X/ENS Physique A PC 2020

Thème de l'épreuve La lumière ralentie
Principaux outils utilisés mécanique, électromagnétisme, physique quantique
Mots clefs transparence induite, photon, agitation thermique, oscillations forcées, vitesse de groupe, vitesse de phase, indice optique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI

CONCOURS D'ADMISSION 2020

MARDI 21 AVRIL 2020 -- 8h00 - 12h00
FILIÈRE PC - Épreuve n°3

PHYSIQUE A
(XE)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
10

15

20

25

30

35

Commencez par lire attentivement ce texte, ce qui devrait vous prendre environ 
30 minutes.

Puis répondez aux questions de la partie intitulée "Analyse de l'article".

D)

La lumière ralentie!

Résumé

Il est possible de ralentir la propagation de la lumière dans un milieu 
constitué d'atomes froids.
Un laser dont la fréquence est ajustée à une transition atomique bien choisie 
place l'ensemble des
atomes dans un état qui les rend incapables d'absorber la lumière à cette 
fréquence. Une impulsion
laser émise autour de cette fréquence peut alors être considérablement ralentie.

1 Le dispositif expérimental

Les matériaux transparents ralentissent la
lumière et on nomme indice de réfraction le quo-
tient de la vitesse de la lumière dans le vide et
de sa vitesse dans un milieu donné. Le diamant,
dont l'indice de réfraction est l'un des plus élevés,
ne ralentit la lumière que d'un facteur 2,4. Pour
obtenir un ralentissement d'un facteur dix mil-
lions, on utilise la "transparence induite", un effet
d'origine quantique observé pour la première fois
dans les années 1990. La transparence induite
permet de rendre transparent un nuage de gaz à
une fréquence où il aurait dû être opaque. Pour
cela, il est préparé par un laser -- dit de couplage
-- dont la fréquence est ajustée à une transition
atomique bien choisie.

Malheureusement, cette manipulation est per-
turbée par l'agitation thermique des atomes. En
effet, lorsqu'un atome se rapproche ou s'éloigne
d'une source monochromatique, il la perçoit avec
une fréquence différente. À cause de l'agitation
thermique, tout se passe comme si les atomes re-
cevaient un faisceau dont la fréquence est mal
ajustée. Pour limiter cet effet, il faut refroidir le
gaz à l'aide d'un dispositif combinant faisceaux
laser et champ magnétique.

La préparation du gaz débute dans un four
qui émet un intense faisceau d'atomes de sodium
propulsés à environ 720 m/s. Ils rencontrent alors
un faisceau laser. En heurtant les atomes, les
photons du laser les ralentissent à 40 m/s en
une milliseconde. La poursuite du refroidisse-
ment s'opère au moyen de six faisceaux qui baig-
nent les atomes de tous côtés et les ralentis-
sent encore pour les amener à 50 uK. Les fais-
ceaux laser sont alors éteints et les atomes sont

40

45

50

55

60

65

70

piégés dans un champ magnétique. Le gaz est
ensuite refroidi par évaporation : modifier lente-
ment la profondeur du puit de potentiel qui les
piège permet d'éjecter les atomes les plus rapi-
des. Les quelques millions d'atomes restants ont
une température de 500 nK et forment un nu-
age en forme de cigare de 229 um de longueur et
50 um de diamètre. Tout le processus se déroule
dans une chambre où règne une pression 101# fois
inférieure à la pression atmosphérique.

Une fois prêt, le gaz d'atomes est éclairé
latéralement par le laser de couplage, puis une
impulsion lumineuse est émise, qui le traverse
dans le sens de la longueur. Un détecteur de
lumière permet de mesurer la durée que met
l'impulsion pour traverser le nuage, qui varie
de quelques micro- à quelques millisecondes.
Immédiatement après cette mesure, la longueur
du nuage est déterminée avec un autre faisceau
laser qui l'éclaire par dessous et projette son om-
bre sur une caméra. Cette longueur divisée par
le temps de traversée donne la vitesse de propa-
gation de l'impulsion.

2 La transparence induite

Le sodium appartient à la famille des alcalins
qui regroupe les éléments n'ayant qu'un seul
électron de valence. Lorsque celui-ci est sur
son orbitale fondamentale, son énergie est min-
imale. Lorsqu'il quitte cette orbitale, il acquiert
d'autant plus d'énergie qu'il s'éloigne du noyau :
quand l'électron occupe une orbitale permise de
grand rayon, l'atome est dans un état excité.

Par ailleurs, l'électron de valence et le noyau
de l'atome ont tous deux un moment magnétique

ITexte extrait et adapté d'un article publié dans le dossier n°53 de la revue 
Pour la science paru en 2006 sous la plume
de Lene Verstergaard Hau. Les figures 3 et 4 sont extraites de Lene Vestergaard 
Hau et al., Light speed reduction to 17
metres per second in an ultracold atomic gas, Nature 397, 594--598 (1999).
75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

associé à un moment cinétique intrinsèque
nommé spin. Lorsque ces deux spins sont anti-
parallèles, l'énergie d'interaction de leurs champs
magnétiques est minimale ; elle est maximale
lorsqu'ils sont parallèles. L'énergie d'un état ex-
cité dépend donc aussi de l'alignement des spins
électronique et nucléaire.

Bien qu'un atome puisse occuper une mul-
titude d'états d'énergie, nous n'en avons utilisé
que trois pour ralentir la lumière. Après sa
préparation, le nuage de sodium ultra-froid ne
contient que des atomes dans l'état fondamental
(état 1) dont l'énergie est minimale : l'électron
de valence est sur le niveau le plus bas, son spin
et celui du noyau sont antiparallèles. L'état 2
ressemble beaucoup à l'état 1, mais les spins de
l'électron et du noyau sont parallèles : cela le
place 7,4 ueV au-dessus de l'état 1. L'état 3 est
un niveau excité avec les spins de l'électron et du
noyau antiparallèles. Il est, quant à lui, 2,1 eV
au-dessus de l'état 1. En se désexcitant de l'état
3, l'atome émet une lumière dont la fréquence cor-
respond à la couleur jaune des lampes à vapeur
de sodium.

L'impulsion lumineuse que nous voulons
ralentir est réglée sur une fréquence voisine de
celle de la transition 1-3. Si cette impulsion
est envoyée sur le nuage sans précaution, les
atomes l'absorbent plus ou moins en passant de
l'état 1 à l'état 3. Puis ils se désexcitent rapi-
dement et retombent dans l'état 1 en émettant
la lumière jaune correspondante dans toutes les
directions. L'analyse de l'intensité de la lumière
transmise révèle un profil d'absorption centré sur
la fréquence de la transition 1-3. L'ajout du laser
de couplage, réglé sur la fréquence de la transi-
tion 2-3, empêche l'absorption dans une bande
étroite de fréquences centrée sur celle de la tran-
sition 1-3. C'est cette situation de transparence
induite par la présence du laser de couplage qui
permet de ralentir l'impulsion lumineuse.

Une analogie mécanique permet de décrire la
situation. Les transitions atomiques 1-3 et 2-3
peuvent être modélisées par deux oscillateurs har-
moniques amortis indépendants de masses iden-
tiques m, de raideurs k, = mu? et ko = mu.
Envoyer une impulsion lumineuse de pulsation
w voisine de celle de la transition 1-3 (w;) re-
vient à exciter l'oscillateur correspondant avec
une force harmonique F(t) de même pulsation
que l'impulsion lumineuse (voir figure 1).

Dans cette situation, la puissance transférée à
l'oscillateur varie en fonction de la pulsation exci-
tatrice w en suivant le profil habituel d'absorption
résonante (voir figure 2a). Dans cette analo-
gie mécanique, le laser de couplage joue le rôle

130

135

d'un ressort liant les deux masses, dont la raideur
K = m9? est proportionnelle à son intensité lu-
mineuse. Sa présence modifie aussi la raideur
des deux oscillateurs qui deviennent k, -- K et
k> -- K. Le profil d'absorption de ce système est
représenté sur les figures 2b et c.

Une fois rendu transparent par l'action du
laser de couplage, l'indice de réfraction du nu-
age vaut exactement un -- comme dans le vide --
pour la lumière dont la fréquence correspond très
précisément à la transition de l'état 1 vers l'état
3. Toutefois, aux fréquences voisines, l'indice de
réfraction ne vaut plus exactement un.

Figure 1: Le modèle mécanique unidimensionnel
utilisé pour décrire les trois niveaux de l'atome
de sodium en interaction avec les deux lasers.

Puissance absorbée (unité arbitraire)

0.1

0.0
W1 (unité arbitraire)

ON
E
Il
E

Figure 2: Puissance moyenne (sur une période)
fournie par la force extérieure F(t) sans couplage
(a) puis pour des valeurs croissantes de Q (b-c).
140

145

150

155

160

190

195

200

205

3 La lumiere ralentie

Si l'indice de réfraction vaut 1 pour la fréquence
correspondant à la transition vers l'état 3,
l'impulsion, réglée sur cette fréquence, ne devrait-
elle pas progresser à la vitesse de la lumière dans
le vide ? Non, parce que l'indice de réfraction
du nuage varie très rapidement autour de cette
fréquence fondamentale et qu'une impulsion lu-
mineuse ne contient jamais une seule fréquence,
mais un intervalle de fréquences.

Une impulsion est en effet une superposition
d'oscillations sinusoïdales de fréquences voisines.
Le pic d'intensité de l'impulsion est l'endroit où
toutes ces oscillations sont en phase, où toutes
leurs crêtes coïncident. La vitesse de ce pic, que
l'on nomme vitesse de groupe, n'est pas toujours
égale à la célérité des ondes sinusoïdales -- la
vitesse de phase -- constituant l'impulsion. Dans
le vide, la vitesse de phase vaut environ 300 000
kilomètres par seconde pour toutes les fréquences.
Dans ce cas, toutes les ondes sinusoïdales con-
stituant l'impulsion avancent à la même vitesse,
et le point où elles sont en phase également.
L'impulsion progresse alors aussi à la vitesse
de la lumière dans le vide, vitesse de phase et

Appendice :

Une impulsion lumineuse est une onde électro-
magnétique de courte durée. Sa vitesse de phase
vs est la célérité d'un point de cette onde tan-
dis que sa vitesse de groupe v, est la vitesse à
laquelle progresse l'enveloppe du motif oscillant.
Une impulsion lumineuse est la somme d'ondes si-
nusoïdales de diverses fréquences. Quand l'indice
de réfraction du milieu où se propage l'impulsion
ne varie pas avec la fréquence, toutes ses com-
posantes se propagent à la même vitesse
la vitesse de phase et la vitesse de groupe
sont égales. En revanche, quand l'indice de
réfraction du milieu varie avec la fréquence, les
composantes de l'impulsion se déplacent à des
célérités différentes, de sorte que vitesse de phase
et vitesse de groupe sont différentes.

L'onde résultant de la superposition de deux
ondes sinusoïdales de pulsation w et w: est le pro-
duit de deux ondes sinusoïdales que l'on désigne

165

170

175

180

185

210

215

220

225

vitesse de groupe sont égales. Toutefois, lorsque
l'indice de réfraction varie avec la fréquence,
les différentes ondes constituant l'impulsion se
déplacent à des vitesses différentes, ce qui modifie
le déplacement du pic d'intensité de l'impulsion.
En fait, la vitesse de groupe, celle à laquelle pro-
gresse l'impulsion, diminue d'autant plus vite que
l'indice de réfraction augmente rapidement avec
la fréquence (voir appendice).

Cette façon de ralentir la lumière est très
différente de ce qui se passe dans un milieu trans-
parent ordinaire. Dans notre cas, la vitesse de
groupe est réduite, mais la vitesse de phase est
très peu modifiée, car l'indice de réfraction reste
proche de 1. L'indice varie brusquement sur un
intervalle de fréquences étroit (voir la figure 3b)
ce qui provoque une diminution de la vitesse de
groupe d'un facteur de l'ordre de 10 millions.

Enfin, le ralentissement de l'impulsion lu-
mineuse est mesuré en comparant de façon très
précise l'instant où elle est détectée avec celui
où l'on détecte l'impulsion en l'absence du gaz
d'atomes (voir figure 4). Une impulsion ralentie
sort du dispositif avec une intensité diminuée, car
le nuage n'est pas parfaitement transparent.

vitesse de phase et vitesse de groupe

par onde motif et onde enveloppe. La pulsation
de l'onde motif est la moyenne de w; et wo. Sa
vitesse, qui n'est autre que la vitesse de phase,
est liée à l'indice de réfraction à cette pulsation
moyenne. Quant à l'onde enveloppe, sa pulsa-
tion est proportionnelle à la différence entre w:
et wo. La vitesse de groupe dépend donc de
l'écart entre les deux indices de réfraction n(w:)
et n(wo2), c'est-à-dire de la variation de l'indice de
réfraction avec la pulsation.

Ce raisonnement se généralise à une impul-
sion quelconque. Sa vitesse de phase est donnée
par l'indice de réfraction à la pulsation moyenne
de l'impulsion et sa vitesse de groupe dépend de
la variation de l'indice de réfraction avec la pul-
sation : quand l'indice croît avec la pulsation,
la vitesse de groupe est d'autant plus petite que
l'indice varie rapidement.
0.8
0.7 | a
0.6 |
0.5 |
0.4 |
0.3 |
0.2 |

Sr gg
--30 --20 --10 0 10 20 30
Écart de pulsation 5w (105 rad/s)

Transmission

1.006 | .
1.004 |
1.002 :
1.000 |
0.998 |
0.996 |
0.994 |
_30 20 10 O0 10 20 80
Ecart de pulsation dw (106 rad/s)

Indice de réfraction

Figure 3: a : Transmission du nuage d'atomes en fonction de l'écart entre la 
pulsation de l'impulsion et la
pulsation de la transition 1-3. Le nuage, d'une longueur égale à 229 um, a une 
température de 450 nK et
une densité de 3,3 x 101% atomes/m*. Le laser de couplage, accordé sur la 
transition 2-3, a une intensité
de 520 W/m°. La position du pic est décalée de la pulsation de résonance de 0,6 
x 10% rad/s à cause de
l'effet Stark dynamique, non discuté ici. b : Variation de l'indice de 
réfraction du nuage en fonction de
l'écart de pulsation de l'impulsion avec la pulsation de résonance de la 
transition 1-3.

Signal du photomultiplicateur (mV)

Temps (US)

Figure 4: Mesure du retard de l'impulsion lumineuse. La courbe de référence 
(sans atomes dans le
dispositif) est représentée en points blancs. La courbe en points noirs 
représente celle de l'impulsion ayant
traversé le nuage d'atomes. Les courbes en trait plein sont les ajustements aux 
courbes expérimentales.
Analyse de l'article

Constante d'Avogadro Na = 6x 107 mol !
Vitesse de la lumière dans le vide ce = 3x1 ms !
Constante de Boltzmann kp © 107 J.K-!
Constante de Planck réduite h/2r=h © 10% Js
Masse molaire du sodium M © 20g.mol |

Pour les applications numériques, on se contentera d'un seul chiffre 
significatif.

I - Le dispositif expérimental
1. Quel est l'effet mis en jeu aux lignes 19 à 21 ? Rappeler la formule donnant 
la fréquence

perçue par l'atome en fonction de sa vitesse relative à la source lumineuse.

2. Donner l'expression littérale du nombre de photons nécessaire pour ralentir 
un atome de
sodium à la sortie du four (lignes 27-32). On notera À la longueur d'onde du 
laser. Estimer
l'ordre de grandeur de ce nombre de photons.

3. Expliquer pourquoi la modification de la profondeur du piège magnétique 
permet d'éjecter
les atomes les plus rapides (lignes 37-41).

4. Pourquoi cette éjection conduit-elle à un refroidissement du gaz résiduel ?

5. Quelle est l'ordre de grandeur de la vitesse moyenne des atomes une fois les 
processus de
piégeage et de refroidissement terminés ?

6. À votre avis, pourquoi faut-il maintenir une si faible pression dans la 
chambre d'expérimentation ?

7. Rappeler comment l'énergie d'une transition atomique est reliée à sa 
pulsation (lignes 91-94).

II - Étude de l'analogie mécanique

Nous allons maintenant étudier l'analogie mécanique proposée aux lignes 112-132.

8. Dans la suite, nous allons supposer que wi = w2. Justifiez cette 
approximation en vous
appuyant sur le texte.

9. Écrire les équations différentielles d'évolution du système représenté sur 
la figure 1. On notera
zi(t) et x2(t) les déplacements des deux masses par rapport à leurs positions 
d'équilibre, et on
écrira les forces d'amortissement de chacun des oscillateurs sous la forme 
--my;%1 et --my2@,
où t; = dx;/dt, et "1 et y2 sont les coefficients d'amortissement 
correspondants.

10. Écrire la forme algébrique que prend ce système en régime sinusoïdal forcé 
à la pulsation
w. On notera x; l'amplitude complexe du déplacement de l'oscillateur 1.

11. Dans cette question uniquement, on considère que les oscillateurs ne sont 
pas amortis.
Quelles sont alors les pulsations de résonance w, et w_ ? Donner l'expression 
de Q, = [wi --w |
dans la limite où Q << w1. On suppose dorénavant que 72 = 0 tout en conservant y; > 0.

12. Réécrire, sans le résoudre, le système obtenu à la question 10 en posant w 
= wi + ôw et en
éliminant (? au profit de {?,.

13. On suppose que w1 est très grand devant 1, [ôw| et Q,. Simplifier le 
système précédent.

14. Vérifier qu'une force extérieure de la forme F(t) = Fcoswt, où l'amplitude 
F est réelle et
positive, fournit, en moyenne sur une période, la puissance à Fur Im(x,) (où 
Im(x;) désigne la
partie imaginaire de l'amplitude complexe du déplacement de l'oscillateur 1), à 
un signe près
qui dépend de la convention choisie à la question 10 dans l'exponentielle 
complexe.

15. Retrouver la courbe de la figure 2a. Donner l'expression de sa largeur à 
mi-hauteur.
16. Décrire le mouvement des oscillateurs dans le cas où ôw = 0 et (, Æ 0. 
Commenter.
17. Déterminer l'expression de x, (ôw) en fonction de ôw.

18. Simplifier cette expression quand [ôwl EUR Q,..

19. Retrouver la forme des figures 2b et 2c en analysant les configurations 
pour lesquelles ôw
tend vers zéro ou devient très grand. Donner une expression littérale de la 
largeur du creux
central.

III - Transparence induite

Nous allons maintenant utiliser les résultats précédents pour comprendre la 
transparence
induite. On admet que l'indice complexe du gaz d'atomes est donné par n(w) 
=1+Czx;(w)/F,
où C est proportionnel au nombre d'atomes par unité de volume.

20. Sachant que l'expérience est menée avec un laser opérant en lumière visible 
(jaune du
sodium), quel est l'ordre de grandeur de wi ?

21. On donne pour cette expérience les valeurs 71 = 6,3 x 10° rad/s et Q, -- 
0,21. Vérifier
que l'on est bien dans les conditions de la question 13.

22. Comment (), dépend-il de l'intensité du laser de couplage ?

23. Rappeler la relation donnant le nombre d'onde k en fonction de la pulsation 
w, de l'indice
du milieu n et la vitesse de la lumière c.

24. En s'aidant des résultats de la partie IT, expliquer le phénomène de 
transparence induite
(lignes 133-139).

25. Toujours en vous appuyant sur les résultats de la partie IT, déterminez une 
expression
littérale puis un ordre de grandeur numérique de l'intervalle de pulsation pour 
lequel le gaz
d'atomes est transparent à la lumière. Comparez votre résultat à la figure 3a. 
Comment la
largeur de cet intervalle varie-t-elle avec l'intensité lumineuse ?

IV - Lumière ralentie

26. Quelle est la vitesse de phase en w = wi ?

27. Dériver le nombre d'onde par rapport à la pulsation, puis exprimer la 
vitesse de groupe v,
de l'impulsion en fonction de w, c, de la partie réelle de n(w) notée n,(w), et 
de sa dérivée n/(w).

28. Grâce à la figure 3b, indiquer précisément dans quel intervalle de 
pulsation la lumière est
le plus ralentie.

29. En utilisant le résultat de la question 17 au voisinage de Ôw = 0, obtenir 
l'expression de la
vitesse de groupe en w = wi.

30. Grâce à la figure 4 et au texte de la légende de la figure 3, estimer la 
valeur numérique de
cette vitesse de groupe.

31. Au vu de cette valeur, comment peut-on simplifier l'expression obtenue à la 
question 29 ?
En déduire comment la vitesse de groupe à w = wi dépend de l'intensité du laser 
de couplage.

32. Quels sont l'avantage et l'inconvénient d'augmenter l'intensité du laser de 
couplage ?

---- Fin des questions

10

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Physique A PC 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tom Morel (professeur en CPGE) ; il a été relu par
Vincent Freulon (professeur en CPGE) et Émilie Frémont (professeur en CPGE).

Ce sujet s'intéresse à une expérience de ralentissement de la lumière. Les 
quatre
parties qui composent le sujet dépendent les unes des autres.
· Dans la première partie, on étudie quelques propriétés du dispositif 
expérimental. Elle nécessite une bonne compréhension des phénomènes mis en jeu 
et
décrits dans le document.
· Dans la deuxième partie, on s'intéresse à une analogie mécanique du phénomène 
de transparence induite. On détermine l'expression de l'amplitude complexe des 
oscillations du système modèle, puis on étudie la puissance moyenne
fournie par le terme excitateur. On vérifie enfin que le modèle permet de 
retrouver les courbes de réponse données dans le document. Cette partie est 
plutôt
calculatoire.
· La partie III utilise l'analogie mécanique de la partie précédente pour 
l'étude
électromagnétique de la transparence induite.
· Enfin, on regarde l'effet de la transparence induite sur le ralentissement de 
la
lumière en étudiant notamment les vitesses de phase et de groupe.
L'étude documentaire est maintenant devenue un classique en PC au concours
X-ENS. Ce sujet mélange des questions très proches du cours, moins calculatoires
que d'autres, et d'autres qui nécessitent de bien comprendre les expériences en 
jeu.
Même si le sujet peut sembler bref par le nombre de questions posées, certaines
d'entre elles demandent un réel effort d'initiative et de compréhension, 
d'autant que
peu d'indications ou de résultats intermédiaires sont fournis.

Indications
Partie I
2 Faire un bilan de quantité de mouvement en considérant le choc élastique.
4 Utiliser l'expression de l'énergie d'agitation thermique.
6 La pression est proportionnelle au nombre de particules présentes 
naturellement
dans le dispositif.
Partie II
10 On peut utiliser indifféremment les notations complexes
Xi = xi e jt

ou

Xi = xi e -jt

11 Déterminer l'expression de x1 en fonction de l'amplitude F.
14 La puissance p(t) de la force peut s'écrit
p(t) = F(t) v1 (t) = F(t) Re(j X1 )
15 La courbe de la figure 2a correspond au cas K = 0 donc  = 0. La largeur à
mi-hauteur est définie par hp(t)i = pmax /2.
19 Interpoler les courbes limites pour ||  r et ||  r .
Partie III
25 La transparence induite apparaît lorsque l'indice optique est égal à 1, 
c'est-à-dire
lorsque x1 = 0.
Partie IV
26 La vitesse de phase est définie par
v =

Re(k)

27 La vitesse de groupe est définie par
vg =

d
d[Re(k)]

30 La première impulsion a une vitesse c et la seconde se propage à la vitesse 
de
groupe v g . Les deux ondes parcourent une distance L.

I. Le dispositif expérimental
1 Lorsque la fréquence perçue par un récepteur, ici l'atome, en mouvement par
rapport à un émetteur, ici la source, est décalée par rapport à la fréquence de 
l'onde
émise par la source dans le référentiel de la source, on parle d'effet Doppler.
-
-
Notons 
v le vecteur vitesse du récepteur dans le référentiel de la source et 
u le
vecteur unitaire dirigé de la source vers le récepteur (voir schéma). La 
relation entre
la fréquence perçue f p et celle émise par la source f0 est

-
-
v ·
u
f p = f0 1 -
c

-
v

-
u
source

récepteur

Démontrons cette relation dans le cas où un récepteur s'éloigne de l'émetteur à 
une vitesse uniforme V. La source et l'émetteur sont séparés d'une
distance d à t = 0 . De plus, on suppose pour simplifier que l'émetteur émet
des bips sonores réguliers avec la période T0 = 1/f 0 .
Notons t1 l'instant de réception du premier bip émis à t = 0. Entre t = 0
et t1 , le bip parcourt une distance c t1 , tandis que le récepteur se déplace 
de
V t1 . Le récepteur reçoit donc le bip lorsque
d + V t1 = c t1
d
c-V
Le deuxième bip est émis à t = T0 . Notons t2 l'instant de réception du
deuxième bip. Le récepteur se situe à la distance d + V t2 de l'émetteur
et l'onde a parcouru une distance c (t2 - T0 ) après son émission. Ainsi, le
récepteur reçoit le deuxième bip lorsque
t1 =

d'où

d + V t2 = c(t2 - T0 )
d + V T0
c-V
La durée entre deux bips reçus par le récepteur est notée T et vaut
donc

t2 =

V
c-V
La fréquence perçue par le récepteur est par conséquent

1
V
f=
= f0 1 -
T
c
T = t2 - t1 = T0

Cette relation est aussi valable dans le cas où le récepteur se rapproche de
l'émetteur. Dans ce cas, il suffit de remplacer la vitesse V par -V. En effet,
-
-
ce changement revient à changer le signe du produit scalaire 
v ·
u.
2 Prenons le système isolé constitué de l'atome et d'un photon. La quantité de
mouvement du système est alors conservée et on peut écrire en vertu du principe
fondamental de la dynamique
-
-

p
= -
p
atome

photon

Publié dans les Annales des Concours

Supposons qu'un photon s'approche de l'atome avec la quantité de mouvement
h-

-
p photon,i = - 
n

-
où 
n désigne le vecteur unitaire orienté de l'atome vers le photon. On suppose le
choc élastique et frontal. Après le choc, le photon repart dans la direction 
opposée
avec une quantité de mouvement égale à
h-

-
p photon,f = 
n

2h -
-
-
d'où

p atome = - 
n = m 
v

-
avec m la masse de l'atome et 
v la variation de sa vitesse.
Si le choc est absorbant, le photon de sortie n'existe plus et il n'y a pas de
facteur 2. Dans le cas général, il faut remplacer le facteur 2 par un 
coefficient
 compris entre 1 et 2. Dans la suite, on conserve le facteur 2 ce qui ne change
pas l'ordre de grandeur.
Chaque photon contribue alors à diminuer la vitesse de l'atome d'une valeur v.
Pour N photons, on peut écrire en norme
2Nh
m  |v tot |
m |v tot | =
soit
N=

2h
Prenons un laser de longueur d'onde 600 nm. Avec |v tot | ' 7 · 102 m.s-1 et
m = M/NA , on parvient à
N=

2 · 10-2 × 6 · 10-7 × 7 · 102
' 104
2 × 6 · 1023 × 6 · 10-34

Il faut environ 104 photons pour baisser la vitesse de l'atome de 720 m.s-1 à 
40 m.s-1 .
3 Notons V0 la profondeur (homogène à une énergie) du puits de potentiel. 
D'après
le théorème de l'énergie cinétique pour un système conservatif, la vitesse v 
d'une
particule piégée est telle, qu'à tout instant au cours de son mouvement,
r
2V0
v< m Considérons le cas où l'énergie totale E de la particule vérifie V0 -  < E < V0 avec un paramètre compris entre 0 et V0 . Lorsqu'on abaisse les bords du puits de V = V0 à V < V0 - , la particule s'échappe à tous les coups (voir le schéma ci-dessous). En diminuant la profondeur du puits, les atomes plus rapides sont éjectés. Epuits avant l'atome s'échappe V0 après énergie d'un atome rapide largeur du puits