X/ENS Physique A PC 2017

Thème de l'épreuve Catapultes
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, capillarité, induction électromagnétique, électronique, mécanique
Mots clefs catapulte, tension de surface, goutte, coalescence, spore, nombre de Reynolds, force de traînée, loi de Faraday, condensateur, premier principe

Corrigé

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ECOLE POLYTECHNIQUE ECOLE SUPERIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2017 FILIERE PC COMPOSITION DE PHYSIQUE ­ A ­ (XE) (Duree : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisee pour cette epreuve. On se contentera, pour les applications numeriques, d'un seul chiffre significatif. On prendra 21/3 = 1, 25 et 22/3 = 1, 6 ainsi que g = 9, 8 m.s-2 pour l'acceleration de la pesanteur. Catapultes Les catapultes sont des engins mecaniques destines a lancer de gros projectiles pour attaquer des murailles. Mais on peut generaliser cette definition a d'autres situations que le siege de fortifications : dans le monde vegetal, les plantes peuvent stocker de l'energie sous differentes formes pour la liberer rapidement et provoquer des mouvements tres rapides (plantes "carnivores", ejection de graines et de spores). On peut egalement utiliser l'energie electromagnetique pour fabriquer une catapulte. Nous nous interessons ici a ces deux variantes de catapultes. Les parties 1, 2 et 3 sont independantes. 1 Catapultes capillaires Lorsqu'on fait condenser de la vapeur d'eau sur une surface tres hydrophobe, on observe les phenomenes suivants : les gouttes d'eau (de taille submillimetrique) ont une forme spherique et ne s'etalent pas sur la surface solide. La taille de chaque goutte augmente au cours du temps par la condensation de la vapeur. Lorsque deux gouttes initialement proches se touchent et coalescent en une seule goutte plus grosse, cette derniere saute verticalement (fig. 1). On cherche a analyser ce phenomene et, en particulier, a trouver la taille optimale de goutte pour la propulsion verticale. 1. On considere deux gouttes identiques de rayon R, ayant une tension interfaciale avec l'air . Quelle est la variation d'energie de surface Es resultant de la coalescence de ces deux gouttes ? 2. En admettant qu'il n'y a pas de dissipation d'energie lors de la coalescence et que les gouttes sont initialement au repos, quelle est la vitesse verticale initiale V0 du mouvement de la goutte resultant de la coalescence ? Quelle est la valeur numerique de V0 pour des gouttes d'eau (masse volumique = 1000 kg.m-3 , tension de surface = 70 mN.m-1 ) de rayon R = 1 mm ? 3. Quelle est la hauteur h atteinte par la goutte, si on neglige la friction dans l'air ? 4. Immediatement apres la coalescence, la goutte est tres fortement deformee par rapport a sa forme d'equilibre spherique (fig. 1b). On cherche a estimer par un raisonnement en loi d'echelle le temps caracteristique de deformation de la goutte. En comparant l'energie de surface de la goutte et l'energie 1 Figure 1 ­ En haut : saut d'une goutte d'eau resultant de la coalescence de deux gouttes sur un substrat superhydrophobe. L'intervalle entre images est 0,8 ms et le diametre de la goutte ejectee est 0,5 mm. Images tirees de Boreyko & Chen, Phys. Rev. Lett. 103, 184501 (2009). En bas : Simulation numerique montrant l'evolution de la forme de la goutte immediatement apres coalescence. Figure tiree de S. Farokhirad, J. Morris & T. Lee, Phys. Fluids 27, 102102 (2015). cinetique p liee aux mouvements internes du liquide, montrer que ce temps caracteristique est tel que : R3 /. Dans ce raisonnement, on ignorera tous les prefacteurs numeriques. Quel est l'ordre de grandeur de ce temps pour une goutte d'eau millimetrique ? Pj 5. Dans un ecoulement, la puissance dissipee par unite de volume du fait de la viscosite est i (ui /xj )2 ou est la viscosite dynamique, ui est la composante i du vecteur vitesse et xj la composante j de la coordonnee d'espace. On suppose ici que tous les termes ui /xj sont du meme ordre de grandeur. Montrer, toujours en ignorant les prefacteurs numeriques, que l'energie dissipee par viscosite a p l'interieur de la goutte pendant sa deformation est proportionnelle a R3 /. !" !#$ /*.-,+)**)('& !# !%$ !% ! $ ! $ % %$ # #$ " "$ 0'1-2(3)+,-'4356*/ Figure 2 ­ Vitesse verticale initiale de la goutte apres coalescence en fonction du diametre moyen (apres coalescence) des gouttes. Donnees tirees de Boreyko & Chen, Phys. Rev. Lett. 103, 184501 (2009). 6. Il y a en fait un prefacteur numerique important pour l'energie dissipee qui est : 36 2 p R3 / p 100 R3 /. En faisant un bilan d'energie prenant en compte la dissipation visqueuse, determiner l'evolution de la vitesse d'ejection verticale de la goutte en fonction du rayon R et des parametres physiques du probleme. R est ici le rayon de la goutte apres coalescence. Y a-t-il une valeur du rayon pour laquelle la vitesse d'ejection est maximale ? Si oui, quelle est elle ? Quelle est alors la vitesse d'ejection ? Comment se comparent ces resultats aux donnees experimentales de la fig. 2 ? La viscosite dynamique de l'eau est : = 10-3 Pa.s. 2 Application a l'ejection des spores de champignons Figure 3 ­ Ejection d'une spore de champignon. A gauche, a, b : schema de la coalescence de la goutte d'eau (en gris fonce) sur la spore. d, e : deux vues de la coalescence prises avec une camera ultra-rapide (largeur des images : 30 µm). A droite, surimpression des positions d'une spore a des intervalles de temps de 100 µs. Images tirees de A. Pringle et al., "The captured launch of a ballistospore", Mycologia, 97, 866 (2005). Certaines especes de champignons ont developpe une strategie efficace pour ejecter les spores depuis les lamelles situees sous le chapeau. A la base du support de la spore se trouve une petite zone hydrophile qui permet la croissance d'une goutte d'eau (fig. 3). Lorsque la goutte d'eau, de rayon Rg est assez grande, elle fusionne avec une tres mince couche d'eau couvrant la surface de la spore et s'etale a son tour en une couche mince couvrant toujours la surface entiere de la spore. Le rayon de la spore, que l'on supposera spherique, Rs est de l'ordre de 4 µm, sa masse m est de l'ordre de 4 × 10-10 g. 7. Estimer la variation d'aire interfaciale eau/air et la variation d'energie interfaciale associee. On supposera que le film d'eau initialement present couvre la totalite de la surface de la spore et que le rayon de la goutte d'eau est deux fois plus petit que celui de la spore. 8. En admettant que la variation d'energie interfaciale est integralement recuperee en energie cinetique, estimer la vitesse initiale d'ejection de la spore et comparer cette vitesse a celle observee experimentalement. 9. Quel est le nombre de Reynolds associe a l'ecoulement d'air autour de la spore ? La viscosite dynamique de l'air est 1, 8 × 10-5 Pa.s et sa masse volumique est 1,3 kg.m-3 . 3 10. En deduire l'expression de la force de trainee exercee par l'air sur la spore en mouvement en fonction notamment du rayon de la spore et de sa vitesse. 11. La gravite joue-t-elle un role dans le mouvement ? Si la spore est ejectee horizontalement, decrire sa trajectoire et donner en particulier la longueur et le temps de freinage. Comparer votre prediction au mouvement reel represente sur la fig. 3. 3 Catapultes electromagnetiques On considere une catapulte electromagnetique constituee de deux rails en aluminium paralleles de section carree (de cote a) et de longueur xmax , relies d'une part a une extremite a un generateur G (un groupe de condensateurs) en serie avec un interrupteur I et d'autre part a un rail mobile de longueur l et de masse m (de materiau et section identiques aux deux rails paralleles et perpendiculaire a ceux-ci), comme schematise sur la figure 4. On suppose que le rail mobile se deplace sans frottement dans la direction (Ox) entre les deux rails paralleles et assure un contact electrique parfait au niveau de chaque rail. Le rail mobile est de plus muni d'un support de masse negligeable (non represente sur le schema) permettant de pousser un projectile de masse M. Figure 4 ­ Schema de la catapulte Lors de la fermeture de l'interrupteur I, le groupe de condensateurs initialement charge fournit de l'energie au circuit, en particulier sous forme d'energie cinetique fournie a la partie mobile (d'ou le nom de catapulte electromagnetique). On considere le circuit dans l'approximation des regimes quasi-stationnaires. Le groupe de condensateurs est equivalent a un condensateur de capacite notee C. On note L(x) l'inductance propre du circuit lorsque le conducteur mobile se trouve a la position x (voir figure 4). L'ensemble des parties resistives du systeme est assimilable a une resistance R(x) en serie avec la capacite C et l'inductance L(x). On note i(t) l'intensite dans le circuit. 12. Rappeler l'expression de l'energie magnetique a l'instant t d'un circuit d'inductance L parcouru par un courant d'intensite i, ainsi que la force electromotrice s'exercant sur un circuit deformable. En effectuant de deux manieres un bilan de la puissance fournie par la source au circuit, montrer que le module de la force exercee sur la partie mobile s'ecrit : F = 1 dL 2 i . 2 dx Faire un schema montrant la direction du champ magnetique dans le plan situe a egale distance des deux conducteurs paralleles ainsi que la direction de la force agissant sur la partie mobile. 13. La figure 5 indique quelques valeurs de L(x) pour differentes valeurs de x et pour quelques valeurs de a et l. Expliquer pourquoi L(x) varie en bonne approximation lineairement en fonction de la distance x, 4 Inductance L(x) (µH) 5 l = 20 cm, a = 1 cm l = 20 cm, a = 5 cm l = 20 cm, a = 10 cm l = 40 cm, a = 5 cm l = 40 cm, a = 10 cm 4 3 2 1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 position x du conducteur mobile (m) Figure 5 ­ Valeur de l'autoinductance L(x) du circuit constituant la catapulte en fonction de la distance x, pour diverses valeurs des parametres geometriques l et a. dans l'hypothese ou x est grand devant l'ecart l entre les deux barres paralleles. On notera Lx = valeur qui sera dans toute la suite de l'enonce supposee constante. dL dx , 14. En supposant que le plan de la catapulte est incline d'un angle par rapport a l'horizontale, et en supposant un courant constant de valeur i0 dans le circuit, etablir la relation litterale entre i0 et la vitesse v(x) de la partie mobile de masse m + M apres un parcours de longueur x, et une position initiale en x = 0. 15. Deduire a partir de la figure 5 les valeurs des parametres geometriques l et a (parmi ceux proposes) qui vont minimiser le courant requis pour atteindre une vitesse donnee. On suppose dans toute la suite que l et a sont fixees a ces valeurs. 16. Determiner un ordre de grandeur du courant i0 (toujours suppose constant) necessaire pour catapulter un ballon de football, de masse M = 450 g a 50 m/s avec une catapulte de longueur xmax = 1 m, pour les parametres geometriques de conducteur mobile les plus favorables determines a la question precedente. La masse volumique de l'aluminium est Al 2700 kg m-3 . Dans toute la suite, la longueur xmax de la catapulte est fixee a 1 m. 17. En deduire une ordre de grandeur de la charge necessaire a la production d'un tel courant pendant le catapultage. 18. Dans ce qui precede, on a suppose que le courant etait constant pour l'estimation des ordres de grandeur. En realite, le courant est initialement nul avant la fermeture de l'interrupteur, et ne peut donc etre constant lors du fonctionnement de la catapulte. Le groupe de condensateur de capacite equivalente C est initialement charge avec une charge notee Q0 . Rappeler l'equation differentielle qui regit le courant i(t). On suppose l'inegalite suivante verifiee : L(x) R(x)C R(x) Interpreter cette inegalite en precisant le sens de chacun des termes, et deduire une description en deux phases du fonctionnement de la catapulte une fois l'interrupteur ferme. 5 19. Dans le cadre de l'inegalite precedente, etablir l'equation approchee decrivant l'evolution temporelle du courant dans le circuit pendant la phase de catapultage correspondant a la decharge du groupe de condensateurs, en supposant constante la resistance totale R du circuit. Figure 6 ­ Association de n × m condensateurs formant le generateur G de la catapulte electromagnetique. 20. On peut trouver sur le marche des condensateurs de tres forte valeur de capacite C0 (plusieurs milliers de Farads), mais limites a des tensions de charge V0 relativement basses (quelques Volts). Ces condensateurs presentent en general egalement des pertes, modelisables par une resistance de perte R0 associee en serie avec la partie capacitive. On considere un groupement de m×n condensateurs associes comme sur la figure 6. Etablir les valeurs de capacite et de resistance equivalentes a un tel groupe de condensateurs dans une representation (R,C) en serie, ainsi que la charge maximale que peut fournir le groupe de condensateurs et la tension correspondante a laquelle on doit le soumettre pour le charger. 21. En supposant negligeable la resistance liee aux rails en aluminium, etablir en fonction de C0 , V0 , R0 , n et m l'expression du courant de decharge dans le circuit. Avec C0 = 3000 F, V0 = 3 V et R0 = 0, 3 m, montrer que m = 3 et n = 10 permet de fournir un courant d'intensite et de temps caracteristique de decharge compatibles avec toutes les hypotheses effectuees et les valeurs numeriques trouvees dans les questions precedentes. La conductivite electrique de l'aluminium vaut Al 38 × 106 S m-1 . 22. Estimer un ordre de grandeur de l'elevation de temperature dans les rails d'aluminium pendant la duree utile de la projection. La capacite thermique de l'Aluminium vaut cAl 900 J K-1 kg-1 . 23. Estimer l'efficacite de la catapulte en comparant l'energie "utile" aux autres formes d'energie mises en jeu. Quel peut etre alors l'interet de ce genre de dispositif de projection en pratique ? 6

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 X Physique A PC 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Louis Salkin (professeur en CPGE) ; il a été relu par Pierre Tognetti (professeur agrégé) et Tom Morel (professeur en CPGE). Ce sujet s'intéresse au fonctionnement de deux systèmes originaux de catapulte. · La première partie est consacrée à une catapulte mettant en jeu une conversion d'énergie capillaire en énergie cinétique. Lorsque deux gouttelettes déposées sur une surface hydrophobe coalescent, elles donnent naissance à une unique goutte propulsée verticalement. La prise en compte de frottements visqueux permet alors d'interpréter l'existence d'une taille de goutte présentant une vitesse de propulsion maximale. · Dans la continuité de la première partie, la deuxième s'intéresse à un autre processus de catapulte capillaire rencontré dans la nature : l'éjection des spores de champignon. Après avoir adapté les résultats de la partie précédente, le mouvement d'une spore suite à son éjection est modélisé, puis le modèle est comparé à une chronophotographie expérimentale. · La troisième partie propose de comprendre le principe d'une catapulte électromagnétique reposant sur une conversion d'énergie électromagnétique en énergie cinétique. Après avoir exprimé la force permettant de mettre en mouvement le projectile, les questions suivantes visent à optimiser et dimensionner les paramètres de la catapulte dans le but de propulser un objet de masse donnée à une vitesse imposée. Après avoir évoqué les effets thermiques lors du catapultage, on cherche enfin à estimer l'efficacité énergétique de ce dispositif. Les parties 1 et 2 permettent de revoir efficacement les notions de capillarité et de mécanique des fluides du programme, et ne devraient pas poser de difficulté particulière. En revanche, la partie 3 nécessite un certain recul sur les chapitres d'induction électromagnétique et d'électronique étudiés en PCSI. Même si le sujet peut sembler court au vu du faible nombre de questions posées, certaines d'entre elles demandent, comme souvent dans cette banque de concours, un réel effort d'initiative, d'autant que peu d'indications ou de résultats intermédiaires sont fournis. Indications Partie 1 1 Penser à écrire la conservation du volume d'eau au cours de la coalescence pour exprimer R en fonction de R. 4 La vitesse s'écrit R/ en loi d'échelle. 6 Exprimer la vitesse d'éjection V0 en fonction de R et montrer que celle-ci passe par un maximum pour une valeur particulière Rmax en annulant sa dérivée première par rapport à R . Partie 2 10 En régime laminaire, le modèle de force de traînée pertinent est - f = -6 a Rs - v 11 Comparer juste après l'éjection de la spore les normes du poids et de la force de frottement pour justifier que la gravité est négligeable. Partie 3 - 12 Démontrer l'expression du module de la force F nécessite de mener deux raisonnements parallèles : · Décomposer l'énergie du circuit en ses composantes électrique, magnétique et cinétique, puis écrire que sa dérivée temporelle est égale à la puissance dissipée par effet Joule. · Exprimer la force électromotrice induite e puis écrire la loi des mailles dans le circuit électrique équivalent. 14 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la partie mobile de masse totale m + M. 16 Pour faciliter l'application numérique, ne pas hésiter à comparer l'ordre de grandeur des différents termes. Z i dt. 17 Par définition de l'intensité, Q = 0 18 Dans cette question et la suivante, supposer que la vitesse du rail mobile est négligeable pour pouvoir simplifier la loi des mailles. 22 Appliquer le premier principe de la thermodynamique aux rails en aluminium, en supposant l'absence de transfert thermique pendant la durée de catapultage. Catapultes 1. Catapultes capillaires 1 L'énergie de surface des deux gouttes initiales de rayon R s'exprime Es, i = 2 ( 4 R2 ) La coalescence de ces deux gouttelettes donne naissance à une goutte de rayon R , dont l'énergie de surface s'écrit Es, f = 4 R2 La conservation du volume d'eau lors de la coalescence permet de relier R et R : 4 4 2 R3 = R3 soit R = 21/3 R 3 3 La variation d'énergie de surface s'écrit donc Es = Es, f - Es, i = 4 (22/3 - 2) R2 Cette différence d'énergie de surface est négative, ce qui justifie la mise en mouvement spontanée de la goutte issue de la coalescence, en supposant l'absence de dissipation d'énergie. 2 Les deux gouttes initiales étant supposées au repos, leur énergie se réduit à leur énergie de surface : Ei = Es, i . L'énergie de la goutte obtenue après coalescence, de masse m , comporte une contribution interfaciale et une contribution cinétique : 1 Ef = Es, f + m V0 2 2 Par conservation de la masse d'eau au cours de la coalescence, 4 m = 2 R3 3 En négligeant toute dissipation d'énergie lors de la coalescence, la conservation de l'énergie s'écrit Ei = Ef , soit 4 -Es = R3 V0 2 3 Avec la question 1, Finalement, 3 (2 - 22/3 ) = R V0 2 s 3 (2 - 22/3 ) V0 = = 3 · 10-1 m.s-1 R 3 La goutte propulsée verticalement atteint sa hauteur maximale lorsque son énergie cinétique s'annule. En supposant qu'elle reste sphérique au cours de son mouvement et que la friction de l'air est négligeable, la conservation de son énergie s'écrit 1 2 m V0 = m gh 2 Il vient h= V0 2 = 4 · 10-3 m 2g La hauteur obtenue est tout à fait observable à l'oeil nu et de l'ordre de grandeur de la taille de la goutte : ce résultat est conforme à la séquence expérimentale présentée à la figure 1. 4 En ignorant tout préfacteur numérique, la question 1 a permis de montrer que la diminution d'énergie de surface au cours de la coalescence est de l'ordre de R2 . Cette diminution d'énergie de surface est à l'origine de la mise en mouvement d'une masse m R3 de liquide, se déplaçant sur une distance de l'ordre de R pendant le temps caractéristique . Ce temps typique est déterminé en écrivant, comme à la question 2, la conversion d'énergie interfaciale en énergie cinétique : 2 R R2 R3 s R3 d'où Avec R = 1 mm, = 4 · 10-3 s 5 D'après la question précédente, la goutte obtenue après coalescence se déforme sur une distance typique R pendant le temps caractéristique . Approximons le terme de cisaillement apparaissant dans la puissance visqueuse volumique : r ui R/ = xj R R3 Intégrons la puissance volumique dissipée sur le volume de la goutte, de l'ordre de R3 d'après la question 1, r 2 P R3 = 3 R L'énergie dissipée pendant le temps typique de déformation est Ed = P , d'où s R3 Ed = 6 La variation d'énergie au cours de la coalescence s'écrit Ef - Ei = 4 R3 V0 2 + 4 (22/3 - 2) R2 3 À la lecture de l'énoncé, remplaçons R au moyen de R en appliquant la relation établie à la question 1 : 2 R3 V0 2 + 4 (1 - 21/3 ) R2 3 En tenant à présent compte des effets visqueux, cette différence d'énergie correspond à l'énergie dissipée en vertu du théorème de l'énergie mécanique, soit s 2 R3 2 3 2 R V0 + 4 (1 - 2 ) R = -36 3 s R3 d'où R3 V0 2 = 6 (21/3 - 1) R2 - 54 Ef - Ei = En isolant la vitesse, V0 = s 6 (21/3 - 1) - 54 R r 3 R3