X/ENS Physique A PC 2019

Thème de l'épreuve Étude de la mécanique de l'audition humaine
Principaux outils utilisés acoustique, filtrage, ondes
Mots clefs filtres, coefficient de transmission/réflexion, propagation d'ondes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE POLYIECHNIQUE - ESPCI

CONCOURS D'ADMISSION 2019

VENDREDI 19 AVRIL 2019 - 8h00 - 12h00
FILIERE PC - Epreuve n° 3

PHYSIQUE A
(XE)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Étude de la mécanique de l'audition humaine

Nous nous proposons d'étudier les principaux mécanismes qui entrent en jeu dans 
l'audition.
L'oreille humaine se décompose en trois parties (Figure 1) que nous allons 
étudier successivement.
-- Les différentes parties de ce problème sont indépendantes et peuvent donc 
être traitées
séparément.
-- Certaines questions ne requièrent aucun calcul : vous serez alors évalué(e) 
sur la qualité
de votre argumentation et votre sens physique.
Tout au long de ce problème, les grandeurs physiques sinusoïdalement 
oscillantes seront repré-
sentées par une grandeur complexe notée x(t) = Xe "f,

oreille externe

FIGURE 1 --- Schéma de l'oreille humaine

I. L'oreille externe : un pavillon acoustique

On considère l'air comme un fluide initialement au repos, c'est-à-dire tel que 
les champs de
vitesse, de pression et de masse volumique s'écrivent :

dr, t) = 0 P(F,t) = P, p(F,t) = po

En présence d'une petite perturbation ces champs deviennent :

ü(r,t) Z Ü P(Ft) = Po+p(r,0) p(rit) = po + pa(r,t)

Et on fera l'hypothèse de petites perturbations par rapport à l'équilibre, 
c'est-à-dire p/P5 1
et Pa/po EUR 1.

L'oreille externe se comporte comme un pavillon acoustique qui intercepte les 
ondes planes acous-
tiques se propageant dans l'air pour les amener jusqu'au tympan. Pour 
comprendre son utilité,
nous modélisons l'oreille externe par un tuyau circulaire d'axe z et dont la 
section S(z) varie en
fonction de l'abscisse z (Figure 2). On s'intéresse alors au volume d'air situé 
entre les abscisses
z et z + dz.

section S(2)

Y

FIGURE 2 - Schéma du pavillon acoustique

1. On souhaite établir l'équation qui régit la propagation dans ce conduit. 
Pour cela on sup-
pose tout d'abord que les différentes grandeurs physiques ne dépendent 
spatialement que de la
variable z. Dans quelle condition cette hypothèse sera vérifiée ?

2. Dans ce cadre, quelles conditions une transformation thermodynamique 
doit-elle satisfaire
pour pouvoir être considérée comme isentropique ? Nous nous placerons 
dorénavant dans cette
situation.

3. Donner alors la définition de la compressibilité, notée Yo, d'un fluide 
subissant une transfor-
mation satisfaisant cette condition.

4. En déduire une relation, après linéarisation, qui relie p(z,t), pa(z,t), po 
et Xo.

5. Exprimer la variation de masse du volume d'air situé entre les abscisses z 
et z + dz pendant
un intervalle de temps dt.

6. Linéariser l'équation précédente pour obtenir l'équation de conservation de 
la masse dans le
conduit considéré.

7. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à l'élément de volume 
compris entre les
abscisses z et z + dz (remarque : on n'oubliera pas de prendre en compte les 
forces de pression
dues au changement de section).

8. Linéariser l'équation précédente et ne garder que les termes d'ordre 1.

9. À partir des équations précédentes, obtenir l'équation de propagation des 
ondes vérifiée par
la vitesse particulaire, v, dans un tel conduit :

ot? : OZ

-- ou C ----------

dv (35) | 2. 1
POoX0

On considère désormais que la section du conduit à un profil exponentiel du 
type : S(z) = Soe 5.
10. Obtenir l'équation d'onde vérifiée par la vitesse particulaire dans cette 
géométrie.

11. Quelle différence a-t-on par rapport à une équation d'onde en espace libre 
dans un fluide
homogène ?
12. En déduire la relation de dispersion des ondes en cherchant une solution 
sous la forme
v(z,t) = voe "= #t (k étant éventuellement complexe, que l'on notera k = k! + 
ik").

13. À quelle condition a-t-on une solution dont le nombre d'onde est imaginaire 
pur ? Est-ce
vérifié pour les fréquences caractéristiques de la parole (100 Hz - 1 kHz), 
dans le cas de l'oreille
humaine où l'on considère que la longueur caractéristique du pavillon est Ô = 5 
mm ? On rappelle
Cair = 340 ms !.

14. Application numérique. On considère une onde plane venant de z = --® dans 
ce conduit.
Au niveau de l'entrée de l'oreille (z & -- 30 mm), l'amplitude est celle du 
seuil de l'audition,
soit v1 -- 50 nm.s !. Évaluer la vitesse particulaire à 1 kHz au niveau du 
tympan (2 -- 0)?
(remarque : on donne e° & 400 et on ne gardera que la solution de plus forte 
amplitude au lieu
de faire la superpostion de 2 solutions).

15. Tracer l'allure de la solution v(z,t) retenue pour la fréquence de 1 kHz en 
fonction de z, à
un instant { où cette vitesse est extrémale.

16. Conclure quant au rôle de l'oreille externe dans ce modèle.

IT. L'oreille moyenne

Les cellules sensorielles de l'audition sont situées dans l'oreille interne et 
baignent dans un milieu
aqueux, alors que l'oreille externe est quant à elle située dans l'air. Il faut 
donc que les ondes
acoustiques aériennes soient transformées en ondes se propageant dans un milieu 
aqueux.

Afin de fixer les ordres de grandeur, nous considérons ici une onde plane 
monochromatique de
pulsation w qui arrive en incidence normale sur une interface infinie entre 
deux milieux fluides,
définis par leurs célérités c1 et c2 et leurs masses volumiques p1 et p2. 
L'interface sera prise
comme le plan Oxy.

17. On note p;, p, et pr la pression des ondes incidente, réfléchie et 
transmise, v;, v,. et vw, les
vitesses particulaires associées. En appliquant les relations de continuité à 
l'interface, donner les
a p ._ p
expressions des coefficients de réflexion r = ?° et transmission 7 -- +7 en 
pression.
LE; --À
18. Exprimer les coefficients de réflexion À et de transmission T des 
puissances acoustiques en
fonction de p;, Dr, Dtr, Vi, Ur et Ur. Calculer R et T7.

19. Application numérique. Calculer l'intensité acoustique transmise à 
l'interface air/eau. On

marteau 2 © enclume

étrier
section S.

oreille interne
FE --+

Per

" Fenêtre
ovale oreille externe

| tympan
section S:

pit tîer * s Ps
TR
Trompe d'Eustache ns

FIGURE 3 --- On modélise l'oreille moyenne (à gauche) par un système 
masse-ressort qui relie rigidement
un piston du côté de l'oreille externe de section S; à un autre piston du côté 
de l'oreille interne de section
Se. On note x(t) l'abscisse de ce second piston à l'instant t.
rappelle : pair = 1,25 ke.m ", Cair = 340 m.S_!, Peau -- 1000 ke.m * et Ceau = 
1500 m.s_!.

L'oreille moyenne se trouve typiquement à une interface air/eau. Elle est 
constituée du tympan
et de l'enchaînement de 3 osselets (marteau, enclume et étrier). Son 
fonctionnement peut être
modélisé par un système de type masse-ressort (Figure 3).

20. Appliquer le principe fondamental de la dynamique pour établir l'équation 
vérifiée par le
déplacement x(t) de l'extrémité de l'étrier (remarque : on considère qu'à la 
position æ = 0 la
force exercée par le ressort est nulle).

dx(t)
dt :

21. Donner la définition de l'impédance acoustique Z0 en fonction de p.(t) et 
de &(t) --
On supposera que l'impédance acoustique Z est réelle et égale à celle de l'eau.

22. En déduire l'expression du gain en pression G(w) -- p./p+ lorsque le 
système est excité en
régime sinusoïdal (x(t) = zoe"*?).

23. Donner l'allure de la courbe de |G(w)| en décibels.

24. Quel type de filtre reconnaît-on ? En donner sa pulsation propre et son 
facteur de qualité.
Quels sont les comportements asymptotiques de |G| à basses et hautes fréquences 
?

25. Application numérique. Dans la pratique, le tympan a une surface $; de 70 
mm° et l'extrémité
de l'étrier a une surface S4 de 3,3 mm°. Quelle est la valeur maximale du gain ?

26. En utilisant cette valeur de gain et le facteur de transmission trouvé 
précédemment, donner
le facteur de transmission de la puissance acoustique à travers l'oreille 
moyenne.

27. Pourquoi l'oreille moyenne est-elle nécessaire aux humains alors que de 
nombreux poissons
en sont dépourvus ?

III. La cochlée : un spectromètre acoustique

Une fois qu'une pression à été générée dans l'oreille interne, il faut qu'elle 
soit convertie en une
information utile pour le cerveau et ceci s'effectue essentiellement au sein de 
la cochlée, une
partie de l'oreille interne. En 1863, Helmholtz montre que cet organe en forme 
de colimaçon est
composé d'une succession de cordes vibrantes de longueurs L, variables 
maintenues immobiles
à leurs deux extrémités (Figure 4).

28. Quels sont les fréquences et modes propres d'une corde de longueur L 
maintenue immobile
aux deux extrémités ? (remarque : on donnera par exemple la forme du 
déplacement vertical pour
les différentes fréquences propres).

29. Si on émet une onde monochromatique de pulsation w sur cet ensemble de 
cordes, quelles
sont celles susceptibles de montrer un déplacement non uniformément nul ?

30. Si on part du principe qu'un potentiel d'action sera envoyé dans le cas où 
le déplacement d'une
corde dépasse un certain seuil, en déduire que la cochlée se comporte comme un 
spectromètre.

Von Bekesy a montré expérimentalement que la propagation dans la cochlée ne 
peut pas être
simplement modélisée comme celle d'une onde plane se propageant dans un fluide 
et nous allons
maintenant étudier cette onde particulière. La cochlée est un conduit qui a une 
forme de serpentin,
séparé en 2 canaux différents par une membrane élastique. Pour simplifier, nous 
étudierons la
géométrie quasi-unidimensionnelle présentée sur la Figure 4.b.

entrée du canal
vestibulaire

canal tympanique

cochlée déroulée

Helicotrema

FIGURE 4 -- a) Modèle de la cochlée selon von Helmholtz : une succession de 
cordes vibrantes de longueurs
variables sont disposées le long de l'enroulement cochléaire (source : "On the 
sensation of Tones", 1877).
b) Maquette originelle de von Bekesy pour décrire l'onde se propageant le long 
de la membrane basilaire,
où la cochlée a été déroulée pour donner un guide droit (source : "Nobel 
Lecture" de von Bekesy, 1961).

l6k  8k  4k 2kK  Ik  S500Hz | al FFF
ES
E
= S
5 G
S. @ 20 +
E =
Es =
[a En
| | ( RE +
ü 5 10 15 20 25 Ü 5 10 15 20 25
x (mm) x (mm)
FIGURE 5 --. Amplitude et retard de phase du déplacement vertical h(x,t) de la 
membrane basilaire

lorsqu'on excite celle-ci en x = 0. x représente l'abscisse curviligne le long 
de la membrane basilaire,
c'est-à-dire la distance linéique par rapport à l'entrée du canal vestibulaire.

On peut mesurer le déplacement vertical h(x,t) de la membrane en différents 
points le long
de l'abscisse curviligne x, et ce pour différentes fréquences d'excitation. Le 
résultat d'une telle
mesure est schématisé sur la Figure 5.

31. Commenter la mesure d'amplitude du déplacement et comparer au modèle simple 
de Helm-
holtz.

32. Pourquoi ces mesures montrent qu'il y a eu propagation dans la cochlée ?

33. Quelle aurait été l'allure du retard de phase dans le cas d'une onde plane 
dans l'air ? Com-
menter.

Il a été démontré que l'équation homogène qui régit le déplacement hA(x,t) 
prend la forme :

d ch dh
D de 0 (1)

34. Quelle est la dimension de c?

Cette grandeur n'est pas une constante, et en régime monochromatique elle 
satisfait la relation
suivante :

où d, wy et L sont des constantes, et où wy > w dans la gamme spectrale de 
l'audition.
35. Ecrire l'équation vérifiée par a(x,t) = ch(x,t) = An(x)e #t.
36. Quelles seraient les solutions si c était une constante ?

Pour résoudre cette équation, on cherche une solution de la forme A(x) = 
f(x)e"*9(®), où f et
g sont des fonctions à valeurs réelles. On supposera de plus g croissante. On 
notera f" et f" les
dérivées première et seconde de f, et g' et g" celles de g.

22 A»
Ox?

37. Calculer Peter puis

38. En déduire le système de deux équations différentielles vérifiées par f(x) 
et g(x) qui résulte
de l'équation d'onde.

Pour résoudre ce système, on fait l'approximation que l'amplitude de l'onde 
varie lentement
devant sa phase. Mathématiquement, cela se traduit par f" EUR (wg')°f.

39. Obtenir la fonction g'(x).

40. À l'aide d'un petit graphique, démontrer si cela correspond au résultat 
observé expérimen-
talement ?

41. Obtenir la solution f(x) à une constante multiplicative près.
42. En déduire la dépendance de |h(x)| avec c.
43. Tracer le comportement de [h(x)| en fonction de x.

44, Cela correspond-il au comportement observé expérimentalement ? Pourquoi ?

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Physique A PC 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Amélie Gay (ENS Lyon) ; il a été relu par Thomas
Dupic (ENS Ulm) et Tom Morel (professeur en CPGE).

Ce problème porte sur le fonctionnement de l'audition humaine. Les trois 
composants de l'oreille donnent les trois parties du problème, qui sont 
relativement indépendantes.
· La première partie s'intéresse à l'oreille externe comme pavillon acoustique. 
On
étudie la propagation d'une onde acoustique dans un tube à section variable.
Elle fait appel au cours sur les ondes acoustiques.
· La deuxième partie porte, dans un premier temps, sur la transmission de l'onde
acoustique dans l'oreille moyenne via une interface air/eau. Dans un second
temps, on étudie le rôle des osselets, modélisés par un système masse-ressort,
dans la transmission de l'onde acoustique à l'oreille interne. Cette étude 
nécessite des notions d'acoustique puis une certaine aisance avec les filtres, 
qui ont
été vus principalement en électronique.
· La dernière partie propose une modélisation de l'oreille interne et, plus 
spécifiquement, de la cochlée. Pour cette partie, il faut mobiliser ses 
connaissances
sur les modes propres d'une corde vibrante et plus généralement sur les ondes.
Il faut aussi être à l'aise avec les calculs.
Ce sujet est de difficulté croissante : la première partie relève de l'exercice 
classique
de cours tandis que la troisième évolue vers des questions nécessitant une 
réflexion
physique. Globalement, ce sujet balaie toute l'acoustique et une grande partie 
des
notions sur les ondes et les filtres. Il constitue également un bon 
entraînement aux
sujets sans calculatrice car il demande de représenter des fonctions non 
triviales.

Indications
Partie I
5 Effectuer un bilan massique avec une masse entrante et une masse sortante.
7 Calculer proprement la force de pression qui s'applique sur la surface 
latérale.
13 Réécrire l'équation de dispersion tel que k = ik  et donner une condition 
pour
que ce polynôme ait des solutions réelles.
Partie II
19 Utiliser le fait que Zair  Zeau .
20 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la masse m en faisant 
attention aux signes pour les forces de pression et en considérant que le 
ressort ramène
la masse à sa position d'équilibre en x = 0.
23 Donner la valeur maximale du gain ainsi que le comportement asymptotique.
Partie III
28 L'onde, pour une corde fixée à ses extrémités, est stationnaire.
29 L'excitation des cordes s'effectue par résonance.
32 S'intéresser à la courbe du retard de phase.
33 Écrire la phase d'une onde plane à un instant donné.
36 Voir qu'on est dans le cadre d'une équation de d'Alembert classique.
38 Séparer l'équation différentielle en sa partie réelle et sa partie 
imaginaire.
39 Ne garder que la solution positive.
40 Préciser le domaine de définition de la fonction g.
41 Effectuer une séparation des variables avant d'intégrer sans chercher à 
remplacer
la fonction g par son expression dans un premier temps.
43 Penser à étudier 20 log |h(x, t)|.

Étude de la mécanique de l'audition humaine
I. L'oreille externe : un pavillon acoustique

1 Le repère choisi est un repère cylindrique (O, -
er , -
e , -
ez ). Les différentes grandeurs
physiques ne dépendent spatialement que de la variable z si la variation du 
rayon R
de la section S est lente par rapport à la variation de z ce qui se traduit par
dR
1
dz
2 Une transformation thermodynamique est isentropique si l'entropie ne varie 
pas, à
savoir si elle n'est ni créée ni échangée. Comme l'entropie créée vient de 
l'irréversibilité
de la transformation et que l'entropie est échangée par l'intermédiaire de la 
chaleur,
La transformation doit être adiabatique réversible.
Une autre possibilité pourrait être que l'entropie créée par l'irréversibilité
est dissipée sous forme de chaleur. Cependant ce cas est difficile à contrôler
expérimentalement.
3 Le coefficient de compressibilité isentropique 0 est défini par

1 dV
0 = -
V dP S
où V désigne le volume du système et S l'entropie.
4 On peut réécrire la définition précédente avec la grandeur  = m/V, en prenant
une masse de fluide m constante. D'où
d(1/)
0 = -
dP
1 d
 dP
1 a
0 
 p
=

Soit, au 1er ordre,
Ainsi,

a (z, t)  0 0 p(z, t)

5 Effectuons un bilan de masse m(z, t) sur le volume de fluide compris entre 
l'abscisse z et l'abscisse z + dz pendant dt :
m(z, t + dt) = m(z, t) + me (z, t) - ms (z + dz, t)
où me et ms désignent respectivement la masse entrant dans le système entre t et
t + dt et celle sortant du système, comme indiqué sur la figure ci-après.
y
masse
sortante
masse
entrante

0
z

z

z + dz

Or,

m(z, t + dt) = (z, t + dt) S(z) dz

m(z, t) = (z, t) S(z) dz

me (z, t) = (z, t) S(z) v(z, t) dt

ms (z + dz, t) = (z + dz, t) S(z + dz) v(z + dz, t) dt

En ne gardant que les termes dominants des développements limités au voisinage 
de
z et de t, on a
S(z)

 ( S v)
+
=0
t
z

On reconnaît l'équation de conservation de la masse vue dans le cours sur les
ondes acoustiques en supposant que la section S(z) est constante.
6 À l'ordre le plus bas, l'équation s'écrit
a
0 (S v)
+
=0
t
S(z) z

-
7 Effectuons un bilan de quantité de mouvement P (z, t) en appliquant le 
principe
fondamental de la dynamique dans le référentiel terrestre supposé galiléen sur 
le
volume compris entre z et z + dz. D'où

-

-
-

-

-
P (z, t + dt) = P (z, t) + P e (z, t) - P s (z + dz, t) + F dt
-
 -

où P e et P s sont respectivement les quantités de mouvement entrante et 
sortante du

-
système pendant dt. F désigne la résultante des forces qui s'applique sur le 
système
et qui crée de la quantité de mouvement pendant dt. Pour ce problème, on 
néglige le
poids et les forces dues à la viscosité. Il ne reste donc que les forces de 
pression.

-
-
-
-
F = P(z, t) S(z) 
ez - P(z + dz, t) S(z + dz) 
ez + Fpl
-
(, z) le vecteur
avec Fpl les forces de pression sur la surface latérale. En notant -
u
n
normal sortant à la surface latérale, comme représenté sur la figure ci-après, 
on a
Z 2 Z z+dz
-
(z  , ) d dz 
Fpl = -
P(z  , t) R(z  ) -
u
n
0

z

y

-

u
n

dR

dz
z

-

ez
-

er

-

u
n

-
Définissons (z) l'angle que fait le plan tangent et le vecteur 
ez , d'où
-

u(, z) = sin (z) -
e + cos (z) -
e
n

z

r