X/ENS Physique A PC 2021

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE POLYTECHNIQUE
ESPCI

CONCOURS D'ADMI SSION 2021

MARDI 13 AVRIL 2021
08h00 - 12h00

FILIERE PC - Epreuve n° 3

PHYSIQUE A (XE)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Imagerie par tomographie photoacoustique

Introduction !

De vieilles découvertes en physique peuvent
soudainement révolutionner des technologies
quand on les combine avec d'autres plus ré-
centes. C'est ce qui est advenu avec l'effet
photoacoustique qui, grâce au laser, fournit
maintenant une nouvelle technique d'image-
rie médicale appelée la tomographie photoa-
coustique.

On envoie des faisceaux d'impulsions laser
à travers des tissus biologiques. Ces impul-
sions chauffent certains tissus, qui en consé-
quence génèrent des ultrasons que l'on peut
détecter avec des capteurs adéquats. Dans
certains cas, pour maximiser l'effet, on uti-
lise des nanoparticules d'or qui absorbent
mieux la chaleur. Un ordinateur et des algo-
rithmes de traitement du signal permettent
alors de reconstituer des images à haute ré-
solution, par exemple de l'intérieur d'un cer-

© Junjie Yao et Lihong Wang, WUSTL

veau de rat (figure ci-contre). Bien que la technique soit encore 
principalement utilisée dans des
expériences de laboratoire, les chercheurs travaillent sur des applications 
cliniques telles que

l'étude de trajectoires sanguines dans le cerveau.

Dans ce sujet on s'intéresse à cette modalité d'imagerie médicale émergente et 
on décompose
l'étude en 4 parties largement indépendantes les unes des autres. À noter que 
quelques
expressions mathématiques utiles sont regroupées dans un formulaire en fin 
d'énoncé.

1. Texte extrait et adapté d'un article publié dans Futura Sciences en 2015 
sous la plume de Laurent Sacco.
I. Étude de la source laser

1. Le laser utilisé comme source est un laser Nd' VAG dont le diagramme des 
niveaux énergétiques
est décrit sur la figure 1. Déduire de ce diagramme l'énergie des photons émis 
par ce laser, puis
la longueur d'onde )o. À quel domaine du spectre électromagnétique ce faisceau 
appartient-il ?
Pour l'application numérique, on considèrera la valeur approchée de la 
constante de Planck
suivante : À © -- x 107% J.s

Energie (eV)

4

transition rapide

1,5 + ---- -  hNon-radiative
1,45 + --

|

hv

AN

Pompage optique
Emission Laser

0,2 + Rs

transition rapide
0 ---- --

non-radiative

Niveau
fondamental

FIGURE 1 -- Diagramme simplifié des niveaux d'énergie du laser Nd:YAG

2. Afin de changer la longueur d'onde de travail un cristal de triborate de 
lithium LiB305 peut
être utilisé. En effet, si E1(t) = Eisin(wit) et E2(t) -- E2sin(wot) sont les 
champs électriques
scalaires de 2 ondes arrivant sur le cristal, on peut obtenir en sortie du 
cristal un champ électrique
E,(t) & (E1(t) + Eo(t))°. En imaginant que les ondes incidentes sur le cristal 
sont soit les ondes
issues du laser soit des ondes qui sont déjà sorties du cristal, déterminer les 
différentes longueurs
d'onde accessibles par cette méthode.

10000 r

100

Absorbance [cm'!]
o

200 1000 5000
Longueur d'onde [nm]

FIGURE 2 -- Diagramme d'absorption des principaux absorbeurs endogènes des 
tissus biologiques (Hb
représente l'hémoglobine).

3. On appelle fenêtre de transparence biologique le domaine de longueurs d'onde 
pour lequel
on peut imager les tissus biologiques en profondeur sans absorption. À l'aide 
du graphe de la
figure 2, donner un ordre de grandeur de cette fenêtre de transparence 
biologique. Parmi les
longueurs d'onde calculées précédemment pour le laser Nd:YAG, avec ou sans 
cristal, quelle est
celle que vous choiïsiriez pour faire de l'imagerie en profondeur sans 
absorption dans les tissus
biologiques ?

4. Le laser fonctionne dans un régime dit « impulsionnel » : c'est-à-dire qu'il 
émet des impulsions
lumineuses courtes d'une durée 7, -- 5 ns, avec une cadence de répétition fre 
-- 1 kHz. Les
normes d'exposition à un tel laser sur la peau fixent une valeur maximale & -- 
100 W.cm ? à
l'énergie lumineuse reçue par seconde et par unité de surface de la peau. On 
suppose que l'on
utilise un laser dont le faisceau a un diamètre de 1 mm à travers un objectif 
de focale 1 cm. Quelle
est la surface de la tache focale ? Dans ces conditions, calculer la puissance 
crête maximale du

laser pour respecter la norme mentionnée.
IT. Génération photo-acoustique

5. Lorsque la lumière du laser pénètre dans les tissus biologiques, elle peut 
être absorbée par
ceux-ci en fonction de leur coeæfficient d'absorption à la longueur d'onde 
utilisée. Sous quelle forme
l'énergie optique absorbée par la matière rencontrée peut-elle être convertie ? 
Décrire les différents
phénomènes d'interaction lumière-matière que vous connaissez en donnant des 
exemples.

Pour maximiser l'absorption, on utilise des nanoparticules d'or comme agents de 
contraste. On
considère donc la fraction d'énergie optique absorbée et convertie sous forme 
de chaleur par cette
nanoparticule sphérique de rayon a, de conductivité thermique K,, de masse 
volumique p, et de
capacité calorifique massique à pression constante EUR,,. Le milieu environnant 
est assimilé à de
l'eau de conductivité thermique «, de masse volumique p et de capacité 
calorifique massique EUR».
Pour les applications numériques on prendra les valeurs suivantes :

a = 100 nm
Kky = 300 Wim !K7!
Pg = 20.10° kg.m *
Cp, = 120 JSK kg
Kk=0,5 W.m LK !
Cp = 4000 J.K7! kg"!

6. Après avoir expliqué pourquoi il est légitime de supposer que l'eau 
n'absorbe pas l'impulsion
lumineuse produite par le laser, établir l'équation de la diffusion thermique 
dans l'eau (r > a)
à l'aide d'un bilan conservatif à préciser. Étant donné la géométrie sphérique 
des nanoparticules
on traitera le problème en coordonnées sphériques.

7. Faire de même dans la nanoparticule (r < a) en tenant compte de la puissance absorbée par unité de volume de la nanoparticule que l'on notera Py(r,t) suite à l'impulsion laser. 8. Par analyse dimensionnelle estimer les temps caractéristiques 7, et 7 d'évolution de la tempé- rature au sein de la nanoparticule et dans l'eau à une distance a de la nanoparticule. Comparer les valeurs de 7,, 7, et Te. et discuter ces différentes échelles de temps. À partir de leur comparai- son, établir le scénario de l'élévation de température, puis du retour à l'équilibre, à la fois dans l'or et dans l'eau. 9. Pour r < a, intégrer l'équation obtenue sur le volume de la nanoparticule en considé- rant que celle-ci absorbe l'énergie optique de manière homogène sur l'ensemble de son vo- lume. On introduira la température moyenne au sein de la nanoparticule que l'on notera Tj(t) = ÿ Jf] T(r,t)dv.. nanoparticule 10. En précisant les expressions de D, «a, et B, en fonction des données du problème, vérifier 3 que les équations précédentes peuvent se mettre sous la forme : O(rT) | O(rT) pour Tr > a: JO -- D Dr?
dTy OT

dé Or |,._,-

pour r 
LD i i 'i '1 i ni i i but i ' Du buts ' ' Du tt ®,
a Ke Va Ban 2 RCE 1 1 tot OU US ous hi D FORT
D Ecoulement laminaire 1 ; ST 0002 ©
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© 0.015 717] Béton. grossier 1025 peste RUE RE a CR ER EUSS CET TR ET RON 9 
10--4
4 ' £ Se Lg ' i i i ' -- À À d ORGUE x +
oe : | Béton, neuf lisse 0025 |! tri ! RS iii =
le 1 T Il pi k ind 0.0025 £ e Ù 276,400 + ui : 1 11 1 1 LE : mt dt 4 EUR
E À RE 5 | Turbulence complète : : 7" tt Ft à 10 << D ' Verre, Plexiglass 0.0025 ' ' NO D C'EST ' ' ' 1 tutti: ' 1 1 À i 1 ' : : Y 5 QD © ' Fer. Fonte 0.15 ' RE LA CEA i \ '1 ï ï TT 5 x 10 Fr 0.01 el RS Esbot= sé dot Los oces fnssfasbmetsdiibibisese à bastéidisssssdsss Gates LS ee S © VTT Égout, usé 3D [unten NU bone Qi noise 1! Acier, revêtement ciment 0.1 NU ON RAT SR 2 M! TT FO + = mm 77777771 E Q&lm ' 1 thus i ' 1 ii: 1 1 11: 5 | Acier, rouillé 05 |-t-3.3. £ -- 24 Ap iiitit.t.3 tte" RE 107 | | Acier, de construction ou forgé | 0.025 ; pV l via ne : h » LI : ; CET OX 106 | [érpeeation deu ee 0 Jr print 5 OL iii |! Tuyau lisse ri * EUR ; > u e
10% 104 10° 106 107 105

Nombre de Reynolds,

FIGURE / - Diagramme de Moody.

31. On définit la résistance à l'écoulement R en régime stationnaire par la 
relation suivante :

AP
R -- D, où Dy est le débit volumique et AP la perte de charge. Estimer la 
résistance à

l'écoulement d'un capillaire Rp et celle de l'aorte Roorte. 91 l'on simplifie 
la structure sanguine
du corps humain, on peut considérer que l'ensemble des vaisseaux est composé de 
l'aorte qui doit
alimenter un réseau de N capillaires en parallèle. Combien faut-il alors de 
capillaires pour que
la résistance à l'écoulement de l'ensemble des capillaires soit égale à celle 
de l'aorte ?
Formulaire

Equation de Navier-Stokes :

(27 + (Cv ° grad)Y) -- Fest -- gradP + AT

où p représente la masse volumique du fluide considéré, Fou la densité 
volumique de forces
extérieures et 7 la viscosité dynamique du fluide.

Formulaire mathématique :

En coordonnées sphériques (r,0,) le Laplacien s'écrit :

1 d(rU) 1 Ô OÙ OU
AU = À ._ ao f. AOU OU
7 r Or? ï r2 sin? 0 (sin V5 (sin ° 00 | ï 0? )

Pour une fonction ÜU qui ne dépend que de la variable r on a :

1 Ô ( 0 _ 16 (rU)

r20r\ dr)

r. Or?

En coordonnées cylindriques (r, 0,2) pour un champ vectoriel À(r. 0,z) = A,u + 
Apug + A,u:
les expressions de la divergence et du rotationnel de ce champ s'écrivent :

.--+ 1ô(rA4) 1049 A,
div À == Dr r 00 à

r 00 Ôz

--j-- 104; OA5\-, OÀ, h OA; \_ 1 O(r A) h 1 04, \
rot À = ( je (Se Or ja+ Or r O0 2

Pour un champ vectoriel de la forme À -- A;(r)%. le Laplacien vectoriel de À 
s'écrit :

AÂ-10 | Je

r Ôr "Or

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


© Éditions H&K

X/ENS Physique A PC 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Amélie Gay (ENS Lyon) ; il a été relu par Louis 
Salkin
(professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE).

Ce sujet s'intéresse à l'imagerie médicale par tomographie photoacoustique. Il 
est
composé de quatre parties : trois sur ses mécanismes et son fonctionnement, une 
sur
son application à la circulation sanguine. Elles peuvent se traiter 
indépendamment
les unes des autres bien que les données numériques utiles soient fournies au 
fur et à
mesure de l'énoncé.
· La première partie étudie la source laser à l'origine de l'effet 
photoacoustique.
Cette partie plutôt qualitative fait appel à quelques notions de physique du
laser et d'optique ondulatoire.
· La deuxième partie porte sur la diffusion thermique consécutive à l'absorption
de la lumière par des nanoparticules d'or utilisées comme agent de contraste.
Pour cette partie, il faut savoir faire des bilans thermiques et être à l'aise 
avec
les équations différentielles.
· La troisième partie propose d'abord d'étudier les ondes acoustiques générées
par les variations de température à la surface des nanoparticules d'or. Puis 
elle
s'intéresse à la détection des ondes acoustiques par des capteurs et aux limites
de cette imagerie. Cette étude nécessite de mobiliser ses connaissances sur les
ondes acoustiques. Elle utilise également une analogie avec l'optique.
· La dernière partie ouvre sur une application avec la mesure de la vitesse du
sang dans l'aorte et dans les capillaires. L'effet Doppler et la mécanique des
fluides sont au centre de cette partie, leur maîtrise est indispensable.
Ce sujet balaie la totalité de la mécanique des fluides, incluant l'acoustique, 
ainsi
que la diffusion thermique et les ondes. Comme souvent à l'X, la calculatrice 
n'était
pas autorisée ; cependant, les applications numériques étaient relativement 
aisées.

© Éditions H&K

Indications
Partie I
1 La charge élémentaire vaut e = 1,6 × 10-19 C.
2 Il faut utiliser les formules trigonométriques pour linéariser la relation 
trouvée.
4 Utiliser l'ouverture angulaire d'une tache de diffraction puis le fait que la 
tache
est située à la distance focale de l'objectif.
Partie II
6 L'équation de diffusion thermique s'établit en faisant un bilan d'enthalpie 
sur une
calotte sphérique d'épaisseur dr entre les instants t et t + dt.
11 Il faut constater que PV est proportionnelle à la dérivée de Tg .

12 Poser r T (r, t) = f (u) avec u = r/(2 Dt) pour trouver une solution 
particulière.
Une autre solution particulière est T (r, t) = Cte .
Partie III
-
-
13 La vitesse se met sous la forme 
v = v (r, t) 
er . Effectuer le bilan de masse sur
une calotte sphérique d'épaisseur dr.
16 Ne pas oublier que t 2 T (r, t)   (r). Par conséquent, en dehors de r = 0, 
l'équation est une équation de d'Alembert sans terme source. Avec le 
formulaire, il faut
obtenir une équation différentielle pour r pa .
18 Déterminer l'amplitude de la pression à la surface de la particule grâce au 
graphique.
19 Pour faire les mesures, les trains d'onde doivent être réceptionnés dans 
leur ordre
d'émission.
23 Faire un schéma et distinguer deux cas suivant la parité du nombre de 
capteurs.
Partie IV
24 Cette question traite de l'effet Doppler : on cherche à établir les temps de 
réception
de deux signaux émis à deux instants séparés d'une période T.
27 L'énoncé indique que l'écoulement est irrotationnel selon l'axe (Oz). Ainsi, 
la
- -
-
composante suivant 
e de rot 
v est nulle.
z

29 La définition du coefficient de friction est erronée, il faut utiliser celle 
donnée sur
le diagramme de Moody à la question 30 :
=

2 D P
 v 2 L

30 La rugosité est le rapport de la hauteur caractéristique  des rugosités et du
diamètre de la conduite. Supposer que l'aorte a une paroi lisse.
31 Faire une analogie électrique avec la loi d'Ohm.

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I. Étude de la source laser
1 L'émission radiative se produit entre E2 = 1,45 eV et E1 = 0,2 eV. Ainsi, les
photons émis ont une énergie E = E2 - E1 = 1,25 eV, soit en joules grâce à la 
charge
élémentaire e = 1,6 × 10-19 C,
E = 1,6 × 10-19 × 1,25 = 2,0 × 10-19 J
La quantité d'énergie correspondant à un électron-volt est celle de l'énergie
électrostatique (Eél = q V) gagnée lorsque la charge élémentaire e est déplacée
entre deux points dont le potentiel électrostatique diffère d'un volt.
Calculons la longueur d'onde 0 des photons émis grâce à la relation de 
PlanckEinstein E = h 0 et 0 = c/0 :
0 =

hc
20/3 × 10-34 × 3,0 × 108
=
= 1,0 × 10-6 m = 1,0 µm
E
2,0 × 10-19

Ce faisceau appartient au rayonnement infrarouge du spectre électromagnétique.
2 Si E1 (t) = E1 sin(1 t) et E2 (t) = E2 sin(2 t) sont les deux champs en 
entrée du
cristal, alors le champ électrique en sortie de celui-ci s'écrit
Es (t)  (E1 (t) + E2 (t))

Soit

2

 E1 2 sin2 (1 t) + E2 2 sin2 (2 t) + 2 E1 E2 sin(1 t) sin(2 t)

1 - cos(2 1 t)
1 - cos(2 2 t)
Es (t)  E1 2
+ E2 2
2
2
+ E1 E2 (cos((1 - 2 )t) - cos((1 + 2 )t))

L'onde électrique de sortie est alors composée des pulsations 2 1 , 2 2 , 1 + 2
et |1 - 2 |. Comme à l'origine, elle est issue de l'interaction d'une onde de 
pulsation 0 avec elle-même, elle est composée de pulsations n multiples de 0 : 
n = n 0
avec n entier non nul. Ainsi, en utilisant le fait que n = 2c/n , les longueurs 
d'onde
accessibles sont
n =

1
0
n

Elles sont donc toutes inférieures à la longueur d'onde d'origine 0 .
3 Pour imager en profondeur, il faut choisir une longueur d'onde telle que les 
absorbances de l'hémoglobine et de l'eau soient les plus faibles possibles. Si 
on choisit
que le critère de transparence correspond à une absorbance inférieure à 10 cm-1 
,
La fenêtre de transparence se situe entre 700 et 1 500 nm.
La longueur d'onde à choisir est celle obtenue sans cristal : 0 = 1 000 nm.

Publié dans les Annales des Concours

© Éditions H&K

4 Le faisceau laser est diffracté par une pupille circulaire de diamètre D et de
focale f , d'où l'ouverture angulaire est donnée par
0
1,0 × 10-6
= 1 × 10-3  1
=
D
1 × 10-3
Comme les rayons lumineux sont issus d'un laser, ils sont quasiment parallèles 
entre
eux et la tache de diffraction est focalisée à la distance focale f .
=

r

D

f
D'après le schéma ci-dessus, son rayon r est donné par
r
tan  =
f
Comme   1, tan    et r ' 0 f /D. Sa surface S est alors

S'

0 f
D

2

=

1,0 × 10-6 × 1 × 10-2
1 × 10-3

2

= 3 × 10-6 cm2

Cette expression du rayon de la tache de diffraction est l'ordre de grandeur de 
ce qui est appelé la tache d'Airy issue de la diffraction de rayons
lumineux provenant de l'infini, donc parallèles entre eux, et passant par une
pupille circulaire :
1,22 0 f
r=
D
Au lieu de considérer que le faisceau laser est constitué de rayons parallèles 
entre eux, on peut supposer que le faisceau est gaussien avec des rayons
paraxiaux. La lentille convergente est placée de telle sorte que la longueur de
Rayleigh LR du faisceau laser soit très supérieure à la distance focale f de
cette première. Par conséquent, les rayons arrivent quasiment parallèles sur la
lentille et forment un faisceau de largeur w0 = 0,5 mm. Ils sont focalisés sur
le plan focal en une tache de rayon w00 . Ce rayon minimum du faisceau appelé
« waist » est lié à l'angle d'ouverture  représenté sur le schéma ci-dessous
par  = 0 /w00 .
w0

w0

f

Géométriquement,

tan  =

w0
f

Comme w0 /f = 0,05  1, tan    et w00 ' 0 f /w0 . La surface de la tache
est alors
2

0 f
S'
= 1 × 10-6 cm2
 w0
On retrouve le même ordre de grandeur que précédemment, car le phénomène
de diffraction est aussi en jeu.