X/ENS Physique A PC 2017

Thème de l'épreuve Catapultes
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, capillarité, induction électromagnétique, électronique, mécanique
Mots clefs catapulte, tension de surface, goutte, coalescence, spore, nombre de Reynolds, force de traînée, loi de Faraday, condensateur, premier principe

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                 

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
           

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE POLYTECHNIQUE
ECOLE SUPERIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 2017

FILIERE PC

COMPOSITION DE PHYSIQUE ­ A ­ (XE)
(Duree : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisee pour cette epreuve.
On se contentera, pour les applications numeriques, d'un seul chiffre 
significatif. On prendra
21/3 = 1, 25 et 22/3 = 1, 6 ainsi que g = 9, 8 m.s-2 pour l'acceleration de la 
pesanteur.

Catapultes
Les catapultes sont des engins mecaniques destines a lancer de gros projectiles 
pour attaquer
des murailles. Mais on peut generaliser cette definition a d'autres situations 
que le siege de
fortifications : dans le monde vegetal, les plantes peuvent stocker de 
l'energie sous differentes
formes pour la liberer rapidement et provoquer des mouvements tres rapides 
(plantes "carnivores", ejection de graines et de spores). On peut egalement 
utiliser l'energie electromagnetique
pour fabriquer une catapulte. Nous nous interessons ici a ces deux variantes de 
catapultes.
Les parties 1, 2 et 3 sont independantes.

1

Catapultes capillaires

Lorsqu'on fait condenser de la vapeur d'eau sur une surface tres hydrophobe, on 
observe les phenomenes
suivants : les gouttes d'eau (de taille submillimetrique) ont une forme 
spherique et ne s'etalent pas sur la
surface solide. La taille de chaque goutte augmente au cours du temps par la 
condensation de la vapeur.
Lorsque deux gouttes initialement proches se touchent et coalescent en une 
seule goutte plus grosse, cette
derniere saute verticalement (fig. 1). On cherche a analyser ce phenomene et, 
en particulier, a trouver la
taille optimale de goutte pour la propulsion verticale.
1. On considere deux gouttes identiques de rayon R, ayant une tension 
interfaciale avec l'air . Quelle
est la variation d'energie de surface Es resultant de la coalescence de ces 
deux gouttes ?
2. En admettant qu'il n'y a pas de dissipation d'energie lors de la coalescence 
et que les gouttes sont
initialement au repos, quelle est la vitesse verticale initiale V0 du mouvement 
de la goutte resultant
de la coalescence ? Quelle est la valeur numerique de V0 pour des gouttes d'eau 
(masse volumique
 = 1000 kg.m-3 , tension de surface  = 70 mN.m-1 ) de rayon R = 1 mm ?
3. Quelle est la hauteur h atteinte par la goutte, si on neglige la friction 
dans l'air ?
4. Immediatement apres la coalescence, la goutte est tres fortement deformee 
par rapport a sa forme
d'equilibre spherique (fig. 1b). On cherche a estimer par un raisonnement en 
loi d'echelle le temps
caracteristique de deformation de la goutte. En comparant l'energie de surface 
de la goutte et l'energie
1

Figure 1 ­ En haut : saut d'une goutte d'eau resultant de la coalescence de 
deux gouttes sur un
substrat superhydrophobe. L'intervalle entre images est 0,8 ms et le diametre 
de la goutte ejectee est
0,5 mm. Images tirees de Boreyko & Chen, Phys. Rev. Lett. 103, 184501 (2009). 
En bas : Simulation
numerique montrant l'evolution de la forme de la goutte immediatement apres 
coalescence. Figure tiree
de S. Farokhirad, J. Morris & T. Lee, Phys. Fluids 27, 102102 (2015).

cinetique
p liee aux mouvements internes du liquide, montrer que ce temps caracteristique 
 est tel que :
  R3 /. Dans ce raisonnement, on ignorera tous les prefacteurs numeriques. Quel 
est l'ordre de
grandeur de ce temps pour une goutte d'eau millimetrique ?
Pj
5. Dans un ecoulement, la puissance dissipee par unite de volume du fait de la 
viscosite est  i (ui /xj )2
ou  est la viscosite dynamique, ui est la composante i du vecteur vitesse et xj 
la composante j de
la coordonnee d'espace. On suppose ici que tous les termes ui /xj sont du meme 
ordre de grandeur. Montrer, toujours en ignorant les prefacteurs numeriques, 
que l'energie
dissipee par viscosite a
p
l'interieur de la goutte pendant sa deformation est proportionnelle a  R3 /.
!"
!#$
/*.-,+)**)('&

!#
!%$
!%
! $
!

$

%

%$

#

#$

"

"$

0'1-2(3)+,-'4356*/

Figure 2 ­ Vitesse verticale initiale de la goutte apres coalescence en 
fonction du diametre moyen (apres
coalescence) des gouttes. Donnees tirees de Boreyko & Chen, Phys. Rev. Lett. 
103, 184501 (2009).

6. Il y a en fait un prefacteur numerique important pour l'energie dissipee qui 
est : 36
2

p
R3 / 

p
100 R3 /. En faisant un bilan d'energie prenant en compte la dissipation 
visqueuse, determiner
l'evolution de la vitesse d'ejection verticale de la goutte en fonction du 
rayon R et des parametres
physiques du probleme. R est ici le rayon de la goutte apres coalescence. Y 
a-t-il une valeur du rayon
pour laquelle la vitesse d'ejection est maximale ? Si oui, quelle est elle ? 
Quelle est alors la vitesse
d'ejection ? Comment se comparent ces resultats aux donnees experimentales de 
la fig. 2 ?
La viscosite dynamique de l'eau est :  = 10-3 Pa.s.

2

Application a l'ejection des spores de champignons

Figure 3 ­ Ejection d'une spore de champignon. A gauche, a, b : schema de la 
coalescence de la goutte
d'eau (en gris fonce) sur la spore. d, e : deux vues de la coalescence prises 
avec une camera ultra-rapide
(largeur des images : 30 µm). A droite, surimpression des positions d'une spore 
a des intervalles de temps
de 100 µs. Images tirees de A. Pringle et al., "The captured launch of a 
ballistospore", Mycologia, 97, 866
(2005).
Certaines especes de champignons ont developpe une strategie efficace pour 
ejecter les spores depuis les
lamelles situees sous le chapeau. A la base du support de la spore se trouve 
une petite zone hydrophile qui
permet la croissance d'une goutte d'eau (fig. 3). Lorsque la goutte d'eau, de 
rayon Rg est assez grande,
elle fusionne avec une tres mince couche d'eau couvrant la surface de la spore 
et s'etale a son tour en une
couche mince couvrant toujours la surface entiere de la spore. Le rayon de la 
spore, que l'on supposera
spherique, Rs est de l'ordre de 4 µm, sa masse m est de l'ordre de 4 × 10-10 g.
7. Estimer la variation d'aire interfaciale eau/air et la variation d'energie 
interfaciale associee. On supposera que le film d'eau initialement present 
couvre la totalite de la surface de la spore et que le rayon
de la goutte d'eau est deux fois plus petit que celui de la spore.
8. En admettant que la variation d'energie interfaciale est integralement 
recuperee en energie cinetique,
estimer la vitesse initiale d'ejection de la spore et comparer cette vitesse a 
celle observee experimentalement.
9. Quel est le nombre de Reynolds associe a l'ecoulement d'air autour de la 
spore ? La viscosite dynamique de l'air est 1, 8 × 10-5 Pa.s et sa masse 
volumique est 1,3 kg.m-3 .

3

10. En deduire l'expression de la force de trainee exercee par l'air sur la 
spore en mouvement en fonction
notamment du rayon de la spore et de sa vitesse.
11. La gravite joue-t-elle un role dans le mouvement ? Si la spore est ejectee 
horizontalement, decrire sa
trajectoire et donner en particulier la longueur et le temps de freinage. 
Comparer votre prediction au
mouvement reel represente sur la fig. 3.

3

Catapultes electromagnetiques

On considere une catapulte electromagnetique constituee de deux rails en 
aluminium paralleles de section
carree (de cote a) et de longueur xmax , relies d'une part a une extremite a un 
generateur G (un groupe
de condensateurs) en serie avec un interrupteur I et d'autre part a un rail 
mobile de longueur l et de
masse m (de materiau et section identiques aux deux rails paralleles et 
perpendiculaire a ceux-ci), comme
schematise sur la figure 4. On suppose que le rail mobile se deplace sans 
frottement dans la direction
(Ox) entre les deux rails paralleles et assure un contact electrique parfait au 
niveau de chaque rail. Le rail
mobile est de plus muni d'un support de masse negligeable (non represente sur 
le schema) permettant de
pousser un projectile de masse M.

Figure 4 ­ Schema de la catapulte
Lors de la fermeture de l'interrupteur I, le groupe de condensateurs 
initialement charge fournit de l'energie
au circuit, en particulier sous forme d'energie cinetique fournie a la partie 
mobile (d'ou le nom de catapulte electromagnetique).
On considere le circuit dans l'approximation des regimes quasi-stationnaires. 
Le groupe de condensateurs
est equivalent a un condensateur de capacite notee C. On note L(x) l'inductance 
propre du circuit lorsque
le conducteur mobile se trouve a la position x (voir figure 4). L'ensemble des 
parties resistives du systeme
est assimilable a une resistance R(x) en serie avec la capacite C et 
l'inductance L(x). On note i(t)
l'intensite dans le circuit.
12. Rappeler l'expression de l'energie magnetique a l'instant t d'un circuit 
d'inductance L parcouru par
un courant d'intensite i, ainsi que la force electromotrice s'exercant sur un 
circuit deformable. En
effectuant de deux manieres un bilan de la puissance fournie par la source au 
circuit, montrer que le
module de la force exercee sur la partie mobile s'ecrit :
F =

1 dL 2
i .
2 dx

Faire un schema montrant la direction du champ magnetique dans le plan situe a 
egale distance des
deux conducteurs paralleles ainsi que la direction de la force agissant sur la 
partie mobile.
13. La figure 5 indique quelques valeurs de L(x) pour differentes valeurs de x 
et pour quelques valeurs de a
et l. Expliquer pourquoi L(x) varie en bonne approximation lineairement en 
fonction de la distance x,

4

Inductance L(x) (µH)

5
l = 20 cm, a = 1 cm
l = 20 cm, a = 5 cm
l = 20 cm, a = 10 cm
l = 40 cm, a = 5 cm
l = 40 cm, a = 10 cm

4

3

2

1

0
0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

position x du conducteur mobile (m)
Figure 5 ­ Valeur de l'autoinductance L(x) du circuit constituant la catapulte 
en fonction de la distance
x, pour diverses valeurs des parametres geometriques l et a.
dans l'hypothese ou x est grand devant l'ecart l entre les deux barres 
paralleles. On notera Lx =
valeur qui sera dans toute la suite de l'enonce supposee constante.

dL
dx ,

14. En supposant que le plan de la catapulte est incline d'un angle  par 
rapport a l'horizontale, et en
supposant un courant constant de valeur i0 dans le circuit, etablir la relation 
litterale entre i0 et la
vitesse v(x) de la partie mobile de masse m + M apres un parcours de longueur 
x, et une position
initiale en x = 0.
15. Deduire a partir de la figure 5 les valeurs des parametres geometriques l 
et a (parmi ceux proposes)
qui vont minimiser le courant requis pour atteindre une vitesse donnee. On 
suppose dans toute la
suite que l et a sont fixees a ces valeurs.
16. Determiner un ordre de grandeur du courant i0 (toujours suppose constant) 
necessaire pour catapulter un ballon de football, de masse M = 450 g a 50 m/s 
avec une catapulte de longueur xmax = 1 m,
pour les parametres geometriques de conducteur mobile les plus favorables 
determines a la question
precedente. La masse volumique de l'aluminium est Al  2700 kg m-3 . Dans toute 
la suite, la longueur xmax de la catapulte est fixee a 1 m.
17. En deduire une ordre de grandeur de la charge necessaire a la production 
d'un tel courant pendant le
catapultage.
18. Dans ce qui precede, on a suppose que le courant etait constant pour 
l'estimation des ordres de
grandeur. En realite, le courant est initialement nul avant la fermeture de 
l'interrupteur, et ne peut
donc etre constant lors du fonctionnement de la catapulte. Le groupe de 
condensateur de capacite
equivalente C est initialement charge avec une charge notee Q0 . Rappeler 
l'equation differentielle qui
regit le courant i(t).
On suppose l'inegalite suivante verifiee :
L(x)
 R(x)C
R(x)
Interpreter cette inegalite en precisant le sens de chacun des termes, et 
deduire une description en
deux phases du fonctionnement de la catapulte une fois l'interrupteur ferme.

5

19. Dans le cadre de l'inegalite precedente, etablir l'equation approchee 
decrivant l'evolution temporelle
du courant dans le circuit pendant la phase de catapultage correspondant a la 
decharge du groupe de
condensateurs, en supposant constante la resistance totale R du circuit.

Figure 6 ­ Association de n × m condensateurs formant le generateur G de la 
catapulte
electromagnetique.
20. On peut trouver sur le marche des condensateurs de tres forte valeur de 
capacite C0 (plusieurs milliers de Farads), mais limites a des tensions de 
charge V0 relativement basses (quelques Volts). Ces
condensateurs presentent en general egalement des pertes, modelisables par une 
resistance de perte R0
associee en serie avec la partie capacitive. On considere un groupement de m×n 
condensateurs associes
comme sur la figure 6. Etablir les valeurs de capacite et de resistance 
equivalentes a un tel groupe de
condensateurs dans une representation (R,C) en serie, ainsi que la charge 
maximale que peut fournir
le groupe de condensateurs et la tension correspondante a laquelle on doit le 
soumettre pour le charger.
21. En supposant negligeable la resistance liee aux rails en aluminium, etablir 
en fonction de C0 , V0 ,
R0 , n et m l'expression du courant de decharge dans le circuit. Avec C0 = 3000 
F, V0 = 3 V
et R0 = 0, 3 m, montrer que m = 3 et n = 10 permet de fournir un courant 
d'intensite et de
temps caracteristique de decharge compatibles avec toutes les hypotheses 
effectuees et les valeurs
numeriques trouvees dans les questions precedentes. La conductivite electrique 
de l'aluminium vaut
Al  38 × 106 S m-1 .
22. Estimer un ordre de grandeur de l'elevation de temperature dans les rails 
d'aluminium pendant la
duree utile de la projection. La capacite thermique de l'Aluminium vaut cAl  
900 J K-1 kg-1 .
23. Estimer l'efficacite de la catapulte en comparant l'energie "utile" aux 
autres formes d'energie mises
en jeu. Quel peut etre alors l'interet de ce genre de dispositif de projection 
en pratique ?

6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique A PC 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Louis Salkin (professeur en CPGE) ; il a été relu par
Pierre Tognetti (professeur agrégé) et Tom Morel (professeur en CPGE).

Ce sujet s'intéresse au fonctionnement de deux systèmes originaux de catapulte.
· La première partie est consacrée à une catapulte mettant en jeu une conversion
d'énergie capillaire en énergie cinétique. Lorsque deux gouttelettes déposées 
sur
une surface hydrophobe coalescent, elles donnent naissance à une unique goutte
propulsée verticalement. La prise en compte de frottements visqueux permet
alors d'interpréter l'existence d'une taille de goutte présentant une vitesse de
propulsion maximale.
· Dans la continuité de la première partie, la deuxième s'intéresse à un autre
processus de catapulte capillaire rencontré dans la nature : l'éjection des 
spores
de champignon. Après avoir adapté les résultats de la partie précédente, le
mouvement d'une spore suite à son éjection est modélisé, puis le modèle est
comparé à une chronophotographie expérimentale.
· La troisième partie propose de comprendre le principe d'une catapulte 
électromagnétique reposant sur une conversion d'énergie électromagnétique en 
énergie
cinétique. Après avoir exprimé la force permettant de mettre en mouvement le
projectile, les questions suivantes visent à optimiser et dimensionner les 
paramètres de la catapulte dans le but de propulser un objet de masse donnée à 
une
vitesse imposée. Après avoir évoqué les effets thermiques lors du catapultage,
on cherche enfin à estimer l'efficacité énergétique de ce dispositif.
Les parties 1 et 2 permettent de revoir efficacement les notions de capillarité
et de mécanique des fluides du programme, et ne devraient pas poser de 
difficulté
particulière. En revanche, la partie 3 nécessite un certain recul sur les 
chapitres
d'induction électromagnétique et d'électronique étudiés en PCSI.
Même si le sujet peut sembler court au vu du faible nombre de questions posées,
certaines d'entre elles demandent, comme souvent dans cette banque de concours, 
un
réel effort d'initiative, d'autant que peu d'indications ou de résultats 
intermédiaires
sont fournis.

Indications
Partie 1
1 Penser à écrire la conservation du volume d'eau au cours de la coalescence 
pour
exprimer R en fonction de R.
4 La vitesse s'écrit R/ en loi d'échelle.
6 Exprimer la vitesse d'éjection V0 en fonction de R et montrer que celle-ci 
passe
par un maximum pour une valeur particulière Rmax en annulant sa dérivée 
première par rapport à R .
Partie 2
10 En régime laminaire, le modèle de force de traînée pertinent est
-

f = -6  a Rs -
v
11 Comparer juste après l'éjection de la spore les normes du poids et de la 
force de
frottement pour justifier que la gravité est négligeable.
Partie 3

-
12 Démontrer l'expression du module de la force F nécessite de mener deux 
raisonnements parallèles :
· Décomposer l'énergie du circuit en ses composantes électrique, magnétique
et cinétique, puis écrire que sa dérivée temporelle est égale à la puissance
dissipée par effet Joule.
· Exprimer la force électromotrice induite e puis écrire la loi des mailles dans
le circuit électrique équivalent.
14 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la partie mobile de masse
totale m + M.
16 Pour faciliter l'application numérique, ne pas hésiter à comparer l'ordre de 
grandeur des différents termes.
Z 
i dt.
17 Par définition de l'intensité, Q =
0

18 Dans cette question et la suivante, supposer que la vitesse du rail mobile 
est
négligeable pour pouvoir simplifier la loi des mailles.
22 Appliquer le premier principe de la thermodynamique aux rails en aluminium, 
en
supposant l'absence de transfert thermique pendant la durée de catapultage.

Catapultes
1. Catapultes capillaires
1 L'énergie de surface des deux gouttes initiales de rayon R s'exprime
Es, i = 2 ( 4 R2 )
La coalescence de ces deux gouttelettes donne naissance à une goutte de rayon R 
,
dont l'énergie de surface s'écrit
Es, f = 4 R2 
La conservation du volume d'eau lors de la coalescence permet de relier R et R :

4
4
2
 R3 =  R3
soit
R = 21/3 R
3
3
La variation d'énergie de surface s'écrit donc

Es = Es, f - Es, i = 4 (22/3 - 2)  R2
Cette différence d'énergie de surface est négative, ce qui justifie la mise en
mouvement spontanée de la goutte issue de la coalescence, en supposant
l'absence de dissipation d'énergie.
2 Les deux gouttes initiales étant supposées au repos, leur énergie se réduit à 
leur
énergie de surface : Ei = Es, i . L'énergie de la goutte obtenue après 
coalescence, de
masse m , comporte une contribution interfaciale et une contribution cinétique :
1
Ef = Es, f + m V0 2
2
Par conservation de la masse d'eau au cours de la coalescence,

4
m = 2
 R3 
3

En négligeant toute dissipation d'énergie lors de la coalescence, la 
conservation de
l'énergie s'écrit Ei = Ef , soit
4
-Es =  R3  V0 2
3
Avec la question 1,
Finalement,

3 (2 - 22/3 )  =  R V0 2
s
3 (2 - 22/3 ) 
V0 =
= 3 · 10-1 m.s-1
R

3 La goutte propulsée verticalement atteint sa hauteur maximale lorsque son 
énergie
cinétique s'annule. En supposant qu'elle reste sphérique au cours de son 
mouvement
et que la friction de l'air est négligeable, la conservation de son énergie 
s'écrit
1  2
m V0 = m gh
2
Il vient

h=

V0 2
= 4 · 10-3 m
2g

La hauteur obtenue est tout à fait observable à l'oeil nu et de l'ordre de
grandeur de la taille de la goutte : ce résultat est conforme à la séquence
expérimentale présentée à la figure 1.

4 En ignorant tout préfacteur numérique, la question 1 a permis de montrer que
la diminution d'énergie de surface au cours de la coalescence est de l'ordre de 
R2 .
Cette diminution d'énergie de surface est à l'origine de la mise en mouvement 
d'une
masse m   R3 de liquide, se déplaçant sur une distance de l'ordre de R pendant
le temps caractéristique  . Ce temps typique est déterminé en écrivant, comme à 
la
question 2, la conversion d'énergie interfaciale en énergie cinétique :
 2
R
R2   R3

s
 R3
d'où

Avec R = 1 mm,

 = 4 · 10-3 s

5 D'après la question précédente, la goutte obtenue après coalescence se déforme
sur une distance typique R pendant le temps caractéristique  . Approximons le 
terme
de cisaillement apparaissant dans la puissance visqueuse volumique :
r
ui
R/

=
xj
R
 R3
Intégrons la puissance volumique dissipée sur le volume de la goutte, de 
l'ordre de R3
d'après la question 1,
r
2

P
R3 =
3
R

L'énergie dissipée pendant le temps typique de déformation  est Ed = P  , d'où
s

 R3
Ed 
 =

6 La variation d'énergie au cours de la coalescence s'écrit
Ef - Ei =

4
 R3  V0 2 + 4 (22/3 - 2)  R2
3

À la lecture de l'énoncé, remplaçons R au moyen de R en appliquant la relation
établie à la question 1 :
2
 R3  V0 2 + 4 (1 - 21/3 )  R2
3
En tenant à présent compte des effets visqueux, cette différence d'énergie 
correspond
à l'énergie dissipée en vertu du théorème de l'énergie mécanique, soit
s
2
 R3
2
3
2
 R  V0 + 4 (1 - 2 )  R = -36  
3

s
 R3
d'où
R3  V0 2 = 6 (21/3 - 1)  R2 - 54 

Ef - Ei =

En isolant la vitesse,

V0 =

s

6 (21/3 - 1) 
- 54 
 R

r

3 R3