X/ENS Physique A PC 2018

Thème de l'épreuve Détection d'ondes gravitationnelles par LIGO et VIRGO
Principaux outils utilisés électromagnétisme, optique ondulatoire, mécanique classique, analyse dimensionnelle
Mots clefs Michelson, troisième loi de Kepler

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 2018

FILIÈRE PC

COMPOSITION DE PHYSIQUE ­ A ­ (XE)
(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée. Les applications 
numériques, auxquelles vous
prêterez la plus grande attention, seront données avec un seul chiffre 
significatif.

L'épreuve se compose d'un exercice et d'un problème, qui sont indépendants. Il 
est raisonnable
de ne pas passer plus de 30% du temps de l'épreuve à la résolution de 
l'exercice.

Exercice
Une onde lumineuse progressive plane, en provenance d'un laser hélium-néon, se 
propage
dans le vide et se réfléchit sur un bloc de cuivre, sous incidence normale. 
Établissez l'expression
du coefficient de réflexion complexe à l'interface et interprétez physiquement 
le résultat. Vous
justifierez brièvement les hypothèses faites à chaque étape du calcul.

Problème
La première observation expérimentale des ondes gravitationnelles, en 2016, est 
une découverte majeure de la physique du 21e siècle. Les ondes observées sont 
produites à l'extérieur de
notre galaxie lorsque deux astres massifs, initialement en rotation l'un par 
rapport à l'autre, se
rapprochent et fusionnent en un seul. Ce problème étudie quelques aspects de 
ces événements et
de leur détection.
Données numériques
Constante gravitationnelle :
Vitesse de la lumière dans le vide :

G
c

=
=

7 × 10-11 N.m2 .kg-2
3 × 108 m.s-1

1. Deux astres de masse M sont en mouvement circulaire l'un par rapport à 
l'autre, leur centre de
masse étant fixe. Déterminez l'expression de la fréquence de rotation en 
fonction de leur distance
relative d.
1

2. Dans le cadre de la mécanique newtonienne, le champ gravitationnel créé par 
ces deux astres
en un point donné de l'espace à un temps t est déterminé par les positions des 
masses au même
temps t. En réalité, cependant, l'information sur ces positions ne se transmet 
pas instantanément.
Elle est transmise par une onde qui se propage dans le vide à vitesse finie, et 
qu'on appelle onde
gravitationnelle. Proposez une analogie dans un autre domaine de la physique.
3. Expliquez pourquoi la fréquence de l'onde gravitationnelle émise par le 
système des deux astres
de la question 1, observée en un point fixe quelconque de l'espace, est double 
de leur fréquence
de rotation.
4. Les détecteurs d'ondes gravitationnelles sont des interféromètres de 
Michelson dont les bras
mesurent plusieurs kilomètres. L'onde gravitationnelle, lors de son passage, 
modifie la taille des
objets sur son passage d'une petite fraction, proportionnelle à son amplitude, 
et qui dépend aussi
de l'orientation de ces objets. Ainsi, les longueurs des bras de 
l'interféromètre sont en général
modifiées différemment, et on mesure la légère variation de la différence de 
longueur entre les bras
lors du passage de l'onde. Rappelez le principe et le schéma de 
l'interféromètre de Michelson.
Quel est l'ordre de grandeur de la variation de longueur qu'il permet de 
mesurer ? Pourquoi
a-t-on intérêt à construire un instrument aussi grand que possible ?
5. Les ondes gravitationnelles transportent de l'énergie, donc le système des 
deux astres perd de
l'énergie mécanique en émettant ces ondes. Qu'en déduisez-vous qualitativement 
sur l'évolution
de la distance d au cours du temps ? Vous justifierez précisément votre réponse.
6. On admet que la fréquence f (t) des ondes gravitationnelles émises évolue au 
cours du temps
suivant la loi
df
= Kf 11/3 ,
(1)
dt
où K est une constante indépendante du temps. Quel est son signe ? Intégrez 
l'équation différentielle. Représentez la variation de f (t).
7. Décrivez qualitativement l'évolution du système formé par les deux astres.

Figure 1 ­ Variation de la fréquence (Frequency en anglais) des ondes 
gravitationnelles détectées
en fonction du temps (Time) lors de la fusion de deux étoiles à neutrons, 
observée le 12 août
2017. L'instant où se produit la fusion (merger ) est pris comme origine des 
temps sur l'axe des
abscisses. [Extrait de B. P. Abbott et al., Astrophysical Journal, volume 828, 
L13 (2017).]
8. La figure 1 représente la variation de f (t) mesurée dans un détecteur 
d'ondes gravitationnelles.
Ce signal est interprété comme provenant de la fusion de deux étoiles à 
neutrons de masses
approximativement identiques. Vérifiez aussi précisément que possible, en 
relevant des valeurs
2

numériques sur la figure, que cette variation est compatible avec le résultat 
de la question 6.
Vous utiliserez avec profit le fait que l'échelle de l'axe des ordonnées est 
logarithmique.
9. On admet que la constante K de l'équation (1) ne dépend que de M , G et c. 
Déduisez-en, par
analyse dimensionnelle, la forme de cette dépendance.
10. Déduisez, en analysant les données de la figure 1, un ordre de grandeur 
grossier de M . Vous
détaillerez votre démarche. Que pensez-vous du résultat ?
11. En analysant l'amplitude du signal, on estime que l'événement s'est produit 
à environ 108
années-lumière de la Terre. Deux secondes après la fin du signal des ondes 
gravitationnelles,
repérée par le temps t = 0 sur la figure 1, on a observé un rayonnement 
électromagnétique
provenant du même endroit, qu'on pense produit lors de la fusion des deux 
étoiles à neutrons.
Si ce retard de deux secondes était dû à une différence entre la vitesse de 
propagation des ondes
gravitationnelles vg et la vitesse de la lumière c, quelle serait leur 
différence relative ? On rappelle
que 1 année  3 × 107 s. Commentez le résultat.

Figure 2 ­ De gauche à droite : ondes gravitationnelles enregistrées par les 
détecteurs H1 (à
gauche), L1 (au centre) et Virgo (à droite) le 14 août 2017. En bas : variation 
de l'amplitude de
l'onde gravitationnelle en fonction du temps. Les traits fins représentent le 
signal mesuré, qui est
bruité, et les bandes grises représentent la contribution estimée de la source 
astrophysique. En
haut : fréquence de l'onde en fonction du temps. [Extrait de B. P. Abbott et 
al., Physical Review
Letters, volume 119, 141101 (2017).]
12. La figure 2 représente la fréquence et l'amplitude d'un autre signal d'onde 
gravitationnelle
observé simultanément par trois détecteurs, nommés H1, L1 et Virgo. Vérifiez 
sur l'exemple du
détecteur L1 que les valeurs de la fréquence (en haut) correspondent aux 
données de l'amplitude
représentée sur le panneau du bas.
13. Les détecteurs H1 et L1 sont distants de 3000 km. Montrez que le léger 
décalage temporel
entre les signaux correspondants (à gauche et au centre de la figure 2) donne 
une information
quantitative sur la direction de la source des ondes gravitationnelles. Vous 
illustrerez votre raisonnement par un schéma où vous représenterez les 
positions de H1 et L1, et la direction de la
source.
14. Expliquez pourquoi deux détecteurs ne suffisent pas en général à localiser 
la direction de la
source dans le ciel. Quelle information apporte un troisième détecteur ? 
Peut-on alors préciser la
direction de la source sans ambiguïté ?
3

15. Justifiez qu'on puisse attribuer le signal observé sur la figure 2 à la 
fusion d'un système de
deux astres, comme pour la figure 1.
16. En supposant comme précédemment les masses des deux astres identiques, 
estimez à partir
des données l'ordre de grandeur du rapport entre les masses des systèmes 
binaires de la figure 2
et de la figure 1.
17. L'écriture de l'équation (1) suppose que le signal soit quasi-périodique, 
soit encore que sa
fréquence f varie lentement avec le temps. Pour lequel des deux systèmes 
étudiés cette approximation est-elle meilleure ? Commentez l'aspect des 
panneaux du haut de la figure 2 à la lueur de
cette discussion.
18. Écrivez à quelle condition, portant sur df /dt, le signal peut être 
considéré comme quasipériodique.
19. Montrez que cette condition peut se récrire comme une condition portant sur 
la vitesse v
des astres en rotation. Commentez le résultat.

4

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Physique A PC 2018 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jérôme Lambert (enseignant-chercheur à l'université) 
;
il a été relu par Tom Morel (professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (professeur 
en
CPGE).

Ce sujet est composé d'un exercice et d'un problème, qui sont indépendants.
· L'exercice est consacré à la réflexion d'une onde lumineuse sur un bloc de 
cuivre.
Son énoncé est laconique car la question est très proche du cours. Le fait que
l'énoncé mentionne qu'il ne faut pas y consacrer plus de 30% du temps de
l'épreuve indique en creux qu'une réponse détaillée était attendue.
· Le problème est consacré à l'étude des ondes gravitationnelles à travers des
résultats expérimentaux obtenus récemment. Il fait appel à la mécanique 
classique, l'optique ondulatoire et l'analyse dimensionnelle ; il ne nécessite 
pas de
connaissance particulière en relativité générale.
Dans l'exercice, on est amené à formuler des hypothèses sur la réponse d'un 
métal
à une onde électromagnétique. Une connaissance de quelques ordres de grandeur
relatifs à la longueur d'onde d'un laser ou à la conductivité d'un métal est 
nécessaire
afin d'identifier cette réponse. Rappelons que le programme mentionne 
explicitement
la nécessité de connaître ces ordres de grandeurs. Le problème nécessite quant 
à lui
une bonne maîtrise du cours de mécanique de deuxième année ainsi qu'une bonne
pratique de la lecture de données expérimentales.
Ce sujet est de difficulté variable mais est uniformément intéressant, et 
illustre
parfaitement l'esprit du programme puisqu'il laisse une grande place aux 
initiatives.
Remarquons que l'usage des calculatrices était interdit lors de l'épreuve et 
qu'une
certaine agilité en calcul mental se révèle nécessaire afin d'évaluer les 
nombreux ordres
de grandeur demandés.

Indications
Exercice
Ex Décomposer cet exercice en deux parties : exprimer le coefficient de 
réflexion
d'une OPPH de pulsation  en fonction des vecteurs d'onde correspondant à
cette pulsation dans le vide et dans le cuivre ; introduire un modèle permettant
d'établir la relation de dispersion liant le vecteur d'onde dans le cuivre à sa
pulsation. Rappelons la valeur de la conductivité du cuivre à pulsation nulle
(0 = 6.107 S.m-1 ).
Problème
1 Appliquer le PFD à chacun des deux astres dans le référentiel de leur centre
d'inertie, supposé galiléen, et en déduire l'équation différentielle régissant 
leur
distance relative.
2 On est allé placer des panneaux réfléchissant sur la Lune afin de mesurer la
distance Terre-Lune. Pourquoi ?
3 Les deux masses sont supposées identiques. Que peut-on dire du système après
une demi-rotation ?
4 La variation de la longueur d'un objet lors du passage d'une onde 
gravitationnelle
est proportionnelle à la longueur de cet objet.
5 Quel est le lien entre l'énergie mécanique et l'énergie potentielle dans le 
cas d'une
trajectoire circulaire ?
6 Il existe un temps où le comportement de f est particulier. Il est judicieux 
d'exprimer f (t) en fonction de ce temps afin d'en simplifier l'expression.
8 Calculer le logarithme de f (t). Que peut-on dire de la variation de ln(f ) 
lorsque
le délai avant la fusion est doublé ? Vérifier graphiquement cette propriété 
pour
plusieurs intervalles différents.
10 Comparer le résultat obtenu avec la masse du Soleil. Celle-ci peut être 
retrouvée
à partir de la troisième loi de Kepler.
11 La vitesse de la lumière est aussi la vitesse maximale permise.
17 Que peut-on dire, en s'appuyant en particulier sur la question 12, de la 
précision
de la détermination de f pour le deuxième système ?
18 Quel est le temps minimal nécessaire pour mesurer une fréquence ?
19 Faire appel aux questions 3 et 5 pour introduire la vitesse.

I. Exercice
0 Le faisceau issu d'un laser He-Ne étant monochromatique et ne divergeant que
très peu, on le modélise à l'aide d'une onde plane progressive monochromatique
(OPPH) dans le domaine optique. Sa longueur d'onde est dans le rouge, si bien 
que
l'on prend   600 nm, soit  = 2c/ = 3.1015 rad.s-1 .
Le cuivre étant un très bon conducteur, on le décrit dans le cadre du modèle de
Drude-Lorentz où le métal est considéré comme un plasma neutre dans lequel seuls
les électrons sont mobiles.
Combinons ces deux modèles afin de calculer le coefficient de réflexion d'un 
rayon
issu du laser He-Ne sur le cuivre. Dans un premier temps on exprime le 
coefficient
de réflexion de l'OPPH en fonction du vecteur d'onde incident et du vecteur 
d'onde
de l'onde transmise dans le cuivre. Dans un second temps on exprime ce 
coefficient
de réflexion en fonction de  en s'appuyant sur la relation de dispersion d'une 
onde
plane dans un plasma neutre.
-

Ei

On cherche les solutions des équations
de Maxwell sous forme d'OPPH. Le vide
occupe le demi-espace z < 0 tandis que que le
bloc métallique occupe le demi-espace z > 0
comme le montre la figure ci-contre.

-

Et

-

ki

-

Bi
-

kr

-

Bt
-
0
Br
-

Er

vide

-

kt
z
-

ex

-

-
ey
ez
cuivre

-

Dans le vide le vecteur d'onde de l'OPPH est k i (Par la suite, toutes les 
quantités
relatives à l'onde incidente sont repérées par l'indice i). Posons que le champ 
électrique

est orienté suivant -
ex :

-

Ei = Ei0 e i(t-ki z) -
ex
-
 -
 -
 -

où i2 = -1. On désigne respectivement par Er , Et , Br et Bt les champs 
électriques des
ondes réfléchie et transmise, ainsi que les champs magnétiques réfléchi et 
transmis.
Introduisons une première hypothèse :
Hypothèse 1 : le cuivre se comporte comme un milieu linéaire, homogène et 
isotrope
pour l'onde incidente considérée. On considère en outre qu'il est non 
magnétique.
Ici cela se traduit par le fait que le vecteur densité de courant obéit à la loi

-

d'Ohm -
 =  E , où  est la conductivité du cuivre. Il résulte de cette hypothèse que
la direction de propagation des rayons lumineux est portée par les vecteurs 
d'ondes.
Ceux-ci vérifient donc les lois de Snell-Descartes de la réflexion et de la 
réfraction.
 -
-
 -

Dès lors, les vecteurs d'onde des ondes incidente, réfléchie et transmise ( k i 
, k r et k t )

-

sont portés par -
ez ( k t est a priori complexe). En outre, les trois ondes considérées
ont la même pulsation  car les charges du matériau sont mises en mouvement à la
pulsation  et rayonnent une onde à cette même pulsation. Il vient alors
-

-

kr = - ki = - -
ez
c
Écrivons la relation de structure pour une onde de fréquence  aussi bien dans le
vide que dans le cuivre :
Vide :

 -
-

-

k i  Ei
Bi =

et

Cuivre :

 -
-

-
 k t  Et
Bt =

 -
-
Le plan contenant Ei et k i est un plan de symétrie du problème. Il en résulte 
que les
-
 -

champs Er et Et sont contenus dans ce plan. Combinons avec la relation de 
structure
pour en déduire que les champs électriques et magnétiques sont portés 
respectivement

par -
ex et -
ey . La figure de la page précédente synthétise ces observations. Les ondes
incidente, réfléchie et transmise sont des ondes planes harmoniques. A priori 
l'onde
transmise dans le cuivre n'est pas forcément progressive. On admet dans le 
cours que,
lorsque l'onde incidente est perpendiculaire à l'interface, les composantes 
tangentielles
des champs électrique et magnétique sont continues à travers cette même 
interface.
Il vient alors, en z = 0,
-
-
 -

Ei + Er = Et
 -
 -

-
Bi + Br = Bt

Projetons ces expressions respectivement sur -
ex et -
ey :
(
Ei0 + Er0 = Et0
Bi0 + Br0 = Bt0

D'après les relations de structure pour chaque onde, on peut récrire la deuxième
équation sous la forme
k i Ei0 - k i Er0 = k t Et0
Introduisons les coefficients de réflexion et de transmission complexes r et t :
Er0
Et0
r=
et
t=
Ei0
Ei0
Après factorisation des deux équations du système précédent par Ei0 on obtient

ki - kt
1+r = t
soit
r=
k i (1 - r) = k t t
ki + kt

On adopte le modèle de Drude-Lorentz pour décrire le comportement des charges
mises en mouvement par l'onde incidente.
Hypothèse 2 : les conditions que vérifient les charges dans le cuivre sont :
· Les seules charges mobiles du cuivre sont les électrons qui participent à la
conduction et l'on considère qu'ils sont libres. Aucune force ne les rattache 
aux
ions positifs qui constituent le réseau cristallin.
· L'interaction entre les électrons et le réseau cristallin n'intervient qu'à 
travers
des collisions dont la fréquence est 1/ . Ces collisions, en l'absence d'autre 
force,
ramènent la vitesse moyenne d'un ensemble d'électrons à 0 en  . On modélise
ces collisions pour un électron en introduisant une force de frottement visqueux

de la forme -m-
v / .
· La vitesse des électrons étant supposée non relativiste, seule la composante
électrique du champ électromagnétique agit sur les électrons et leur déplacement
au cours d'une oscillation est suffisamment faible devant la longueur d'onde de
l'onde transmise pour négliger la modulation spatiale du champ électrique.

· Le champ électrique engendre une translation des électrons parallèle à -
ex . Du
fait de l'invariance par translation du système dans cette direction, la charge
volumique demeure égale à sa valeur en l'absence de champ, donc  = 0 partout
dans le métal.