régime
o
émis est de la forme s(t) = < S() exp(-it) . Évaluer la réponse monochromatique R() reçue en M situé en x = x0 à la pulsation  . 32. Quelles sont les fréquences de résonance de ce système ? Quelle condition vérie la longueur L à ces fréquences ? 33. À la lumière de cette réponse monochromatique, expliquer pourquoi l'expérience utilisant un miroir à retournement temporel composé d'un unique capteur dans cette conguration ne peut pas recréer le signal initial comme c'était le cas en milieu homogène. Milieu réverbérant Pour pallier ce problème, on imagine maintenant une situation bien plus complexe à 3 dimensions où la source et le miroir à retournement temporel sont situés dans un milieu présentant plus de diversité, ce qui est le cas d'une cavité réverbérante. Dans ces conditions, lorsque la source émet une impulsion brève de durée  comme précédemment, on va supposer que le signal R(t) reçu en M se met sous la forme d'une succession d'impulsions : R(t) = Nt X an s(t - t0 - n ) n=0 où les an correspondent à une amplitude aléatoire comprise entre -1 et 1, t0 à un temps caractéristique avant l'arrivée du premier signal, et Nt correspond au nombre d'échos enregistrés (que l'on supposera relativement grand). 34. Par retour inverse des ondes, le signal reçu en ~ r = ~0 lorsque M émet une impulsion s(t) subit la même modication qu'à l'aller. Que vaut le signal sRT (t) reçu à l'origine lorsque M joue le rôle de "miroir à retournement temporel" ? 35. Que vaut ce signal à t = 2T ? On rappelle que les amplitudes an correspondent à des variables aléatoires à moyenne nulle, considérées indépendantes les unes des autres. 36. Que vaut le champ reçu pour tous les instants t = 2T + n ? 37. Commenter. 5