X/ENS Physique A PC 2019

Thème de l'épreuve Étude de la mécanique de l'audition humaine
Principaux outils utilisés acoustique, filtrage, ondes
Mots clefs filtres, coefficient de transmission/réflexion, propagation d'ondes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 X/ENS Physique A PC 2019 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Amélie Gay (ENS Lyon) ; il a été relu par Thomas Dupic (ENS Ulm) et Tom Morel (professeur en CPGE). Ce problème porte sur le fonctionnement de l'audition humaine. Les trois composants de l'oreille donnent les trois parties du problème, qui sont relativement indépendantes. · La première partie s'intéresse à l'oreille externe comme pavillon acoustique. On étudie la propagation d'une onde acoustique dans un tube à section variable. Elle fait appel au cours sur les ondes acoustiques. · La deuxième partie porte, dans un premier temps, sur la transmission de l'onde acoustique dans l'oreille moyenne via une interface air/eau. Dans un second temps, on étudie le rôle des osselets, modélisés par un système masse-ressort, dans la transmission de l'onde acoustique à l'oreille interne. Cette étude nécessite des notions d'acoustique puis une certaine aisance avec les filtres, qui ont été vus principalement en électronique. · La dernière partie propose une modélisation de l'oreille interne et, plus spécifiquement, de la cochlée. Pour cette partie, il faut mobiliser ses connaissances sur les modes propres d'une corde vibrante et plus généralement sur les ondes. Il faut aussi être à l'aise avec les calculs. Ce sujet est de difficulté croissante : la première partie relève de l'exercice classique de cours tandis que la troisième évolue vers des questions nécessitant une réflexion physique. Globalement, ce sujet balaie toute l'acoustique et une grande partie des notions sur les ondes et les filtres. Il constitue également un bon entraînement aux sujets sans calculatrice car il demande de représenter des fonctions non triviales. Indications Partie I 5 Effectuer un bilan massique avec une masse entrante et une masse sortante. 7 Calculer proprement la force de pression qui s'applique sur la surface latérale. 13 Réécrire l'équation de dispersion tel que k = ik et donner une condition pour que ce polynôme ait des solutions réelles. Partie II 19 Utiliser le fait que Zair Zeau . 20 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la masse m en faisant attention aux signes pour les forces de pression et en considérant que le ressort ramène la masse à sa position d'équilibre en x = 0. 23 Donner la valeur maximale du gain ainsi que le comportement asymptotique. Partie III 28 L'onde, pour une corde fixée à ses extrémités, est stationnaire. 29 L'excitation des cordes s'effectue par résonance. 32 S'intéresser à la courbe du retard de phase. 33 Écrire la phase d'une onde plane à un instant donné. 36 Voir qu'on est dans le cadre d'une équation de d'Alembert classique. 38 Séparer l'équation différentielle en sa partie réelle et sa partie imaginaire. 39 Ne garder que la solution positive. 40 Préciser le domaine de définition de la fonction g. 41 Effectuer une séparation des variables avant d'intégrer sans chercher à remplacer la fonction g par son expression dans un premier temps. 43 Penser à étudier 20 log |h(x, t)|. Étude de la mécanique de l'audition humaine I. L'oreille externe : un pavillon acoustique 1 Le repère choisi est un repère cylindrique (O, - er , - e , - ez ). Les différentes grandeurs physiques ne dépendent spatialement que de la variable z si la variation du rayon R de la section S est lente par rapport à la variation de z ce qui se traduit par dR 1 dz 2 Une transformation thermodynamique est isentropique si l'entropie ne varie pas, à savoir si elle n'est ni créée ni échangée. Comme l'entropie créée vient de l'irréversibilité de la transformation et que l'entropie est échangée par l'intermédiaire de la chaleur, La transformation doit être adiabatique réversible. Une autre possibilité pourrait être que l'entropie créée par l'irréversibilité est dissipée sous forme de chaleur. Cependant ce cas est difficile à contrôler expérimentalement. 3 Le coefficient de compressibilité isentropique 0 est défini par 1 dV 0 = - V dP S où V désigne le volume du système et S l'entropie. 4 On peut réécrire la définition précédente avec la grandeur = m/V, en prenant une masse de fluide m constante. D'où d(1/) 0 = - dP 1 d dP 1 a 0 p = Soit, au 1er ordre, Ainsi, a (z, t) 0 0 p(z, t) 5 Effectuons un bilan de masse m(z, t) sur le volume de fluide compris entre l'abscisse z et l'abscisse z + dz pendant dt : m(z, t + dt) = m(z, t) + me (z, t) - ms (z + dz, t) où me et ms désignent respectivement la masse entrant dans le système entre t et t + dt et celle sortant du système, comme indiqué sur la figure ci-après. y masse sortante masse entrante 0 z z z + dz Or, m(z, t + dt) = (z, t + dt) S(z) dz m(z, t) = (z, t) S(z) dz me (z, t) = (z, t) S(z) v(z, t) dt ms (z + dz, t) = (z + dz, t) S(z + dz) v(z + dz, t) dt En ne gardant que les termes dominants des développements limités au voisinage de z et de t, on a S(z) ( S v) + =0 t z On reconnaît l'équation de conservation de la masse vue dans le cours sur les ondes acoustiques en supposant que la section S(z) est constante. 6 À l'ordre le plus bas, l'équation s'écrit a 0 (S v) + =0 t S(z) z - 7 Effectuons un bilan de quantité de mouvement P (z, t) en appliquant le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel terrestre supposé galiléen sur le volume compris entre z et z + dz. D'où - - - - - P (z, t + dt) = P (z, t) + P e (z, t) - P s (z + dz, t) + F dt - - où P e et P s sont respectivement les quantités de mouvement entrante et sortante du - système pendant dt. F désigne la résultante des forces qui s'applique sur le système et qui crée de la quantité de mouvement pendant dt. Pour ce problème, on néglige le poids et les forces dues à la viscosité. Il ne reste donc que les forces de pression. - - - - F = P(z, t) S(z) ez - P(z + dz, t) S(z + dz) ez + Fpl - (, z) le vecteur avec Fpl les forces de pression sur la surface latérale. En notant - u n normal sortant à la surface latérale, comme représenté sur la figure ci-après, on a Z 2 Z z+dz - (z , ) d dz Fpl = - P(z , t) R(z ) - u n 0 z y - u n dR dz z - ez - er - u n - Définissons (z) l'angle que fait le plan tangent et le vecteur ez , d'où - u(, z) = sin (z) - e + cos (z) - e n z r