X/ENS Physique A PC 2016

Thème de l'épreuve Miroir à atomes
Principaux outils utilisés électromagnétisme, physique quantique, mécanique, optique géométrique
Mots clefs effet tunnel, dipôle électrostatique, polarisabilité, réflexion totale, onde évanescente, force de Van der Waals, réseau, diffraction

Corrigé

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ECOLE POLYTECHNIQUE ECOLE SUPERIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2016 FILIERE PC COMPOSITION DE PHYSIQUE ­ A ­ (XE) (Duree : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisee pour cette epreuve. On se contentera, pour les applications numeriques, d'un seul chiffre significatif. Miroir a atomes Ce probleme traite de la realisation et de l'utilisation d'un miroir a atomes. Ce dispositif permet a la fois de mesurer quantitativement la force de van der Waals et de mesurer les rugosites d'une surface. Il se compose d'un texte de 3 pages, de trois figures et de 35 questions d'analyse et de comprehension auxquelles le candidat doit repondre. Ces questions sont regroupees en quatre parties et leur ordre suit le texte. Commencez par lire attentivement le texte intitule "L'atome devant son miroir". Cela devrait vous prendre entre 25 et 30 minutes. N'hesitez pas a surligner ou a relever les elements qui vous paraissent importants. Puis repondez aux questions de la partie intitulee "Analyse de l'article". Elles ne sont pas forcement ordonnees par difficulte croissante et certaines d'entre elles ont une formulation ouverte. Dans ce cas, toutes vos initiatives de resolution sont bienvenues a condition de justifier et de detailler systematiquement votre demarche. Si necessaire, vous citerez precisement la partie du texte qui appuie votre raisonnement (les lignes sont numerotees de 1 a 246 a cet effet). Les hypotheses des modelisations doivent etre clairement precisees et toutes les approximations doivent etre explicitees et justifiees. Les calculs devront etre menes sous forme litterale, avec pour objectif final d'obtenir une valeur numerique. 1 Donnees utiles pour l'analyse du texte NA kB h/2 = ~ g M Nombre d'Avogadro Constante de Boltzmann Constante de Planck reduite Acceleration de la pesanteur Masse molaire du rubidium 2 1024 10-23 J.K-1 10-34 J.s 10 m.s-2 100 g.mol-1 L'atome devant son miroir Resume Les progres du refroidissement d'atomes par laser ont permis de controler le mouvement des atomes. De cette maitrise est nee l'optique atomique qui, apres l'optique electronique et l'optique neutronique, etend le champ de l'optique a des objets plus gros et plus complexes. Nous nous sommes particulierement interesses a un composant optique de base, le miroir. En se reflechissant a sa surface, les atomes nous informent sur leur interaction avec celle-ci. 5 10 Depuis plusieurs annees les faisceaux laser permettent de refroidir des atomes neutres jusqu'a des temperatures de l'ordre du microkelvin. La reduction de l'agitation de ces atomes les rend manipulables et a permis de fonder une veritable optique atomique. Les rayons sont les trajectoires des atomes que l'on devie, reflechit ou focalise en utilisant toute une panoplie de forces exercees par des faisceaux laser et des champs magnetiques. L'optique atomique a egalement 1 25 30 35 40 15 20 ses ondes et les longueurs d'onde de de Broglie associees sont d'autant plus grandes que les atomes sont plus lents, de un a quelques centaines de nanometres. L'optique atomique utilise deux types de miroirs : le miroir magnetique et le miroir a onde evanescente. C'est en cherchant a ameliorer la qualite de ces derniers que nous avons mis en evidence leur sensibilite a l'interaction de van der Waals ou a la rugosite d'une surface a l'echelle du nanometre. Reflechir un atome sur un miroir de lumiere Le miroir est constitue d'un prisme de verre a la surface duquel on forme une onde evanescente. Cette onde est obtenue par reflexion totale a l'interieur du prisme de l'onde lumineuse monochromatique issue d'un laser (figure 1). Pour obtenir la reflexion totale, il faut que l'angle d'incidence du faisceau laser depasse un angle limite. Si la lumiere ne peut plus se propager vers l'exterieur du prisme, la continuite du champ electromagnetique a l'interface impose l'existence d'un champ non nul a l'exterieur, qui decroit exponentiellement en s'eloignant de la surface : c'est l'onde evanescente. Pour des incidences pas trop proches de l'angle limite, sa longueur caracteristique de decroissance est de l'ordre de /2 ( = 780 nm est la longueur d'onde du laser). Le prisme est place dans une enceinte a vide. Lorsqu'un atome approche de sa surface, il rencontre un champ electromagnetique d'intensite croissante et subit donc une force dipolaire, repulsive si la frequence du laser est superieure a la frequence de resonance de la transition atomique (voir appendice). Texte Figure 1: L'onde evanescente est creee par reflexion totale d'un laser a la surface d'un prisme. Les atomes tombent du piege magneto-optique puis sont reflechis par l'onde evanescente. Leur fluorescence est observee quand ils traversent le laser sonde. 45 L'onde evanescente cree ainsi une barriere de potentiel qui croit exponentiellement lorsque l'atome s'approche de la surface du prisme ou extrait et adapte d'un article publie dans la revue Images de la physique en 1998. 3 50 55 60 elle atteint une valeur maximale U0 (voir figure 2 a gauche). Un atome dont l'energie cinetique est inferieure a U0 rebrousse chemin avant d'atteindre la surface. L'intensite laser utilisee (quelques watts par mm2 ) correspond a une energie U0 de l'ordre de 10-25 joule. Des atomes de rubidium ayant cette energie ont une vitesse d'environ 1 m/s. A temperature ambiante la vitesse d'un atome est de l'ordre de quelques centaines de m/s. Pour le faire rebondir, il faut donc que la composante de sa vitesse normale a la surface soit sensiblement diminuee. Cela peut etre obtenu en incidence rasante avec des atomes ayant une vitesse thermique ordinaire ou avec des atomes ralentis. Nous avons choisi la deuxieme methode, dans une experience consistant a lacher des atomes froids sur une surface. 2 85 90 95 100 105 110 65 70 75 80 La source d'atomes froids est un piege combinant des faisceaux lasers et un champ magnetique. Il contient 100 millions d'atomes dans une sphere d'un millimetre de diametre et les maintient a une temperature voisine de 10 µK. On ouvre le piege en coupant les faisceaux laser et le champ magnetique. Les atomes acquierent alors une vitesse de 0,5 m/s au bout d'1 centimetre de chute libre et peuvent rebondir sur la surface horizontale du miroir a atomes. Pour observer leur rebond, on les illumine avec un laser se propageant horizontalement entre le piege et la surface du miroir (figure 1). On detecte alors la tres faible absorption de ce laser au passage des atomes, avant et apres le rebond, ou on peut capter la lumiere diffusee par les atomes grace a une camera tres sensible. Caracteriser l'interaction d'un atome avec une surface Lors du rebond, les atomes s'approchent de la surface de verre a une distance voisine de la longueur de decroissance de l'onde evanescente, soit une centaine de nanometres. A cette distance, ils interagissent aussi avec la surface de verre : en l'absence d'onde evanescente, un atome neutre subit une force attractive au voisinage d'une surface dielectrique. Comment comprendre l'origine de cette force ? Examinons d'abord le cas d'un dipole electrique permanent place parallelement au plan d'une paroi dielectrique. Tout se passe comme s'il interagissait avec un dipole de sens contraire et symetrique par rapport au plan de la paroi, nomme "dipole image". Dans son etat fondamental un atome neutre ne possede pas de moment dipolaire electrique permanent. Cependant, des fluctuations d'origine quantique produisent un dipole fluctuant de valeur instantanee differente de zero, mais dont la valeur moyenne est nulle. Bien que sa frequence caracteristique de fluctuation soit tres elevee (de l'ordre des frequences optiques), le dipole apparait fige a l'echelle du temps de propagation du champ entre l'atome et la paroi lorsque la distance atome-paroi est petite devant la longueur d'onde optique. L'interaction de ce dipole fluctuant et de son dipole image donne lieu a une force attractive, dite force de van der Waals. Dans un miroir a atomes, on mesure la force de van der Waals en l'equilibrant par la force 115 120 125 130 135 140 145 4 dipolaire a une distance connue entre l'atome et la paroi. La figure 2 (droite) represente l'energie potentielle qui correspond aux deux forces en fonction de la distance z a la paroi. Au potentiel dipolaire deja presente s'ajoute le potentiel de van der Waals qui varie en 1/z 3. La somme des deux potentiels presente un maximum pour une distance d'environ 50 nm. Les atomes froids permettent de sonder cette barriere de potentiel. Dans une experience de chute libre, l'energie cinetique des atomes est fixee par l'altitude initiale. On pourrait choisir d'augmenter cette hauteur jusqu'a ce que les atomes ne rebondissent plus. Dans la pratique, il est plus simple de fixer la hauteur de chute et de baisser l'intensite du laser, donc la valeur du potentiel dipolaire, jusqu'au seuil de reflexion des atomes. On mesure ainsi la valeur du maximum du potentiel total et, puisqu'on connait la valeur du potentiel dipolaire, on obtient une mesure du potentiel de van der Waals a une distance donnee. Il est interessant de noter qu'il existe une zone de transition autour du seuil de reflexion car l'atome peut passer a travers la barriere par effet tunnel, ou etre reflechi audessus de la barriere (reflexion quantique). Dans notre experience, cette zone de transition n'a pas ete observee car sa largeur, de quelques centiemes de l'energie cinetique incidente, est masquee par la dispersion en energie des atomes et les fluctuations d'intensite du laser. Le seuil de reflexion observe est en bon accord avec le modele de l'interaction de van der Waals evoque plus haut. 3 150 155 160 165 170 175 Mesurer les rugosites de surface Nous avons ete surpris d'observer qu'une tres petite variation de la distance minimale d'approche, due par exemple a un defaut de la surface de l'ordre du nanometre, modifiait de facon notable la trajectoire des atomes reflechis. En fait, la rugosite de la surface se traduit par une perturbation du champ lumineux de l'onde evanescente. Cette perturbation conduit a une modification du potentiel dipolaire sur lequel rebondissent les atomes et donc a une modification de leurs trajectoires. Pour etudier la sensibilite du dispositif a la rugosite de la surface, nous avons fait rebondir les atomes sur une structure reguliere connue. Pour cela, nous avons realise un reseau de diffraction a atomes via une modulation periodique de l'onde evanescente. Dans ce but, le faisceau laser est partiellement reflechi de sorte a interferer avec l'onde aller. Il en resulte une modulation spatiale du potentiel repulsif de forme sinusoidale (voir figure 3, a gauche). La periode de modulation est fixee a environ la moitie de la longueur d'onde lumineuse. La profondeur de modulation des surfaces equipotentielles, qui resulte de l'interference entre l'onde incidente et l'onde reflechie, est reglable via la fraction R d'intensite reflechie. On montre que la profondeur de modulation est une fraction de la longueur d'onde lumineuse, = 2 R/(1 + R) etant le contraste de l'interference entre l'onde incidente et l'onde reflechie. Pour que la diffraction 180 185 190 195 200 205 soit observable, il faut que la profondeur de modulation des surfaces equipotentielles, qui jouent le role de miroir atomique et qui produisent donc la modulation des ondes atomiques reflechies, soit de l'ordre de la longueur d'onde de de Broglie dB de l'onde atomique incidente. Comme cette longueur d'onde est de l'ordre de 8 nm pour du rubidium arrivant a 0,5 m/s, il faut que l'intensite reflechie soit tres faible, de l'ordre de 10-4 de l'intensite incidente. Ces resultats debouchent sur la possibilite d'analyser la rugosite de la surface du prisme avec une sensibilite inferieure au nanometre. En effet, le cas d'une surface rugueuse peut s'interpreter comme une multitude d'interferences entre l'onde lumineuse incidente et les ondes diffusees par les defauts de la surface. Ceci cree des reseaux de diffraction d'orientation et de periodes variables qui conduisent donc, non plus a des ordres de diffraction bien distincts, mais a un elargissement global du nuage d'atomes. L'analyse detaillee de cet elargissement permet de caracteriser quantitativement la rugosite de la surface. Finalement, le rebond d'un atome permet de sonder la surface-miroir avec une resolution de l'ordre d'une fraction de dB /2 dans la direction perpendiculaire a celle-ci. Le grand interet de cette methode est que l'atome perturbe tres peu le champ analyse. En contrepartie, il faut effectuer une moyenne sur un grand nombre d'atomes pour obtenir un signal utilisable. Appendice 210 215 220 225 Un atome neutre plonge dans un champ electrique voit son nuage electronique deforme de sorte qu'un dipole electrique est induit. Le moment de ce dipole p~ est lie a l'amplitude du champ ~ par la relation p~ = 0 E ~ ou est la electrique E polarisabilite de l'atome qui depend de la pulsation d'oscillation du champ electrique. La polarisation induite de l'atome resulte du deplacement des charges sous l'effet du champ electrique exterieur. Pour modeliser ce phenomene, on suppose que le noyau est immobile. Il soumet l'electron de charge -e a une force de rappel elastique -m02 ~r, ou m et ~r designent respectivement la masse de l'electron et sa position relativement au noyau, tandis que 0 est la pulsation fondamentale de l'oscillateur atomique. ~ est uniSi l'on suppose que le champ electrique E forme a l'echelle de l'atome, l'electron subit aussi ~ = -e E ~ 0 cos t. Ce modele tres une force -e E 230 235 240 245 5 simple, dit de l'electron elastiquement lie, permet de determiner la polarisabilite () de l'atome en regime force. La moyenne temporelle de l'energie potentielle du dipole atomique induit, plonge dans ~ vaut U = - 1 0 |E0 |2 . le champ electrique E, 2 Dans un champ inhomogene, un atome subit une force qui derive de cette energie potentielle. Au voisinage d'une resonance atomique, la polarisabilite peut atteindre des valeurs importantes. Elle devient negative pour des frequences plus elevees que celle de la resonance : c'est cette situation, ou le dipole induit oscille en opposition de phase par rapport au champ, qui est utilisee dans le miroir a atomes. Dans ce cas, l'atome est expulse des regions de champ fort par une force qui depend de |E0 |2 , c'est-a-dire de l'intensite du laser qui cree le champ. Figure 2: A gauche : L'onde evanescente cree un potentiel d'interaction qui decroit exponentiellement en fonction de la distance du prisme. Les atomes sont reflechis si leur energie cinetique est inferieure a la valeur maximale de l'energie potentielle. A droite : Le potentiel total auquel sont soumis les atomes (trait plein) est la somme du potentiel dipolaire et du potentiel de van der Waals (en pointille). Il est represente en fonction de la distance au prisme. L'unite d'energie est ~ ou /2 = 6 MHz est la largeur naturelle de la transition atomique utilisee pour le rubidium. Les valeurs correspondent aux conditions de l'experience decrite dans le texte. Figure 3: A gauche : Reseau de diffraction a atomes. Une petite fraction de la lumiere incidente est renvoyee vers le prisme, creant une onde evanescente legerement modulee. La profondeur des surfaces equipotentielles (amplitude verticale entre les sommets et les creux) est beaucoup plus petite que sa periode. Une onde de de Broglie atomique subit une forte diffraction si dB est de l'ordre de cette profondeur de modulation. Puisque dB /100, les atomes sont sensibles a de tres faibles deformations de l'onde evanescente. A droite : Mesure de la probabilite de diffraction atomique (en unite arbitraire) en fonction de la quantite de mouvement transverse Px de l'atome en unite de ~kx . La partie gauche correspond a la reflexion sur une surface plane. La partie droite represente la figure de diffraction sur un reseau de lumiere pour lequel = 0, 023. Les pics correspondent aux deux premiers ordres diffractes (en ±2~kx et ±4~kx ) qui ne sont pas resolus. 6 Analyse de l'article I - Onde evanescente 1. Demontrer la condition d'obtention de la reflexion totale (lignes 27-29). Vous appuierez votre raisonnement par un schema. Determiner l'angle limite si l'indice optique du prisme vaut n = 2. Les questions qui suivent ont pour but de modeliser l'onde evanescente (lignes 29-37). On note ~k et ~k les vecteurs d'onde complexes du faisceau laser incident dans le prisme et de l'onde evanescente dans le vide, respectivement, et on repere par les indices x et z leurs composantes tangentielles et normales a la surface du prisme. 2. Expliquer pourquoi les composantes tangentielles kx et kx sont egales. 3. En deduire la relation liant kz , k et l'indice n pour un angle d'incidence i. 4. Retrouver la condition de reflexion totale et, quand elle est verifiee, donner l'expression de la longueur caracteristique de decroissance de l'onde evanescente, qu'on notera . 5. Tracer l'allure de la variation de en fonction de l'angle d'incidence i. Commenter les lignes 34 a 37 du texte. II - Rebond des atomes 6. En utilisant la modelisation exposee dans l'appendice (lignes 210-231), determiner l'expression de la polarisabilite () en fonction de m, e, 0 , 0 et . Quelle est son unite ? 7. Justifier l'expression de U donnee dans l'appendice, ligne 234. 8. Justifier les lignes 39-44. 9. Expliquer les lignes 45-49. 10. Expliquer pourquoi les atomes rebroussent chemin (lignes 49-51 et figure 2 a gauche). 11. Verifier que les valeurs de U0 et de la vitesse des atomes de rubidium indiquees lignes 53-55 sont bien coherentes entre elles. 12. Expliquer quantitativement les lignes 55-57. 13. Expliquer les lignes 57-62. Preciser quantitativement ce que signifie "incidence rasante". 14. Estimer la densite volumique d'atomes dans le piege et la comparer avec la densite de molecules dans l'air ambiant. 15. Estimer la pression dans le piege en supposant que les atomes froids se comportent comme un gaz parfait. Quelle contrainte experimentale en decoule ? 16. Verifier la valeur de la vitesse de chute des atomes indiquee ligne 72. III - Interaction d'un atome avec une surface dielectrique 17. Tracer l'allure des lignes du champ d'un dipole electrique. 18. En deduire pourquoi un dipole permanent est attire par son dipole image dans une paroi dielectrique (lignes 94-97) et justifier la dependance en 1/z 3 indiquee ligne 119. 19. Expliquer les lignes 103 a 108. 20. L'ordre de grandeur de la distance minimale atome-paroi donnee dans le texte verifie-t-elle la condition enoncee aux lignes 107-108 ? 7 21. Le potentiel dipolaire est de la forme U0 exp(-2z/) et le potentiel de van der Waals est de la forme -A/z 3 . Quel est le signe de A ? Decrire le comportement asymptotique du potentiel total pour z 0 et z . 22. Construire avec U0 , et A une quantite sans dimension proportionnelle a A. 23. Tracer l'allure du potentiel total dans les limites 1 et 1. De quelle limite se rapproche la figure 2 a droite ? 24. Ecrire, sans les resoudre, les deux equations permettant de determiner A en fonction de l'altitude initiale des atomes, qu'on notera h, et de la valeur de U0 correspondant au seuil de reflexion des atomes (lignes 123-134). On rappelle que la probabilite de transmission T par effet tunnel (lignes 134-143) a travers une barriere de potentiel rectangulaire de largeur a et de hauteur V , pour un atome de masse m p dont l'energie cinetique Ec est inferieure a V , vaut environ T exp(-2a 2m(V - Ec )/~) 1. 25. De quel autre phenomene physique rencontre dans l'article peut-on rapprocher l'effet tunnel ? Vous argumenterez votre reponse. 26. On cherche l'expression de T pour estimer le coefficient de transmission a travers le potentiel de la figure 2 (droite) lorsque l'energie cinetique Ec de l'atome est inferieure a la valeur maximale du potentiel total, qu'on notera Vmax . Expliquer au moyen d'un schema comment on peut, pour ce calcul, approcher le potentiel total par une barriere rectangulaire. 27. Comment varie la largeur de cette barriere en fonction de Vmax - Ec lorsque l'energie cinetique Ec est juste inferieure a Vmax ? En deduire comment, dans cette approximation, la probabilite de transmission varie avec Ec . Proposer une expression litterale de la largeur de la zone de transition sur laquelle on observe l'effet tunnel (lignes 134-143). IV - Mesure des rugosites de surface 28. Donner l'expression de l'amplitude de l'onde evanescente resultant du faisceau laser incident en fonction de x et z. Par analogie, en deduire l'amplitude de l'onde evanescente resultant du faisceau laser reflechi sur le miroir de reflectivite R. 29. En deduire que le potentiel repulsif qui en resulte se met sous la forme U (x, z) = U1 e-2z/ [1 + cos(2kx x)] ou U1 est une constante de normalisation. 30. Exprimer z en fonction de x sur une equipotentielle dans le cas ou 1. Dans ce cas, representer graphiquement quelques equipotentielles. 31. Donner l'expression de la profondeur des equipotentielles dans cette approximation. 32. Rappeler la definition de la longueur d'onde de de Broglie et retrouver son ordre de grandeur pour le rubidium (lignes 183-185). 33. Montrer que les conditions experimentales de la figure 3 correspondent bien au regime ou la diffraction doit etre observable. 34. Retrouver l'ordre de grandeur de R (lignes 185-187). 35. Calculer a quel angle de diffraction correspondent les pics sur la figure 3 a droite. 8

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 X Physique A PC 2016 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tom Morel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Louis Salkin (Professeur en CPGE) et Vincent Freulon (Professeur en CPGE). Ce problème porte sur l'optique atomique et ses applications. Il s'appuie sur un article consacré à ce sujet. Les questions sur ce document sont réparties en quatre parties relativement indépendantes. · La première partie est consacrée à la transmission d'une onde à travers un prisme et aux conditions pour obtenir une onde évanescente. On utilise des éléments d'optique géométrique concernant la réflexion totale et le passage d'une onde électromagnétique à travers une interface. · La deuxième partie étudie le rebond des atomes sur le miroir à onde évanescente. Cette partie repose essentiellement sur des calculs d'ordre de grandeur. · Ensuite, on s'intéresse à l'interaction d'un atome avec le miroir et avec le potentiel créé par l'onde évanescente. Il s'agit de déterminer les différentes conditions pour caractériser l'interaction entre l'atome et la surface. · Pour finir, la dernière partie traite de la diffraction des atomes par un réseau optique. Cette partie s'appuie essentiellement sur des notions de seconde année comme l'électrostatique et la diffraction. Intéressant et bien construit, ce sujet reflète l'esprit des nouveaux programmes avec l'analyse d'un document scientifique et des questions relativement ouvertes. Le sujet de l'année dernière était aussi dans cette optique et il faut donc s'attendre dans les années à venir à des sujets analogues, dans lesquels l'initiative du candidat est valorisée. L'ensemble du sujet est relativement simple pour ce concours, si on est habitué à ce type de questions. Il fait appel aux connaissances de première et de seconde année. Les calculatrices étant interdites, il faut aussi s'entraîner à faire des calculs numériques en ordre de grandeur. Indications Partie I 2 Écrire la continuité du champ électrique total en z = 0 puis dire que cette relation est valable pour toute valeur de x. 3 Utiliser la norme de k puis isoler kz . Partie II 7 L'énergie potentielle d'un dipôle dans un champ électrique est - Ep = -- p ·E - 8 Déterminer le signe de pour avoir une force orientée selon ez . 12 La relation entre l'énergie cinétique et l'agitation thermique est Ec = 3 kB T 2 18 Représenter la carte des lignes de champ en présence du dipôle permanent et du dipôle image. Partie III 24 Le seuil de réflexion est atteint à l'intersection entre l'énergie initiale mgh et le maximum du potentiel total. 25 Quelle est la nature de l'onde dans la barrière de potentiel si Ec < Vmax ? 27 L'effet tunnel est non négligeable si l'onde à l'intérieur de la barrière n'est pas fortement atténuée. Partie IV 28 Noter que R est un coefficient de réflexion en énergie. 29 L'amplitude totale est la somme de l'amplitude de l'onde évanescente issue du laser incident et de celle de l'onde issue du laser après réflexion sur le miroir. 34 Au vu des valeurs numériques attendues, R 1. 35 Écrire la formule des réseaux en incidence normale en identifiant la longueur d'onde de l'onde envoyée et le pas du réseau optique utilisé. Miroir à atomes I. Onde évanescente 1 Avec les notations du schéma, la loi de Descartes s'écrit n sin i = nair sin r Si n > nair , l'angle de réfraction atteindra /2 avant l'angle d'incidence. Notons i l'angle d'incidence tel que r = /2. Alors pour i > i , il y a réflexion totale. Dans le cas n = 2 avec nair = 1, 1 i = Arcsin = 30 n normale indice nair r i dioptre indice n > nair 2 Prenons un champ électrique incident sous la forme - - - - Ei (x, z, t) = Ei0 e i( k · r -t) Lorsque l'onde incidente arrive au niveau de l'interface en z = 0, il y a une onde réfléchie et une onde réfractée de même pulsation que l'onde incidente. Dans le domaine z < 0, l'onde résultante s'écrit - - - - - - - E (x, z < 0, t) = Ei0 e i( k · r -t) + Er0 e i( kr · r -t) où le second terme caractérise l'onde réfléchie. De même pour z > 0, - - - - E (x, z > 0, t) = Et0 e i( k · r -t) Il n'y a aucune charge surfacique en z = 0, le champ électrique est donc continu en z = 0. Par conséquent, En z = 0, - - - - i(- - - - - Ei0 e k · r -t) + Er0 e i( kr · r -t) = Et0 e i( k · r -t) - i(kx x-t) - i(kr,x x-t) - i(k x-t) Ei0 e + Er0 e = Et0 e x Les exponentielles complexes forment une famille libre si et seulement si kx 6= kx . Les ondes existent si kx = kx 3 Par définition, k = n /c et k = /c donc k = n k D'après le schéma, on a kx = k sin i. L'onde restant dans le plan (Oxz) en vertu des lois de Descartes, le module du vecteur d'onde k s'écrit 2 k 2 = kx + kz 2 D'après la question 2, kx = kx = k sin i. Il vient 2 2 kz = k 2 - kx = Comme kx 2 = k 2 sin2 i, 2 kz = k2 - kx 2 n2 k2 (1 - n2 sin2 i) n2 4 Il y a réflexion totale si l'onde électrique ne se propage pas selon z, pour z > 0. Si kz est réel, l'onde se propage sans atténuation selon z ce qui arrive lorsque 1 - n2 sin2 i > 0 1 c'est-à-dire sin i < n Dans le cas contraire, kz est imaginaire pur si sin i > 1/n et l'onde est évanescente. Le passage de l'une des configurations à l'autre se fait pour un angle d'incidence limite tel que sin i = 1 n Dans le cas de l'onde évanescente, introduisons réel tel que kz = i/ avec 1 kp 2 2 n sin i - 1 = n L'onde transmise s'écrit donc - - E (x, z > 0, t) = Et0 e -z/ e i(kx x-t) L'exponentielle réelle montre que l'onde ne se propage pas selon z mais décroît selon cette direction. correspond à la longueur caractéristique de la décroissance, d'où = n p 2 k n sin2 i - 1 5 Représentons en fonction de i pour i compris entre i et 90 , valeurs pour lesquelles il y a réflexion totale. Avec k = n 2/ où est la longueur d'onde dans le vide, l'expression de devient = p 2 2 n sin2 i - 1 En se plaçant loin de l'angle d'incidence limite, estimons par exemple avec n = 2, pour lequel i = 30 d'après la question 1, et i = 60 . On trouve = Comme i 90 i 2 2 2 est de l'ordre de 1, La longueur de décroissance caractéristique est de l'ordre de . 2