X/ENS Physique A PC 2019

Thème de l'épreuve Étude de la mécanique de l'audition humaine
Principaux outils utilisés acoustique, filtrage, ondes
Mots clefs filtres, coefficient de transmission/réflexion, propagation d'ondes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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X/ENS Physique A PC 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Amélie Gay (ENS Lyon) ; il a été relu par Thomas
Dupic (ENS Ulm) et Tom Morel (professeur en CPGE).

Ce problème porte sur le fonctionnement de l'audition humaine. Les trois 
composants de l'oreille donnent les trois parties du problème, qui sont 
relativement indépendantes.
· La première partie s'intéresse à l'oreille externe comme pavillon acoustique. 
On
étudie la propagation d'une onde acoustique dans un tube à section variable.
Elle fait appel au cours sur les ondes acoustiques.
· La deuxième partie porte, dans un premier temps, sur la transmission de l'onde
acoustique dans l'oreille moyenne via une interface air/eau. Dans un second
temps, on étudie le rôle des osselets, modélisés par un système masse-ressort,
dans la transmission de l'onde acoustique à l'oreille interne. Cette étude 
nécessite des notions d'acoustique puis une certaine aisance avec les filtres, 
qui ont
été vus principalement en électronique.
· La dernière partie propose une modélisation de l'oreille interne et, plus 
spécifiquement, de la cochlée. Pour cette partie, il faut mobiliser ses 
connaissances
sur les modes propres d'une corde vibrante et plus généralement sur les ondes.
Il faut aussi être à l'aise avec les calculs.
Ce sujet est de difficulté croissante : la première partie relève de l'exercice 
classique
de cours tandis que la troisième évolue vers des questions nécessitant une 
réflexion
physique. Globalement, ce sujet balaie toute l'acoustique et une grande partie 
des
notions sur les ondes et les filtres. Il constitue également un bon 
entraînement aux
sujets sans calculatrice car il demande de représenter des fonctions non 
triviales.

Indications
Partie I
5 Effectuer un bilan massique avec une masse entrante et une masse sortante.
7 Calculer proprement la force de pression qui s'applique sur la surface 
latérale.
13 Réécrire l'équation de dispersion tel que k = ik  et donner une condition 
pour
que ce polynôme ait des solutions réelles.
Partie II
19 Utiliser le fait que Zair  Zeau .
20 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la masse m en faisant 
attention aux signes pour les forces de pression et en considérant que le 
ressort ramène
la masse à sa position d'équilibre en x = 0.
23 Donner la valeur maximale du gain ainsi que le comportement asymptotique.
Partie III
28 L'onde, pour une corde fixée à ses extrémités, est stationnaire.
29 L'excitation des cordes s'effectue par résonance.
32 S'intéresser à la courbe du retard de phase.
33 Écrire la phase d'une onde plane à un instant donné.
36 Voir qu'on est dans le cadre d'une équation de d'Alembert classique.
38 Séparer l'équation différentielle en sa partie réelle et sa partie 
imaginaire.
39 Ne garder que la solution positive.
40 Préciser le domaine de définition de la fonction g.
41 Effectuer une séparation des variables avant d'intégrer sans chercher à 
remplacer
la fonction g par son expression dans un premier temps.
43 Penser à étudier 20 log |h(x, t)|.

Étude de la mécanique de l'audition humaine
I. L'oreille externe : un pavillon acoustique

1 Le repère choisi est un repère cylindrique (O, -
er , -
e , -
ez ). Les différentes grandeurs
physiques ne dépendent spatialement que de la variable z si la variation du 
rayon R
de la section S est lente par rapport à la variation de z ce qui se traduit par
dR
1
dz
2 Une transformation thermodynamique est isentropique si l'entropie ne varie 
pas, à
savoir si elle n'est ni créée ni échangée. Comme l'entropie créée vient de 
l'irréversibilité
de la transformation et que l'entropie est échangée par l'intermédiaire de la 
chaleur,
La transformation doit être adiabatique réversible.
Une autre possibilité pourrait être que l'entropie créée par l'irréversibilité
est dissipée sous forme de chaleur. Cependant ce cas est difficile à contrôler
expérimentalement.
3 Le coefficient de compressibilité isentropique 0 est défini par

1 dV
0 = -
V dP S
où V désigne le volume du système et S l'entropie.
4 On peut réécrire la définition précédente avec la grandeur  = m/V, en prenant
une masse de fluide m constante. D'où
d(1/)
0 = -
dP
1 d
 dP
1 a
0 
 p
=

Soit, au 1er ordre,
Ainsi,

a (z, t)  0 0 p(z, t)

5 Effectuons un bilan de masse m(z, t) sur le volume de fluide compris entre 
l'abscisse z et l'abscisse z + dz pendant dt :
m(z, t + dt) = m(z, t) + me (z, t) - ms (z + dz, t)
où me et ms désignent respectivement la masse entrant dans le système entre t et
t + dt et celle sortant du système, comme indiqué sur la figure ci-après.
y
masse
sortante
masse
entrante

0
z

z

z + dz

Or,

m(z, t + dt) = (z, t + dt) S(z) dz

m(z, t) = (z, t) S(z) dz

me (z, t) = (z, t) S(z) v(z, t) dt

ms (z + dz, t) = (z + dz, t) S(z + dz) v(z + dz, t) dt

En ne gardant que les termes dominants des développements limités au voisinage 
de
z et de t, on a
S(z)

 ( S v)
+
=0
t
z

On reconnaît l'équation de conservation de la masse vue dans le cours sur les
ondes acoustiques en supposant que la section S(z) est constante.
6 À l'ordre le plus bas, l'équation s'écrit
a
0 (S v)
+
=0
t
S(z) z

-
7 Effectuons un bilan de quantité de mouvement P (z, t) en appliquant le 
principe
fondamental de la dynamique dans le référentiel terrestre supposé galiléen sur 
le
volume compris entre z et z + dz. D'où

-

-
-

-

-
P (z, t + dt) = P (z, t) + P e (z, t) - P s (z + dz, t) + F dt
-
 -

où P e et P s sont respectivement les quantités de mouvement entrante et 
sortante du

-
système pendant dt. F désigne la résultante des forces qui s'applique sur le 
système
et qui crée de la quantité de mouvement pendant dt. Pour ce problème, on 
néglige le
poids et les forces dues à la viscosité. Il ne reste donc que les forces de 
pression.

-
-
-
-
F = P(z, t) S(z) 
ez - P(z + dz, t) S(z + dz) 
ez + Fpl
-
(, z) le vecteur
avec Fpl les forces de pression sur la surface latérale. En notant -
u
n
normal sortant à la surface latérale, comme représenté sur la figure ci-après, 
on a
Z 2 Z z+dz
-
(z  , ) d dz 
Fpl = -
P(z  , t) R(z  ) -
u
n
0

z

y

-

u
n

dR

dz
z

-

ez
-

er

-

u
n

-
Définissons (z) l'angle que fait le plan tangent et le vecteur 
ez , d'où
-

u(, z) = sin (z) -
e + cos (z) -
e
n

z

r