X/ENS Physique A PC 2018

Thème de l'épreuve Détection d'ondes gravitationnelles par LIGO et VIRGO
Principaux outils utilisés électromagnétisme, optique ondulatoire, mécanique classique, analyse dimensionnelle
Mots clefs Michelson, troisième loi de Kepler

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2018 FILIÈRE PC COMPOSITION DE PHYSIQUE ­ A ­ (XE) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée. Les applications numériques, auxquelles vous prêterez la plus grande attention, seront données avec un seul chiffre significatif. L'épreuve se compose d'un exercice et d'un problème, qui sont indépendants. Il est raisonnable de ne pas passer plus de 30% du temps de l'épreuve à la résolution de l'exercice. Exercice Une onde lumineuse progressive plane, en provenance d'un laser hélium-néon, se propage dans le vide et se réfléchit sur un bloc de cuivre, sous incidence normale. Établissez l'expression du coefficient de réflexion complexe à l'interface et interprétez physiquement le résultat. Vous justifierez brièvement les hypothèses faites à chaque étape du calcul. Problème La première observation expérimentale des ondes gravitationnelles, en 2016, est une découverte majeure de la physique du 21e siècle. Les ondes observées sont produites à l'extérieur de notre galaxie lorsque deux astres massifs, initialement en rotation l'un par rapport à l'autre, se rapprochent et fusionnent en un seul. Ce problème étudie quelques aspects de ces événements et de leur détection. Données numériques Constante gravitationnelle : Vitesse de la lumière dans le vide : G c = = 7 × 10-11 N.m2 .kg-2 3 × 108 m.s-1 1. Deux astres de masse M sont en mouvement circulaire l'un par rapport à l'autre, leur centre de masse étant fixe. Déterminez l'expression de la fréquence de rotation en fonction de leur distance relative d. 1 2. Dans le cadre de la mécanique newtonienne, le champ gravitationnel créé par ces deux astres en un point donné de l'espace à un temps t est déterminé par les positions des masses au même temps t. En réalité, cependant, l'information sur ces positions ne se transmet pas instantanément. Elle est transmise par une onde qui se propage dans le vide à vitesse finie, et qu'on appelle onde gravitationnelle. Proposez une analogie dans un autre domaine de la physique. 3. Expliquez pourquoi la fréquence de l'onde gravitationnelle émise par le système des deux astres de la question 1, observée en un point fixe quelconque de l'espace, est double de leur fréquence de rotation. 4. Les détecteurs d'ondes gravitationnelles sont des interféromètres de Michelson dont les bras mesurent plusieurs kilomètres. L'onde gravitationnelle, lors de son passage, modifie la taille des objets sur son passage d'une petite fraction, proportionnelle à son amplitude, et qui dépend aussi de l'orientation de ces objets. Ainsi, les longueurs des bras de l'interféromètre sont en général modifiées différemment, et on mesure la légère variation de la différence de longueur entre les bras lors du passage de l'onde. Rappelez le principe et le schéma de l'interféromètre de Michelson. Quel est l'ordre de grandeur de la variation de longueur qu'il permet de mesurer ? Pourquoi a-t-on intérêt à construire un instrument aussi grand que possible ? 5. Les ondes gravitationnelles transportent de l'énergie, donc le système des deux astres perd de l'énergie mécanique en émettant ces ondes. Qu'en déduisez-vous qualitativement sur l'évolution de la distance d au cours du temps ? Vous justifierez précisément votre réponse. 6. On admet que la fréquence f (t) des ondes gravitationnelles émises évolue au cours du temps suivant la loi df = Kf 11/3 , (1) dt où K est une constante indépendante du temps. Quel est son signe ? Intégrez l'équation différentielle. Représentez la variation de f (t). 7. Décrivez qualitativement l'évolution du système formé par les deux astres. Figure 1 ­ Variation de la fréquence (Frequency en anglais) des ondes gravitationnelles détectées en fonction du temps (Time) lors de la fusion de deux étoiles à neutrons, observée le 12 août 2017. L'instant où se produit la fusion (merger ) est pris comme origine des temps sur l'axe des abscisses. [Extrait de B. P. Abbott et al., Astrophysical Journal, volume 828, L13 (2017).] 8. La figure 1 représente la variation de f (t) mesurée dans un détecteur d'ondes gravitationnelles. Ce signal est interprété comme provenant de la fusion de deux étoiles à neutrons de masses approximativement identiques. Vérifiez aussi précisément que possible, en relevant des valeurs 2 numériques sur la figure, que cette variation est compatible avec le résultat de la question 6. Vous utiliserez avec profit le fait que l'échelle de l'axe des ordonnées est logarithmique. 9. On admet que la constante K de l'équation (1) ne dépend que de M , G et c. Déduisez-en, par analyse dimensionnelle, la forme de cette dépendance. 10. Déduisez, en analysant les données de la figure 1, un ordre de grandeur grossier de M . Vous détaillerez votre démarche. Que pensez-vous du résultat ? 11. En analysant l'amplitude du signal, on estime que l'événement s'est produit à environ 108 années-lumière de la Terre. Deux secondes après la fin du signal des ondes gravitationnelles, repérée par le temps t = 0 sur la figure 1, on a observé un rayonnement électromagnétique provenant du même endroit, qu'on pense produit lors de la fusion des deux étoiles à neutrons. Si ce retard de deux secondes était dû à une différence entre la vitesse de propagation des ondes gravitationnelles vg et la vitesse de la lumière c, quelle serait leur différence relative ? On rappelle que 1 année 3 × 107 s. Commentez le résultat. Figure 2 ­ De gauche à droite : ondes gravitationnelles enregistrées par les détecteurs H1 (à gauche), L1 (au centre) et Virgo (à droite) le 14 août 2017. En bas : variation de l'amplitude de l'onde gravitationnelle en fonction du temps. Les traits fins représentent le signal mesuré, qui est bruité, et les bandes grises représentent la contribution estimée de la source astrophysique. En haut : fréquence de l'onde en fonction du temps. [Extrait de B. P. Abbott et al., Physical Review Letters, volume 119, 141101 (2017).] 12. La figure 2 représente la fréquence et l'amplitude d'un autre signal d'onde gravitationnelle observé simultanément par trois détecteurs, nommés H1, L1 et Virgo. Vérifiez sur l'exemple du détecteur L1 que les valeurs de la fréquence (en haut) correspondent aux données de l'amplitude représentée sur le panneau du bas. 13. Les détecteurs H1 et L1 sont distants de 3000 km. Montrez que le léger décalage temporel entre les signaux correspondants (à gauche et au centre de la figure 2) donne une information quantitative sur la direction de la source des ondes gravitationnelles. Vous illustrerez votre raisonnement par un schéma où vous représenterez les positions de H1 et L1, et la direction de la source. 14. Expliquez pourquoi deux détecteurs ne suffisent pas en général à localiser la direction de la source dans le ciel. Quelle information apporte un troisième détecteur ? Peut-on alors préciser la direction de la source sans ambiguïté ? 3 15. Justifiez qu'on puisse attribuer le signal observé sur la figure 2 à la fusion d'un système de deux astres, comme pour la figure 1. 16. En supposant comme précédemment les masses des deux astres identiques, estimez à partir des données l'ordre de grandeur du rapport entre les masses des systèmes binaires de la figure 2 et de la figure 1. 17. L'écriture de l'équation (1) suppose que le signal soit quasi-périodique, soit encore que sa fréquence f varie lentement avec le temps. Pour lequel des deux systèmes étudiés cette approximation est-elle meilleure ? Commentez l'aspect des panneaux du haut de la figure 2 à la lueur de cette discussion. 18. Écrivez à quelle condition, portant sur df /dt, le signal peut être considéré comme quasipériodique. 19. Montrez que cette condition peut se récrire comme une condition portant sur la vitesse v des astres en rotation. Commentez le résultat. 4

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 X/ENS Physique A PC 2018 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jérôme Lambert (enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Tom Morel (professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE). Ce sujet est composé d'un exercice et d'un problème, qui sont indépendants. · L'exercice est consacré à la réflexion d'une onde lumineuse sur un bloc de cuivre. Son énoncé est laconique car la question est très proche du cours. Le fait que l'énoncé mentionne qu'il ne faut pas y consacrer plus de 30% du temps de l'épreuve indique en creux qu'une réponse détaillée était attendue. · Le problème est consacré à l'étude des ondes gravitationnelles à travers des résultats expérimentaux obtenus récemment. Il fait appel à la mécanique classique, l'optique ondulatoire et l'analyse dimensionnelle ; il ne nécessite pas de connaissance particulière en relativité générale. Dans l'exercice, on est amené à formuler des hypothèses sur la réponse d'un métal à une onde électromagnétique. Une connaissance de quelques ordres de grandeur relatifs à la longueur d'onde d'un laser ou à la conductivité d'un métal est nécessaire afin d'identifier cette réponse. Rappelons que le programme mentionne explicitement la nécessité de connaître ces ordres de grandeurs. Le problème nécessite quant à lui une bonne maîtrise du cours de mécanique de deuxième année ainsi qu'une bonne pratique de la lecture de données expérimentales. Ce sujet est de difficulté variable mais est uniformément intéressant, et illustre parfaitement l'esprit du programme puisqu'il laisse une grande place aux initiatives. Remarquons que l'usage des calculatrices était interdit lors de l'épreuve et qu'une certaine agilité en calcul mental se révèle nécessaire afin d'évaluer les nombreux ordres de grandeur demandés. Indications Exercice Ex Décomposer cet exercice en deux parties : exprimer le coefficient de réflexion d'une OPPH de pulsation en fonction des vecteurs d'onde correspondant à cette pulsation dans le vide et dans le cuivre ; introduire un modèle permettant d'établir la relation de dispersion liant le vecteur d'onde dans le cuivre à sa pulsation. Rappelons la valeur de la conductivité du cuivre à pulsation nulle (0 = 6.107 S.m-1 ). Problème 1 Appliquer le PFD à chacun des deux astres dans le référentiel de leur centre d'inertie, supposé galiléen, et en déduire l'équation différentielle régissant leur distance relative. 2 On est allé placer des panneaux réfléchissant sur la Lune afin de mesurer la distance Terre-Lune. Pourquoi ? 3 Les deux masses sont supposées identiques. Que peut-on dire du système après une demi-rotation ? 4 La variation de la longueur d'un objet lors du passage d'une onde gravitationnelle est proportionnelle à la longueur de cet objet. 5 Quel est le lien entre l'énergie mécanique et l'énergie potentielle dans le cas d'une trajectoire circulaire ? 6 Il existe un temps où le comportement de f est particulier. Il est judicieux d'exprimer f (t) en fonction de ce temps afin d'en simplifier l'expression. 8 Calculer le logarithme de f (t). Que peut-on dire de la variation de ln(f ) lorsque le délai avant la fusion est doublé ? Vérifier graphiquement cette propriété pour plusieurs intervalles différents. 10 Comparer le résultat obtenu avec la masse du Soleil. Celle-ci peut être retrouvée à partir de la troisième loi de Kepler. 11 La vitesse de la lumière est aussi la vitesse maximale permise. 17 Que peut-on dire, en s'appuyant en particulier sur la question 12, de la précision de la détermination de f pour le deuxième système ? 18 Quel est le temps minimal nécessaire pour mesurer une fréquence ? 19 Faire appel aux questions 3 et 5 pour introduire la vitesse. I. Exercice 0 Le faisceau issu d'un laser He-Ne étant monochromatique et ne divergeant que très peu, on le modélise à l'aide d'une onde plane progressive monochromatique (OPPH) dans le domaine optique. Sa longueur d'onde est dans le rouge, si bien que l'on prend 600 nm, soit = 2c/ = 3.1015 rad.s-1 . Le cuivre étant un très bon conducteur, on le décrit dans le cadre du modèle de Drude-Lorentz où le métal est considéré comme un plasma neutre dans lequel seuls les électrons sont mobiles. Combinons ces deux modèles afin de calculer le coefficient de réflexion d'un rayon issu du laser He-Ne sur le cuivre. Dans un premier temps on exprime le coefficient de réflexion de l'OPPH en fonction du vecteur d'onde incident et du vecteur d'onde de l'onde transmise dans le cuivre. Dans un second temps on exprime ce coefficient de réflexion en fonction de en s'appuyant sur la relation de dispersion d'une onde plane dans un plasma neutre. - Ei On cherche les solutions des équations de Maxwell sous forme d'OPPH. Le vide occupe le demi-espace z < 0 tandis que que le bloc métallique occupe le demi-espace z > 0 comme le montre la figure ci-contre. - Et - ki - Bi - kr - Bt - 0 Br - Er vide - kt z - ex - - ey ez cuivre - Dans le vide le vecteur d'onde de l'OPPH est k i (Par la suite, toutes les quantités relatives à l'onde incidente sont repérées par l'indice i). Posons que le champ électrique est orienté suivant - ex : - Ei = Ei0 e i(t-ki z) - ex - - - - où i2 = -1. On désigne respectivement par Er , Et , Br et Bt les champs électriques des ondes réfléchie et transmise, ainsi que les champs magnétiques réfléchi et transmis. Introduisons une première hypothèse : Hypothèse 1 : le cuivre se comporte comme un milieu linéaire, homogène et isotrope pour l'onde incidente considérée. On considère en outre qu'il est non magnétique. Ici cela se traduit par le fait que le vecteur densité de courant obéit à la loi - d'Ohm - = E , où est la conductivité du cuivre. Il résulte de cette hypothèse que la direction de propagation des rayons lumineux est portée par les vecteurs d'ondes. Ceux-ci vérifient donc les lois de Snell-Descartes de la réflexion et de la réfraction. - - - Dès lors, les vecteurs d'onde des ondes incidente, réfléchie et transmise ( k i , k r et k t ) - sont portés par - ez ( k t est a priori complexe). En outre, les trois ondes considérées ont la même pulsation car les charges du matériau sont mises en mouvement à la pulsation et rayonnent une onde à cette même pulsation. Il vient alors - - kr = - ki = - - ez c Écrivons la relation de structure pour une onde de fréquence aussi bien dans le vide que dans le cuivre : Vide : - - - k i Ei Bi = et Cuivre : - - - k t Et Bt = - - Le plan contenant Ei et k i est un plan de symétrie du problème. Il en résulte que les - - champs Er et Et sont contenus dans ce plan. Combinons avec la relation de structure pour en déduire que les champs électriques et magnétiques sont portés respectivement par - ex et - ey . La figure de la page précédente synthétise ces observations. Les ondes incidente, réfléchie et transmise sont des ondes planes harmoniques. A priori l'onde transmise dans le cuivre n'est pas forcément progressive. On admet dans le cours que, lorsque l'onde incidente est perpendiculaire à l'interface, les composantes tangentielles des champs électrique et magnétique sont continues à travers cette même interface. Il vient alors, en z = 0, - - - Ei + Er = Et - - - Bi + Br = Bt Projetons ces expressions respectivement sur - ex et - ey : ( Ei0 + Er0 = Et0 Bi0 + Br0 = Bt0 D'après les relations de structure pour chaque onde, on peut récrire la deuxième équation sous la forme k i Ei0 - k i Er0 = k t Et0 Introduisons les coefficients de réflexion et de transmission complexes r et t : Er0 Et0 r= et t= Ei0 Ei0 Après factorisation des deux équations du système précédent par Ei0 on obtient ki - kt 1+r = t soit r= k i (1 - r) = k t t ki + kt On adopte le modèle de Drude-Lorentz pour décrire le comportement des charges mises en mouvement par l'onde incidente. Hypothèse 2 : les conditions que vérifient les charges dans le cuivre sont : · Les seules charges mobiles du cuivre sont les électrons qui participent à la conduction et l'on considère qu'ils sont libres. Aucune force ne les rattache aux ions positifs qui constituent le réseau cristallin. · L'interaction entre les électrons et le réseau cristallin n'intervient qu'à travers des collisions dont la fréquence est 1/ . Ces collisions, en l'absence d'autre force, ramènent la vitesse moyenne d'un ensemble d'électrons à 0 en . On modélise ces collisions pour un électron en introduisant une force de frottement visqueux de la forme -m- v / . · La vitesse des électrons étant supposée non relativiste, seule la composante électrique du champ électromagnétique agit sur les électrons et leur déplacement au cours d'une oscillation est suffisamment faible devant la longueur d'onde de l'onde transmise pour négliger la modulation spatiale du champ électrique. · Le champ électrique engendre une translation des électrons parallèle à - ex . Du fait de l'invariance par translation du système dans cette direction, la charge volumique demeure égale à sa valeur en l'absence de champ, donc = 0 partout dans le métal.